2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第2節(jié) 二項式定理 教案

1、1第二節(jié)第二節(jié)二項式定理二項式定理最新考綱會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題1二項式定理(1)二項式定理：(ab)nc0nanc1nan1bcrnanrbrcnnbn(nn*)；(2)通項公式：tr1crnanrbr，它表示第 r1 項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù) c0n，c1n，cnn.2二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)0rn 時，crn與 cnrn的關(guān)系是 crncnrn(2)二項式系數(shù)先增后減中間項最大當 n 為偶數(shù)時， 第n21 項的二項式系數(shù)最大， 最大值為； 當 n 為奇數(shù)時，第n12項和n32項的二項式系數(shù)最大，最大值為3各二項式系數(shù)和(1)(ab)n展開式的各二項

2、式系數(shù)和：c0nc1nc2ncnn2n(2)偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即 c0nc2nc4nc1nc3nc5n2n1一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)crnanrbr是(ab)n的展開式中的第 r 項()(2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項()(3)(ab)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與 a，b 無關(guān)()(4)通項 tr1crnanrbr中的 a 和 b 不能互換()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1(12x)4展開式中第 3 項的二項式系數(shù)為()2a6b6c24d24a(12x)4展開式中第 3 項的二項式系數(shù)為 c246.故選

3、 a.2二項式12x2y5的展開式中 x3y2的系數(shù)是()a5b20c20d5a二項式12x2y5的通項為 tr1cr5(12x)5r(2y)r.根據(jù)題意，得5r3，r2，解得 r2.所以 x3y2的系數(shù)是 c25123(2)25.故選 a.3.c02 019c12 019c22 019c2 0192 019c02 020c22 020c42 020c2 0202 020的值為()a1b2c2 019d2 0192 020a原式22 01922 020122 01922 0191.故選 a.4若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則 a0a2a4的值為_8令 x1，則 a0a1a2a

4、3a40，令 x1，則 a0a1a2a3a416，兩式相加得 a0a2a48.考點 1二項式展開式的通項公式的應(yīng)用形如(ab)n的展開式問題求二項展開式中的項的 3 種方法求二項展開式的特定項問題，實質(zhì)是考查通項一般需要建立方程求 r，再將r 的值代回通項求解，注意 r 的取值范圍(r0，1，2，n)(1)第 m 項：此時 r1m，直接代入通項；(2)常數(shù)項：即這項中不含“變元”，令通項中“變元”的冪指數(shù)為 0 建立方程；(3)有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程(1)(2018全國卷)x22x5的展開式中 x4的系數(shù)為()3a10b20c40d80(2)若ax21x5的展開式中 x

5、5的系數(shù)是80，則實數(shù) a_(3)(2019浙江高考)在二項式( 2x)9的展開式中，常數(shù)項是_；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是_(1)c(2)2(3)16 25(1)tr1cr5(x2)5r2xrcr52rx103r，由 103r4，得 r2，所以 x4的系數(shù)為 c252240.(2)ax21x5的展開式的通項 tr1cr5(ax2)5rxr2cr5a5rx1052r，令1052r5，得 r2，所以 c25a380，解得 a2.(3)由題意，( 2x)9的通項為 tr1cr9( 2)9rxr(r0，1，29)，當 r0 時，可得常數(shù)項為 t1c09( 2)916 2；若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則 r

6、1，3，5，7，9，有 t2,t4,t6,t8,t10共 5 個項已知展開式的某項或其系數(shù)求參數(shù)，可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第 k1 項，由特定項得出 k 值，最后求出其參數(shù)教師備選例題190c110902c210903c310(1)k90kck109010c1010除以88的余數(shù)是()a1b1c87d87b190c110902c210903c310(1)k90kck109010c1010(190)108910(881)108810c110889c910881，前 10 項均能被 88 整除，余數(shù)是 1.1.在(x24)5的展開式中，含 x6的項為_160 x6因為(x24)5的展開

7、式的第 k1 項為 tk1ck5(x2)5k(4)k(4)kck5x102k，令 102k6，得 k2，所以含 x6的項為 t3(4)2c25x6160 x6.2若x21ax6的展開式中常數(shù)項為1516，則實數(shù) a 的值為()4a2b.12c2d12ax21ax6的展開式的通項為 tk1ck6(x2)6k1axkck61akx123k，令 123k0，得 k4.故 c461a41516，即1a4116，解得 a2，故選 a.形如(ab)n(cd)m的展開式問題求解形如(ab)n(cd)m的展開式問題的思路(1)若 n，m 中一個比較小，可考慮把它展開得到多個，如(ab)2(cd)m(a22ab

8、b2)(cd)m，然后展開分別求解(2)觀察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x)(1x)5(1x)2(1x2)5(1x)2.(3)分別得到(ab)n，(cd)m的通項公式，綜合考慮(1)(2017全國卷)11x2(1x)6展開式中 x2的系數(shù)為()a15b20c30d35(2)(1 x)6(1 x)4的展開式中 x 的系數(shù)是()a4b3c3d4(1)c(2)b(1)因為(1x)6的通項為 cr6xr，所以11x2(1x)6展開式中含x2的項為 1c26x2和1x2c46x4.因為 c26c462c262652130，所以11x2(1x)6展開式中 x2的系數(shù)為 30.故

9、選 c.(2)(1 x)6(1 x)4(1 x)(1 x)4(1 x)2(1x)4(12 xx)于是(1 x)6(1 x)4的展開式中 x 的系數(shù)為 c041c14(1)113.求幾個多項式積的展開式中的特定項(系數(shù))問題， 可先分別化簡或展開為多項式和的形式， 再分類考慮特定項產(chǎn)生的每一種情形， 求出相應(yīng)的特定項，5最后進行合并即可1.(x22)1x215的展開式的常數(shù)項是()a3b2c2d3d能夠使其展開式中出現(xiàn)常數(shù)項， 由多項式乘法的定義可知需滿足： 第一個因式取 x2項，第二個因式取1x2項得 x21x2c45(1)45；第一個因式取 2，第二個因式取(1)5得 2(1)5c552，故

10、展開式的常數(shù)項是 5(2)3，故選 d.2若(x2a)x1x10的展開式中 x6的系數(shù)為 30，則 a 等于()a.13b.12c1d2d由題意得x1x10的展開式的通項公式是 tk1ck10 x10k1xkck10 x102k，x1x10的展開式中含 x4(當 k3 時)，x6(當 k2 時)項的系數(shù)分別為 c310，c210，因此由題意得 c310ac21012045a30，由此解得 a2，故選 d.形如(abc)n的展開式問題求三項展開式中某些特定項的系數(shù)的方法(1)通過變形先把三項式轉(zhuǎn)化為二項式，再用二項式定理求解(2)兩次利用二項式定理的通項公式求解(3)由二項式定理的推證方法知，可

11、用排列、組合的基本原理去求，即把三項式看作幾個因式之積， 要得到特定項看有多少種方法從這幾個因式中取因式中的量(1)將x4x43展開后，常數(shù)項是_(2)x22xy6的展開式中，x3y3的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)(3)設(shè)(x23x2)5a0a1xa2x2a10 x10，則 a1等于_(1)160(2)120(3)240(1)x4x43x2x6展開式的通項是6ck6( x)6k2xk(2)kck6x3k.令 3k0，得 k3.所以常數(shù)項是 c36(2)3160.(2)x22xy6表示 6 個因式 x22xy 的乘積，在這 6 個因式中，有 3 個因式選 y， 其余的 3 個因式中有 2 個選 x2，

12、 剩下一個選2x， 即可得到 x3y3的系數(shù) 即x3y3的系數(shù)是 c36c23(2)203(2)120.(3)(x23x2)5(x1)5(x2)5，其展開式中 x 的系數(shù) a1c45(1)4(2)5(1)5c45(2)4240.二項式定理研究兩項和的展開式，對于三項式問題，一般是通過合并、拆分或進行因式分解，轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式去求解1.(2015全國卷)(x2xy)5的展開式中，x5y2項的系數(shù)為()a10b20c30d60c法一：利用二項展開式的通項公式求解(x2xy)5(x2x)y5，含 y2的項為 t3c25(x2x)3y2.其中(x2x)3中含 x5的項為 c13x4xc13x5.

13、所以 x5y2項的系數(shù)為 c25c1330.故選 c.法二：利用組合知識求解(x2xy)5為 5 個 x2xy 之積，其中有兩個取 y，兩個取 x2，一個取 x 即可，所以 x5y2的系數(shù)為 c25c23c1130.故選 c.2(x13xy)6的展開式中含 xy 的項的系數(shù)為()a30b60c90d120b展開式中含 xy 的項來自 c16(y)1(x13x)5，(x13x)5展開式通項為 tr1(1)rcr5x543r，令 543r1r3，7(x13x)5展開式中 x 的系數(shù)為(1)3c35，所以(x13xy)6的展開式中含 xy 的項的系數(shù)為 c16(1)c35(1)360，故選b.考點

14、2二項式系數(shù)的和與各項的系數(shù)和問題賦值法在求各項系數(shù)和中的應(yīng)用(1)對形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cr)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法(2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，則 f(x)展開式中各項系數(shù)之和為 f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為 a0a2a4f（1）f（1）2，偶數(shù)項系數(shù)之和為 a1a3a5f（1）f（1）2.(1)在x3xn的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為321，則 x2的系數(shù)為()a50b70c90d120(2)(2019汕頭質(zhì)檢)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，則

15、實數(shù) m 的值為_(1)c(2)3 或 1(1)令 x1， 則x3xn4n， 所以x3xn的展開式中，各項系數(shù)和為 4n，又二項式系數(shù)和為 2n，所以4n2n2n32，解得 n5.二項展開式的通項 tr1cr5x5r3xrcr53rx532r，令 532r2，得 r2，所以 x2的系數(shù)為 c253290，故選 c.(2)令 x0，則(2m)9a0a1a2a9，令 x2，則 m9a0a1a2a3a9，又(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a2a9)(a0a1a28a3a8a9)39，(2m)9m939，m(2m)3，m3 或 m1.(1)利用賦值法求解時， 注意各項的系數(shù)是指某一項的字

16、母前面的數(shù)值(包括符號)(2)在求各項的系數(shù)的絕對值的和時，首先要判斷各項系數(shù)的符號，然后將絕對值去掉，再進行賦值1.在二項式(12x)n的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為 128，則展開式的中間項的系數(shù)為()a960b960c1120d1680c因為偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為 2n1128，所以 n17，n8，則展開式共有 9 項， 中間項為第 5 項， 因為(12x)8的展開式的通項 tr1cr8(2x)rcr8(2)rxr，所以 t5c48(2)4x4，其系數(shù)為 c48(2)41120.2在(1x)(1x)4的展開式中，含 x2項的系數(shù)是 b.若(2bx)7a0a1xa7x7，則 a1a

17、2a7_128在(1x)(1x)4的展開式中，含 x2項的系數(shù)是 b，則 bc24c142.在(22x)7a0a1xa7x7中，令 x0 得 a027，令 x1，得 a0a1a2a70.a1a2a7027128.3(ax)(1x)4的展開式中 x 的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為 32，則 a_3設(shè)(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令 x1，得 16(a1)a0a1a2a3a4a5，令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5.，得 16(a1)2(a1a3a5)，即展開式中 x 的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為 a1a3a58(a1)， 所以 8(a1)32，解得 a3.考點 3二項

18、式系數(shù)的性質(zhì)9二項式系數(shù)的最值問題求二項式系數(shù)的最大值，則依據(jù)(ab)n中 n 的奇偶及二次項系數(shù)的性質(zhì)求解1.二項式3x13xn的展開式中只有第 11 項的二項式系數(shù)最大，則展開式中 x 的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為()a3b5c6d7d根據(jù)3x13xn的展開式中只有第 11 項的二項式系數(shù)最大，得 n20，3x13xn的展開式的通項為 tr1cr20( 3x)20r13xr( 3)20rcr20 x204r3，要使 x 的指數(shù)是整數(shù)，需 r 是 3 的倍數(shù)，r0，3，6，9，12，15，18，x 的指數(shù)是整數(shù)的項共有 7 項2(2019南昌模擬)設(shè) m 為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項式系數(shù)

19、的最大值為 a，(xy)2m1展開式的二項式系數(shù)的最大值為 b，若 15a8b，則 m_7(xy)2m展開式中二項式系數(shù)的最大值為 acm2m，(xy)2m1展開式中二項式系數(shù)的最大值為 bcm12m1，因為 15a8b，所以 15cm2m8cm12m1，即15（2m） ！m！m！8（2m1） ！m！ （m1） ！，解得 m7.3已知(13x)n的展開式中，后三項的二項式系數(shù)的和等于 121，則展開式中二項式系數(shù)最大的項為_c715(3x)7和 c815(3x)8由已知得 cn2ncn1ncnn121， 則12n(n1)n1121，即 n2n2400，解得 n15(舍去負值)，所以展開式中二項

20、式系數(shù)最大的項為 t8c715(3x)7和 t9c815(3x)8.二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念 二項式系數(shù)是指 c0n，c1n，cnn，它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與 a，b 的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指該10項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與 a，b 的值有關(guān)項的系數(shù)的最值問題二項展開式系數(shù)最大項的求法如求(abx)n(a，br)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為 a1，a2，an1，且第 k 項系數(shù)最大，應(yīng)用akak1，akak1從而解出 k 來，即得已知(3xx2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x1)n的展開式的二項式系數(shù)和大 992，則在2x1x2n的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為_，系數(shù)的絕對值最大的項為_8 06415 360 x4由題意知，22n2n992，即(2n32)(2n31)0，故2n32，解得 n5.由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，2x1x10的展開式中第 6 項的二項式系數(shù)最大，故二項式系數(shù)最大的項為 t6c510(2x)51x58 064.設(shè)第 k1 項的