第4講函數(shù)的性質(zhì)

1、第4講 函數(shù)的性質(zhì)一、單調(diào)性與最大（小）值 1.函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論：在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)對(duì)于復(fù)合函數(shù)：同增異減 2.對(duì)鉤函數(shù)分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù) 3.最大（?。┲刀?、奇偶性 1.函數(shù)的奇偶性結(jié)論若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則若函數(shù)為偶函數(shù)，則；奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)

2、奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.三、周期性 1.周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期. 2.函數(shù)的周期性與對(duì)稱性性質(zhì)總結(jié)：若，周期； 若（相反），周期；若()（互倒），周期； 若()（反倒），周期；若，周期； 若，周期.題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷例1(1)判斷函數(shù)f(x)(a>0)在x(1,1)上的單調(diào)性.利用定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值:設(shè)x1,x2是定義區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值,且x1<x2.(2)作差、變形:

3、作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1),并通過因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形.(3)定號(hào):確定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)的符號(hào),當(dāng)符號(hào)不確定時(shí),可以進(jìn)行分類討論.(4)判斷:根據(jù)定義作出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練1(1)判斷函數(shù)f(x)x (a>0)在(0，)上的單調(diào)性.(2)求函數(shù)y 的單調(diào)區(qū)間.(3)如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 題型二求函數(shù)的最值(值域)例2 (1)函數(shù) 的最小值為.(2)函數(shù) 的值域?yàn)?例3(1)如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)

4、a的取值范圍是 題型三函數(shù)奇偶性的判斷例3.判斷下列函數(shù)的奇偶性:f(x)= f(x)=;題型四函數(shù)的周期性及其應(yīng)用例4.（1）設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+4)=f(x).當(dāng)x0,2時(shí),f(x)=2x-x2,則f(2017)= .（2）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ,且f(1)=3,則f(2017)=.（3）已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，則= .來源:Z_xx_k.Com 解題思路 1. 求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性.(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義.(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式

5、給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4)復(fù)合函數(shù)yfg(x)根據(jù)“同增異減”判斷.2.比較周期性與對(duì)稱性： 若()，則；（巧記：消去） 若，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；（巧記：消去，相加除2） 若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（巧記：消去，相加除2） 若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（巧記：消去，相加除2，除2）同學(xué)們可以按以下技巧去記憶若前系數(shù)相同周期，如（） 相反對(duì)稱，若前系數(shù)相同軸對(duì)稱，如（關(guān)于軸對(duì)稱） 若前系數(shù)相反中心對(duì)稱，如（關(guān)于中心對(duì)稱）周期與對(duì)稱的關(guān)系：若的圖像有兩條對(duì)稱軸和()，則為周期函數(shù)，為一個(gè)周期.（告知周期和其中一條對(duì)稱軸，可以寫出其他相鄰的對(duì)稱軸.）若的圖

6、像有兩個(gè)對(duì)稱中心和 ()，則為周期函數(shù)，為一個(gè)周期.（告知周期和其中一個(gè)對(duì)稱中心，可以寫出其他相鄰的對(duì)稱中心.）若的圖像有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心 ()，則為周期函數(shù)，為一個(gè)周期.第4講 函數(shù)的性質(zhì)強(qiáng)化訓(xùn)練 一、選擇題1在區(qū)間上為增函數(shù)的是（  ） A  B C D2函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，的取值范圍（）  A  B C   D 3如果偶函數(shù)在具有最大值，那么該函數(shù)在有（  ）  A最大值 B最小值 C 沒有最大值 D 沒有最小值4函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則的遞增區(qū)間是（  ）A  B C

7、60; D5定義在R上的偶函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上為遞增，則（ ）  A  B  C D6已知在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)，若，則下列正確的是（  ）  A B   C D二、填空題.7函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且，則當(dāng)，  .8函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間為  ，最大值和最小值的情況為 .三、解答題9（12分）已知，求函數(shù)得單調(diào)遞減區(qū)間.  10（12分）已知，求.第4講 函數(shù)的性質(zhì)一、單調(diào)性與最大（?。┲担?）函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自

8、變量的值x1、x2,當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象上升為增）（4）利用復(fù)合函數(shù)如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1< x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)（1）利用定義（2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性（3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè)區(qū)間圖象下降為減）（4）利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)對(duì)

9、于復(fù)合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增；若為減，為減，則為增；若為增，為減，則為減；若為減，為增，則為減（2）對(duì)鉤函數(shù)的圖象與性質(zhì)分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)（3）最大（?。┲刀x 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作二、奇偶性（4）函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性 質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)（1）

10、利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則若函數(shù)為偶函數(shù)，則；奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù) 奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間

11、上具有相反的單調(diào)性.三、周期性 1.周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有_,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.2.函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).(2)若f(x+a)= ,則T=2a(a>0).(3)若f(x+a)= ,則T=2a(a>0).題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷例1(1)判斷函數(shù)f(x)(a>0)在x(1,1)上的單調(diào)性.利用定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)取值:設(shè)x1,x2是定義區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值,且x1

12、<x2.(2)作差、變形:作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1),并通過因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形.(3)定號(hào):確定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)的符號(hào),當(dāng)符號(hào)不確定時(shí),可以進(jìn)行分類討論.(4)判斷:根據(jù)定義作出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練1(1)判斷函數(shù)f(x)x (a>0)在(0，)上的單調(diào)性.(2)求函數(shù)y 的單調(diào)區(qū)間.(3)如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 題型二求函數(shù)的最值(值域)例2 (1)函數(shù) 的最小值為.1(2)函數(shù) 的值域?yàn)?例3(1)如果函數(shù)f(x)ax22x3在

13、區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(,4)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x ，因?yàn)閒(x)在(，4)上單調(diào)遞增，題型三函數(shù)奇偶性的判斷例3.判斷下列函數(shù)的奇偶性:f(x)= f(x)=;題型四函數(shù)的周期性及其應(yīng)用例4.（1）設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+4)=f(x).當(dāng)x0,2時(shí),f(x)=2x-x2,則f(2017)= .1（2）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ,且f(1)=3,則f(2017)=.3（3）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.，當(dāng)x<0時(shí)， ；

14、當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)， .則f(6)= （ D ）（A）2 （B）1 （C）0 （D）2 （4）已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，則= .來源:Z_xx_k.Com 【答案】-2 【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上周期為2的奇函數(shù)，所以，所以，即，所以. 解題思路 函數(shù)性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)問題，主要掌握1.理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義.2.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.這類試題括確定函數(shù)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性求值域、最值，比較或應(yīng)用函數(shù)值大小，是高考的熱點(diǎn)及重點(diǎn).常與函數(shù)的圖象及其他性質(zhì)交匯命題.1. 求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的方法(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性.(2)定義法：先

15、求定義域，再利用單調(diào)性定義.(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4)復(fù)合函數(shù)yfg(x)根據(jù)“同增異減”判斷.2.函數(shù)的周期性及其應(yīng)用判斷函數(shù)的周期只需證明便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題.3.對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的考查，一般不會(huì)單純地考查某一個(gè)性質(zhì)，而是對(duì)奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查，主要考查學(xué)生的綜合能力、創(chuàng)新能力、數(shù)形結(jié)合的能力.4.函數(shù)的周期性與對(duì)稱性性質(zhì)總結(jié)：周期性：對(duì)任意的，都有，則叫做函數(shù)的周期.若，周期； 若（相反），周期；若()（互倒），周期； 若()（反倒），周期；

16、若，周期； 若，周期.5.比較周期性與對(duì)稱性： 若()，則；（巧記：消去） 若，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；（巧記：消去，相加除2） 若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（巧記：消去，相加除2） 若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（巧記：消去，相加除2，除2）同學(xué)們可以按以下技巧去記憶若前系數(shù)相同周期，如（） 相反對(duì)稱，若前系數(shù)相同軸對(duì)稱，如（關(guān)于軸對(duì)稱） 若前系數(shù)相反中心對(duì)稱，如（關(guān)于中心對(duì)稱）周期與對(duì)稱的關(guān)系：若的圖像有兩條對(duì)稱軸和()，則為周期函數(shù)，為一個(gè)周期.（告知周期和其中一條對(duì)稱軸，可以寫出其他相鄰的對(duì)稱軸.）若的圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心和 ()，則為周期函數(shù)，為一個(gè)周期.（告知周期和其中一個(gè)對(duì)稱中心，可以寫出其他

17、相鄰的對(duì)稱中心.）若的圖像有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心 ()，則為周期函數(shù)，為一個(gè)周期.第4講 函數(shù)的性質(zhì)強(qiáng)化訓(xùn)練 1、 選擇題1在區(qū)間上為增函數(shù)的是（  ） A  B C D2函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，的取值范圍（）  A  B C   D 3如果偶函數(shù)在具有最大值，那么該函數(shù)在有（  ）  A最大值 B最小值 C 沒有最大值 D 沒有最小值4函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則的遞增區(qū)間是（  ）A  B C  D5定義在R上的偶函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上為遞增，則（ ）  A  B  C D6已知在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)，若，則下列正確的是（  ）  A B   C D二、