2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版選修2-2學(xué)案：第一章 本章小結(jié) Word版含解析

1、第一章 本章小結(jié)一、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)求曲線yf(x)過(guò)點(diǎn)p(x0，y0)的切線方程時(shí)，應(yīng)注意：(1)判斷點(diǎn)p(x0，y0)是否在曲線yf(x)上；(2)1°若點(diǎn)p(x0，y0)為切點(diǎn)，則曲線yf(x)在點(diǎn)p處的切線的斜率為f(x0)，切線的方程為yy0f(x0)(xx0)2°若點(diǎn)p(x0，y0)不是切點(diǎn)，則設(shè)切點(diǎn)為q(x1，y1)，則切線方程為yy1f(x1)(xx1)，再由切線過(guò)點(diǎn)p(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值即求出了過(guò)點(diǎn)p(x0，y0)的切線方程【例1】求函數(shù)yln的導(dǎo)數(shù)【分析】采用先化簡(jiǎn)后求

2、導(dǎo)的方法來(lái)求解【解】yln(1sinx)ln(1sinx)，y·secx.【例2】已知函數(shù)f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，和直線m：ykx9，又f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直線m既是曲線yf(x)的切線，又是yg(x)的切線；如果存在，求出k的值；如果不存在，說(shuō)明理由【分析】直線ykx9過(guò)定點(diǎn)(0,9)，可先求出過(guò)點(diǎn)(0,9)與yg(x)相切的直線方程，再考查所求直線是否也是曲線yf(x)的切線【解】(1)因?yàn)閒(x)3ax26x6a，又f(1)0，3a66a0，a2.(2)存在因?yàn)橹本€m恒過(guò)定點(diǎn)(0,9)，先求過(guò)點(diǎn)(0,9)與曲線yg

3、(x)相切的直線方程設(shè)切點(diǎn)為(x0,3x6x012)，又g(x0)6x06.切線方程為y(3x6x012)(6x06)(xx0)，將點(diǎn)(0,9)代入得93x6x0126x6x0，3x30，x0±1，當(dāng)x01時(shí)，g(1)12，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,21)，所以切線方程為y12x9；當(dāng)x01時(shí)，g(1)0，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,9)，所以切線方程為y9.下面求曲線yf(x)的斜率為12和0的切線方程：由(1)得f(x)2x33x212x11，f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，x0或x1，當(dāng)x0時(shí)，f(0)11，此時(shí)切線方程為y12x11；當(dāng)x1時(shí)，f(1)2，此時(shí)切線方程

4、為y12x10.所以y12x9不是公切線由f(x)0，得6x26x120，即有x1或x2.當(dāng)x1時(shí)，f(1)18，此時(shí)切線方程為y18；當(dāng)x2時(shí)，f(2)9，此時(shí)切線方程為y9.所以y9是公切線綜上所述當(dāng)k0時(shí)，y9是兩曲線的公切線二、函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時(shí)的一個(gè)應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想【例3】已知x3是函數(shù)f(x)aln(1x)x210x的一個(gè)極值點(diǎn)(1)求a；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若直線yb與函數(shù)yf(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍【解】(1)因?yàn)閒(x)2x10，x3是極值點(diǎn)，所

5、以f(3)6100，因此a16.(2)由(1)知，f(x)16ln(1x)x210x，x(1，)，f(x)，當(dāng)x(1,1)(3，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(1,3)時(shí)，f(x)<0.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(1,1)，(3，)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1,3)(3)由(2)知，f(x)在(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減，在(3，)內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)x1或x3時(shí)，f(x)0，所以f(x)的極大值為f(1)16ln29，極小值為f(3)32ln221，因此f(16)16ln1716210×16>16ln29f(1)， f(e21)<321121<f

6、(3)，所以在f(x)的三個(gè)單調(diào)區(qū)間(1,1)，(1,3)，(3，)，直線yb和yf(x)的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)f(3)<b<f(1)，因此，b的取值范圍為(32ln221,16ln29)三、函數(shù)的極值與最值1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f(x)0的根；(3)檢驗(yàn)f(x)0的根的兩側(cè)f(x)的符號(hào)若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn)2求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值、最小值的方法與步驟：(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值

7、與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值特別地，當(dāng)f(x)在a，b上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(最小)值，這里(a，b)也可以是(，)【例4】已知函數(shù)f(x)x3ax2b的圖象上一點(diǎn)p(1,0)，且在點(diǎn)p處的切線與直線3xy0平行(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，t(0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于x的方程f(x)c在區(qū)間1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍

8、【解】(1)因?yàn)閒(x)3x22ax，曲線在p(1,0)處的切線斜率為：f(1)32a，即32a3，a3.又函數(shù)過(guò)(1,0)點(diǎn)，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0得x0或x2.當(dāng)0<t2時(shí)，在區(qū)間(0，t)上f(x)<0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.當(dāng)2<t<3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)003t26tf(x)22t33t22f(x)minf(2)2.f(x)ma

9、x為f(0)與f(t)中較大的一個(gè)f(t)f(0)t33t2t2(t3)<0.所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1,2)時(shí)，g(x)<0；在x(2,3時(shí)，g(x)>0.要使g(x)0在1,3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，則，解得2<c0.四、微積分的應(yīng)用【例5】求定積分【例6】某技術(shù)監(jiān)督局對(duì)一家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量檢測(cè)時(shí)，得到了下面的資料：這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律屬于變速直線運(yùn)動(dòng)，且速度v(單位：m/s)與時(shí)間t(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系式v(t)，某公司擬購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)顆粒輸送儀，要求1 min行駛的路程超過(guò)7 673 m，則這家顆粒輸送儀生產(chǎn)廠生產(chǎn)的顆粒輸送儀能否被列入擬挑選的對(duì)象之一？【解】不能