計算方法復(fù)習(xí)題大全

1、1計算方法總復(fù)習(xí)第一章緒論例1.已知數(shù)x=2.718281828取近似值x*=2.7182,那麼x具有幾位有效數(shù)字 點評；考查的有效數(shù)字的概念。* *e x x| |2.718281828-2.7182 0.00008182解；110.0005 10101 42 2故有四位有效數(shù)字。例2.近似數(shù)x* 0.01999關(guān)于真值x* 0.02000有幾位有效數(shù)字* *e x x 0.01999L0.02000 0.00001解：110.0000510 410"22故有三位有效數(shù)字。例3.數(shù)值X*的近似值x=0.1215X102,若滿足x x ()，則稱x有4位有效數(shù)字點評；已知有效數(shù)字的位

2、數(shù)，反過來考查有絕對誤差。解；有四位有效數(shù)字則意味著如果是一個形如0.a1a2aK an的數(shù)則絕對誤差限一1定為-1024，由于題目中的數(shù)x0.a1a2L an102,故最終的絕對誤差為110 4 1021 10622例4 .有效數(shù)X1*3.105, x20.001,x3 0.100，試確定 x； x2X3的相對誤差限點評；此題考查相對誤差的傳播。*er(y )n f * * *()er(x )Xii 1 Xi故有 er(x* x2 x3)* * * * * *er (N )X1er(X2)X2er (><3)X3e(x；) e(x2) e(x3)解: er( x1X2X3)X1X

3、2X3X1X2X3e(x；) e(x；) e(x3)10 331310310 32=0.0004993X1X2X33.105 0.0010.100例5. sin1有2位有效數(shù)字的近似值0.84的相對誤差限是 .解法1 : 10 2 1丄10 10.00625 (有效數(shù)字與相對誤差限的關(guān)系)2 8 16解法2; q 10 2 0.84 0.0059524 (相對誤差限的概念)例6. n F的相對誤差為x*的相對誤差的一倍。解：根據(jù)誤差傳播公式er(y*)n f * * *()e(x )Xi 1 Xi則有 er (7X*) (VX*) er(x )x / VX* %第早例1 .設(shè)f (x)可微，求

4、xf(x)根的牛頓迭代公式-。解；化簡得到 xf(x)根據(jù)牛頓迭代格式Xk 1f'(Xk)(k0, 1, 2,)則相應(yīng)的得到Xk1Xk 亠31 f'(xk)(k 0, 1, 2丄)例2：求方程f(x) X3 x 102位。在區(qū)間1,1.5內(nèi)的實根。要求準(zhǔn)確到小數(shù)點后第 思路；用二分法，這里a = 1, b = 1.5,且f (a) < 0, f (b) > 0。取區(qū)間a, b的中點X0 = 1.25將區(qū)間二等分，由于f (x0)< 0,即f(X0)與f (a)同號，故所求的根必在X0 的右側(cè)，這里應(yīng)令a1 = x0 = 1.25， b1 = b = 1.5，而

5、得到新的有根區(qū)間(a1, b1)。 對區(qū)間(ai, b1)再用中點X1 = 1.375二分，并進行根的隔離，重復(fù)步驟 2、3;解：預(yù)先估計一下二分的次數(shù)：按誤差估計式xXkbk 1ak 1解得k = 6,即只要二分6次，即達所求精度。計算結(jié)果如下表:kakbkXkf (Xk)的符號011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-例3:求方程f(x) x 10x 20的一個根解：因為f (0) = 1>

6、;0 f (1) = -7 <0，知方程在0, 1中必有一實根，現(xiàn)將原方程改為同解方程10x x 2x lg(x 2)由此得迭代格式Xk 1 ig(Xk 2)收斂性判斷；當(dāng)x (0,1)時,(x) lg(x 2)(0,1)，且由于'(x)1(x 2)l n10罰0.2171 1,故迭代格式收斂取初始值X0 = 1,可逐次算得X1 = 0.4771X2 = 0.3939X6 = 0.3758X7 =0.3758例4:求方程x3 3x 10在0, 0.5內(nèi)的根，精確到10-5解：將方程變形1 3X 3(x3 1)(X)3因為'(x)X20，在0, 0.5內(nèi)為增函數(shù)，所以L m

7、ax ' (x)0.520.25 1滿足收斂條件，取X0 = 0.25,用公式(2.3)算得X1 = (0.25) = 0.3385416X2 = (X1) = 0.3462668X3 =X4 =X5 =X6 =X7 =取近似根為x(X2)=0.3471725(x3) =0.3472814(X4)=0.3472945(X5)=0.3472961(X6)=0.3472963例5:用牛頓迭代法建立求平方根.c (c >0)的迭代公式，并用以上公式求=0.347296.0.78265解：設(shè)f (x)x2(x >0)則c就是f (x) =0的正根。由為f'(x) = 2x,

8、所以得迭代公式Xk 1Xk2Xk C2XkXk 1XkcXk(2.6)由于 x >0 時，f '(x) >0,且f (x) > 0,根據(jù)定理3知：取任意初值X0.、C,所確 定的迭代序列Xk必收斂于.c。取初值x = 0.88,計算結(jié)果見表kXk00.881 0.884692 0.884683 0.88468故可取、0.782650.88468第三章例1.用列主元消去法解線性方程組12x1 3x2 3x31518x1 3x2 x315x1 x2 x36計算過程保留4位小數(shù).12解.A b=181515a 2118為主元）1815(r1,r2) 1215（換行，消元）1

9、2r2 r1181181815r3r12.33335（選a32 1.1667為主元，并換行1.16670.944 45.1667消元）(OX)133 1.16671815r21.16670.944 45.1667系數(shù)矩3.142 89.4285陣為上三角形矩陣,于是回代得解X3咤 3.000 03.1428X25.16670.944 4 3.000 0/1.166 72.000 0X115 3.000 0 3 2.000 0/( 18)1.000 0方程組的解為 X （1.000 0,2.000 0,3.000 oT例2:用列主元高斯消去法求解方程2x-i x2 3x314x-| 2x2 5x

10、34x1 2x27由于解方程組取決于它的系數(shù)，因此可用這些系數(shù)（包括右端項）所構(gòu)成的 “增廣矩陣”作為方程組的一種簡化形式。對這種增廣矩陣施行消元手續(xù)：213 14*2541207第一步將4選為主元素，并把主元素所在的行定為主元行，然后將主元行換 到第一行得到425410.5第一步消元*213102120701.510.5 1.251第二步消元010.250.51.2510.511.25 610.51.251第三步消元小10.250.5000160 00.875 5.25消元過程的結(jié)果歸結(jié)到下列三角形方程組:0.5x2X1.25x30.25x3X310.56回代，得X1X2X 3例3:用直接三

11、角分解法解X1X2X3141820解：(1)對于r = 1,利用計算公式U111U122U133|21 = 2l 31 = 3(2)對于 r = 2,U22a22l21u12 = 5 -2 2 = 1U23a?3 I21U13 = 2 _2 3 = -432 I31U12)(13 2)I32U2215 (3 3 ( 5) ( 4)24r = 3U33 a33 (I31U13132U23)于是12314 LU3 5 124(4)求解:Ly = b得到y(tǒng) = 14y2 = b2 |2iyi = 18 -214 = -10y3 = b3 -(l3iyi + 132y2)= 20 (3 14 + (-

12、5)(-10) = - 72 從而 y = (14, -10, -72)t由Ux= y 得到X2X1y372U3324(y2U23X3)3X3U2210 ( 4 3)2y1(U12X253X3)U1114(2 23 3)x(1,2,3)t例5:用雅克比迭代法和高斯一一賽得爾迭代法解線性方程組911X17180X27109X38解：所給線性方程組的系數(shù)矩陣按行嚴格對角占優(yōu)，故雅克比迭代法和高斯一一賽得爾迭代法都收斂。D = diag (9, 8, 9)D-1 :=diag (1/9, 1/8, 1/9)01/91/97/9I D 1A 1/800D 1b 7/81/9007/9雅克比迭代法的迭代

13、公式為:01/9 1/97/9X(k 1)1/800 X(k)7/81/90 07/9取 X(0)=:(0, 0, 0)T，由上述公式得逐次近似值如下：k01234X (i)00.77780.97380.99420.999300.87500.97230.99930.999300.88890.97530.99930.9993高斯一一賽得爾迭代法:(k1)1(k1)(k)7X28X1X3(k1)1(k1)0 x2k 1)X3X19(kX；(k)x3)781(k)9X2(i)1230.77780.99420.99980.97220.99931.00000.97530.99931.000041.000

14、1.0001.000迭代結(jié)果為:9x-i2x2X36例6 考察用高斯賽德爾迭代法解方程組X18x2X38X1X28X38收斂性，并取x(0)(1,0,0)T，求近似解X(k 1),使得x(k 1)才)| 10解法同上(1, 1,-1)1021例7.設(shè)矩陣A二2101，那么以A為系數(shù)矩陣的線性方程組125可比迭代矩陣為(A)0 0.20.110.20.1(A) 0.200.1(B)0.210.10.20.400.20.4100.20.102 1(C)0.200.1(D)20 10.20.4012 0(i=1, 2, 3)AX= b的雅例& 高斯-塞爾德迭代法解線性方程組碼 (A - 0,

15、1,2.)的迭代格式中求例9、若A = 1 則矩陣A的譜半徑0 (A)= -31第五早第六章1. 矛盾方程組X12.8的最小二乘解為-。x13.22. 給出擬合三點A (0,1), B (1,0)和C (1,1)的直線方程。第七章1插值型求積公式的求積系數(shù)之和為1 已知 f(x) x21，則差商 f1,2,3 33.求積公式1 f(x)dx 2f(2)有幾次的代數(shù)精確度？( 1)4.b插值型求積公式f (x)dxaA f (xj的代數(shù)精確度至少是i 0次5.已知n=4時牛頓-科茨求積公式的科茨系數(shù)C04)90,C(4)1詈,C24)-,那么 c34)156.(b)4|(啄(D)17_90164

16、5_2153990b設(shè)求積公式f (x)dxanAk f (xk),若對的多項式積分公式精確成立，而至少有一個m+1次多項式不成立。則稱該求積公式具有m 次代數(shù)精度.1.2 o7.取m=4,即n=8，用復(fù)化拋物線求積公式計算積分0 ln(1 x2)dx計算過程保留4位小數(shù).解 n=8, h=12 0 0.15,f(x)=ln(1 + x2)8計算列表kXkf (Xk)=ln(1x2)端點奇數(shù)號偶數(shù)號00.00010.150.022 32 I0.300.086 230.450.184 440.60 10.307 55 I0.750.446 360.900.593 371.050.743 181.

17、200.89201.396 10.987 00.8920代入拋物線求積公式仁22hln(1X2)dXfof84(flf3f5f7)2( f2 f4彳6)030.15=0.8920 4 1.39612 0.9870.42253第八章例1用歐拉法求初值問題,0.9yy1 2xy(x°)1 x 0當(dāng)h = 0.02時在區(qū)間0, 0.10上的數(shù)值解。解把f (x, y)晉y代入歐拉法計算公式。就得1yn 1yn亠yn1 2Xn n0.01812xnynn 0,1,5具體計算結(jié)果如下表:Xn0yn1.0000y(xn)1.0000n = y(xn) - yn020.020.98200.9825

18、0.00050.040.96500.96600.00050.060.94890.95030.00140.080.93360.93540.00180.100.91920.9230.0021例2.取h=0.1,用改進歐拉法預(yù)報校正公式求初值問題2y 1 x yy(0) 1在x=0.1,0.2處的近似值.計算過程保留3位小數(shù).預(yù)報-校正公式為yk 1ykhf(Xx, yk)yk h(1Xkybhhyk 1yk2【f(Xk, yk)f (Xk 1, yk1)yk-(2 Xk2yk2Xk 1 yk 1)h=0.1,x0=0, y0=1，X1=0.1，于是有2y110.1(10 12)1.20.1 2 2%1(2 0 120.11.22) 1.227h=0.1,X1=0.1， y1=1.227， X2=0.2，于是有y21.2270.1(10.11.2272)0.12y21.227(20.11.22721.4880.2 1.4882) 1.528所求為 y(0.1) y1=1.227 y(0.2) y2=1.528例3導(dǎo)出用三階泰勒級數(shù)法解方程y'2 2x y的計算公式 解：因y'f(x, y) X2y2yf' 2x 2yy' 2x 2y(x2 y2)y2 2