計算機圖形學(xué)B樣條曲面的表達(dá)式

1、2021-12-18計算機圖形學(xué)1第第8章章 曲線和曲面曲線和曲面提出問題提出問題由離散點來近似地決定曲線和曲面，即通過測量或?qū)嶒灥玫揭幌盗杏行螯c列，根據(jù)這些點列需構(gòu)造出一條光滑曲線，以直觀地反映出實驗特性、變化規(guī)律和趨勢等。2021-12-18計算機圖形學(xué)2第第8章章 曲線和曲面曲線和曲面工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀： 初等解析曲面 復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面模線樣板法模線樣板法計算機輔助幾何設(shè)計計算機輔助幾何設(shè)計CAGD（Computer Aided Geometric Design）2021-12-18計算機圖形學(xué)38.1 曲線曲面基礎(chǔ)曲線曲面基礎(chǔ)8.1.1 曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展曲線曲面數(shù)學(xué)描述

2、的發(fā)展 弗格森雙三次曲面片弗格森雙三次曲面片 孔斯雙三次曲面片孔斯雙三次曲面片 樣條方法樣條方法 Bezier方法方法 B樣條方法樣條方法 有理有理Bezier 非均勻有理非均勻有理B樣條方法樣條方法2021-12-18計算機圖形學(xué)48.1.2 曲線曲面的表示要求曲線曲面的表示要求1.唯一性2.幾何不變性3.易于定界4.統(tǒng)一性5.易于實現(xiàn)光滑連接6.幾何直觀2021-12-18計算機圖形學(xué)58.1.3 曲線曲面的表示曲線曲面的表示參數(shù)表示方法的優(yōu)點： 1點動成線2選取具有幾何不變性幾何不變性的參數(shù)曲線曲面表示形式。3斜率 1 , 0 )(ttppdtdxndtdyndtdxmdtdymdxdy

3、/2021-12-18計算機圖形學(xué)64t0,1 ，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的5可對參數(shù)方程直接進(jìn)行仿射和投影變換6參數(shù)變化對各因變量的影響可以明顯地表示出來2021-12-18計算機圖形學(xué)78.1.4 插值和逼近樣條插值和逼近樣條 采用模線樣板法表示和傳遞自由曲線曲面的形狀稱為樣條樣條。 樣條曲線樣條曲線是指由多項式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)條件。 樣條曲面樣條曲面則可以用兩組正交樣條曲線來描述。2021-12-18計算機圖形學(xué)8 曲線曲面的擬合：曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點來指定曲線曲面的形狀時，形狀完全通過給定的型值點列。圖8-1 曲線的擬合2021-12-18計

4、算機圖形學(xué)9 曲線曲面的逼近曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點來指定曲線曲面的形狀時，求出的形狀不必通過控制點列圖8-2 曲線的逼近2021-12-18計算機圖形學(xué)10 求給定型值點之間曲線上的點稱為曲線的插值曲線的插值。 將連接有一定次序控制點的直線序列稱為控制控制多邊形多邊形或特征多邊形特征多邊形圖8-2 曲線的逼近2021-12-18計算機圖形學(xué)118.1.5 連續(xù)性條件連續(xù)性條件假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進(jìn)行描述：t ,t t)(i1i0tppii 參數(shù)連續(xù)性 幾何連續(xù)性2021-12-18計算機圖形學(xué)121.參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性0階參數(shù)連續(xù)性階參數(shù)連續(xù)性，記作C0連續(xù)性，是指曲線的幾何

5、位置連接，即)()(0)1()1(1iiiitptp2021-12-18計算機圖形學(xué)131階參數(shù)連續(xù)性階參數(shù)連續(xù)性記作C1連續(xù)性，指代表兩個相鄰曲線段的方程在相交點處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：)()()()(0)1()1(10)1()1(1iiiiiiiitptptptp且2021-12-18計算機圖形學(xué)142階參數(shù)連續(xù)性階參數(shù)連續(xù)性，記作C2連續(xù)性，指兩個相鄰曲線段的方程在相交點處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。 (a)0階連續(xù)性(b)1階連續(xù)性(c)2階連續(xù)性2021-12-18計算機圖形學(xué)152.幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性0階幾何連續(xù)性階幾何連續(xù)性，記作G0連續(xù)性，與0階參數(shù)連續(xù)性的定義相同，滿足： 1階幾

6、何連續(xù)性階幾何連續(xù)性，記作G1連續(xù)性，指一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點處成比例2階幾何連續(xù)性階幾何連續(xù)性，記作G2連續(xù)性，指相鄰曲線段在交點處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。)()(0)1()1(1iiiitptp2021-12-18計算機圖形學(xué)168.1.6 樣條描述樣條描述0,1 t)()()(011220112201122ctctctctzbtbtbtbtyatatatatxnnnnnnn次樣條參數(shù)多項式曲線的矩陣：2021-12-18計算機圖形學(xué)170,1 t 1)()()()(000111GMTCTcbacbacbatttztytxtpSnnnn基矩陣基矩陣幾何約束條件幾何約束條件基函數(shù)基函數(shù)(b

7、lenging function)，或稱混合函數(shù)混合函數(shù)。2021-12-18計算機圖形學(xué)188.2 三次樣條三次樣條給定n+1個點，可得到通過每個點的分段三次多項式曲線： 0,1 t )()()(232323zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx2021-12-18計算機圖形學(xué)198.2.1 自然三次樣條自然三次樣條定義定義：給定n+1個型值點，現(xiàn)通過這些點列構(gòu)造一條自然三次參數(shù)樣條曲線，要求在所有曲線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，即自然三次樣條具有自然三次樣條具有C2連續(xù)性連續(xù)性。還需要兩個附加條件才能解出方程組2021-12-1

8、8計算機圖形學(xué)20 特點特點：1.只適用于型值點分布比較均勻的場合2.不能“局部控制” 2021-12-18計算機圖形學(xué)218.2.2 三次三次Hermite樣條樣條定義定義：假定型值點Pk和Pk+1之間的曲線段為p(t),t0,1，給定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，則滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三三次次Hermite樣條曲線樣條曲線： 11) 1 (,)0() 1 (,)0(kkkkRpRpPpPp2021-12-18計算機圖形學(xué)22推導(dǎo)推導(dǎo)：CTdcbatttdddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx 1 1)(23232021-12-18計算機圖形學(xué)23 hhkkk

9、kkkkkGMRRPPRRPPdcbaC1111100010100123311220123010011111000Mh是是Hermite矩陣矩陣。Gh是是Hermite幾何矢量幾何矢量。2021-12-18計算機圖形學(xué)24三次三次Hermite樣條曲線的方程為樣條曲線的方程為：0,1 t )(hhGMTtp0001010012331122123tttMTh2021-12-18計算機圖形學(xué)25 通常將TMk稱為Hermite基函數(shù)（或稱混合函數(shù)，基函數(shù)（或稱混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)）： )(2)(32)(132)(233232231230tttHttttHtttHtttH)()()()()(3

10、12110tHRtHRtHPtHPtpkkkk2021-12-18計算機圖形學(xué)26H(t)t10.20.40.60.80.20.40.60.81-0.2H0(t)H1(t)H2(t)H3(t)圖8-4 Hermite基函數(shù)2021-12-18計算機圖形學(xué)27特點分析特點分析：1.可以局部調(diào)整，因為每個曲線段僅依賴于端點約束。2.基于Hermite樣條的變化形式：Cardinal樣條和Kochanek-Bartels樣條3.Hermite曲線具有幾何不變性2021-12-18計算機圖形學(xué)288.3 Bezier曲線曲面曲線曲面8.3.1 Bezier曲線的定義曲線的定義圖8-5 Bezier曲線

11、的例子2021-12-18計算機圖形學(xué)29定義定義：Bernstein基函數(shù)基函數(shù)具有如下形式：注意：當(dāng)k=0，t=0時，tk=1，k!=1。 nknkktBENPtp0,0,1 t)()(n,0,1,k 11!)(,knkknknknkttCttknkntBEN2021-12-18計算機圖形學(xué)301一次一次Bezier曲線曲線(n=1) 0,1 t )1 ()()(10101 ,kkktPPttBENPtp2021-12-18計算機圖形學(xué)312二次二次Bezier曲線曲線(n=2) 001201222102202,)(2)2( 0,1 t )1 (2)1 ( )()(PtPPtPPPPtPt

12、tPttBENPtpkkk21020010221211)(PPPtttp2021-12-18計算機圖形學(xué)323三次三次Bezier曲線曲線(n=3) 33 , 323 , 213 , 103 , 033221203303 ,)()()()( 0,1t )1 (3)1 (3)1 ( )()(PtBENPtBENPtBENPtBENPtPttPttPttBENPtpkkk33 , 323 , 223 , 133 , 0)()1 (3)()1 (3)()1 ()(ttBENtttBENtttBENttBEN2021-12-18計算機圖形學(xué)33圖8-6 三次Bezier曲線四個Bezier基函數(shù)0tB

13、0,3(t)B3,3(t)B1,3(t)B2,3(t)2021-12-18計算機圖形學(xué)34bebeGMTPPPPttttp 0,1 t 00010033036313311)(3210232021-12-18計算機圖形學(xué)358.3.2 Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)1端點端點 0, 11, 000, )0()0()0( )0()0(PBENPBENPBENPBENPpnnnnnnknkknnnnnnnknkkPBENPBENPBENPBENPp ) 1 () 1 () 1 ( ) 1 () 1 (, 11, 000,2021-12-18計算機圖形學(xué)362一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù) )()()1 ()!)

14、 1(!)!1()1 ()!1() 1()!1()!1()1)()1 ()!( !)(1,1, 1)1()1()1(111,tBENtBENnttknknnttknknnttknttkknkntNBEnknkknkknkkknknknk2021-12-18計算機圖形學(xué)37nknkkknnnnnnnknknkktBENPPntBENPPtBENPPtBENPPntBENtBENPntp11, 111, 111, 1121, 00101,1, 1)()()()()()()()()()()()()0(01PPnp)() 1 (1nnPPnp2021-12-18計算機圖形學(xué)38 三次Bezier曲線段

15、在起始點和終止點處的一階導(dǎo)數(shù)為：)(3) 1 ()(3)0(2301PPpPPp2021-12-18計算機圖形學(xué)393二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) 三次Bezier曲線段在起始點和終止點處的二階導(dǎo)數(shù)為：)()(1() 1 ()()(1()0(1120112nnnnPPPPnnpPPPPnnp )2(6) 1 ()2(6)0(321210PPPpPPPp 2021-12-18計算機圖形學(xué)404對稱性對稱性5凸包性凸包性6幾何不變性幾何不變性7變差減少性變差減少性8控制頂點變化對曲線形狀的影響控制頂點變化對曲線形狀的影響0)1 ()!( !)(,knknkttknkntBEN1)1()1 ()!( !)(00

16、,nknknknknkttttknkntBEN2021-12-18計算機圖形學(xué)418.3.3 Bezier曲線的生成曲線的生成1繪圖一段繪圖一段Bezier曲線曲線knCnknknknCknkn 1)!( !1nknkknknkknknkktBENztztBENytytBENxtx0,0,0,)()(0,1 t )()()()(2021-12-18計算機圖形學(xué)422Bezier曲線的拼接曲線的拼接問題的提出問題的提出：如何保證連接處具有G1和G2連續(xù)性。在兩段三次Bezier曲線間得到G1連續(xù)性為實現(xiàn)G1連續(xù)，則有：)(3)0()(3) 1 (012231QQpPPp) 1 ()0(12pp)

17、(2301PPQQ亦即：2021-12-18計算機圖形學(xué)43 在兩段三次Bezier曲線間得到G2連續(xù)性：)2()2() 1 ()0(32121012PPPQQQpp 圖8-7 兩段三次Bezier曲線的連接P0P1P2P3(Q0)Q1Q2Q32021-12-18計算機圖形學(xué)448.3.4 Bezier曲面曲面1Bezier曲面曲面定義定義：0,10,1v)(u, )()(),(00,minjnjmijivBENuBENPvupBENi,m(u)與BENj,n(v)是Bernstein基函數(shù)基函數(shù)： jnjjnnjimiimmivvCvBENuuCuBEN)1 ()()1 ()(,2021-1

18、2-18計算機圖形學(xué)45 2021-12-18計算機圖形學(xué)461雙線性雙線性Bezier曲面曲面(m=n=1) 0,10,1v)(u, )()(),(10101 ,1 ,ijjijivBENuBENPvup1 , 10, 11 , 00, 0)1 ( )1 ()1)(1 (),(uvPPvuvPuPvuvup2021-12-18計算機圖形學(xué)472雙二雙二次次Bezier曲面曲面(m=n=2) 0,10,1v)(u, )()(),(20202,2,ijjijivBENuBENPvup2021-12-18計算機圖形學(xué)483雙三雙三次次Bezier曲面曲面(m=n=3)0,10,1v)(u, )()

19、(),(30303 ,3 ,ijjijivBENuBENPvup2021-12-18計算機圖形學(xué)49圖8-9 雙三次Bezier曲面及其控制網(wǎng)格P0,0P3,0P0,3P3,3P1,0P2,0P0,1P0,2P1,1P2,1P3,1P1,2P2,2P2,3P1,3P2,32021-12-18計算機圖形學(xué)50 其中TTbebeVPMUMvup),(123uuuU 123vvvV 0001003303631331beM3 , 32, 31 , 30 , 33 , 22, 21 , 20 , 23 , 12, 11 , 10 , 13 , 02, 01 , 00 , 0PPPpPPPPPPPPPPP

20、PP2021-12-18計算機圖形學(xué)51性質(zhì)性質(zhì)：1控制網(wǎng)格的四個角點正好是Bezier曲面的四個角點，nmnmPpPpPpPp, 00,0, 0) 1 , 1 ( ;) 1 , 0(;)0 , 1 ( ;)0 , 0(2控制網(wǎng)格最外一圈頂點定義Bezier曲面的四條邊界，這四條邊界均為Bezier曲線。2021-12-18計算機圖形學(xué)523幾何不變性4移動一個頂點Pi,j，將對曲面上參數(shù)為u = i/m, v = j/n的那點 p(i/m,j/n) 處發(fā)生最大的影響5對稱性6凸包性2021-12-18計算機圖形學(xué)532Bezier曲面的拼接曲面的拼接 0階連續(xù)性只要求相連接的曲面片具有公共的

21、邊界曲線。 1階連續(xù)性則要求在邊界曲線上的任何一點，兩個曲面片跨越邊界的切線矢量應(yīng)該共線，而且兩切線矢量的長度之比為常數(shù)。2021-12-18計算機圖形學(xué)54 圖8-10 Beziet曲面片的拼接邊界線P0,0Q3,0P3,3(Q0,3)P0,3Q3,3P3,1(Q0,1)P3,0(Q0,0)P3,2(Q0,2)2021-12-18計算機圖形學(xué)55實現(xiàn)實現(xiàn)G1連續(xù)性的條件為連續(xù)性的條件為：(1) p1(1,v)=p2(0,v)，即有P3,i=Q0,i，i=0,1,2,3(2) P3,i- P2,i =(Q1,i-Q0,i)，i=0,1,2,3已知兩張雙三次Bezier曲面片：TTbebevPM

22、UMvup),(1TTbebeVQMUMvup),(2)3 , 2 , 1 , 0,(,jiPPji)3 , 2 , 1 , 0,(,jiQQji2021-12-18計算機圖形學(xué)568.4 B樣條曲線曲面樣條曲線曲面Bezier曲線的不足：一是控制多邊形的頂點個數(shù)決定了Bezier曲線的階次二是不能作局部修改2021-12-18計算機圖形學(xué)578.4.1 B樣條曲線的定義樣條曲線的定義定義定義：de Boor點、點、B樣條控制多邊形、樣條控制多邊形、B樣條基函數(shù)樣條基函數(shù) nkk,mk(t)BPp(t)02021-12-18計算機圖形學(xué)58 tBtttttBtttttBtttBmkkmkmkm

23、kkmkkmkkk1, 111,1,1k1 ,)( 0t 1)(其它若參數(shù)說明參數(shù)說明 m是曲線的階數(shù)，(m-1)為B樣條曲線的次數(shù)，曲線在連接點處具有(m-2)階連續(xù)。2021-12-18計算機圖形學(xué)59 節(jié)點矢量節(jié)點矢量：節(jié)點矢量分為三種類型：均勻的，開放均勻的和非均勻的。當(dāng)節(jié)點沿參數(shù)軸均勻等距分布，即tk+1-tk=常數(shù)時，表示均勻均勻B樣條函數(shù)樣條函數(shù)。當(dāng)節(jié)點沿參數(shù)軸的分布不等距，即(tk+1-tk)常數(shù)時，表示非均勻非均勻B樣條函數(shù)樣條函數(shù)。2021-12-18計算機圖形學(xué)601均勻周期性均勻周期性B樣條曲線樣條曲線T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2)T

24、=(0,1,2,3,4,5,6,7)均勻B樣條的基函數(shù)呈周期性：)2()()(, 2, 1,ttBttBtBmkmkmk)()(, 0,tktBtBmmk2021-12-18計算機圖形學(xué)61均勻二次（三階）均勻二次（三階）B樣條曲線樣條曲線取n=3，m=3，則n+m=6，不妨設(shè)節(jié)點矢量為：T=(0,1,2,3,4,5,6)： tBmtmktBmkttBtBmkmkmkk1, 11,1 ,11)( 01iti 1)(其它2021-12-18計算機圖形學(xué)62其它1t0 01)(1 , 0tB2t11t0 2 ) 1()2()( )()2()()(1 , 01 , 01 , 11 , 02, 0tt

25、tBtttBtBtttBtB2021-12-18計算機圖形學(xué)633t2 )3(212t1 )3)(1(21)2(211t0 21 ) 1(23)(2 )(222, 01 , 03 , 0tttttt tBttBttB2021-12-18計算機圖形學(xué)644t3 )4(213t2 )4)(2(21)3)(1(212t1 ) 1(21)(223 , 1tttttttB5t4 )5(214t3 )5)(3(21)4)(2(213t2 )2(21)(223 , 2tttttttB2021-12-18計算機圖形學(xué)65 6t5 )6(215t4 )6)(4(21)5)(3(214t3 )3(21)(223

26、, 3tttttttBtBk,3(t)214351圖8-11 四段二次(三階)均勻B樣條基函數(shù)B0,3(t)B1,3(t) B2,3(t)B3,3(t)2021-12-18計算機圖形學(xué)66曲線的起點和終點值：均勻二次B樣條曲線起點和終點處的導(dǎo)數(shù)：)(21)(),(21)(3210PPendpPPstartp2301)(,)(PPendpPPstartp圖8-12 四個控制點的二次周期性B樣條曲線P0P1P2P32021-12-18計算機圖形學(xué)67結(jié)論結(jié)論： 對于由任意數(shù)目的控制點構(gòu)造的二次周期性B樣條曲線來說，曲線的起始點位于頭兩個控制點之間，終止點位于最后兩個控制點之間。 對于高次多項式，起

27、點和終點是m-1個控制點的加權(quán)平均值點。若某一控制點出現(xiàn)多次，樣條曲線會更加接近該點。2021-12-18計算機圖形學(xué)68三次（四階）周期性三次（四階）周期性B樣條樣條取m=4，n=3，節(jié)點矢量為：T=(0,1,2,3,4,5,6,7)： 4t3 )4(613t2 )2()4(61) 1)(3)(4(61)3(612t1 ) 1)(4(61) 1)(3(61)2(611t0 61 ) 1(34)(3)( 3222233 , 03 , 04, 0tttttttttttttttttBttBttB2021-12-18計算機圖形學(xué)690,1) t61)() 1333(61)()463(61)() 13

28、3(61)(34, 3234, 2234, 1234, 0ttBttttBtttBttttB2021-12-18計算機圖形學(xué)700,1) t 0141030303631331611)(3210233210434241400,BB,nkmkkGMTPPPPtttPPPP(t)B(t)B(t)B(t)BBPtp2021-12-18計算機圖形學(xué)71 三次周期性B樣條的邊界條件為：)(21) 1 ()(21)0()4(61) 1 ()4(61)0(1302321210PPpPPpPPPpPPPpP0P1P2P3圖8-13 四個控制點的三次均勻B樣條曲線2021-12-18計算機圖形學(xué)722開放均勻開放

29、均勻B樣條曲線樣條曲線節(jié)點矢量可以這樣定義：令L=n-m，從0開始，按titi+1排列。),.,LL ,.,L, ,.,(Tmm2212100mLimLimmi Lmiti02102021-12-18計算機圖形學(xué)73 開放均勻的二次（三階）開放均勻的二次（三階）B樣條曲線樣條曲線假設(shè)m=3，n=4，節(jié)點矢量為：T=(t0 ,t1,tn+m) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7) =(0,0,0,1,2, 3,3,3)。 2t1 211t0 )34(21)(1t0 )1 ()(223 , 123 , 0ttttBttB2021-12-18計算機圖形學(xué)743t2 )2

30、()( 3t2 )3)(53(212t1 ) 1(21)(3t2 )3(212t1 )3)(1(21)2(21 1t0 21)(23 , 423 , 3223 , 2ttBttttBtttttttB2021-12-18計算機圖形學(xué)75圖8-14 開放均勻的二次B樣條基函數(shù)Bk,3(t) tB0,3(t)B1,3(t)B3,3(t)B2,3(t)B4,3(t)12312021-12-18計算機圖形學(xué)763非均勻非均勻B樣條曲線樣條曲線 圖8-15 非均勻B樣條曲線的基函數(shù)Bk,m(t) t12312021-12-18計算機圖形學(xué)774反求反求B樣條曲線控制點及其端點性質(zhì)樣條曲線控制點及其端點性質(zhì)

31、問題問題：所謂反求B樣條曲線控制點是指已知一組空間型值點Qi(i=1,2,n)，要找一條m次B樣條曲線過Qi點，也即找一組與點列Qi對應(yīng)的B樣條控制頂點Pj(j=0,1,n+1)。2021-12-18計算機圖形學(xué)78 用分段三次B樣條曲線pi來擬合，其上型值點和控制點的位置矢量之間有關(guān)系： n,1,i )4(6111iiiiPPPQ假定需求首末兩點過Q1和Qn的非周期三次B樣條曲線，則有P1=Q1,Pn=Qn，于是求解控制點Pj (i=2,3,.,n-1)的線性方程組為：2021-12-18計算機圖形學(xué)79 補充兩個邊界條件為： P0 =P-1=Q1 Pn+1=Pn+2= Qn n1n2n31

32、21n2n326Q6Q.6Q6QPP.PP41000000141000000.000000.000000.00000014100000014100000014QQ2021-12-18計算機圖形學(xué)808.4.2 B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)1局部支柱性局部支柱性 B樣條的基函數(shù)是一個分段函數(shù)，其重要特征是在參數(shù)變化范圍內(nèi)，每個基函數(shù)在tk到tk+m的子區(qū)間內(nèi)函數(shù)值不為零，在其余區(qū)間內(nèi)均為零，通常也將該特征稱為局部支柱性局部支柱性。2021-12-18計算機圖形學(xué)81 圖8-16 B樣條曲線的局部支柱性P0P1P2P3P4P5P6P7P4P42021-12-18計算機圖形學(xué)822B樣條的凸組合性

33、質(zhì)樣條的凸組合性質(zhì)B樣條的凸組合性和B樣條基函數(shù)的數(shù)值均大于或等于0保證了B樣條曲線的凸包性，即B樣條曲線必處在控制多邊形所形成的凸包之內(nèi)。 t ,t t 1)(1n1 -m0,nkmktB2021-12-18計算機圖形學(xué)83圖8-17 B樣條曲線與Bezier曲線的凸包性比較B樣條曲線Bezier曲線Bezier曲線B樣條曲線m=3m=4m=5(a) B樣條曲線和Bezier曲線的凸包比較(b) B樣條曲線和Bezier曲線的比較B樣條凸包Bezier凸包B樣條凸包B樣條凸包Bezier凸包Bezier凸包2021-12-18計算機圖形學(xué)843連續(xù)性連續(xù)性 若一節(jié)點矢量中節(jié)點均不相同，則m階

34、（m-1次）B樣條曲線在節(jié)點處為m-2階連續(xù)。 B樣條曲線基函數(shù)的次數(shù)與控制頂點個數(shù)無關(guān)。 重節(jié)點重節(jié)點問題 圖8-18 具有重節(jié)點的三次B樣條t0t1t2t3t42021-12-18計算機圖形學(xué)854導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 11, 111,)()() 1()(kmkmkkmkmkmktttBtttBmtBnkmkkmkkktBttPPmtp11n1 -m1,11t ,t t)() 1()(5幾何不變性幾何不變性6變差減少性變差減少性2021-12-18計算機圖形學(xué)868.4.3 B樣條曲面樣條曲面定義定義：112222112100,)()(),(nknkmkmkkkvBuBPvup 控制頂點控制頂點、控制

35、網(wǎng)格控制網(wǎng)格（特征網(wǎng)格）、B樣條基函數(shù)樣條基函數(shù)。 B樣條曲面具有與B樣條曲線相同的局部支柱性、凸包性、連續(xù)性、幾何變換不變性等性質(zhì)。2021-12-18計算機圖形學(xué)87雙三次雙三次B樣條曲面樣條曲面TTBBVPMUMvup),(123uuuU 123vvvV 014103030363133161BM3 , 32, 31 , 30 , 33 , 22, 21 , 20 , 23 , 12, 11 , 10 , 13 , 02, 01 , 00 , 0PPPpPPPPPPPPPPPPP2021-12-18計算機圖形學(xué)888.5 有理樣條曲線曲面有理樣條曲線曲面NURBS方法：非均勻有理B樣條（Nonuniform Rational B-Spline）方法8.5.1 NURBS曲線曲面的定義曲線曲面的定義定義定義：nkmkknkmkkktBwtBPwtp0,0,