(完整word版)必修二立體幾何復(fù)習(xí)+經(jīng)典例題

1、1一、判定兩線平行的方法1、 平行于同一直線的兩條直線互相平行2、 垂直于同一平面的兩條直線互相平行3、 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直 線就和交線平行4、 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行5、 在同一平面內(nèi)的兩條直線，可依據(jù)平面幾何的定理證明二、 判定線面平行的方法1、 據(jù)定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點2、 如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個 平面平行3、 兩面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面4、 平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面5、 平面外的一

2、條直線和兩個平行平面中的一個平面平行，則也平行于另一個平面三、判定面面平行的方法1、 定義：沒有公共點2、 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，則兩面平行3 垂直于同一直線的兩個平面平行4、平行于同一平面的兩個平面平行四、面面平行的性質(zhì)1、 兩平行平面沒有公共點2、 兩平面平行，則一個平面上的任一直線平行于另一平面3、 兩平行平面被第三個平面所截，則兩交線平行4、 垂直于兩平行平面中一個平面的直線，必垂直于另一個平面五、判定線面垂直的方法1、 定義：如果一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則線面垂直2、 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交線垂直，則線面垂直3、 如果兩條平行直線中

3、的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于該平面4、 一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面5、 如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直它們交線的直線垂直于另一個平面6、 如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么它們的交線垂直于另一個平面六、判定兩線垂直的方法1、 定義：成90角2、 直線和平面垂直，則該線與平面內(nèi)任一直線垂直3、 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜 線垂直4、 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射 影垂直5、 一條直線如果和兩條平行直線中的一條垂直，它也和另一條垂直七、判定面面垂直的方

4、法1、 定義：兩面成直二面角，則兩面垂直2、 一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這個平面垂直于另一平面八、面面垂直的性質(zhì)1、二面角的平面角為9022、 在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面3、 相交平面同垂直于第三個平面，則交線垂直于第三個平面九、各種角的范圍1、 異面直線所成的角的取值范圍是：0 :：V - 900,90 12、 直線與平面所成的角的取值范圍是：0 w 900 ,90 13、 斜線與平面所成的角的取值范圍是：0：二乞900 ,90 1十、三角形的心1、內(nèi)心:內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點2、外心:外接圓的圓心，垂直平分線的交點3、重心:中線的交點4、垂心:高的交點【

5、例題分析】例 2 在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形，M , N 分別是 AB, PC 的中 點，求證：MN /平面 PAD .【分析】要證明“線面平行”，可通過“線線平行”或“面面平行”進行轉(zhuǎn)化；題目中 出現(xiàn)了中點的條件，因此可考慮構(gòu)造（添加）中位線輔助證明.證明：方法一，取 PD 中點 E,連接 AE, NE.底面 ABCD 是平行四邊形，M , N 分別是 AB, PC 的中點，1 MA / CD ,MA CD.2TE 是 PD 的中點，1 NE / CD ,NE CD.2 MA / NE，且 MA = NE , AENM 是平行四邊形， MN / AE .又 AE

6、 平面 PAD, MN 二平面 PAD ,4、 二面角的大0：二 a / b二a/b二 a/bn a/ b(2)證明線面平行:ad a= 0a/ball 3bUa,aUaau3a/ aa/ aa/ a(3)證明面面平行:ad 3= 0a/ 3b/ 3a 丄a,a 丄3a/Y,3門a,b a,aAbA= a / 3二a/ 3= a/ 3二a/ 3例 3 在直三棱柱 ABC AIBICI中，AAi= AC, AB 丄 AC,求證：AQ 丄 BCi.【分析】要證明“線線垂直”，可通過“線面垂直”進行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明AiC 垂直于經(jīng)過 BCi的平面即可.證明：連接 ACi.ABC AiBiCi是直三

7、棱柱， AAi丄平面 ABC, AB 丄 AAi.又 AB 丄 AC, AB 丄平面 AiACCi,- AiC 丄 AB .又 AAi= AC,二側(cè)面 AiACCi是正方形， AiC 丄 ACi.由，得 AiC 丄平面 ABCi, AiC 丄 BCi.【評述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開的.如本5題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“AB 丄 AC ”都要將其向“線面垂直”進行轉(zhuǎn)化.6例 4 在三棱錐 P ABC 中，平面 PAB 丄平面 ABC, AB 丄 BC, APIPB,求證：平面 FAC 丄平面 PBC.【分析】要證明面面垂直”，可通過線面垂直”進行轉(zhuǎn)化，

8、而線面垂直”又 可 以通過“線線垂直”進行轉(zhuǎn)化.證明：平面 PAB 丄平面 ABC，平面 FAB 門平面 ABC = AB,且 AB 丄 BC, BC 丄平面 PAB, APIBC.又 APIPB, APX平面 PBC,又 AP 二平面 PAC,平面 PAC 丄平面 PBC .【評述】 關(guān)于直線和平面垂直的問題，可歸納如下方法：(1)證明線線垂直：a 丄 c, b / c,a 丄ab Ua二 a 丄 b= a 丄 b(1)證明線面垂直:a 丄 m, a 丄 na / b, b 丄aa / B,a 丄Ba丄B, aQ B=lm,n 二a,mQn=AaUB,a 丄 ln a 丄a=a 丄aaL a

9、=a 丄a(1)證明面面垂直:a 丄B, a= a=a丄B例 5 如圖，在斜三棱柱 ABC BQ 中，側(cè)面 A!ABBI是菱形，且垂直于底面 ABC ,(I)求證：直線 EF /平面 AiACCi；7(n)在線段 AB 上確定一點 G,使平面 EFG 丄平面 ABC，并給出證明. 證明：(I)連接 AiC, A1E.T側(cè)面 AiABBi是菱形，E 是 ABi的中點， E 也是 AiB 的中點，又 F 是 BC 的中點， EF / A1C.AiC 二平面 A1ACC1, EF 二平面 AiACCi,直線 EF /平面 AiACCi.BG i解：當(dāng)時，平面 EFG 丄平面 ABC，證明如下：GA

10、3連接 EG , FG .側(cè)面 AiABBi是菱形，且/ AiAB = 60,.AAiAB 是等邊三角形.BG i E 是 AiB 的中點， EG 丄 AB .GA 3平面 AiABBi丄平面 ABC，且平面 AiABBiH平面 ABC = AB, EG 丄平面 ABC .又 EG 二平面 EFG，平面 EFG 丄平面 ABC .例 6 如圖，正三棱柱 ABC AiBiCi中，E 是 AC 的中點.(I)求證：平面 BECi丄平面 ACCiAi； (n)求證：ABi/平面 BEC.【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，

11、適當(dāng)添加輔助線幫助思考.證明：(I) ABC AiBiCi是正三棱柱， AAi平面 ABC , BE 丄 AAi./ ABC 是正三角形， E 是 AC 的中點， BE 丄 AC, . BE 丄平面 ACCiAi, 又 BE 二平 面 BECi,平面 BEC平面 ACCiAi.(n)證明：連接 BiC，設(shè) BCiHBiC = D . BCCiBi是矩形，D 是 BiC 的中點， DE / ABi.8又 DE 平面 BECi, ABi二平面 BECi, ABi/ 平面 BECi.例 7 在四棱錐 P ABCD 中，平面 FAD 丄平面 ABCD , AB / DC , PAD 是等邊三角形，已知

12、 BD = 2AD = 8,AB=2DC =4.5.29(I)設(shè) M 是 PC 上的一點，證明：平面 MBD 丄平面 FAD;(H)求四棱錐 F ABCD 的體積.【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M 是 PC 上的動點分析知，MB，MD 隨點 M 的變動而運動，因此可考慮平面MBD 內(nèi)“不動”的直線BD 是否垂直平面 PAD .證明：(I)在厶 ABD 中，由于 AD = 4, BD = 8,AB=4 .5,所以 AD2+ BD2= AB2.故 AD 丄 BD.又平面 PAD 丄平面 ABCD，平面 FAD 門平面 ABCD = AD, BD 二平面 ABCD

13、,所以 BD 丄平面 PAD,又 BD 二平面 MBD，故平面 MBD 丄平面 PAD.(H)解：過 P 作 P0 丄 AD 交 AD 于 0,由于平面 PAD 丄平面 ABCD，所以 P0 丄平面 ABCD .因此 P0 為四棱錐 P ABCD 的高，3-又厶 PAD 是邊長為 4 的等邊三角形因此P04 = 2、3.在底面四邊形 ABCD 中，AB / DC , AB= 2DC,4 x 85所以四邊形 ABCD 是梯形，在 Rt ADB 中，斜邊 AB 邊上的高為，即為4/55梯形 ABCD 的高，2/5+4J5 8/5所以四邊形 ABCD 的面積為S2524.故VP JBCD二124 2

14、 3 =16 339如圖 4,在邊長為 1 的等邊三角形ABC中，D, E分別是AB,AC邊上的點，AD二AE,F是BC的中點，AF與DE交于點G,將ABF沿AF折起，得到如圖 5 所示的三棱錐A -BCF,其中BC =(1)證明：DE平面BCF;C10證明：CF_平面ABF;2當(dāng)AD時，求三棱錐F - DEG的體積V3AD AEDB EC,在折疊后的三棱錐A - BCF中也成立，DE /BC / DE二平面BCF,BC二平面BCF , . DE / /平面BCF ；BF =CF=丄在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，所以AF一BC，2.2 2 2BC二BF CF CF _ BFT BF -

15、 CF二F CF平面ABF由可知GE/CF，結(jié)合可得GE一平面DFG.4.如圖，四棱錐 P ABCD 中，ABCD 為矩形， PAD 為等腰直角三角形，/ APD=90面 PAD 丄面 ABCD，且 AB=1 , AD=2 , E、F 分別為 PC 和 BD 的中點.(1) 證明：EF/ 面 PAD ;(2) 證明：面 PDC 丄面 PAD;(3) 求四棱錐 PABCD 的體積.4.如圖，連接 AC ,JDEG -9.【答案】(1)在等邊三角形ABC中，AD二AE在三棱錐A-BCF中VFQEG二VEFG丄DG FG3 2GF=-i G爲(wèi)、-ir ! I*!32,3.3324C圖411 ABCD

16、 為矩形且 F 是 BD 的中點, AC 必經(jīng)過 F12又 E 是 PC 的中點，所以，EF / AP2 分/ EF 在面 PAD 夕卜，PA 在面內(nèi)， EF /面 PAD(2) 面 PAD 丄面 ABCD , CD 丄 AD，面 PAD 面 ABCD=AD , CD 丄面 PAD, 又AP 二面 PAD , AP 丄 CD又 AP 丄 PD, PD 和 CD 是相交直線， AP 丄面 PCD又 AD 二面 PAD，所以，面 PDC 丄面 PAD(3) 取 AD 中點為 0,連接 PO,因為面 PAD 丄面 ABCD 及厶 PAD 為等腰直角三角形，所以 P0 丄面 ABCD , 即 P0 為四棱錐 PABCD 的高12 AD=2 , P0=1，所以四棱錐 PABCD 的體積V P0 AB AD =3311.如圖，三棱柱 ABC AiBiCi中，側(cè)棱垂直底面，/ ACB=90 , AC=BC= AA1, D 是棱 AAi的中點(I)證明：平面 BDC1丄平面 BDC(n)平面 BDC1分此棱柱為兩部分