第五章,5.1.2,弧度制

1、第五章,5.1.2,弧度制 5 1.2 弧度制 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.理解"1 弧度的角'的定義，掌握弧度與角度的換算、弧長公式和扇形面積公式，熟悉特殊角的弧度數(shù) 知識點(diǎn)一 度量角的兩種制度 角度制 定義 用度作為單位來度量角的單位制 1 度的角 1 度的角等于周角的1360 弧度制 定義 以弧度作為單位來度量角的單位制 1 弧度的角 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角 知識點(diǎn)二 弧度數(shù)的計(jì)算 思考 比值 lr 與所取的圓的半徑大小是否有關(guān)？ 答案 一定大小的圓心角 所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無關(guān) 知識點(diǎn)三 角

2、度與弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 3602 rad 2 rad360 180 rad rad180 1180 rad0.017 45 rad 1 rad èæøö18057.30 度數(shù)180 弧度數(shù) 弧度數(shù) èæøö180度數(shù) 知識點(diǎn)四 弧度制下的弧長與扇形面積公式 設(shè)扇形的半徑為 r，弧長為 l，(02)為其圓心角，則 (1)弧長公式：lr. (2)扇形面積公式：s 12 lr12 r2 . 思考 扇形的面積公式與哪個平面圖形的面積公式類似？對應(yīng)的圖形是否也類似？ 答案 扇形的面積公式與三角形的面積公式類似

3、實(shí)際上，扇形可看作是一曲邊三角形，弧是底，半徑是底上的高 118_ rad. 答案 10 2. 310 _. 答案 54 3若 4 ，則 是第_象限角 答案 一 4圓心角為 3 弧度，半徑為 6 的扇形的面積為_ 答案 6 解析 扇形的面積為 12 62 3 6. 一、角度制與弧度制的互化 例 1 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72；(2)300；(3)2；(4) 29. 解 (1)7272180 25； (2)300300180 53； (3)22 èæøö180 èæøö360； (4) 29 &#

4、232;æøö29 18040. 反思感悟 角度與弧度互化技巧 在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式 rad180是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)180 弧度數(shù)，弧度數(shù) èæøö180度數(shù) 跟蹤訓(xùn)練 1 已知 15，10 ，1，105，712 ，試比較 ， 的大小 解 1515180 12 ，105105180 712 ， 12 10 1712 ，. 二、用弧度制表示有關(guān)的角 例 2 將1 125寫成 2k(kz)的形式，其中 02.并判斷它是第幾象限角？ 解 1 1251 125180 2548 74. 其中 32 742，因?yàn)?/p>

5、 74是第四象限角， 所以1 125是第四象限角 延伸探究 若在本例的條件下，在4，4范圍內(nèi)找出與 終邊相同的角的集合 解 依題意與 終邊相同的角為 742k，kz， 由4 742k4，kz， 知 k2，1,0,1， 所以所求角的集合為 î íìþýü 94， 4 ，74， 154. 反思感悟 用弧度制表示終邊相同角的兩個關(guān)注點(diǎn) (1)用弧度制表示終邊相同的角 2k(kz)時(shí)，其中 2k 是 的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍 (2)注意角度制與弧度制不能混用 跟蹤訓(xùn)練 2 (1)用弧度制表示與 150角終邊相同的角的集合為( ) a. 

6、8; íìþýü ïï 562k，kz b. î íìþýü ïï 56k360，kz c. î íìþýü ïï 232k，kz d. î íìþýü ïï 562k，kz 答案 d 解析 150150180 56，故與 150角終邊相同的角的集合為 î íì

7、;þýü ïï 562k，kz . (2)用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)的角 的集合 解 終邊落在射線 oa 上的角為 135k360，kz， 即 342k，kz. 終邊落在射線 ob 上的角為 30k360，kz， 即 6 2k，kz， 故終邊落在陰影部分的角 的集合為 î íìþýü ïï 6 2k342k，kz . 三、扇形的弧長、面積 例 3 (1)已知一扇形的圓心角是 72，半徑為 20，求扇形的面積 解 設(shè)扇形弧長為 l， 因?yàn)閳A心角 72721

8、80 25 rad， 所以扇形弧長 l|r 25208， 于是，扇形的面積 s 12 lr12 82080. (2)已知扇形的周長為 10 cm，面積為 4 cm 2 ，求扇形圓心角的弧度數(shù) 解 設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為 (02)，弧長為 l cm，半徑為 r cm， 依題意有îïíïì l2r10， 12 lr4. 代入得 r 2 5r40，解得 r 1 1，r 2 4. 當(dāng) r1 時(shí)，l8，此時(shí)，8 rad2 rad 舍去 當(dāng) r4 時(shí)，l2，此時(shí)， 24 12 (rad) 綜上可知，扇形圓心角的弧度數(shù)為 12 rad. 延伸探究 已知一扇形

9、的周長為 4，當(dāng)它的半徑與圓心角取何值時(shí)，扇形的面積最大？最大值是多少？ 解 設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為 (02)，弧長為 l，半徑為 r，面積為 s， 則 l2r4，所以 l42r èæøö21 r2， 所以 s 12 lr12 (42r)r r 2 2r(r1) 2 1， 所以當(dāng) r1 時(shí)，s 最大，且 s max 1， 因此， lr 42112(rad) (學(xué)生) 反思感悟 扇形的弧長和面積的求解策略 (1)記公式：弧度制下扇形的面積公式是 s 12 lr12 r2 (其中 l 是扇形的弧長，r 是扇形的半徑， 是扇形圓心角的弧度數(shù)，02) (2)找關(guān)

10、鍵：涉及扇形的半徑、周長、弧長、圓心角、面積等的計(jì)算問題，關(guān)鍵是分析題目中已知哪些量、求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解 跟蹤訓(xùn)練 3 若扇形的圓心角為 216，弧長為 30，求扇形的半徑及面積 解 設(shè)扇形的半徑為 r，弧長為 l，面積為 s， 216216180 65， lr 65r30，解得 r25， s 12 lr12 3025375. 1下列說法中，錯誤的是( ) a半圓所對的圓心角是 rad b周角的大小等于 2 c1 弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑 d長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是 1 弧度 答案 d 解析 根據(jù)弧度的定義及角度與弧度

11、的換算知 a，b，c 均正確，d 錯誤 2若 2 rad，則 的終邊在( ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 答案 c 3時(shí)針經(jīng)過一小時(shí)，轉(zhuǎn)過了( ) a. 6 rad b 6 rad c.12 rad d12 rad 答案 b 解析 時(shí)針經(jīng)過一小時(shí)，轉(zhuǎn)過30， 又30 6 rad. 4與 60終邊相同的角可表示為( ) ak360 3 (kz) b2k60(kz) c2k36060(kz) d2k 3 (kz) 答案 d 5周長為 9，圓心角為 1 rad 的扇形面積為_ 答案 92 解析 設(shè)扇形的半徑為 r，弧長為 l， 由題意可知î ïí&#

12、239;ì 2rl9，lr，所以î ïíïì r3，l3， 所以 s 12 lr92 . 1知識清單： (1)弧度制的概念 (2)弧度與角度的相互轉(zhuǎn)化 (3)扇形的弧長與面積的計(jì)算 2方法歸納：消元法 3常見誤區(qū)：弧度與角度混用 1角 2512終邊所在的象限是( ) a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 答案 a 解析 2512 212 ，12 是第一象限角，故2512是第一象限角 2若一個扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼?2 倍，而弧長也變?yōu)樵瓉淼?2 倍，則( ) a扇形的面積不變 b扇形的圓心角不變 c扇形的面積增大到原來的 2

13、倍 d扇形的圓心角增大到原來的 2 倍 答案 b 解析 lr，lr . 當(dāng) r，l 均變?yōu)樵瓉淼?2 倍時(shí)， 不變 而 s 12 r2 中， 不變，s 變?yōu)樵瓉淼?4 倍 3(多選)下列與 94的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是( ) a2k45(kz) bk360 94(kz) ck360315(kz) d2k 4 (kz) 答案 cd 解析 a，b 中弧度與角度混用，不正確； 942 4 ， 所以 94與 4 終邊相同 31536045， 所以315也與 45終邊相同，即與 94終邊相同 4集合 î íìþýü ï

14、39; k 4 k2 ，kz中角所表示的范圍(陰影部分)是( ) 答案 c 解析 k 為偶數(shù)時(shí)，集合對應(yīng)的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)直線 yx 左上部分(包含邊界)，k 為奇數(shù)時(shí)集合對應(yīng)的區(qū)域?yàn)榈谌笙迌?nèi)直線 yx 的右下部分(包含邊界) 5(多選)圓的一條弦的長等于半徑，則這條弦所對的圓周角的弧度數(shù)為( ) a. 6 b. 3 c. 23 d. 56 答案 ad 解析 設(shè)該弦所對的圓周角為 ， 則其圓心角為 2 或 22， 由于弦長等于半徑， 所以可得 2 3 或 223 ，解得 6 或 56. 6135化為弧度為_， 113化為角度為_ 答案 34 660 解析 135135180 34； 113

15、113180660. 7在扇形中，已知半徑為 8，弧長為 12，則圓心角是_弧度，扇形面積是_ 答案 32 48 解析 lr 128 32 ， s 12 lr12 12848. 8若 為三角形的一個內(nèi)角，且 與 278的終邊相同，則 _. 答案 58 解析 2784 58， 所以與 278終邊相同的角為 582k，kz， 又 (0，)，故 58. 9已知角 1 200. (1)將 改寫成 2k(kz,02)的形式，并指出 是第幾象限的角； (2)在區(qū)間4，0上找出與 終邊相同的角 解 (1)因?yàn)?1 2001 202180 20332 23， 所以角 與 23的終邊相同， 又 2 23， 所以

16、角 是第二象限的角 (2)因?yàn)榕c角 終邊相同的角(含角 在內(nèi))為 2k 23，kz， 所以由42k 230，得 73 k13 . 因?yàn)?kz，所以 k2 或 k1. 故在區(qū)間4，0上與角 終邊相同的角是 103， 43. 10已知半徑為 10 的圓 o 中，弦 ab 的長為 10. (1)求弦 ab 所對的圓心角 的大??； (2)求 所在的扇形的弧長 l 及弧所在的弓形的面積 s. 解 (1)由o 的半徑 r10ab， 知aob 是等邊三角形， aob60 3 . (2)由(1)可知 3 ，r10， 弧長 lr 3 10103， s 扇形 12 lr12 10310 503， 而 s aob

17、12 ab32ab 12 105 325 3， ss 扇形 s aob 25 èæøö23 3 . 11(多選)下列表示中正確的是( ) a終邊在 x 軸上角的集合是|k，kz b終邊在第二象限角的集合為 î íìþýü ïï 2 2k2k，kz c終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是 î íìþýü ïï k2，kz d終邊在直線 yx 上角的集合是 î íìþ

18、53;ü ïï 4 2k，kz 答案 abc 解析 a，b 顯然正確 對于 c，終邊在 x 軸上的角的集合為|k，kz，終邊在 y 軸上的角的集合為îíìþýü ïï 2 k，kz，其并集為 î íìþýü ïï k2，kz ，故 c 正確； 對于 d，終邊在 yx 上的角的集合為 î íìþýü ïï 4 2k，kz或 

19、38; íìþýü ïï 542k，kz ，其并集為 î íìþýü ïï 4 k，kz，故 d 不正確 12自行車的大鏈輪有 88 齒，小鏈輪有 20 齒，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是( ) a. 511 b.445 c. 522 d.225 答案 b 解析 由題意，當(dāng)大鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過一周時(shí)，小鏈輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)過 8820 周，小鏈輪轉(zhuǎn)過的弧度是88202 445. 13一段圓弧的長度等于其所在圓的圓內(nèi)接正方形的邊長，則這段圓弧所對的圓心角為( ) a. 2 b.3 c. 2 d. 3 答案 c 解析 如圖，設(shè)圓的半徑為 r，則正方形邊長為 2r， 弧長 l 2r，lr 2rr 2. 14.九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作其中方田章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面