直角三角形的存在性問題解題策略

1、中考數(shù)學(xué)壓I*題解題策IS （3）直角三角形的存在性間題解題策略挑戒壓訥題中考數(shù)學(xué)的作者馬學(xué)據(jù)專題攻略解宜甬三角形的存在性冋題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方禪，第 三步解方程并驗(yàn)根.一般僑況下，按照肓角頂點(diǎn)或者斜迪分類，然后按照三角比或勾股定理列方私有時(shí)根據(jù)宜角三角形斜迪上的中線等干料遷的一半列方程更簡便.解頁甬三角形的冋題，常常和!臥三角形、三角比的冋題聯(lián)系在一起.如果直角il與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的頁線，可£1構(gòu)造兩個(gè)新 的相似直角三角形,迪樣列比例方程比較簡便.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的卽離公氏常常用到.怎樣畫頁角三角形的示意圖昵？如果已

2、ill! ftii, V么過直角邊的兩個(gè)端點(diǎn)畫垂找，第 三個(gè)頂點(diǎn)在垂找上；如果已知斜邊，那么以斜邊為頁伶畫岡，頁甬頂點(diǎn)在岡上（不含iS徑的 兩個(gè)竭點(diǎn)）.例題解析例如圖1，在力中，=10, cosz=i. D、F為線段上的兩個(gè)動點(diǎn),且DE=XE在。右邊），運(yùn)動朋始時(shí)。和B車合，當(dāng)F和Q車合時(shí)運(yùn)動停止.UF作日7/MC 空AB干F,連結(jié) EBD=x,如果為I角三角形，來x的値.【解折】3%中，乙0是確定的銳角，那么按照頁甬頂點(diǎn)分類，直角三角形B防存在 兩種情況.如果把夾乙B的兩條邊用含有x的氏子表示出來，分兩種情況列方程就可以了.jlllS 1-2,作AHIBC,垂足為，冊么是的中點(diǎn).在 RWAB

3、H 中，肋=10, cosz=£,=8.所以=16.BA BC即備護(hù)"叫（2圖1-2圖1-4圖1-3 如圖 1-3,當(dāng) Z BDF 90° 時(shí)，由 cosZB = =-,得 BD = -BF BF 554 5解方 f?x = _x-（x + 3）,得 x=35 8RF 44 如圖1-4,當(dāng)厶BFD=Q©時(shí)，由cosZB = =-,得BF = -BDBD 55解方嶺+等令,得“孕我m看到，在畫示意圖時(shí)，無須受lABC的“限制”，只需要取具確定的乙2例咖圖2-1,已ill A. B是找目加上的兩點(diǎn)，MN = 4, MA = , MB>. 11 A為 中

4、心順時(shí)甘陡轉(zhuǎn)自，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M便 /V兩點(diǎn)車合成一點(diǎn)C,構(gòu)成 4ABC、設(shè)力若厶ABCt.角三角形，求*的值.9圖2-1【解析】'ABC的三迪長都可以表示出來，AC=, AB=x, BC=3x. 如果用斜邊18行分類，甸條邊邵可能成為斜辿，分三種悄況： 若"為斜進(jìn),則1=+（3一尤）2,即工_3尤+ 4 = 0,此方程無實(shí)根. 若肋為斜邊，則宀（3 ，+1,解得兀£ （如0 2-2 ）. 若為斜邊，|（3-x）2=1 + x2,解得*害（如E 2-3 ）.因此當(dāng)a = |或乂 =蘭時(shí)，HABC龍盲角三角形.33圖2-2圖2-3例咖圖3-1,已訥在平面jg角

5、坐標(biāo)系中，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（-2,0）,自0是點(diǎn)力關(guān)干原點(diǎn)的對林點(diǎn)，P是函數(shù)y = -（x>0）圖象上的一點(diǎn)，且力是盲角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo) X圖3【解析】4 兩點(diǎn)是確定的，以找段力為分類標(biāo)準(zhǔn)，分三種情況如果我段力B力頁角邊，朋么An AB的垂線，與第一象限的一支豉曲找沒有交點(diǎn);22解方 f? (x+2)° + () + (x + 2)" + ()2 = 4*, t§ x = ±>/2 XX2解方 f?(-)2=Gv + 2)(x-2), f§x = ±V2 的垂裁，有1個(gè)交點(diǎn).g畫同，同與雙曲線有沒有交點(diǎn)呢？先假如有交點(diǎn)，再

6、列方槨，方f?有解那 么就有交點(diǎn).如果是一元二次方程，那么可能是一個(gè)交點(diǎn)，也可能是兩個(gè)交點(diǎn).由題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)力（2, 0）,且LBAP不可能成為頁角. 如圖32,當(dāng)LABP= 90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,1）. 方法一：如圖3-3,當(dāng)乙如昭=90°時(shí)，OP是LAPB的料邊上的中線，OP=2.2,4設(shè) P（x-）,由 00 = 4,得 h+r = 4.解得兀= ±JI.此 W V2,V2）.方法三：如因3-4,由厶AHP®PHB、$PH = AHBHgift解法的方gfttl差異很大，轉(zhuǎn)化力整式方程之后9!是（H這個(gè)15次方程 的解是x、M=近皿= x

7、,=-近，宅的幾冋豆義就是以力為頁徑的同與雙曲Sftlfll干P、P兩點(diǎn)（如圖35 ）.例如圖4-1,已«lgSy=A%6經(jīng)iij5 41,4）,與x抽柑交于點(diǎn)B.若點(diǎn)0是y軸 上一點(diǎn)，ABQ為頁甬三角形，求點(diǎn)0的坐標(biāo).圖41【解析】和例題3 樣，過力、0兩點(diǎn)分別畫力3的垂找，各有1個(gè)點(diǎn)0.和例題3不同，11/IB力直徑酉岡，網(wǎng)與F抽有沒有交點(diǎn)，一目了然.而岡與取曲線有 沒有交點(diǎn)，是徒手畫雙曲線無沫肯定的.將力(1,4)代人y=kx6,可得£=2.所£lp=2x6, $3,0).設(shè)00的長力z分三種情況過論頁角三ft ABQ,如圖 4-2,當(dāng) LAQB'時(shí)

8、，B02QHA、BO QHnt 1解得 7二1 或 777= 3.0,-1)S(0,-3).如圖43,當(dāng)乙少0=90°時(shí)，QHAsAGB、QH AGTia'gb®w=-1477解得m = y 此時(shí)Q(Q).如圖4-4,當(dāng)乙肋0=90°時(shí)，AGBsBMQ、AG空.刪彳斗MQ 43我們以頁角頂點(diǎn)為公共18點(diǎn),三種僑況的頁甬三角形ABQ, jg角ill制不與坐標(biāo)軸平行， 構(gòu)造兩個(gè)相做的宜角三角形,這樣列比例方程比較簡便.B知41,-4)、$3,0),設(shè)Q0, )，那么禺據(jù)兩點(diǎn)同的距離公式可以表示出朋,M和 BQ,再按照料邊為分類標(biāo)準(zhǔn)列方杈，就不用if圖進(jìn)行“盲解

9、” 了.例咖圖5-1, ilftlS線)，=一2/一丄兀+3與X軸交干力"兩點(diǎn)(點(diǎn)力在點(diǎn)B的左M ).若-84宜找/it點(diǎn)日4,0), M為宜裁/上的動點(diǎn),當(dāng)11 A B、M為Ji點(diǎn)所作的盲角三角形有且只有 三個(gè)時(shí)，求頁找/的解折貳.圖5-1【解析】有目只有三f頁角三角形力翊是什么意思呢？過4 3兩點(diǎn)分別AB的垂找，與68/各有一 f交點(diǎn)，那么第三f直角頂點(diǎn)在哪 里？以力為頁徑的OG與直線/相幼于點(diǎn)?。∮?y = -x2-A + 3 = -(x+4)(x-2),得力(4)、$2,0), gg=6.848如圖52,連結(jié)酬，那么GMX在Rt日初中，GM=39 GE=5、所以切=4.因此t

10、anZG£A/=-4設(shè)頁線/與F軸交于點(diǎn)C,那么OC= 3.所以直找/(頁線日?)為y = -2x+3.例如圖6-1,在力中，CA=CB、AB八、cosZA = l點(diǎn)。是力上的一個(gè)動點(diǎn),5點(diǎn)F與點(diǎn)力關(guān)于tCD對稱，連塩CE、DE.(1 )求Kffl上的高;(2) 設(shè)防與交于點(diǎn)尸，當(dāng)為jg角三角形時(shí)，求力。的長；(3) 連結(jié)撿當(dāng)/疋是頁角三角形時(shí)，AD的長.圖6-1【解折】這道題目畫示意圖有技巧的，如果將點(diǎn)Q看作壬動點(diǎn)，那么防就是從動線段反 過來畫圖，點(diǎn)F在以以為半徑的06上，如果把點(diǎn)F看作壬動點(diǎn)，再nACE的平分線就 產(chǎn)生點(diǎn)。了.(1) 如圖6-2,設(shè)上的高力67/,那bAH=BH=

11、A.在 RtA/167/ip, AH=A、cosZA = i, ffiJl =5, 67/= 3.5(2) 如圖6-3,當(dāng)乙力力=90期，F(xiàn)是力的中點(diǎn)，力尸=4, CF入.在 Rt財(cái)氏 EF=CE-CF=2、cos ZE = ，DE = -此時(shí) >4D = DE = -.如圖6-4,當(dāng)LACF 90° B,乙血加45°,那么力CD的條件符合“角邊角；作 DGA.AC,垂足為 0.敎 DG= CG= 3m,那么 AD= 5/77, AG= 4m.由 CA = 59 得 7/77= 5.解得 m = lit N AD = 5m =圖6-2圖6-3圖6-4(3) 因力少1=QF,兩以只存在LADE 901fi<8 如圖6-5,當(dāng)F在ABJ方時(shí)，根據(jù)對林性，訥乙冊=乙6/疋=135°, MLCDH是 等腰頁角三角形，D