個(gè)人購房按揭貸款的還款方案探討.

1、個(gè)人購房按揭貸款的還款方案探討一、摘 要最近，關(guān)于個(gè)人購房按揭貸款的還款方式引起了社會(huì)各界的關(guān)注。銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還款法（簡(jiǎn)稱等額本金還款法）兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法。在合理假設(shè)的前提下，運(yùn)用等差數(shù)列求和設(shè)計(jì)等額本金還款法償還貸款本息和每月還款額的模型，運(yùn)用迭代和等比數(shù)列求和兩種不同方法從不同角度推導(dǎo)等額本息還款法償還貸款本息和每月還款額的模型，通過計(jì)算討論比較兩者償還貸款本息的多少，得出等額本金還款法的利息比等額本息還款法償還貸款本息少，在貸款人具有還貸能力的條件下比較省錢。再在前兩個(gè)靜態(tài)模型的基礎(chǔ)上建立考慮未來現(xiàn)金的折現(xiàn)的動(dòng)態(tài)模型，進(jìn)一步說明結(jié)果，

2、更具實(shí)際性。從靜態(tài)模型特點(diǎn)得出，兩者償還貸款本息的多少和本金無關(guān)，并且相同還款方式下，年數(shù)越小，利率越低，償還貸款本息越少，我們?nèi)≠J款月利率為4.4125, (年利率/12),貸款20萬，得到兩種方式償還貸款本息關(guān)于年數(shù)的關(guān)系式，選取典型年數(shù)，運(yùn)用excel計(jì)算選取各年數(shù)的償還貸款本息，并據(jù)此作出折線圖進(jìn)行擬和，得出總體趨勢(shì)，各年數(shù)下，等本不等息遞減還款法計(jì)算得到的償還貸款本息比等額本息還款法少，隨著年數(shù)增加，兩者償還貸款本息都增加，同時(shí)差額不斷增加。為提高科學(xué)性，從三個(gè)方面進(jìn)行驗(yàn)證：第一，分析其對(duì)利率的靈敏度，改變利率，其他不變，進(jìn)行重新計(jì)算，得到兩者償還貸款本息增加，但是數(shù)據(jù)和圖表的趨勢(shì)和

3、原先相同。第二，取20年的房貸，其他條件不變，運(yùn)用matlab作兩種方法每月還款額的的圖，比較其金額大小，通過對(duì)圖形的分析得出，雖然等本金法在前期每月還款多，但是線形下降的，最后總償還貸款本息比等額本息還款法少。第三、通過計(jì)算得出如果提前還貸，償還貸款本息等本金法比等額本息還款法少。對(duì)問題二，設(shè)計(jì)了雙周還款法，套用靜態(tài)模型，通過計(jì)算20萬貸款，與原先方式進(jìn)行比較，得到結(jié)果是貸款年數(shù)在一年內(nèi)，采用雙周法償還貸款本息會(huì)比較少。文章最后對(duì)模型進(jìn)行了評(píng)價(jià)和推廣，在投資理財(cái)方面都可以進(jìn)行運(yùn)用二、 問題重述最近，關(guān)于個(gè)人購房按揭貸款的還款方式引起了社會(huì)各界的關(guān)注。銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還

4、款法兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法。有人認(rèn)為一筆20萬元、20年的房貸，兩種還款方式的差額有1萬多元，認(rèn)為銀行在隱瞞信息，賺消費(fèi)者的錢。所謂等額本息還款法，即每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清；而等本不等息遞減還款法（簡(jiǎn)稱等額本金還款法），即每月償還貸款本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清。1請(qǐng)你建立數(shù)學(xué)模型討論這兩種房貸還款方式是否有好壞之分；2是否可以設(shè)計(jì)一些其它房貸還款方式，并作討論；3給報(bào)社寫一篇稿子，介紹你的研究成果。三、基本假設(shè)與符號(hào)說明基本假設(shè)：1、貸款月利率不變(查資料得目前個(gè)人房貸5-30年的貸款年利率為4.95%)r=4.95%/12

5、=4.125每月還息近似用月利率按月計(jì)算計(jì)算，不到5年的也近似用該利率計(jì)算2、先不考慮現(xiàn)金凈現(xiàn)值（時(shí)間因素）3、每月近似按四周算4、貸款人有足夠能力支付每月房貸5、銀行儲(chǔ)蓄利率比貸款率要低6、現(xiàn)金折算率近似銀行儲(chǔ)蓄利率符號(hào)說明：a=貸款本金n=房貸年數(shù)r=貸款月利率s=現(xiàn)金折現(xiàn)率x=總利息（按到期日計(jì)算）w=總償還貸款本息（按到期日計(jì)算）b=每月付款（等額法）a(i)=第i月歸還本金 （i=1,2,3）x(i)=第i月償還的利息y(i)=第i月欠銀行的錢w1=等本金法總付房貸款w2=等本息法總付房貸款 等本金法總付房貸款現(xiàn)值 等本息法總付房貸款現(xiàn)值a=W=a+x等額本金還款

6、法簡(jiǎn)稱等本金法等額本息還款法簡(jiǎn)稱等本息法注：其他符號(hào)文中出現(xiàn)時(shí)再給定說明四、問題的分析及模型建立銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減個(gè)人購房按揭貸款的還款方式，無論哪種還款方式，都有一個(gè)共同點(diǎn)，就是每月的還款額（也稱月供）中包含兩個(gè)部分：本金還款和利息還款：月還款額=當(dāng)月本金還款+當(dāng)月利息 式1其中本金還款是真正償還貸款的。每月還款之后，貸款的剩余本金就相應(yīng)減少：當(dāng)月剩余本金=上月剩余本金-當(dāng)月本金還款直到最后一個(gè)月，全部本金償還完畢。利息還款是用來償還剩余本金在本月所產(chǎn)生的利息的。每月還款中必須將本月本金所產(chǎn)生的利息付清：當(dāng)月利息=上月剩余本金×月利率 式2其中月利率=年利率&

7、#247;12。由上面利息償還公式中可見，月利息是與上月剩余本金成正比的，由于在貸款初期，剩余本金較多，所以可見，貸款初期每月的利息較多，月還款額中償還利息的份額較重。隨著還款次數(shù)的增多，剩余本金將逐漸減少，月還款的利息也相應(yīng)減少，直到最后一個(gè)月，本金全部還清，利息付最后一次，下個(gè)月將既無本金又無利息，至此，全部貸款償還完畢。兩種貸款的償還原理就如上所述。上述兩個(gè)公式是月還款的基本公式.其他公式都可由此導(dǎo)出。要比較兩種方法的好壞，是在相同房貸年數(shù)的前提下比較在同一時(shí)間點(diǎn)上兩者所付給銀行總本金和利息的多少，省錢的就比較好，這里我們選取比較有代表性的貸款發(fā)生和結(jié)束時(shí)為計(jì)算還款的共同時(shí)間點(diǎn)。(1)&

8、#160;以還清貸款日為計(jì)算總償還貸款本息共同時(shí)間點(diǎn)，建立靜態(tài)模型：建立模型1:等額本金還款方式,每次還款的本金還款數(shù)是一樣的。 為還款年數(shù)，按月歸還貸款，所以還款次數(shù)為當(dāng)月本金還款=總貸款數(shù)÷還款次數(shù)當(dāng)月利息=上月剩余本金×月利率=總貸款數(shù)×（1（還款月數(shù)-1）÷還款次數(shù)）×月利率所以第i月還利息為：( =1,2, )易見 是一個(gè)以 為首項(xiàng)的等差數(shù)列,方差為當(dāng)月還款額=當(dāng)月本金還款當(dāng)月利息所以,第i月還款為：總利息所有利息之和根據(jù)等差數(shù)列求和:即:總利息=總貸款數(shù)×月利率×

9、（還款次數(shù)1）÷2總償還貸款本息本金總利息：由于等額本金還款每個(gè)月的本金還款額是固定的，而每月的利息是遞減的，因此，等額本金還款每個(gè)月的還款額是不一樣的。開始還得多，而后逐月遞減。2. 等額本息還款方式按模型1的等額本息還款方式的公式推導(dǎo)見附錄一下面我們從另一個(gè)角度建立模型來求解總償還貸款本息模型2:第i月欠銀行的錢數(shù)(i=0,1,2, )， 為每月償還的貸款，剛開始欠銀行錢：當(dāng)月欠銀行錢=上月欠銀行錢當(dāng)月償還的錢：化簡(jiǎn)得： =( - )即 =( - )最后一年欠款為零:所以 ( - 

10、) =0= = =五、模型化簡(jiǎn)求解和驗(yàn)證顯然兩種方式償還貸款本息與本金無關(guān)，因此比較w大小主要和年數(shù)n和利率r有關(guān)。我們不妨設(shè)a=200000元，先假設(shè)月利率為 4.125，將模型化簡(jiǎn)。得到兩種方式償還貸款本息關(guān)于年數(shù)的關(guān)系式。(1) 研究w和n 關(guān)系，即不同年限兩種方法的還款額各為多少，通過excel制得圖表總還貸額（元）房貸年數(shù)n等本金法w1等本息法w21234567891015203050圖表根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制的圖表2如下：注：系列1代表w2, 系列2代表w1圖表2說明：由于人年滿18周歲才可申請(qǐng)房貸，一般還貸最后期限不會(huì)超過退休年齡，所以

11、n取到50年，當(dāng)n超過一年時(shí),年限一般取整,這符合普通大眾實(shí)際情況。從數(shù)據(jù)可以看出在年限相同時(shí)w1總比w2要小，因此雖然年數(shù)沒有用窮舉法，但已經(jīng)揭示了其規(guī)律，不影響科學(xué)性，并且通過圖表更形象看出其趨勢(shì)。剛開始兩者差距不大，但是從n=10時(shí)開始差距逐漸拉大.。當(dāng)n=20時(shí) 所以兩種還款方式的差額有1萬多元,等額本金法較省錢。驗(yàn)證一：當(dāng)r變化時(shí)w的變化趨勢(shì)，假設(shè)r=4.3,其他假設(shè)不變，通過excel制得圖表2房貸年數(shù)等本金法等本息法等本金法等本息法12234567891015203038450圖表3根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪制的圖表如下：圖表顯然在年限相同時(shí)w1總比w2要小當(dāng)n=20時(shí)w1303630驗(yàn)證二

12、：a=200000元等本金法b當(dāng)n=20時(shí)，每月還款額圖表5如下:等本息法b圖表5由圖分析可知，兩種方法在前幾個(gè)月每月還款等本金法比等本息法要多，在后期等本金法每月還款下降很快，從圖的面積可看出，總額等本金法較少。驗(yàn)證三：以貸款20萬元、期限20年、月利率4.2來計(jì)算，可算出，依舊是本金還款法利息少。假如5年后，市民提前一次性還清貸款，根據(jù)本息還款法計(jì)算，5年中，已還本金49457元，已還利息69733元，需一次性付清所剩的本金250543元；根據(jù)本金還款法計(jì)算，5年中，已還本金75000元，已還利息66308元，再一次還款225000元就行了。兩種還款方法比較之下，本金還款法所支付利息比本息

13、還款法少3425元。(2) 以貸款日為計(jì)算總償還貸款本息共同時(shí)間點(diǎn)，考慮時(shí)間價(jià)值,對(duì)模型1，2進(jìn)行改進(jìn)，以月利率s=/12=2.775(3.33%為當(dāng)前年銀行存款利率),將兩種還款方式下每月還本付息折現(xiàn)到貸款發(fā)放日，建立動(dòng)態(tài)模型:改進(jìn)模型1  = +a/12n，根據(jù)現(xiàn)值計(jì)算公式化為:改進(jìn)模型2：同理可得說明：顯然兩種方式好壞與本金無關(guān)，因此比較w大小主要和年數(shù)n和利率r有關(guān)。我們不妨設(shè)a=200000元，假設(shè)月利率為 4.125， n=20,a=200000,用matlab求解ww1,ww2,程序源代碼見附錄二說明：差額并沒有原先模型那樣大，但等本金法仍比等額法還

14、款少。(3) 其他模型的建立（不考慮折現(xiàn)）:由于本金是一定要還的,各種方法的本金都是一樣的,因此我們研究其他還款方式因著重考慮利息,根據(jù)w1,w2公式和圖表2看出 ,相同還款方式利率越低,年限越少,還款總額越少,因此已經(jīng)貸款的可以考慮提前還貸，每種還款方式都是根據(jù)借款人剩余本金的多少計(jì)算利息的。不同的是，有的還款方式歸還本金的速度比較快，有的則較慢，由此導(dǎo)致不同還款方式總利息的不同。根據(jù)貸款償還原理根和圖表1可知，還款年數(shù)少，前期還本金多比較核算。假設(shè)現(xiàn)在按雙周還款 R=r/2=0.004125/2=0.002，www1,www2分別為等本金法和等本息法的總還款額，改進(jìn)模型1和模型2，得到模型

15、3：n=20， a=200000，R=0.002,用excel得到：房貸年數(shù)等本金法w1等本金法www1等本息法w2等本息法www212023456789101520299,43050圖表6由表可得出在一年內(nèi)，雙周法比較合算。銀行推出不同的房貸方式，只是為了滿足收入情況不同的各種借款人的需要。雖然理論上總還款額比較少的比較核算，實(shí)際生活中要看是否適合自己的經(jīng)濟(jì)狀況。選擇還款方式的關(guān)鍵是要與自己的收入趨勢(shì)相匹配，盡量使收入曲線和供款相一致。在有還貸能力情況下盡量選擇總還款額比較少。等額本金還款:適合目前收入較高的人群。借款人在開始還貸時(shí)，每月負(fù)擔(dān)比等額本息要重。隨著時(shí)間推移，還款負(fù)擔(dān)便會(huì)逐漸減輕

16、。這種還款方式相對(duì)同樣期限的等額本息法，總的利息支出較低。等額本息還款法的特點(diǎn)是每個(gè)月歸還一樣的本息和，容易作出預(yù)算。還款初期利息占每月供款的大部分，隨本金逐漸返還供款中本金比重增加。等額本息還款法更適用于現(xiàn)期收入少，預(yù)期收入將穩(wěn)定或增加的借款人，或預(yù)算清晰的人士和收入穩(wěn)定的人士，固定利率:進(jìn)入加息周期較合算目前國內(nèi)借款人與銀行已簽訂的房貸合同都是浮動(dòng)利率的，央行每一次加息，借款人的月供就要有相應(yīng)地增加。在貸款合同簽訂時(shí)，即設(shè)定好固定的利率，不論貸款期內(nèi)利率如何變動(dòng)，借款人都按照固定的利率支付利息，但風(fēng)險(xiǎn)較大。按期付息還本:適合房產(chǎn)投資客，借款人通過和銀行協(xié)商，為貸款本金和利息歸還制訂不同還款

17、時(shí)間單位。即自主決定按月、季度或年等時(shí)間間隔還款。實(shí)際上，就是借款人按照不同財(cái)務(wù)狀況，把每個(gè)月要還的錢湊成幾個(gè)月一起還。還可以有遞增法，氣球貸等等，核心都是根據(jù)貸款人經(jīng)濟(jì)實(shí)力制定不同時(shí)期的本金和利息的還款額，理論上占用時(shí)間越少越省錢。六、模型的優(yōu)缺點(diǎn)與改進(jìn)方向1、模型的優(yōu)點(diǎn)：（1）采用的數(shù)學(xué)模型有成熟的理論基礎(chǔ)，可信度較高。（2）本文建立離的模型有相應(yīng)的軟件支持，推光容易。（3）本文建立的模型與實(shí)際緊密聯(lián)系，考慮現(xiàn)實(shí)情況的多樣性，從而使模型更貼近實(shí)際，更實(shí)用。（4）本文用數(shù)學(xué)工具，嚴(yán)密對(duì)模型求解，具有科學(xué)性。（5）為了更貼近實(shí)際，在靜態(tài)模型的的基礎(chǔ)上，考慮未來現(xiàn)金折現(xiàn)對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，加以驗(yàn)證。

18、（6）借助圖表，比較形象直觀，從多方面對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。2、模型缺點(diǎn)：（1）模型復(fù)雜因素較多，不能對(duì)其進(jìn)行全面考慮。（2）利率的精確度不同可能造成一定誤差（3）經(jīng)濟(jì)社會(huì)中隨機(jī)因素較多，使模型不能將其準(zhǔn)確反應(yīng)出來3、模型的改進(jìn)（1）考慮通貨膨脹等市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的因素（2）考慮國家政策、重大事件比如加息對(duì)人們還貸行為的影響（3）對(duì)利率有更準(zhǔn)確的計(jì)算方法（4）考慮不同人群的消費(fèi)觀念和收入水平4、模型的推廣可以用文中所用到模型計(jì)算各期應(yīng)還貸款，可以用于計(jì)算公司的投資收益，凈現(xiàn)金流。證券和房地產(chǎn)投資方面也可以很好的進(jìn)行評(píng)估。六、參考文獻(xiàn)1 吳建國.數(shù)學(xué)建模案里例精編.北京：中國水利水電出版社, p289-p3

19、09,20062 馮偉，黃力偉，王勤，尹成義.數(shù)學(xué)建模原理與案例：科學(xué)出版社，p204-p233,20073 周開利，鄧春暉.MATLAB基礎(chǔ)及其應(yīng)用教程：北京大學(xué)出版社，p185-194,20074 Mark M.Meerschaert.Mathematical Modeling(Second Edition)：機(jī)械工業(yè)出版社，p43-p50,2005七、附錄附錄一 等額本息還款方式的公式推導(dǎo)設(shè)：總貸款額 a還款次數(shù)=n還款月利率r月還款額b當(dāng)月本金還款y(i)（i還款月數(shù)）第一個(gè)月，當(dāng)月本金為全部貸款額a，因此：第一個(gè)月的利息ar第一個(gè)月的本金還款額Y(1)b第一個(gè)月的利息bar第一個(gè)月剩

20、余本金總貸款額第一個(gè)月本金還款額a（bar）a×（r）b第二個(gè)月，當(dāng)月利息還款額上月剩余本金×月利率第二個(gè)月的利息（a×（r）b）×r第二個(gè)月的本金還款額Y(i)b第二個(gè)月的利息b（a×（r）b）×r第二個(gè)月剩余本金第一個(gè)月剩余本金第二個(gè)月本金還款額a×（r）b（b（a×（r）a）×r）a×（r）bb（a×（r）b）×ra×（r）2a（r）×b(1+r)2表示(1+r)的2次方第三個(gè)月的利息第二個(gè)月剩余本金×月利率第三個(gè)月的利息（a×（

21、r）2a（r）×b）×r第三個(gè)月的本金還款額Y(3)b第三個(gè)月的利息b（a×（r）2b（r）×b）×r第三個(gè)月剩余本金第二個(gè)月剩余本金第三個(gè)月的本金還款額a×（r）2b（r）×b（a（a×（r）2b（r）×b）×r）a×（r）2b（r）×b（b（a×（r）2×rb（r）×b）×r）a×（r）2×（r）（bb（r）×b×（r）a×（r）3b（r）×b（r）2×b上式可以

22、分成兩個(gè)部分第一部分：a×（r）3第二部分：b（r）×b（r）2×bb×（r）（r）2通過對(duì)前三個(gè)月的剩余本金公式進(jìn)行總結(jié)，我們可以看到其中的規(guī)律：剩余本金中的第一部分總貸款額×（月利率）的次方，（其中還款月數(shù)）剩余本金中的第二部分是一個(gè)等比數(shù)列，以（月利率）為比例系數(shù)，月還款額為常數(shù)系數(shù)，項(xiàng)數(shù)為還款月數(shù)。推廣到任意月份：第月的剩余本金a×（r）b×s()（s(n)為（r）的等比數(shù)列的前項(xiàng)和）根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：zz2z3z（z）（z）可以得出b×s(n)b×（r）（r）b×（r）r所以，

23、第月的剩余本金a×（r）b×（r）r由于最后一個(gè)月本金將全部還完，所以當(dāng)?shù)扔谶€款次數(shù)時(shí)，剩余本金為零。剩余本金a×（r）nb×（r）n）r0從而得出月還款額ba×r×（r）n÷（r）n）總貸款額×月利率×（月利率）還款次數(shù)÷（月利率）還款次數(shù)附錄二“等額本金還款法” 的還款總額的計(jì)算源代碼：M-file:function s = summ1( n )%SUMM1 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes heres

24、 = 0;a = 200000;r = 0.0042;d = 0.0025;for i = 1:ndb = (a ./ n + (a - (i - 1) .* a) ./ n) .* r) ./ (1 + d) . i);s = s + db;endinput:>> summ1(240)output:ans =2.3582e+005“等額本息還款法” 的還款總額的計(jì)算源代碼：M-file:function s = summ2( n )%SUMM2 Summary of this function goes here% Detailed explanation goes heres

25、= 0;a = 200000;r = 0.0042;d = 0.0025;for i = 1:ndb = (a .* (r .* (1 + r) . n) / (1 + r) . n - 1) / (1 + d) . i);s = s + db;endinput:>> summ(240)output:ans =2.3879e+00附錄三給報(bào)社寫一篇稿子，介紹研究成果唯有適合的才是最好的如何選擇住房貸款還款方式親愛的讀者朋友:你們好!最近，關(guān)于個(gè)人購房按揭貸款的還款方式引起了社會(huì)各界的關(guān)注。銀行目前有等額本息還款法和等本不等息遞減還款法兩種還款方式，且一般推薦提供等額本息還款法。有人

26、認(rèn)為一筆20萬元、20年的房貸，兩種還款方式的差額有1萬多元，認(rèn)為銀行在隱瞞信息，賺消費(fèi)者的錢。所謂等額本息還款法，即每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清；而等本不等息遞減還款法（簡(jiǎn)稱等額本金還款法），即每月償還貸款本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清。盡管等額本金還款法被炒得沸沸揚(yáng)揚(yáng)，但是很多市民還是不太清楚自己究竟適合哪種還款方式。從測(cè)算的結(jié)果來看，等額本金還款方式肯定要比等額本息方式支付的利息少。借款人可根據(jù)自己的經(jīng)濟(jì)狀況和還款意愿自主選擇還貸方式。一、等額本息還款法與等額本金還款法的比較分析假定借款人從銀行獲得一筆20萬元的個(gè)人住房貸款，貸款期限20年，貸款月

27、利率4.125，每月還本付息。不考慮時(shí)間因素，將每月還本付息額簡(jiǎn)單累加，在整個(gè)還款期內(nèi)，等額本金還款法下借款人共付本息299,412.50元，而等額本息法共付利息315,454.45元，兩者相比，等額本金還款法少付17406.68元。考慮時(shí)間因素，以折現(xiàn)率2.275計(jì)算,等額本金還款法下借款人共付本息 元，而等額本息法共付利息 元，兩者相比，等額本金還款法少付3650元。二、提前還貸：還是“本金法”省錢有些市民在買房后，可能會(huì)提前還貸，那么，在這種情況下，哪種還款法省錢呢？仍以貸款20萬元、期限20年、月利率4.2來計(jì)算，可算出，依舊是本金還款法利息少。假如5年后，市民提前一次性還清貸款，根據(jù)本息還款法計(jì)算，5年中，已還本金49457元，已還利息69733元，需一次性付清所剩的本金250543元；根據(jù)本金還款法計(jì)算，5年中，已還本金75000元，已還利息66308元，再一次還款225000元就行了。兩種還款方法比較之下，本金還款法所支付利息比本息還款法少3425元