第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖

1、高中數(shù)學一輪復習學案will立 體 幾 何教師: 學生: 日期:2013-5- 星期: 時段: 課 題 第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖學習內(nèi)容與過程1多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱(2)棱錐(3)棱臺棱錐被平行于棱錐底面的平面所截，截面與底面之間的部分2旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形一條直角邊所在的直線圓臺直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線3直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法(2)規(guī)則：原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45°(或135°)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直原圖形中平行

2、于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?三視圖(1)幾何體的三視圖包括正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線(2)三視圖的畫法基本要求：長對正，高平齊，寬相等畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線1臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點2空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同3對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實虛線的畫法試一試1沿一個正方體

3、三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()解析：選B給幾何體的各頂點標上字母，如圖1.A，E在側(cè)投影面上的投影重合，C，G在側(cè)投影面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2所示，故正確選項為B(而不是A)圖1圖22用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為116，截去的圓錐的母線長是3 cm，則圓臺的母線長為_ cm.解析：抓住軸截面，利用相似比，由底面積之比為116，設半徑分別為r,4r.設圓臺的母線長為l，截得圓臺的上、下底面半徑分別為r、4r.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，解得l9.所以，圓臺的母線長為9 cm.答案

4、：91由三視圖還原幾何體的方法 2斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”“三不變”3按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關系S直觀圖S原圖形，S原圖形2S直觀圖4轉(zhuǎn)化與化歸思想利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決棱臺、圓臺的有關問題由棱臺和圓臺的定義可知棱臺和圓臺是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺和圓臺的相關問題時，?！斑€臺為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想練一練1如圖是兩個全等的正三角形，給定下列三個命題：存在四棱錐，其正視圖、側(cè)視圖如圖；存在三棱錐，其正視圖、側(cè)視圖如圖；存在圓錐，其正視圖、側(cè)視圖如圖其中真命題的個數(shù)是()A3B2C1 D0

5、解析：選A對于，存在斜高與底邊長相等的正四棱錐，其正視圖與側(cè)視圖是全等的正三角形對于，存在如圖所示的三棱錐S ­ABC，底面為等腰三角形，其底邊AB的中點為D，BC的中點為E，側(cè)面SAB上的斜高為SD，且CBABSDSE，頂點S在底面上的射影為AC的中點，則此三棱錐的正視圖與側(cè)視圖是全等的正三角形對于，存在底面直徑與母線長相等的圓錐，其正視圖與側(cè)視圖是全等的正三角形所以選A.2已知正三角形ABC的邊長為2，那么ABC的直觀圖ABC的面積為_解析：如圖，圖、圖所示的分別是實際圖形和直觀圖從圖可知，ABAB2，OCOC，CDOCsin 45°×.所以SABCAB

6、83;CD×2×.答案：考點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是()A圓柱B圓錐C球體 D圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體選C.2下列結(jié)論正確的是()A各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長都相等，則該棱錐可能是六棱錐D圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線解析：選DA錯誤，如圖1是由兩個相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，它的各個面都是三角形，但它不是三棱錐；B

7、錯誤，如圖2，若ABC不是直角三角形，或ABC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐；C錯誤，若該棱錐是六棱錐，由題設知，它是正六棱錐易證正六棱錐的側(cè)棱長必大于底面邊長，這與題設矛盾 圖1圖23設有以下四個命題：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；底面是矩形的平行六面體是長方體；直四棱柱是直平行六面體；棱臺的相對側(cè)棱延長后必交于一點其中真命題的序號是_解析：命題符合平行六面體的定義，故命題是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題是錯誤的；因為直四棱柱的底面不一定是平行四邊形，故命題是錯誤的；命題由棱臺的定義知是正確的答案： 類題通法解決此類題目需準確理解

8、定義，把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并學會通過反例對概念進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，設法舉出反例否定即可考點二幾何體的三視圖典例(2013·四川高考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是() 解析由于俯視圖是兩個圓，所以排除A，B，C，故選D.答案 D類題通法根據(jù)幾何體畫三視圖，要嚴格按以下幾點執(zhí)行(1)三視圖的安排位置，正視圖、側(cè)視圖分別放在左右兩邊，俯視圖在正視圖的下邊(2)注意實虛線的區(qū)別針對訓練1(2014·山西模擬)如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長和底邊長均為2，且側(cè)棱AA1平面A1B1C1，正視圖是邊長為2的正方形，該三棱柱的側(cè)視圖的面積為()A4

9、 B2C2 D.解析：選B依題意得，該幾何體的側(cè)視圖是邊長分別為2和的矩形，因此其側(cè)視圖的面積為2，選B.2(2014·吉林質(zhì)檢)已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同，如圖所示，其中ABAC，四邊形BCDE為矩形，則該組合體的俯視圖可以是_(把你認為正確的圖的序號都填上)解析：直觀圖如圖1的幾何體(上部是一個正四棱錐，下部是一個正四棱柱)的俯視圖為；直觀圖如圖2的幾何體(上部是一個正四棱錐，下部是一個圓柱)的俯視圖為；直觀圖如圖3的幾何體(上部是一個圓錐，下部是一個圓柱)的俯視圖為；直觀圖如圖4的幾何體(上部是一個圓錐，下部是一個正四棱柱)的俯視圖為.答案：考點三幾何體的直觀圖典例如圖所

10、示，ABC是ABC的直觀圖，且ABC是邊長為a的正三角形，求ABC的面積解建立如圖所示的坐標系xOy，ABC的頂點C在y軸上，邊AB在x軸上，把y軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，在y軸上取點C使OC2OC，A，B點即為A，B點，長度不變已知ABACa，在OAC中，由正弦定理得，所以OCaa，所以原三角形ABC的高OCa，所以SABC×a×aa2. 類題通法對于幾何體的直觀圖，除掌握斜二測畫法外，記住原圖形面積S與直觀圖面積S之間的關系SS，能更快捷地進行相關問題的計算針對訓練等腰梯形ABCD，上底CD1，腰ADCB，下底AB3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法

11、畫出的直觀圖ABCD的面積為_解析：OE 1，OE，EF，直觀圖ABCD的面積為S×(13)×.答案：1.(2014·青島模擬)將長方體截去一個四棱錐后，得到的幾何體的直觀圖如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為()2三視圖如圖所示的幾何體是()A三棱錐B四棱錐C四棱臺D三棱臺3(2013·鄭州模擬)一個錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是()4給出下列四個命題：各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；對角面是全等矩形的六面體一定是長方體；有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；長方體一定是正四棱柱其中正確的命題個數(shù)是()A0 B

12、1 C2 D35.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸已知四邊形ABCD的面積為2 cm2，則原平面圖形的面積為()A4 cm2 B4 cm2 C8 cm2 D8 cm26(2014·江西九校聯(lián)考)如圖，三棱錐V ­ABC的底面為正三角形，側(cè)面VAC與底面垂直且VAVC，已知其正視圖的面積為，則其側(cè)視圖的面積為()A. B. C. D.7(2014·江西八校聯(lián)考)底面水平放置的正三棱柱的所有棱長均為2，當其正視圖有最大面積時，其側(cè)視圖的面積為()A2 B3C. D48(2013·東莞調(diào)研)已知三棱錐的正視圖與俯

13、視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()9一個幾何體的三視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為_10給出下列命題：在正方體上任意選擇4個不共面的頂點，它們可能是正四面體的4個頂點；底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱其中正確命題的序號是_11.一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為，則這個幾何體的俯視圖可能是下列圖形中的_(填入所有可能的圖形前的編號)銳角三角形；直角三角形；四邊形；扇形；圓12.(2013·合肥檢測)已知正四面體(所有棱長都相等的三棱錐)的俯視圖如圖所示，其中四邊

14、形ABCD是邊長為2 cm的正方形，則這個正四面體的正視圖的面積為_cm2.12已知：圖是截去一個角的長方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖是某幾何體的三視圖，試說明該幾何體的構(gòu)成13已知正三棱錐V ­ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積【試題答案】1選C長方體的側(cè)面與底面垂直，所以俯視圖是C.2選B由三視圖知該幾何體為一四棱錐，其中有一側(cè)棱垂直于底面，底面為一直角梯形3選C注意到在三視圖中，俯視圖的寬度應與側(cè)視圖的寬度相等，而在選項C中，其寬度為，與題中所給的側(cè)視圖的寬度1不相等，因此選C.4選A反例：直平行六面體底面是菱形，滿足

15、條件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，滿足條件但不是長方體；顯然錯誤，故選A.5選C依題意可知BAD45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC、AD相等，高為梯形ABCD的高的2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm2.6選B由題意知，該三棱錐的正視圖為VAC，作VOAC于O，連接OB，設底面邊長為2a，高VOh，則VAC的面積為×2a×hah.又三棱錐的側(cè)視圖為RtVOB，在正三角形ABC中，高OBa，所以側(cè)視圖的面積為OB·OV×a×hah×.7選A當正視圖的面積最大時，可知其正三棱柱某個側(cè)面的面積，可以按如圖所

16、示放置，此時S側(cè)2.8選B由三視圖間的關系，易知其側(cè)視圖是一個底邊為，高為2的直角三角形，故選B.9解析：依題意得設幾何體的側(cè)視圖面積為22×2×4.答案：410解析：正確，正四面體是每個面都是等邊三角形的四面體，如正方體ABCD ­A1B1C1D1中的四面體ACB1D1；錯誤，反例如圖所示，底面ABC為等邊三角形，可令ABVBVCBCAC，則VBC為等邊三角形，VAB和VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；錯誤，必須是相鄰的兩個側(cè)面答案：11解析：如圖1所示，直三棱柱ABE ­A1B1E1符合題設要求，此時俯視圖ABE是銳角三角形；如圖2所示，直三棱柱ABC ­A1B1C1符合題設要求，此時俯視圖ABC是直角三角形；如圖3所示，當直四棱柱的八個頂點分別是正方體上、下各邊的中點時，所得直四棱柱ABCD­A1B1C1D1符合題設要求，此時俯視圖(四邊形ABCD)是