第八屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克解答

1、第八屆中國(guó)東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克（試題參考解答 寧波·北侖2011年7月）第一天1. 已知.（1）求的取值范圍；（2）對(duì)給定的,求（盧興江供題）解法1 記. 由知，且易知.（i）當(dāng)時(shí)，等號(hào)當(dāng)時(shí)，即時(shí)取到此時(shí)，特別當(dāng)時(shí)，（ii）當(dāng)時(shí)，令 當(dāng)時(shí)單調(diào)增加，所以，此時(shí)綜上所述：（1）的取值范圍是 （2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，解法2 設(shè). 因?yàn)?，且，所以易知，（i）當(dāng)時(shí)，令得，且有時(shí)，；時(shí)，。所以為最小值所以即，（ii）當(dāng)時(shí)，令得，此時(shí)易知不是最小值，為最小值即，綜上所述：（1）的取值范圍是 （2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，2. 已知為兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，且，求的值（楊曉鳴供題）解答 由題設(shè)可得到：，又因?yàn)閮蓛苫ベ|(zhì)，

2、所以。不妨設(shè)，所以又當(dāng)，與矛盾。所以。顯然（1,1,1）是一組解。當(dāng)時(shí)，。由又由當(dāng)時(shí)，無(wú)解；逐個(gè)驗(yàn)證得，。所以滿足條件正整數(shù)為（1,1,1），（12,3），（1,3,2），（2,1,3），（2,3,1），（3,2,1），（3,1,2）。 3設(shè)集合，正整數(shù)滿足：的任意一個(gè)35元子集中至少存在兩個(gè)不同的元素，使或.求出所有這樣的n.（李勝宏供題） 解答： 取，則對(duì)任意， 下面證明 . 設(shè)，不妨設(shè)； （i）當(dāng)時(shí)， 考慮 由抽屜原理，存在，使，即（ii）當(dāng)時(shí)， 由 由抽屜原理，至少存在，使，即（iii）當(dāng)時(shí)，由于所以中至少有個(gè)屬于又由于至多有24個(gè)存在，使，所以（iv）當(dāng)時(shí)，由至多有個(gè)由抽屜原理，存在

3、，使，即（v）當(dāng)時(shí)，共個(gè)所以，存在，使得（vi）當(dāng)時(shí)，若， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 均存在，使若， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以，均存在，使4過(guò)的外心任作一直線，分別交邊于，分別是的中點(diǎn).證明：.（陶平生供題） 證：我們證明以上結(jié)論對(duì)任何三角形都成立分三種情況考慮，對(duì)于直角三角形，結(jié)論是顯然的，事實(shí)上，如圖一中左圖，若為直角，則外心是斜邊的中點(diǎn)，過(guò)的直線交于，則共點(diǎn)，由于是的中點(diǎn)，故中位線，所以；以下考慮為銳角三角形或鈍角三角形的情況，（如圖一中右邊兩圖所示）（圖一）先證引理：如右圖，過(guò)的直徑上的兩點(diǎn)分別作弦，連，分別交于，若，則. 引理證明：設(shè)，直線分別截，據(jù)梅涅勞斯定理，；則 而由相交弦，得 若的

4、半徑為，則 ，據(jù)得，即.因此.引理得證. 回到本題，如下圖（兩圖都適用），延長(zhǎng)得直徑，在直徑上取點(diǎn)，使，設(shè)，連交于，由引理，（右圖中則是）因此，是的中點(diǎn)，故分別是及的中位線，于是得. 第二天5設(shè)是的三條角平分線，自作，分別在上，直線交于；類似得到點(diǎn)證明：三點(diǎn)共線（陶平生供題）證明：據(jù)梅尼勞斯逆定理，只要證， 由于直線截，得，所以 ；同理有 ， 由，得 又由，得 據(jù)、得；同理可得， 由于的三條角平分線共點(diǎn)，由塞瓦定理， ，于是由、得，即成立，因此結(jié)論得證6設(shè)為平面上n個(gè)定點(diǎn)，M是該平面內(nèi)線段AB上任一點(diǎn)，記為點(diǎn)與M的距離，證明：.（金蒙偉供題） 解答： 設(shè)原點(diǎn)為O，則有： 因此7設(shè)數(shù)列滿足：證明

5、：對(duì)于每個(gè)，皆為完全平方數(shù)（陶平生供題） 證：易求得數(shù)列開初的一些項(xiàng)為：，注意到，構(gòu)作數(shù)列：，則對(duì)每個(gè)，為正整數(shù)我們來(lái)證明：對(duì)于每個(gè)，皆有：引理：數(shù)列滿足：對(duì)于每個(gè)，引理證明：令，則所以，于是 回到本題，對(duì)歸納，據(jù)數(shù)列的定義，若結(jié)論直至皆已成立，則對(duì)于，有即在時(shí)結(jié)論也成立故本題得證8將時(shí)鐘盤面上標(biāo)有數(shù)字的十二個(gè)點(diǎn)分別染上紅、黃、藍(lán)、綠四色，每色三個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)作個(gè)凸四邊形，使其滿足：（）每個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)染有不同的顏色；（）對(duì)于其中任何三個(gè)四邊形，都存在某一色，染有該色的三個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)數(shù)字互不相同求的最大值（陶平生供題）解：為敘述方便，改用分別表示這四種顏色，而同色的三點(diǎn)，則分別用；

6、以及來(lái)表示今考慮其中一色，例如色；若在這個(gè)四邊形中，色點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)分別為，則，設(shè)；如果，則；再考慮這個(gè)四邊形（其色頂點(diǎn)要么是，要么是），它們中色點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)分別為，則，據(jù)對(duì)稱性，可設(shè)，則，即；繼續(xù)考慮這個(gè)四邊形（其色頂點(diǎn)要么是，要么是；色頂點(diǎn)要么是，要么是），它們中色點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)分別為，則，據(jù)對(duì)稱性，可設(shè)，則，即；最后考慮這個(gè)四邊形，記為（其色頂點(diǎn)要么是，要么是；色頂點(diǎn)要么是，要么是；色頂點(diǎn)要么是，要么是），由于色點(diǎn)只有三個(gè)，故其中必有兩個(gè)四邊形，其色點(diǎn)相同，設(shè)的色點(diǎn)都為；那么，三個(gè)四邊形中，無(wú)論哪種顏色的頂點(diǎn)，所標(biāo)數(shù)字皆有重復(fù)，這與條件相矛盾！因此，再說(shuō)明，最大值可以取到；采用構(gòu)造法，我們只要作出這樣的九個(gè)四邊形即可作三個(gè)“同心圓環(huán)圖”，給出標(biāo)號(hào)，并適當(dāng)旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的圓，標(biāo)號(hào)對(duì)齊后，圖中的每根線（半徑）上的四個(gè)點(diǎn)分別表示一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)顏色及其標(biāo)號(hào)，九條半徑共給出九個(gè)四邊形，且都滿足條件（）；再說(shuō)明，它們也滿足條件（）：從中任取三條半徑（三個(gè)四邊形）；如果三條半徑（三個(gè)四邊形）來(lái)自同一個(gè)圖，則除了色之外，其余每色的頂點(diǎn)，三數(shù)全有；如果三條半徑（三個(gè)四邊形）分別來(lái)自三個(gè)圖，則色的頂點(diǎn)，三數(shù)全有；如果三條半徑（三個(gè)四邊形）分別來(lái)自兩個(gè)圖：將三個(gè)圖分別稱為圖、圖、圖，每圖的三條半徑分別稱為“向上半徑”、“向左半徑”、“向右半徑”；且分別記為來(lái)自兩