巧用焦半徑公式[1]

1、命題：P是橢圓1上一點，E、F是左、右焦點，e是橢圓的離心率，則（1），（2）。P是橢圓上一點，E、F是上、下焦點，e是橢圓的離心率，則（3）。證明：|PF2|=(x0-c)²+(y0)²=x0²-2cx0+c²+b²(1-x0²/a²)=(c²/a²)x0²-2cx+a²=a-(c/a)x0說明：數(shù)學(xué)題的題根不等同數(shù)學(xué)教學(xué)的根基，數(shù)學(xué)教學(xué)的根基是數(shù)學(xué)概念，如橢圓教學(xué)的根基是橢圓的定義.但是在具體數(shù)學(xué)解題時，不一定每次都是從定義出發(fā)，而是從由數(shù)學(xué)定義引出來的某些已知結(jié)論（定理或公式）出

2、發(fā)，如解答橢圓問題時，經(jīng)常從橢圓的方程出發(fā).巧用焦半徑公式能妙解許多問題，下面舉例說明。一、用于求離心率例分析：所以，所以。二、用于求橢圓離心率的取值范圍例分析：由得故，即，又。所以。三、用于求焦半徑的取值范圍例分析：所以。四、用于求兩焦半徑之積例分析：由知，所以的最小值為，最大值為。五、用于求三角形的面積例分析：。由余弦定理得。解得所以六、用于求點的坐標(biāo)例分析：及得，解得所以。七、用于證明定值問題例分析：化簡得所以為定值。八、用于求角的大小例分析：所以所以。九、用于求線段的比。例分析：由兩式相減并化簡得。所以。所以。令，則，故所以，所以。如圖 設(shè)的坐標(biāo)為，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則，消去

3、得，。不妨設(shè)，由成等差數(shù)列得，即。 易知易知 的最值不妨設(shè)為橢圓的左焦點，而，則。故。 設(shè)的坐標(biāo)為，則 如圖，連，則，由焦半徑公式得，即。 若橢圓的焦點在軸上，則有。我們把橢圓上的點到兩焦點的距離稱為焦半徑，而（或）、（或）稱為焦半徑公式。如圖1，橢圓的準線方程為和。由橢圓的第二定義得，化簡即得1如圖為橢圓的兩個焦點，以線段為直徑的圓交橢圓于四點，順次連結(jié)這四點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊形，則離心率。2已知為橢圓的焦點，若橢圓上恒存在點，使，求離心率的取值范圍。3若是橢圓上的點，為橢圓的焦點，求的取值范圍。4若為橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，求的最值。5 若是橢圓上一點，為橢圓的左、

4、右焦點，且，求的面積S。 。6 若為橢圓上的點，為橢圓的焦點，且，則的橫坐標(biāo)為_。 由， ，7已知為橢圓上兩點，為橢圓的頂點，F(xiàn)為焦點，若成等差數(shù)列，求證：為定值。 ，8 如圖3，設(shè)橢圓與雙曲線有公共焦點，為其交點，求。9過橢圓的左焦點作與長軸不垂直的弦的垂直平分線交軸于，則。4，設(shè)的坐標(biāo)分別為，AB的中點為，則。AB的垂直平行線方程為N的坐標(biāo)為若橢圓的焦點為，離心率為為橢圓上任意一點，則有。例1 已知點P（x，y）是橢圓上任意一點，F(xiàn)1（-c,0）和F2(c,0)是橢圓的兩個焦點.求證：|PF1|=a+；|PF2|=a -.【分析】 可用距離公式先將|PF1|和|PF2|分別表示出來.然后利

5、用橢圓的方程“消y”即可.【解答】 由兩點間距離公式，可知|PF1|= (1)從橢圓方程解出 (2) 代（2）于（1）并化簡，得|PF1|= (-axa)同理有 |PF2|= (-axa)【說明】 通過例1，得出了橢圓的焦半徑公式r1=a+ex r2=a-ex (e=)從公式看到，橢圓的焦半徑的長度是點P（x,y）橫坐標(biāo)的一次函數(shù). r1是x的增函數(shù)，r2是x的減函數(shù)，它們都有最大值a+c,最小值a-c.從焦半徑公式，還可得橢圓的對稱性質(zhì)（關(guān)于x,y軸，關(guān)于原點）.（二）、用橢圓的定義求橢圓的焦點半徑用橢圓方程推導(dǎo)焦半徑公式，雖然過程簡便，但容易使人誤解，以為焦半徑公式的成立是以橢圓方程為其依

6、賴的.為了看清焦半徑公式的基礎(chǔ)性，我們考慮從橢圓定義直接導(dǎo)出公式來.橢圓的焦半徑公式，是橢圓“坐標(biāo)化”后的產(chǎn)物,按橢圓定義，對焦半徑直接用距離公式即可.例2 P (x,y)是平面上的一點，P到兩定點F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）的距離的和為2a（a>c>0）.試用x，y的解析式來表示r1=|PF1|和r2=|PF2|.【分析】 問題是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可視x為參數(shù)列出關(guān)于r1和r2的方程組，然后從中得出r1和r2.【解答】 依題意，有方程組-得代于并整理得r1-r2= 聯(lián)立，得 【說明】 橢圓的焦半徑公式可由橢圓的定義直接導(dǎo)出，對橢圓的方程有自己的獨立性.由于公

7、式中含c而無b，其基礎(chǔ)性顯然.二、 焦半徑公式與準線的關(guān)系用橢圓的第二定義，也很容易推出橢圓的焦半徑公式.如圖右，點P（x，y）是以F1（-c,0）為焦點，以l1：x=-為準線的橢圓上任意一點.PDl1于D.按橢圓的第二定義，則有即r1=a+ex,同理有r2=a-ex. 對中學(xué)生來講，橢圓的這個第二定義有很大的“人為性”.準線缺乏定義的“客觀性”.因此，把橢圓的第二定義視作橢圓的一條性質(zhì)定理更符合邏輯性.例3 P（x，y）是以F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為焦點，以距離之和為2a的橢圓上任意一點.直線l為x=-，PD1l交l于D1.求證：.【解答】 由橢圓的焦半徑公式 |PF1|=a+ex.

8、 對|PD1|用距離公式 |PD1|=x-=x+. 故有.【說明】 此性質(zhì)即是：該橢圓上任意一點，到定點F1（-c,0）（F2（c,0）與定直線l1:x=-(l2：x=)的距離之比為定值e（0<e<1）.三、用橢圓的焦半徑公式證明橢圓的方程現(xiàn)行教材在橢圓部分，只完成了“從曲線到方程”的單向推導(dǎo)，實際上這只完成了任務(wù)的一半.而另一半，從“方程到曲線”，卻留給了學(xué)生（關(guān)于這一點，被許多學(xué)生所忽略了可逆推導(dǎo)過程并不簡單,特別是逆過程中的兩次求平方根）.其實，有了焦半徑公式，“證明橢圓方程為所求”的過程顯得很簡明.例4 設(shè)點P（x，y）適合方程.求證：點P（x，y）到兩定點F1（-c,0）

9、和F2（c，0）的距離之和為2a（c2=a2-b2）. 【分析】 這題目是為了完成“從方程到曲線”的這一逆向過程.利用例2導(dǎo)出的焦點半徑公式，很快可推出結(jié)果. 【解答】 P（x，y）到F1（-c,0）的距離設(shè)作r1=|PF1|.由橢圓的焦點半徑公式可知r1=a+ex 同理還有r2=a-ex + 得 r1+r2=2a即 |PF1|+|PF2|=2a.即P（x，y）到兩定點F1（-c，0）和F2（c,0）的距離之和為2a.【說明】 橢圓方程是二元二次方程，而橢圓的焦半徑公式是一元一次函數(shù).因此，圍繞著橢圓焦半徑的問題，運用焦半徑公式比運用橢圓方程要顯得簡便.四、橢圓焦半徑公式的變式P是橢圓上一點，

10、E、F是左、右焦點，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，則（1）；（2）。P是橢圓上一點，E、F是上、下焦點，PE與x軸所成的角為，PF與x軸所成的角為，c是橢圓半焦距，則（3）；（4）。證明：（1）設(shè)P在x軸上的射影為Q，當(dāng)不大于90°時，在三角形PEQ中，有由橢圓焦半徑公式（1）得。消去后，化簡即得（1）。而當(dāng)大于90°時，在三角形PEQ中，有，以下與上述相同。（2）、（3）、（4）的證明與（1）相仿，從略。五、變式的應(yīng)用對于橢圓的一些問題，應(yīng)用這幾個推論便可容易求解。例5. P是橢圓上一點，E、F是左右焦點，過P作x軸的垂線恰好通過焦點F，若三角形PEF是等腰直角三角形，則橢圓的離心率是_。解：因為PFEF，所以由（2）式得。再由題意得。注意到。例6. P是橢圓上且位于x軸上方的一點，E，F(xiàn)是左右焦點，直線PF的斜率為，求三角形PEF的面積。解：設(shè)PF的傾斜角為，則：。因為a10，b8，c6，由變式（2）得所以三角形PEF的面積例7經(jīng)過橢圓的左焦點F1作傾斜