第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性與線性無關(guān)性ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性與線性無關(guān)性與線性無關(guān)性 定義定義1 1 設(shè)設(shè)1 1 ，2 2 ，m m ，是一組是一組n n維向量，維向量，若存在若存在m m個實數(shù)個實數(shù) k1 k1 ，k2 k2 ，kmkm使得使得 = k11 + k2 2 + + km m = k11 + k2 2 + + km m ，則稱，則稱可以可以由由1 1 ，2 2 ，mm線性表示線性表示( linear ( linear representation )representation )。或稱?；蚍Q1 1 ，2 2 ，mm線性線性表示表示(linear generate)(linear gene

2、rate)。 例如：例如：1 = (1, 2, 0) T1 = (1, 2, 0) T，2 = (1, 0, 3) T,2 = (1, 0, 3) T, 3 = (3, 4, 3)T 3 = (3, 4, 3)T，則，則3 = 21 + 2 3 = 21 + 2 ，即存在，即存在實數(shù)實數(shù)k1k12 2，k2k21 1使得使得3 = k11 + k223 = k11 + k22，故，故33可以由可以由1 1 ，22線性表示。（大家想一想，這里的常線性表示。（大家想一想，這里的常數(shù)數(shù)k1 k1 2 2，k2k21 1是怎么求出來的？）是怎么求出來的？） 定義定義2 2 設(shè)設(shè)1 1 ，2 2 ，mm

3、是一組是一組n n維向量，維向量，如果存在如果存在m m個不全為個不全為0 0的常數(shù)的常數(shù)k1k1，k2k2，kmkm使得使得k1 1 + k2 2 + + km m = 0k1 1 + k2 2 + + km m = 0，則稱向量組，則稱向量組1 1 ，2 2 ，mm線性相關(guān)線性相關(guān)(linearly (linearly dependent)dependent)；否則，稱向量組；否則，稱向量組11，22，mm線性無關(guān)。線性無關(guān)。 例例1 1 若一個向量組僅由一個向量若一個向量組僅由一個向量組成，組成， 則則由定義由定義2 2 易知它線性相關(guān)的充要條件是易知它線性相關(guān)的充要條件是 = 0 =

4、0 。 例例2 2 若一個向量組僅由若一個向量組僅由，兩個向量組成，兩個向量組成，則則，線性相關(guān)是指線性相關(guān)是指，這兩個向量的分量對這兩個向量的分量對應(yīng)成比例，換句話說，即是指應(yīng)成比例，換句話說，即是指與與平行或平行或，共線。共線。 證明：證明： ，線性相關(guān)線性相關(guān) 存在不全為存在不全為0 0的兩個的兩個數(shù)數(shù)k1k1，k2k2使得使得k1 + k2 = 0 k1 + k2 = 0 ，不妨假設(shè)，不妨假設(shè)k1 k1 0 0，則由，則由k1 + k2 = 0 k1 + k2 = 0 知知 = , = , 此即說明此即說明 ，的分量對應(yīng)成比例。的分量對應(yīng)成比例。 注：注： 類似可以證明，若一個向量組僅

5、由類似可以證明，若一個向量組僅由，三個向量構(gòu)成，則三個向量構(gòu)成，則，線性相關(guān)的充要條件線性相關(guān)的充要條件是是 ， ，共面。共面。 上述定義上述定義2 2是通過否定線性相關(guān)來給出線性無關(guān)的是通過否定線性相關(guān)來給出線性無關(guān)的定義，下面我們將用肯定的表述來說明線性無關(guān)這個定義，下面我們將用肯定的表述來說明線性無關(guān)這個概念。為此，我們先檢查線性相關(guān)的定義。稱概念。為此，我們先檢查線性相關(guān)的定義。稱11，22，m m 線性相關(guān)是指存在不全為線性相關(guān)是指存在不全為0 0的的m m個常數(shù)個常數(shù)k1k1，k2k2，kmkm使得使得k1 1 + k2 2 + + km m = k1 1 + k2 2 + + k

6、m m = 0 , 0 , 這即是說：以這即是說：以k1k1，k2k2，kmkm為未知數(shù)的方程為未知數(shù)的方程實際上，若按向量的分量來看，這是一個方程組）：實際上，若按向量的分量來看，這是一個方程組）： k1 1 + k2 2 + +km m = 0 k1 1 + k2 2 + +km m = 0 有非零解有非零解k1 k1 ，k2 k2 ，kmkm）。）。因此，我們有下述幾種等價說法：因此，我們有下述幾種等價說法：11，22，mm線性無關(guān)線性無關(guān) 以以k1k1，k2k2，kmkm為未知數(shù)的方程為未知數(shù)的方程k11 + k2 2 k11 + k2 2 + + km m = 0+ + km m =

7、 0沒有非零解沒有非零解 k11 + k2 2 + + km m = 0k11 + k2 2 + + km m = 0只有零只有零 解：解：k1 = k2 = = km = 0k1 = k2 = = km = 0由由k11 + k2 2 + + km m = 0k11 + k2 2 + + km m = 0一定可以一定可以推出推出 k1 = k2 = = km = 0k1 = k2 = = km = 0若若k1k1，k2k2，kmkm不全為不全為0 0，則必有，則必有k11 + k2 k11 + k2 2 + + km m 2 + + km m 0 0。 留意：留意： 對線性無關(guān)這個概念的理解

8、，要多多思對線性無關(guān)這個概念的理解，要多多思考?；蛟S有同學(xué)這樣認(rèn)為：考?；蛟S有同學(xué)這樣認(rèn)為：1，2，m線性線性無關(guān)是指當(dāng)系數(shù)無關(guān)是指當(dāng)系數(shù)k1，k2，km全為全為0時，有時，有k11 + k2 2 + + km m = 0。實際上，這種看法是。實際上，這種看法是錯誤的。大家想一想，當(dāng)系數(shù)錯誤的。大家想一想，當(dāng)系數(shù)k1 ，k2 ，km全全為為0時時 ，k11 + k2 2 + + km m 當(dāng)然是零向當(dāng)然是零向量量, 這與這與1，2，m線性相關(guān)或線性無關(guān)沒有線性相關(guān)或線性無關(guān)沒有任何聯(lián)系。任何聯(lián)系。 從上述關(guān)于線性無關(guān)的幾種等價說法可以看出：從上述關(guān)于線性無關(guān)的幾種等價說法可以看出：1，2，m線

9、性無關(guān)是指，只有當(dāng)線性無關(guān)是指，只有當(dāng)k1= k2 = = km = 0時才有時才有k11 + k2 2 + + km m = 0?；蛘邠Q句話說，在?；蛘邠Q句話說，在k11 + k2 2 + + km m = 0這個條件這個條件下，一定可以推出下，一定可以推出k1= k2 = = km = 0。實際上，以后我們證明一個向量組線性無關(guān)時，。實際上，以后我們證明一個向量組線性無關(guān)時，一般均采用此觀點，即先假設(shè)一般均采用此觀點，即先假設(shè)k11 + k2 2 + + km m = 0，然后在此假設(shè)條件下去證明，然后在此假設(shè)條件下去證明k1= k2 = = km = 0. 例例 設(shè)設(shè)e1 = (1, 0

10、, 0 )T, e2 = (0, 1, 0 ) T, e3 = (0, 0, 1) T, 證明：證明：e1, e2 , e3線性無關(guān)。線性無關(guān)。 證明：如果存在數(shù)證明：如果存在數(shù)k1 ，k2 ，k3使得使得 k1 e1 + k2 e2 + k3 e3 = 0，即，即 通過左邊的數(shù)乘和加法，上述等式即是通過左邊的數(shù)乘和加法，上述等式即是123100001000010kkk 123000kkk 所以所以 k1= k2 = k3 =0 k1= k2 = k3 =0 。 因此，因此，e1, e2 , e3 e1, e2 , e3 線性無關(guān)。線性無關(guān)。 定理定理1 1 向量組向量組11，22，m ( m

11、 2 ) m ( m 2 ) 線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個向量線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其余可以由其余m m1 1個向量線性表示。個向量線性表示。 證明：先證必要性。證明：先證必要性。 由于由于 11，22，mm線性相關(guān)，所以存線性相關(guān)，所以存在不全為在不全為0 0的的m m個常數(shù)個常數(shù)k1 , k2 , ,kmk1 , k2 , ,km使得使得k11 + k2 2 + + km m = 0k11 + k2 2 + + km m = 0。不妨設(shè)。不妨設(shè) k10, k10, 那么那么v 此即說明此即說明1可以由可以由2，3，m線性表線性表示示 .v 再證充分性。再

12、證充分性。v 不妨設(shè)不妨設(shè)1可以由可以由2，3，m線性表示，線性表示，即存在即存在m1個常數(shù)我們不妨設(shè)為個常數(shù)我們不妨設(shè)為k2，k3，km 使得使得v 1 k2 2 + k33 + + km m v即即 (1)1+ k2 2 + k3 3 + km m = 0。 32123111mmkkkkkk 且且 1 1，k2k2，k3k3，kmkm這這m m個數(shù)不全為個數(shù)不全為0 0至少至少1 1不為不為0 0），故），故1, 21, 2，33，mm線性相關(guān)。證畢。線性相關(guān)。證畢。 定理定理1 1 指出了向量組的線性相關(guān)性與其中某指出了向量組的線性相關(guān)性與其中某一個向量可用其它向量線性表示之間的聯(lián)系。但

13、它一個向量可用其它向量線性表示之間的聯(lián)系。但它并沒有斷言究竟是哪一個向量可由其它向量線性表并沒有斷言究竟是哪一個向量可由其它向量線性表示。下面的定理示。下面的定理2 2即回答了這樣一個問題當(dāng)然是即回答了這樣一個問題當(dāng)然是在更強(qiáng)的條件下）。在更強(qiáng)的條件下）。 定理定理2 設(shè)設(shè) （1） 向量組向量組1, 2，3，m，線性相關(guān)；線性相關(guān)；（2） 向量組向量組1, 2，3，m線性無關(guān)，線性無關(guān)，則向量則向量可以由可以由1, 2，3，m線性表示，且線性表示，且表示式唯一。表示式唯一。證證: 由由1, 2，3，m，線性相關(guān)知存在線性相關(guān)知存在m1個不全為個不全為0的常數(shù)的常數(shù)k1，k2，k3，km，km+

14、1使得使得 k11 + k22 + k3 3 + km m + km+1 = 0 , 要證明要證明可由可由1，2，m線性表示，只須證明線性表示，只須證明km+10即可。因為若即可。因為若km+10，那么，那么 下面用反證法證明下面用反證法證明 km+10. 假設(shè)假設(shè)km+1= 0，則有不全為，則有不全為0的的m個數(shù)個數(shù)k1,k2，km 使使得得k11 + k2 2 + + km m = 0, 這與這與1，2，m線性無關(guān)矛盾！線性無關(guān)矛盾！1212111mmmmmkkkkkk 下面再證明表示式唯一。設(shè)有兩個表示式：下面再證明表示式唯一。設(shè)有兩個表示式： = k11 + k2 2 + + km m

15、 = k11 + k2 2 + + km m及及 = l11 + l2 2 + + lm m = l11 + l2 2 + + lm m則兩式相減就有則兩式相減就有0 = (k10 = (k1l1)1+ (k2l1)1+ (k2l2)2 + (k3l2)2 + (k3l3 )3 l3 )3 + + + + (km (kmlm )mlm )m，由由11，22，m m 線性無關(guān)線性無關(guān), , 知知(k1(k1l1 ) = (k2l1 ) = (k2l2 ) = = (kml2 ) = = (km lm ) = 0lm ) = 0，即即k1= l1, k2= l2 , , km= lmk1= l1,

16、 k2= l2 , , km= lm故表示式唯一。故表示式唯一。 定理定理3 3 若向量組若向量組1, 21, 2，33，mm線性相線性相 關(guān)，則向量組關(guān)，則向量組1, 21, 2，33，mm， m+1m+1，nn也線性相關(guān)。也線性相關(guān)。證證: : 設(shè)設(shè)1, 21, 2，33，mm線性相關(guān)，則有不線性相關(guān)，則有不全為全為0 0的的m m個數(shù)個數(shù)k1k1，k2k2，km km 使得使得k11 + k2 2 + + km m = 0, k11 + k2 2 + + km m = 0, 從而從而k11 + k2 2 + + km m+0m+1 +k11 + k2 2 + + km m+0m+1 +0

17、n = 0. 0n = 0. 因為因為k1k1，k2k2，kmkm，0, 0, ，0 0這這n n個數(shù)不全為個數(shù)不全為0 0（因為（因為k1k1，k2k2，kmkm不全為不全為0 0），故），故1, 21, 2，33，mm，m+1m+1，nn線性相關(guān)。線性相關(guān)。定理定理3 即是說，如果已知一個向量組線性相關(guān)，即是說，如果已知一個向量組線性相關(guān)， 則在此基礎(chǔ)上增加一些同維數(shù)的向量，得到則在此基礎(chǔ)上增加一些同維數(shù)的向量，得到 的新的向量組一定線性相關(guān)。的新的向量組一定線性相關(guān)。推論推論1 若某向量組含有零向量，則此向量組一定線若某向量組含有零向量，則此向量組一定線 性相關(guān)。性相關(guān)。 定理定理4 設(shè)

18、兩個向量組設(shè)兩個向量組T1：1, 2，3，n和和 T2：1 ， 2 ,， n，其中，其中 j = (a1j, a2j, ，a mj)T, j = (a1j, a2j, ，a mj, a m+1,j) T, j = 1，2，n. 證證: 反證法。（假設(shè)反證法。（假設(shè)T2線性相關(guān)，證明線性相關(guān)，證明T1線性相關(guān)。）線性相關(guān)。） 若若T2線性相關(guān)，則有不全為線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)的數(shù)k1，k2，kn 使得使得k11 + k2 2 + + kn n = 0,即即 11121n21222n12nm 1,1m 1,2m 1,naaaaaakkk0aaa若向量組若向量組T1：1, 2，3，n線性無關(guān)線性無關(guān),則向量組則向量組T2：1 ， 2 ,， n線性無關(guān)。線性無關(guān)。寫成分量的形式就是寫成分量的形式就是取其前面取其前面m個方程，即個方程，即1111221nn2112222nnm 1,11m 1,22m 1,nna ka ka k0a ka ka k0akakak01111221nn2112222nnm,11m,22m,nna ka ka k0a ka ka k0akakak0寫成向量的形式就是寫成向量的形式就是這即是說對于上