2020年浙江高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法檢測卷(二)(數(shù)列綜合)

1、第九章數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法檢測卷（二）（數(shù)列綜合）（時(shí)間:120 分鐘 滿分:150 分）一、選擇題（每小題 4 分,共 40 分）1.設(shè)數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an=n2+bn,若數(shù)列 an是單調(diào)遞增數(shù)列，則 實(shí)數(shù) b 的取值范圍為（）(A)(-2,+ 乂)(B)-2,+)(C)(-3,+ 乂)(D)(- 乂,-3)11 12.數(shù)列 1,：, -二一，的前 n 項(xiàng)和為()2n2nn + 2(A) I (B)(C)(D)3.已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列，若 a2,a4+3,a6+6 構(gòu)成公比為 q 的等比數(shù)列，則 q 等于（）（A）1（B）2 （C）3 （D）44. 我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如

2、下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座 7層塔共掛了 381 盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2 倍,則塔的底層共有燈（）（A）186 盞（B）189 盞（C）192 盞（D）96 盞5. 已知 S 為數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和,a1=1,2Sn=（n+1）an,若關(guān)于正整數(shù) n的不等式-tan4)項(xiàng)是公差為 2 的等差數(shù)列，從第 m-1 項(xiàng)起,am-1,a鬧皿+1, 成公比為 2 的等比數(shù)列.若 a2,則 m _ , an的前 6 項(xiàng)和 S二_.f MX為奇毅時(shí)吩為偶數(shù)時(shí)14. 數(shù)列an的遞推公式為 an=(n N),可以求得這個(gè)數(shù)

3、列中的每一項(xiàng)都是奇數(shù)，則 a12+a15=_ ;研究發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中的奇數(shù)都會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，那么第 8 個(gè) 3 是該數(shù)列的第_ 項(xiàng).15. 已知數(shù)列an的首項(xiàng) a1=m 且 an+1+an=2n+1,如果an是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_.16. 設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 a1=a2=1,nSn+(n+2)an為等差數(shù)列,則an的通項(xiàng)公式 an=_ .17. 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an二-n+t,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為 bn=3n-3,叭 + 垢an-bn設(shè) Cn=+,在數(shù)列Cn中,Cn C3(n N),則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是_ .三、解答題(共 74 分)18. (本小

4、題滿分 14 分)已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，其前 n 項(xiàng)和為 S,且滿足 4S=(an+1)2.(1) 求an的通項(xiàng)公式；1設(shè) bn= r,求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn.19. (本小題滿分 15 分)已知數(shù)列an滿足 ai=2,an+i=2(Sn+ n+1)(n N),令 bn=an+1.(1) 求證:bn是等比數(shù)列；記數(shù)列nbn的前 n 項(xiàng)和為 Tn,求 Tn；i i丄丄丄J_ n求證 J + + + .20. (本小題滿分 15 分)12比已知數(shù)列an滿足 a=：,an+1二：1.證明:(1)an+1an1;(2) a1+G+an1.21. (本小題滿分 15 分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)

5、 a1=4,前 n 項(xiàng)和為 S,且S+1-3Sn-2n-4=0(n N).(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè)函數(shù) f(x)=anx+an-1x2+an-2x3+a1xn,f (x)是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù),令 bn=f (1),求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.22. (本小題滿分 15 分)已知數(shù)列an滿足:a1=0,ln(an+1-an)+an+nln 2=0(n N),(1)求 a3；證明:ln(2-21-n) an 1-21-n;(3) 是否存在正實(shí)數(shù)c,使得對任意的 n N；都有 anan,22即(n+1) +b(n+1)n +bn,化簡可得 b-(2n+1),因?yàn)?n=1 時(shí),-(2n+

6、1)取得最大值-3,所以 b-3,故選 C.2. B 設(shè)該數(shù)列為an,貝 Si1n(n + 1)211an=十？十+=2十 1)=2(_ 斤 + 1),11 1111 2n所以前 n 項(xiàng)和為 S=2(1- )+(；：)+)=2(1- -)=.故選 B.3. A 設(shè)等差數(shù)列an的公差為 d,則 a2=a4-2d,a6+6=a+2d+6,所以3ryr(a4-2d)(a4+2d+6)=(a4+3),化簡得(2d+3) =0,解得 d=- ,所以口4 + Rq= =口2 + 2d + 3仏=1.4. C 設(shè)塔的底層共有燈 x 盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為 x,公比174111 1-為的等比數(shù)列.=3

7、81,解得 x=192.5. A 因?yàn)?a1=1,2Sn=(n+1)an,所以 n 2 時(shí),2Sn-1= nan-1,所以 2an=2(Sn-Sn-i)=(n+1)an-nan-i,- 1整理得=1,% 2竺二所以=I二二二.，所以 an二n.不等式-tan 2t2,化為(n-2t)(n+t)0,所以 0nW2t,關(guān)于正整數(shù) n 的不等式1-tanW2t2的解集中的整數(shù)解有兩個(gè)可知 n=1,2.3所以 1Wt0,5因?yàn)?a3,a4+ ,an 成等比數(shù)列,57_222所以(a4+ ) =a3an,即(+3d) =(1+2d) (1+10d),即 44d -36d-45=0,3所以 ap-aq=

8、(p-q)=15.9.C在 f(x) f(y)=f(x+y) 中，令 x=n,y=1,得 f(n+1)=f(n)f(1),又1 1 1a1= ,an=f(n)(n N),則 an+=an,所以數(shù)列an是首項(xiàng)和公比都是的1 11 1 等比數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和 Sn=-n |10. A 由已知得數(shù)列 an 前 n 項(xiàng)的“均倒數(shù)”為I=-;:- 可得 S=(2n+1)n,則S-i二2(n-1)+1(n-1)=2n所以 an=S-Sn-i=4n-1,%十i又 bn=；,故 bn= n,I Ii i o+(.)=.=3所以 d= (d=-舍去),所以 an=153n- 1i i=1 ,1),故選 C.2

9、-3n+1,1 1 1所以+， + =1X1 I I 11 1X +X=(1- )+( -：)+故選 A.11. 解析：當(dāng) n=1 時(shí),fi(-1)=-ai=-1,得 ai=1,依題意得 fn(-1)=-ai+a2-a3+(-1)nan=(-1)n n,n1n1當(dāng) n2 時(shí),fn-i(-l)=-ai+a2-a3+ +(-1) anj=兩式相減，得(-1)nan=(-1)n n-(-1)n-1 (n-1)=(-1)n (2n-1),即 an=2n-1.又 a1=1,符合上式,所以 an=2n-1.答案:12n-112. 解析:a1二S=1+2-1=2.2 2當(dāng) n2 時(shí),an二S-Sn-1=n

10、+2n-1-(n-1)+2(n-1)-1=2n+1,而 a1不適合.( (M = i,所以 an=1f 2川=1,答案:2:1腦2m-413. 解析:由題意,得 am-1=a1+(m-2)d=2m-6,am=2m-4,則由=凡=2,解得 m=4,所以數(shù)列an的前 6 項(xiàng)依次為-2,0,2,4,8,16,所以 S=28.答案:42814. 解析:由題得:這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的值分別為 1,131,5,3,7,1,9,5,11,3 ,所以 a12+a15=3+15=18.又因?yàn)?a3=3,a6=3,a12=3,a24=3,即項(xiàng)的值為 3 時(shí),下角碼是首項(xiàng)為 3,公比為 2 的等比數(shù)列.所以第 8 個(gè) 3

11、是該數(shù)列的第 3X28-1=384 項(xiàng).答案:1838415. 解析:因?yàn)?an+i+an=2n+1,所以 an+an-i=2n-1(n 2),兩式作差得an+i-an-i=2(n 2),數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差等于2 的等差數(shù)列，又由條件可得 ai=m,a2=3-m,as=2+m,a=5-m,若數(shù)列為遞增數(shù)列，13則只需 aia2as,解得m2),片n兩式相減整理得(n 2),a2a3an12 3nn則 an二ai. . . 二，xix=,經(jīng)驗(yàn)證n=1 時(shí)也符合，n所以 an=.n答案:17. 解析：由題可得 6皿3時(shí)遞增,cn=b,因此，當(dāng) n=1 或 2 時(shí),-n+t 3n-3恒

12、成立，當(dāng) n=2 時(shí),-2+t7 32-3得 t ;當(dāng) n3 時(shí),-n+t 3n-3恒成立，當(dāng) n=4 時(shí),-4+t 34-3得t b3,則-3+t 30=1,則 t 4,c3=as=-3+t, 因?yàn)?C3 C4,故-3+t 34-3=3,故 t 6,即 4Wt 6;2若 a3b3,則-3+t30=1,3_3則 t4,c3=b3=3_=1,由 C3 3,即 3 t4.綜上，取和的并集，得 3 t 2),兩式相減，得 an+i=3a+2(n2),經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng) n=1 時(shí)上式也成立,即 an+i=3an+2(n 1).有 an+i+1= 3(an+1),即 bn+i=3bi,故bn是等比數(shù)列.(2)

13、解:由(1)得 bn=3n,Tn=1x3+2x32+3X33+nx3n,3Tn=1x32+2x33+3x34+nx3n+1,3(1 -311)兩式相減,得-2Tn=3+33+3n-nx3n+1= : -nx3n+1,333化簡得 Tn=( n- ) 3n+ .1 i 1證明：由 =：1 ,1 11 111 I 111 1- - - - - - -彳得I+ + +: + + =-: = 又 二：I M1I1 ?: :1I :311=（： ）,1 1 1 1有+ + :1 31 111 1 1+（:1）+（：L:丨）+（：_ ：） = +（： 丨-廠）13 3 I I=+6.計(jì)1花511111 I

14、 I故_2 X薩 旳+軻+七+-+% 0,所以 an+1-1 與 an-1 同號，I由 ai=,可知 an-10,所以 anix+naxn-1,所以 f (1)=an+2an-i+nain1n-20=(5x3 -1)+2(5x3 -1)+-+n(5x3-1)1)n-1n-2n-30-)=53 +2x3 +3x3 +nx3-,令 S=3-1+2x3n-2+3x3n-3+nx30,則 3S=3+2x3n-1+3x3n-2+nx3；n 3-3n + x作差得 S=- -1,5 x 3n + 1-15 n(n + 6)所以 f (1)=1-,5 x 3+ 1-15 n(n + 6)即 bn=-.-(n +nln2)22.(1)解：由已知 an+i=an+,a1=0,i. 1所以 a2= ,a3= +.(2)證明：因?yàn)?an+1an,a1=0,-(a +所以 an 0,貝yan+1=an+ an+e-nn=an+2-n,所以 anwa