2020屆高考數(shù)學(xué)(文)總復(fù)習(xí)課堂測(cè)試：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式證明問(wèn)題

1、課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十九） 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式證明問(wèn)題 1 設(shè)函數(shù) f(x) = In x x+ 1. (1)討論 f(x)的單調(diào)性； x 1 求證：當(dāng) x( (i ,+) )時(shí)，imx0). 由 f (x)0，解得 0 x1;由 f (x)1. f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1 ,+s)上單調(diào)遞減. x 一 1 證明：要證當(dāng) x (1 ,+)時(shí)，1石匚乂, 即證 In xx 1xln x. 由(1)得 f(x)= In x x+ 1 在(1 ,+s)上單調(diào)遞減， 當(dāng) x (1 ,+8)時(shí),f(x)f(1) = 0，即有 In x0, F(x)單調(diào)遞增. F (x) F(1) = 0,即有 x

2、In xx 1. 原不等式成立. a 2. (2019 武漢調(diào)研) )已知函數(shù) f(x)= In x + - , a R (1) 討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性； 2a 1 當(dāng) a0 時(shí)，求證：f(x) -. a 1 a x _a 解：(1)f (x)= - 02= (x0). x x x 當(dāng) aW 0 時(shí)，f (x)0, f(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增. 當(dāng) a0 時(shí)，若 xa，則 f (x)0,函數(shù) f(x)在(a, + )上單調(diào)遞增; 若 0 xa,則 f (x)0 時(shí)，f(x)在(0, a)上單調(diào)遞減，在( (a,+)上單調(diào)遞增. (2) 證明：由(1)知，當(dāng) a0 時(shí),f(x)min=

3、 f(a) = In a+ 1. 2a 1 2a 一 1 要證 f(x) ，只需證 In a + 1 . a a 1 即證 In a + 10. a1 11 a 1 令函數(shù) g(a)= In a+ 丄丄一 1(a0)，貝U g (a)=-匕= 廠, a a a a 當(dāng) 0a1 時(shí)，g (a)1 時(shí)，g (a)0, 所以 g(a)在 (0,1)上單調(diào)遞減，在( (1,+)上單調(diào)遞增， 所以 g(a)min= g(1) = 0. 1 所以 In a + - 1 0 恒成立， a 2a 1 所以 f(x)上一成立. a 2 3.已知 f(x) = xln x, g(x)= x + ax 3. (1)

4、若對(duì)一切 x (0,+s ), 2f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍. 1 2 一、 求證：對(duì)一切 x (0,+8 ), In xr 恒成立. e ex 解：( (1)由題意知 2xln x x2+ ax 3 對(duì)一切 x (0, + )恒成立， 3 則 a0), 當(dāng) x (0,1)時(shí)，h (x) 0, h(x)單調(diào)遞增. 所以 h(x)min= h(1) = 4, 因?yàn)閷?duì)一切 x (0, + s) , 2f(x)g(x)恒成立， 所以 aw h(x)min= 4,故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( (, 4. 證明：?jiǎn)栴}等價(jià)于證明 xln x家一苗0). 因?yàn)?f(x)= xln x(x

5、0), f (x) = ln x+ 1 , 當(dāng) x 0 , e 時(shí)，f (x) 0 , f(x)單調(diào)遞增， 所以 f(x)min= f e = e 設(shè) m(x)=總：( (x 0), 1 一 x 則 m (x)=廠, e ， 當(dāng) x (0,1)時(shí)，m (x) 0 , m(x)單調(diào)遞增; 當(dāng) x (1 ,+8)時(shí)，m (x)v 0, m(x)單調(diào)遞減, 所以 m(x)max = m(1) =- 1 e 從而對(duì)一切 x (0 ,+s), f(x) m(x)恒成立， x 2 即 xln x r -恒成立. e e 1 2 所以對(duì)一切 x (0 ,+), In x x 恒成立. e ex 4. (20

6、18 黃岡模擬) )已知函數(shù) f(x)=加 x e (入 R). (1)若函數(shù) f(x)是單調(diào)函數(shù)，求 入的取值范圍； 求證：當(dāng) 0VX1VX2時(shí)，e1 X2 e1 X11 j. 解：函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0,+), / f(x)= 4n x e 函數(shù) f(x)是單調(diào)函數(shù), f (x) 1 時(shí)，/ (x)0, 則 O(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在( (1,+)上單調(diào)遞增, 1 1 當(dāng) x0 時(shí)，以如=帕) )=- 當(dāng)函數(shù) f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，f (x)A 0, x 由得 以 x)=在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1 , + )上單調(diào)遞增， e 又 0(0) = 0, x +時(shí)，O(x)v0, 0. 綜上，入的取值范圍為a, eu0,+ ). f (x)=斗 e % x 入 + xe 0, X xe = _x . e X + xe 0, X 入一 xe = ex, 1 1 證明：由( (1)可知，當(dāng) =一一時(shí)，f(x)= -In X e x在(0, + m)上單調(diào)遞減, e e 0VX1VX2,： f(X1 )f(X2), 即一 In xi e Xi in X2 e x?, e e -el X2 el Xiin xi In x?. 要證 e1 X2 e1 xii 2 xi 只需證 In Xi In X2i 藝，即證 In xii x2. xi X2 x