2018屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)、解三角形第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)教

1、第一節(jié) 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 2017 考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1. 了解任意角的概念；2. 了解弧度制概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化；3. 理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義。2016,四川卷，3,5 分(誘導(dǎo)公式)本部分很少直接考查，往往結(jié)合三角函 數(shù)的其他公式及三角函數(shù)的圖象及性質(zhì) 間接考查。微知識(shí)小題練自|主|排|查1 .角的有關(guān)概念(1) 從運(yùn)動(dòng)的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角_(2) 從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角。若B與a是終邊相同的角，貝 UB用a表示為B=2kn+a,k乙2 .弧度與角度的互化(1)1 弧度的角長度等于半徑的弧所對的圓

2、心角叫做1 弧度的角。角a的弧度數(shù)如果半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為I,那么角a的弧度數(shù)的絕對值是 Ia| =丄。丄(3) 角度與弧度的換算n180i11=nrad : 1 rad =。180 nJ(4) 弧長、扇形面積的公式1設(shè)扇形的弧長為I，圓心角大小為a(rad)，半徑為r,則I= IaIr，扇形的面積為S=：lr=2|a|3 任意角的三角函數(shù)（1）定義：設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)Rx,y）,那么 sina=y, COSay=x,tana =（XM0）ox（2）幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示。正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都

3、是（1,0）。如圖中有向線段MP OM AT分別叫做角a的正弦線，余弦線和正切線。微點(diǎn)提醒1 “小于 90的角”“銳角”“第一象限的角”的區(qū)別如下：小于90的角的范圍：-m,寺，銳角的范圍：|0,nn，第一象限角的范圍：i2kn,2kn+專（k Z），所以說小于 90的角不一定是銳角；銳角是第一象限角，反之不成立。2 角的概念推廣到任意角后，角既有大小之分又有正負(fù)之別。3 角度制與弧度制在一個(gè)式子中不能同時(shí)出現(xiàn)。4 在判定角的終邊所在的象限時(shí)，要注意對k進(jìn)行分類討論。小|題|快|練一、走進(jìn)教材1 （必修 4PoA 組 T10改編）單位圓中，200的圓心角所對的弧長為（）A.10nB.9n10臨

4、n=-，所以I=乎冗。故選 Dbr9【解單位圓的半徑r= 1,200。的弧度數(shù)是200X卷=n,由弧度數(shù)的定義知10n95，【答案】D2.（必修 4Pi5練習(xí) T6改編）若角0滿足 tan00, sin00 知，0是一、三象限角，由 sin00,所以m=6。故選 C?！敬鸢浮緾4半徑為R的圓的一段弧長等于 2Q3R,則這段弧所對的圓心角的弧度數(shù)是 _?！窘馕觥繄A心角的弧度數(shù)a=2-R3R= 2 _ 3?！敬鸢浮? 35 .已知角a和角3的終邊關(guān)于直線y=x對稱，且3=3，貝ysina =_。3【解析】角a和角3的終邊關(guān)于直線y=X對稱，a+3= 2kn+*（* Z）。又n5n13=，二a= 2

5、kn+-（k Z） , sina=。1【答案】微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一象限角及終邊相冋的角的表示a【典例 1】（1）已知角a的終邊在第二象限，則2的終邊在第 _ 象限。（）A. 或二B.二或三C. 一或三D.二或四與一 2 015。終邊相同的最小正角是 _。n【解析】（1）由角a的終邊在第二象限，所以 +k2nan +k，2n,kZ,nkank, _ _所以+T n氣氣+ 2 T 冗，k Z,冗an當(dāng)k= 2n, rr Z 時(shí)， + m-2 n+ m-2 n,n Z,所以02 在第一象限；當(dāng)k= 2m 1, m Z 時(shí)，汙+m-2 n扌守+m-2 n, m Z,所以亍在第三象限。綜上，；的終邊在第一

6、或三象限。故選Co(2)因?yàn)橐?2 015 = 6X360+ 145,所以 145與一 2 015。終邊相同，又終邊相同的兩個(gè)角相差360的整數(shù)倍,所以在 0360中只有 145與一 2 015。終邊相同，所以與一 2 015。終邊相同的最小正角是145?！敬鸢浮?1)C (2)145 反思?xì)w納 1.判斷角3所在的象限，先把3表示為3=2kn+a, a0,2n) ,k Z, 然后判斷角a的象限即可。a*2 .確定角ka, (kN)的終邊的位置：先用終邊相同角的形式表示出角a的范圍,【變式訓(xùn)練】(1)若a=k 180+ 45(k Z)，則a在()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四

7、象限D(zhuǎn).第三或第四象限已知角a= 45,在區(qū)間720, 0 內(nèi)所有與角a有相同的終邊的角3為【解析】(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，a在第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，a在第三象限，故選 Ao所有與角a有相同終邊的角可表示為：3= 45+kx360(k Z),則令一 720 45 +kX360 0。得765kX360 45o76545解得360wkw 360，從而k= 2 或k= 1,代入得3= 675 或3= 315o【答案】 (1)A (2) 675 或315考點(diǎn)二扇形的弧長公式及面積公式母題發(fā)散【典例 2】 若扇形的周長為 10,面積為 4，則該扇形的圓心角為 _【解析】設(shè)圓心角是0，半徑是r,12r+r0

8、 =10,r= 1,r=4,則 12?(舍)，1Ir=40 =80= 2,故扇形圓心角為 1o【答案】12【母題變式】1.若去掉本典例條件“面積為4”，則當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？再寫出ka或a的范圍，然后根據(jù)kk的可能取值討論確定ka或+的終邊所在位置?！窘馕觥?設(shè)圓心角是0，半徑是r,則 2r+r0 =10(0r0 時(shí)，r= 5a, sina= , cosa=匚，tana= 二；考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義多維探究【典例 3】554【答案】(1) 5(2)見解析角度二：根據(jù)定義求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例 4】 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上的角a,3的終邊與圓心在原點(diǎn)的單B兩點(diǎn)，若a=

9、 30,3= 60，則弦AB的長為由三角函數(shù)的定義得A(cos30 , sin30 ),=2#2 =?！敬鸢浮?-2角度三：三角函數(shù)線的應(yīng)用【典例 5】(2017 鄭州模擬)函數(shù)y= lg(2s inx 1) + _ 1 2cosx的定義域?yàn)榉此細(xì)w納1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用問題的解題思路(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離, 確定這個(gè)角的三角函數(shù)值。(2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出參數(shù)的方程，求參數(shù)的值。2三角函數(shù)線的應(yīng)用問題的求解思路確定單位圓與角的終邊的交點(diǎn)，作出所需要的三角函數(shù)線，然后求解。當(dāng)a0,1 2cosx 0,1

10、sinx2， 即1cosxw2，如圖，在單位圓中作出相應(yīng)三角函數(shù)線，由圖可知, 原函數(shù)的定義域?yàn)閚2kn +亍，2knk Z)?！敬鸢浮?kn 5n+ 3，2kn+ 百(k Z)所以|AB=答案 A+k360 a180+k360(kZ)，則 180a180 (90 +k 360),即一k 360 180微考場新提升11 .設(shè)a是第二象限角，Rx,4）為其終邊上的一點(diǎn)，且COSa=-x，則5tana =()4A.33B.43C41解析 因?yàn)閍是第二象限角，所以 COSa=-x 0,即XV0。又 COSa51x=5x=x2+ 16解得x= 3，所以 tana44x=-3。故選 d答案 D2.已知扇

11、形的周長是4 cm,則扇形面積最大時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)是A. 2B.1C.2D.解析 設(shè)此扇形的半徑為r,弧長為I，則 2r+1= 4,面積S=3rl=y(4 2r) =r2+2r= - (r 1) + 1，故當(dāng)r= 1 時(shí)S最大，這時(shí)I= 4 2r= 2。從而ar= 1= 2。故選 A。3 .已知角x的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為5n5nsin,cos孑，則角x的最小正值為（）”5nA.一6r 5nB.c.11nD.2n解析sin 65n15nCOS-2角x的終邊經(jīng)過點(diǎn)5x= 2kn+ n,k Z,.角x的最小正值為5n一一。（也可用同角基本關(guān)系式tanx=沁得出。)cosx故選 B。答案 B4 .已知a是第二象限的角，則 180a是第象限的角。解析由a是第二象限的角可得 90(180 +k 360 )180,tanx=.；3