2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題探究課4立體幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題理北師大版

1、四立體幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 127 頁(yè))命題解讀立體幾何是高考的重要內(nèi)容，從近五年全國(guó)卷高考試題來(lái)看，立體幾何每年必考一道解答題，難度中等，主要采用“論證與計(jì)算”相結(jié)合的模式，即首先利用定義、定理、公理等證明空間的線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行或垂直，再利用空間向量進(jìn)行空間角的計(jì)算，考查的熱點(diǎn)是平行與垂直的證明、二面角的計(jì)算，平面圖形的翻折，探索存在性問(wèn)題，突出三大能力：空間想象能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力與兩大數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合 思想的考查.題型訕r空間點(diǎn)、線(xiàn)、面間的位置關(guān)系空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行、垂直關(guān)系常與平面圖形的有關(guān)性質(zhì)及體積的計(jì)算等知識(shí)交匯考查，考查學(xué)生的空間

2、想象能力和推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，一般以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.用向量法證明平行、 垂直、求空間角，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)A .運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是把幾何問(wèn)題代數(shù)化，注意問(wèn)題：(1)恰當(dāng)建系，建系要直觀；坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求，在圖上標(biāo)出坐標(biāo)軸，特別注意有時(shí)要證 明三條軸兩兩垂直(扣分點(diǎn)). 關(guān)鍵點(diǎn)，向量的坐標(biāo)要求對(duì)，把用到的點(diǎn)的坐標(biāo)一個(gè)一個(gè)寫(xiě)在步驟里.(3) 計(jì)算要認(rèn)真細(xì)心，特別是|n| ,ni、n2的運(yùn)算.(1) 求證：平面ABEL平面BBCC(2) 求證：CF/平面ABE求三棱錐EABC勺體積.解(1)證明：在三棱柱ABCABC中，BB丄底面ABC所以BB丄ABA吐B

3、C AA=AC=2,BC(4) 弄清各空間角與向量夾角的關(guān)系.又因?yàn)锳ELBC BBQBC= B,所以ABL平面BBCC又A匪平面ABE平行，實(shí)施線(xiàn)面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化2.計(jì)算幾何體的體積時(shí)，能直接用公式時(shí)，關(guān)鍵是確定幾何體的高，而不能直接用公式時(shí),注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化3證明：法一：如圖（1），取AB中點(diǎn)G,連接EG FG(1)所以平面ABEL平面AC血E &4因?yàn)镚 F分別是AB, BC的中點(diǎn),所以FG/ AC,且FG=2AC因?yàn)锳C/ AQ,且AC= AiC,所以FG/ EC,且FG= EC.所以四邊形FGEC為平行四邊形,所以CF/又因?yàn)镋G二平面ABE CF?平面ABE所以CF

4、/平面ABE法二：如圖（2）,取AC的中點(diǎn)H,連接CH, FHI 7因?yàn)镠, F分別是AC, BC的中點(diǎn)，所以HF/ AB又因?yàn)镋,H分別是AC,AC的中點(diǎn)， 所以EC上AH所以四邊形EAHC為平行四邊形,所以C H/ AE又OHP HF=H,AEPAB= A,所以平面ABE/平面CHF又CF二平面CHF/ f * /所以CF/平面ABE(3)因?yàn)锳A=AC= 2 ,BC=1,ABL BC,所以AB= .ACBC=【3.所以三棱錐E-ABC的體積V=bABC-AA=1x3xix2=333 23規(guī)律方法I, I證明面面垂直，將面面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直”問(wèn)題，再將線(xiàn)面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直”

5、問(wèn)題2證明CF/平面ABE利用判定定理，關(guān)鍵是在平面ABE中找 作 出直線(xiàn)EG且滿(mǎn) 足CF/ EG利用面面平行的性質(zhì)定理證明線(xiàn)面平行，則先要確定一個(gè)平面CHF滿(mǎn)足面面平行，實(shí)施線(xiàn)面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化2.計(jì)算幾何體的體積時(shí)，能直接用公式時(shí)，關(guān)鍵是確定幾何體的高，而不能直接用公式時(shí),注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化5跟蹤訓(xùn)練如圖 2 所示，在底面是矩形的四棱錐RABCDK P從底面ABCD E, F分別是PC PD的中點(diǎn)，PA= AB=1,BC=2.圖 2(1) 求證：EF/平面PAB(2) 求證：平面PADL平面PDC【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140259】證明以A為原點(diǎn)，AB AD AP所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸

6、，建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示，則A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,Q1,2,0) ,D(0,2,0) ,P(0,0,1)，所以E1, 1,T1TTTTEF= , 0 , 0 ,AP=(0,0,1) ,AD=(0,2,0) ,DC=(1,0,0) ,AB=(1,0,0)(1)因?yàn)镋F= ?AB所以EF/AB即EF/AB又平面PAB EFF/平面PAB所以EF/平面PAB(2)因?yàn)锳P- DC=(0,0,1) (1,0,0) = 0 ,AD-DC=(0,2,0)(1,0,0)=0,所以TPL DC又因?yàn)锳PAAD= A, AP_平面PAD AD_平面PAD所以DCL平面PAD因?yàn)镈y平面P

7、DC所以平面PADL平面PDCADL DC即API DC ADL DC6立體幾何中的探索性問(wèn)題此類(lèi)試題一般以解答題形式呈現(xiàn)，常涉及線(xiàn)面平行與垂直位置關(guān)系的探索或空間角的所以POL平面ABCD因?yàn)镃皐平面ABCD所以POL CO因?yàn)锳C= CD所以COLAD如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Qxyz.計(jì)算問(wèn)題，是高考命題的熱點(diǎn)，一般有兩種考查形式:(1)根據(jù)條件作出判斷，再進(jìn)一步論證；(2)利用空間向量，先假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)條件判斷該點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在.(2016 北京高考)如圖 3，在四棱錐RABCDK平面PADL平面ABCD PAL PD PA=PD AB AD AB=1,AD=2,AC= CD=

8、5.(1)求證：PD丄平面PAB求直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值;在棱PA上是否存在點(diǎn)M使得BMF平面說(shuō)明理由.解(1)證明：因?yàn)槠矫鍼A丄平面ABCD ABL ADPD又因?yàn)镻ALPD所以PDL平面PAB(2)取AD的中點(diǎn)Q連接PO CO因?yàn)镻A= PD所以POLAD平面PAD平面PADL平面ABCD圖 3又因?yàn)?所以直線(xiàn)PB與平面PCD所成角的正弦值為（3）設(shè)M是棱PA上一點(diǎn)，則存在入 0,1使得皿入AP因此點(diǎn)M0,1 入，入），BMI= （ 1,入，入）.因?yàn)锽M/平面PCD所以要使BM/平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)BM門(mén)=0,即（1,入，入） （1 ,2,2） = 0.1AM1解得“ 4.所

9、以在棱PA上存在點(diǎn)M使得平面PCD此時(shí)AP= 4 規(guī)律方法解立體幾何中探索性問(wèn)題的方法1 通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立 ，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理；2 若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說(shuō)明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在易錯(cuò)警示：探索線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)時(shí)，注意三點(diǎn)共線(xiàn)條件的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練（2017 湖南五市十校聯(lián)考）如圖 4,在四棱錐RABCD中，PAL平面ABCDAD/ BC ADLCD且AD= CD=2晶BC=4 羽,PA=2.由題意得，A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0，- 1,0) ,

10、P(0,0,1)設(shè)平面PCD勺法向量為n= （x,y,z），貝U InPA 0,心 0,yz= 0,z= 0.令z= 2,貝 yx= 1,y= 2.所以n= (1 , 2,2).又PB=(1,1 , 1)，所以 cosn,PBnPB_也|n|PE|38設(shè)BM與平面MAC勺夾角為0,貝Usinh0=BM(1)求證：AB丄PC (2)在線(xiàn)段 PD 上，是否存在一點(diǎn)解(1)證明：如圖，由已知得四邊形ABGDI直角梯形,由AD= GD=2 2,BG=4 2 ,可得ABC是等腰直角三角形，即ABL AC因?yàn)镻AL平面ABGD所以PA! AB又PAH AG= A,所以ABL平面PAG所以ABL PC法一：

11、(作圖法)過(guò)點(diǎn)M作MNLAD交AD于點(diǎn)N,則MN/ PA因?yàn)镻AL平面ABGD過(guò)點(diǎn)M作MGL AG交AC于點(diǎn)G連接NG則/MGN1二面角MAGD的平面角.若/MGPN45,貝U NG= MN又AN=2NG=2MN所以MN=1,所以MNPA所以M是PD的中點(diǎn).1在三棱錐MABC中,可得VMABG=ABG-MN設(shè)點(diǎn)B到平面MAC勺距離是h,貝UVB-MAM3&MAG-h,所以SXABG- MN=SXMAG-h,解得h= 22.在 RtBMN中 ,可得BM=3 3.求BM與平面MA陜角的正弦值,圖 4M使得二面角MAGD的大小為 45,如果存在,如果不存在，所以MNL平面ABGD9法二：（向

12、量法）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0,0,0） ,C（22,2 2,0）,D(0,22, 0)，只 0,0,2), 022, - 2 2, 0) ,PA (0,22, 2) , AO (22, 2 2, 0).設(shè)PM= t PD(0vtv1)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,2 2t,2 2t)，所以AM=(0,2 2t,2 2t).設(shè)平面MAC勺法向量是n= （x,y,z），則得器+2 問(wèn)g 寸 2ty+ (2 2t)z= 0又m （0,0,1）是平面ACM個(gè)法向量,解得t= 2,即點(diǎn)M是線(xiàn)段PD的中點(diǎn).此時(shí)平面MAC勺一個(gè)法向量可取n= (1 , 1,2) ,BM=( 2 2, 3 2, 1)

13、.平面圖形的翻折冋題（答題模板）將平面圖形折疊成空間幾何體，并以此為載體考查點(diǎn)、線(xiàn)、面間的位置關(guān)系及有關(guān)幾何量的計(jì)算是近年高考的熱點(diǎn)，注重考查空間想象能力、知識(shí)遷移能力和轉(zhuǎn)化思想.試題以解 答題為主要呈現(xiàn)形式，中檔難度.卜;：（本小題滿(mǎn)分 12 分）（2016 全國(guó)卷H）如圖 5,菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O, AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F分別在AD CD上,AE= d5,EF交BD于點(diǎn)H.將厶DEF沿EFn心 0n AM=0,所以|cosm|m- n| 而n=cos 45設(shè)BM與平面MA（所成的角為0，則 sin0 =|cosno,BM2；6I題型，則可取n=10折到D EF的位置

14、，OD=i0.11圖 5(1)證明：D H丄平面ABCD;求二面角BD A-C的正弦值.審題指導(dǎo)題眼挖掘關(guān)鍵信息由菱形ABCD及AE= CF,可知DH是等腰三角形DEF底邊上的高線(xiàn)，而cDHL EF是翻折不變量，再逆用勾股定理可得D H丄OH從而得出結(jié)論利用(1)的結(jié)果，可得相交于一點(diǎn)且兩兩垂直的三條直線(xiàn)，為建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的正弦值創(chuàng)造了條件規(guī)范解答(1)證明：由已知得ACL BD AD= CD故AC/ EF因?yàn)镋FLHD從而EFLD H.由AB=5,AC=6 得DO=BO= JABA6=4.,mOH AE由EF/AC得DO=荷 4.itT JB所以O(shè)Hk1,DH=D*

15、3.產(chǎn)Y)八、于是D Hf+OH=32+ 12= 10=D O,故DHLOH又D H EF,而OHD EF=H,所以D H丄平面ABCD(2)如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，iHF的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) 3, 1,0) ,B(0， 5,0) ,C(3 , 1,0) ,D(0,0,3)又由AE= CF得AE CFAD CD5 分Hxyz,則 ”0,0,0)12AB=(3 , 4,0) ,AC=(6,0,0),AD= (3,1,3)設(shè)m= (x1,y1,Z1)是平面ABD的法向量，貝U133xi- 4yi= 0,即3xi+yi+ 3zi= 0,所以可取m=(4,3, -5).設(shè)n= (X2

16、,y2,Z2)是平面ACD的法向量，則6X2= 0,即3X2+y2+ 3Z2= 0,所以可取n= (0，- 3,1).閱卷者說(shuō)易錯(cuò)點(diǎn)防范措施弄不清翻折變量與可動(dòng)手操作、加強(qiáng)訓(xùn)練、及時(shí)總結(jié)，明確在同一平面內(nèi)的性質(zhì)不變量不發(fā)生變化，不在冋一平面上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化應(yīng)明確：在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面.解決這類(lèi)問(wèn)題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線(xiàn)面關(guān)系(2018 合肥二檢)如圖 6(1)所示，矩形ABCD中,AB=1,AD= 2,點(diǎn)E為ADnAC=0,AO= 0,于是 cosm,nnrn-14Im|n廠(chǎng) 50X107.515.sinn2 空25因此二面角B-D A-C的正弦

17、值是2 952512 分規(guī)律方法對(duì)于翻折問(wèn)題， 上的性質(zhì)可能會(huì)發(fā)生變化和幾何量的度量值，這是解決翻折問(wèn)題的主要方法跟蹤訓(xùn)練中點(diǎn)，沿BE將ABE折起至PBE如圖BE上.(1)146(2)所示，點(diǎn)P在平面BCDE上的射影O落在【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140260】(1)求證：BP丄CE求二面角BPGD的余弦值.15解證明：點(diǎn)P在平面BCDEt的射影O落在BE上, POL平面BCDETCE平面BCDE-POL CE易知BEL CE BEH PO QCEL平面PBE而B(niǎo)P平面PBEBPL CE設(shè)平面PCD的法向量為n1= (X1,y1,Z1),令Z2=., 2，可得n2= (2,0 , . 2),n1n233二面角BPGD為鈍二面角，二面角BPG