連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、本章共8學(xué)時(shí)， 其中，講授6學(xué) 時(shí)，習(xí)題課1學(xué) 時(shí)，討論課1學(xué) 時(shí)。上課前應(yīng)復(fù)習(xí) “電路分析”知 識(shí)。復(fù)習(xí)“高等數(shù)學(xué)” 微分方程的解法 相關(guān)知識(shí)。講解本部分知識(shí) 不應(yīng)快，應(yīng)先易 后難，循序漸進(jìn)。 要對(duì)比“電路分 析”的相關(guān)講解， 可采用對(duì)比的方 法。要強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)的線 性。作業(yè)2-4、2-5、2-6當(dāng)然為易于學(xué)生 接受，可讓上方 程自由項(xiàng)為it 7i t 10=e(t)把我發(fā)表的相關(guān) 學(xué)術(shù)論文介紹給 學(xué)生，開闊學(xué)生 的視野。作業(yè)2-9、2-12、2-132-19、2-20 .講解本部分內(nèi)容 時(shí)，要結(jié)合 CAI 課件，使同學(xué)真 正掌握卷積的實(shí) 質(zhì)。建議學(xué)生研究本 章的“精品題 庫”。i t=et第二

2、章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解0_和 0+時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)的含義，并掌握沖激函數(shù)匹配法2. 理解沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)的意義，掌握其求解方法3. 掌握系統(tǒng)全響應(yīng)的兩種求解方法：自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)4. 熟練掌握零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的定義和求法；5. 會(huì)分辨全響應(yīng)中的瞬態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量；教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)掌握卷積積分的定義、代數(shù)運(yùn)算規(guī)律和主要性質(zhì)，并會(huì)用 卷積積分法求解線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。教學(xué)內(nèi)容§ 2.1 引言線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析，就是一個(gè)建立和求解線性微分方程的過程。一、建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)力學(xué)、電學(xué)等物理學(xué)規(guī)律，得到輸入和輸出之間滿足的數(shù)學(xué)表

3、達(dá)式。數(shù)學(xué)模型的建立過程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)。例如，對(duì)于經(jīng)典力學(xué)理論，主 e(t) 要是依賴于牛頓定律；對(duì)于微波和電磁場(chǎng)而言，組要依賴于麥克斯韋方程；本課程主要研究的是由電阻、電容、電感等器件構(gòu)成的集總參數(shù)電系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)模型的建立主要有依賴于KCL和KVL方程。在物理課程和電路分析課程中已經(jīng)提供了相應(yīng)的理論和方法。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)，通常用微分方程描述，若輸入輸出只用一 個(gè)高階的微分方程相連系，而且不研究系統(tǒng)內(nèi)部其他信號(hào)的變化，這種描述系統(tǒng)的方法稱為輸入 輸岀或端口描述法。系統(tǒng)分析的任務(wù)就是對(duì)給定系統(tǒng)模型求系統(tǒng)的輸岀。系統(tǒng)時(shí)域分析包含兩方面內(nèi)容，一方面是微分方程的求解，另一方面是已

4、知系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)，將沖激響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行卷積，求岀系統(tǒng)的響應(yīng)；同時(shí)弓I入近代系統(tǒng)時(shí)域分析方法， 將建立零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)兩個(gè)重要的基本概念。本章還將說明微分方程的算子符號(hào)表示法，它使微分方程的表示及運(yùn)算簡(jiǎn)化。最后，簡(jiǎn)單介紹“分配函數(shù)”的概念。§ 2.2 微分方程的建立與求解為建立線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，需列出描述系統(tǒng)特性的微分方程表達(dá)式，現(xiàn)舉 例說明微分方程的建立方法。一、復(fù)習(xí)R,L,C,的電壓電流關(guān)系。oiR=UrUriR R/WX+例2-1di l t dt 1 tL (t )二匸 LoU L "":如下圖所示為 RLC并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓u t與

5、激勵(lì)源is t間的關(guān)系。由KCL得:iR t iL t ic t i=is t(1)將以上三式代入上方程（1）得：若組成系統(tǒng)的文件都是參數(shù)恒定的線性元件（且無儲(chǔ)能），則構(gòu)成的系統(tǒng)是 線性時(shí)不變系統(tǒng)。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，設(shè)激勵(lì)信號(hào)為e t，響應(yīng)為r t，則可用一高階的微分方程表示d；(t)d：d(t )C。昇+9r(t)dtdt( 2)=E。囂門+日豊算+Eme(t)dtdt若方程(2)的e(t及其各階導(dǎo)數(shù)都為零，則方程稱為齊次方程drn(t)djt)dr(t)CO r+Ci+Cnd "+Cnr(t )=0 ( 3)dtndtndt由經(jīng)典法可知，方程(2)的解由齊次方程和特解兩部分組成。齊次

6、解是齊次方程的解。齊次方程解的形式為 Ae瘦函數(shù)的線性組合，將 r(t )= Ae復(fù)代入方程(3)得COan +Cl0(nJ1 +Cna +Cn =0( 4)方程(4)稱為方程(2)的特征方程，對(duì)應(yīng)的 n個(gè)根a 1 ,a2,a n稱為微分方程的特征根。n若特征根無重根，則h(t)=送Ai ei壬r n、n _k若 a 1 是 K階重根，則 rn(t )= Z AtK_L et 吃 Bjet例 1 求 r "(t )+3r "(t )+2r (t )=0 的齊次解例 3 求 r "(t )+7r "(t )+16r "(t )+r (t ) =

7、e(t )的齊次解 a3 +7a2 +i創(chuàng) +12 = 0解其特征方程為以*2 % *3)=°二 rn(t )=(A,t +A°+A3e'tt zo+特解rp(t 的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)形式有關(guān)求解方法是將激勵(lì) e(t代入方程(2)右端，化簡(jiǎn)右端函數(shù)式稱為“自由 項(xiàng)”，根據(jù)自由項(xiàng)選特解函數(shù)式，代入方程后，求得特解的待定系數(shù)，即可求岀 特解rp (t )激勵(lì)函數(shù)e(t )與特解的對(duì)應(yīng)關(guān)系，見 P46表2-2。例：2-4 給定方程 r "(t )+2r'(t )+3r(t )= e"(t )+&t )若（1） e t =t2, （ 2）

8、e t =et分別求兩種情況下此方程的特解2 2解：（1）將et =t代入方程得：自由項(xiàng)為 t 2t故設(shè)特解yp t = t2 B2t B3代入方程得Bi對(duì)比系數(shù)得:3Bi4Bi2Bi3B2 =22B2 3B3-0b91027當(dāng)et =et，可選rp t = Bet，代入方程后得1于是特解rp t = etp 3n于是完全解r te：it rp ti4若給定微分方程和激勵(lì)信號(hào)e t，在給岀一組求解區(qū)間內(nèi)的邊界條件，便 可確定待定系數(shù) Ai若e t是在t=0時(shí)刻加入，則把求解區(qū)間定為0 .空t ：二，通常取t = 0 .這樣對(duì)應(yīng)的一組條件稱為初始條件。微分方程的齊次解稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)，特征方程

9、a=1,2,3，n ）稱為系統(tǒng)的“固有頻率”（自由頻率，自然頻率）；特解稱為系統(tǒng)的強(qiáng)迫響應(yīng)，強(qiáng)迫響應(yīng)只與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)，完全響應(yīng)由系統(tǒng)的自身特性決定的自由響應(yīng)rh t和與外加激勵(lì)信號(hào) e t有關(guān)的強(qiáng)迫響應(yīng)rp t組成的。§ 2.3起始點(diǎn)的跳變一一從0_到0 .的轉(zhuǎn)換在系統(tǒng)分析中，把響應(yīng)區(qū)間確定為激勵(lì)信號(hào)e t加入后，系統(tǒng)變化區(qū)間，一般e t在t=0時(shí)刻加入，這樣系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間為0 ._t ：:，若系統(tǒng)在激勵(lì)信- ddDn號(hào)加入之前瞬間有一組狀態(tài)，r（kd0_）= |r（0二（0,二7訂（0_）- dtdt一這組狀態(tài)稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)（0 _狀態(tài)），它包含了為計(jì)算未來響應(yīng)的全部“過

10、去”信息。在 et加入之后，這組狀態(tài)從t =0_到0 時(shí)刻可能發(fā)生變化。完全n響應(yīng)表達(dá)式r tAie：it rp t中常數(shù) A i =1,2，n-X是由響應(yīng)區(qū)間內(nèi)t =0 .時(shí)刻的一組狀態(tài)確定的。這組狀態(tài)稱為初始條件（簡(jiǎn)稱0 .狀態(tài)）。由此可見，用時(shí)域經(jīng)典法求解系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)，為確定自由響應(yīng)部分常數(shù)A i =1,2，n，還必須根據(jù)系統(tǒng)的 0 _狀態(tài)和激勵(lì)情況求岀0 .狀態(tài)。對(duì)于具體電路，0 _狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況，一般情況下，先求岀電容上的起始電壓和電感中的起始電流，Vc 0_ ，iL 0_。當(dāng)電路中沒有沖激電流 （或階躍電壓）強(qiáng)迫作用于電容及沒有沖激電壓（或階躍電流）作用于電感，則

11、換路期間電容兩端電壓和流過電感中的電流不會(huì)發(fā)生突變，即Vc 0_二Vc 0 .，l 0_ “L 0 .，然后根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò) 拓?fù)浼s束求得 0 .時(shí)刻的其他電流或電壓值，下面以具體例子，說明這種情況下 電路響應(yīng)的求解方法。例：如圖所示>Us(t )f丄T4vT2vJc(t)Uc t而ic =C d：川Hl川川2dt將式代入式子得令Ucp t二B則代入方程得而 Uc 0 =2V- uc t的電壓不能突變，故將uc 0 .=2代入uc t 二 Ae'u t 4，得A=-22-5例如圖所示電路，t <0開關(guān)S處1位置且已達(dá)到穩(wěn)定，當(dāng)t=0時(shí),由1轉(zhuǎn)向2,建立電流i t的微分

12、方程并求解it在t _ 0 .時(shí)的變化解：e2 t = R1i ： '<c t（1）出（t+R2（ 2）dt心心鋰）=呼+ ,）（ 3）消去t，iLt得detdt4e2 t（ 4）d2dd2dt2it 7dtit 0it =dt2e2t6求齊次方程特征方程：壽2 7TO = 0a） 求特解：當(dāng)t亠0亠時(shí)，e? t = 4v代入（4）式得故方程 i t 7i t 10it i；=16（ 5） 令i p t = B代入（5）式得故系統(tǒng)的完全解為8i t = AetAet ：；一：it _0 .（6）5c .確定待定系數(shù) A1, A2由于無沖激電壓，故電容電壓不能突變Vc 0 二 Vc

13、 0 _ ,而 vc（0_） = 2 匯R =6（V ）一Ri R25d.求it在t -0 .時(shí)的完全響應(yīng)14將i 0.：一,i 0 . = -2代入（6）式得5當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)用微分方程表示時(shí)，系統(tǒng)的0-狀態(tài)到0+狀態(tài)有無跳變，取決定于微分方程在右端自由項(xiàng)中是否包含（t）及其各階導(dǎo)數(shù).若包含有：（t）及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的變量從 0-到 0+狀態(tài)發(fā)生了跳變，即r（0 J =r（0_）或r （0 J = r （0等等.此時(shí)為確定r 0. ,r等，可以用沖激函數(shù)匹配法。其原理根據(jù)t=0時(shí)刻微分方程左右兩端的：（t）及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。下面舉一例子說明：已知 r t 3r t =3、. t 若

14、0-=2V,求r 0. = ?解：由分析可知：方程右邊含t ,可以斷定r t含3t，由此可推斷r t包含3. t，而方程右端無t項(xiàng)，故r t中還應(yīng)包含 -9- t，由于r t中含t，得岀r(t)在t=0時(shí)刻有-9. .U t存在，若：u t表示0_到 0 .相對(duì)單位跳變函數(shù)，即 r0.二r0_-9 = -7上述方程可用數(shù)學(xué)方法描述設(shè) r t 二 a、t b、. tc. ：u t積分一次有：r t =a - t - b ：u t將r t ,r t代入原方程r t 3r tt得a = 3a = 3解得：<b +3a =0二 <b = 9c+3b =0 c=27u t表示從0-到o+相對(duì)

15、單位發(fā)生跳變函數(shù).r0 -r0_=b 即 r0.=-92=-7例2-6用沖激函數(shù)匹配法求解例2-5的完全響應(yīng)r(t)已知：ito J=|A,d-K0 j=0%pl用沖激函數(shù)匹配法求i 0 ,d i 0 二？dt解：考慮方程右端沖激函數(shù)項(xiàng)最高次是t因而設(shè)將其代入原方程得解得至此可將求解微分方程流程圖見p52圖2-5§ 2.4零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)由于時(shí)域經(jīng)典法求解系統(tǒng)完全響應(yīng)是把響應(yīng)分成自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)，為確定完全響應(yīng)中的常數(shù)， 往往利用沖激函數(shù)匹配法， 把給定的0_狀態(tài)轉(zhuǎn)換成0. 狀態(tài)以便求解。另一種分解方法是將總響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。我們先考察一個(gè)實(shí)例例2-7，如圖2-

16、6所示RC電路，電容兩端起始電壓Vc(0_),激勵(lì)源為e(t),求t>0時(shí)電容兩端電壓 v t。t將上式兩端同乘以 eRC得兩邊求積分1 tt得：&(t)=&(0e RC + 丄e 小)Wdt RC vc t的第一項(xiàng)只和電容兩端的起始儲(chǔ)能Vc 0 _有關(guān)，與輸入無關(guān)。被稱為零輸入響應(yīng)。第二項(xiàng)與起始儲(chǔ)能無關(guān)，只與輸入有關(guān)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。一般情況下，設(shè)系統(tǒng)是線性時(shí)不變的，把輸岀響應(yīng)分成由激勵(lì)信號(hào)e(t)引起的響應(yīng)He(t)，和由系統(tǒng)起始狀態(tài) 0_ f引起的響應(yīng)H0_訂兩者疊加，由此可分別定義零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。e(t)f啊-r(t)=He(t)+H x(0-) x (0

17、-)零輸入響應(yīng):沒有激勵(lì)作用，只有起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)。記為rzi (t )，它滿足方程及起始狀態(tài)嚴(yán)(0(k=0,1,.,n 1)的解?？梢娝驱R次解的一部分。由于沒有外界激勵(lì)作用，因而r(0=r(k)(0即Az,可以由r(k)(0確定。零狀態(tài)響應(yīng):起始狀態(tài)等于零時(shí),由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)，記為rzs(t)。它滿足方程及起始狀態(tài)r(k)(0=0(k =0,1,n -1)其形式為下題講授時(shí)為便于學(xué)生接受，可先將e t去掉使問題簡(jiǎn)化例給定方程 r (t) 3r (t) 2r(t) =e (t) 3e(t)當(dāng) e(t)二u(t) , r(0 )二仃(0_) =2求 * t ,* t = ?

18、 解：1.先求rzi(t)因?yàn)榱爿斎腠憫?yīng)，故e(t)=0,原方程兌變?yōu)槠涮卣鞣匠虨?23 "-2 = 0， i=-i , 2=-2G(t)二 AeAze't，& (0 ) = g (0-), * (0 ) = * (0-)代入起始狀態(tài)得 2再求 rzs t i；=?將e(t) =u(t)代入原方程得設(shè) rzs(t) =a、.(t)b. ：u(t)代入上方程得：得：當(dāng)t _0 .時(shí)，rzs t滿足方程3 設(shè)特解rzsP t = B代入上方程得 B =2代入 rzs(0 )，rzs(0 )得注意：為使計(jì)算思路清晰，可將求解rzs(t)與求初始條件rzs(0 ), rzs(

19、0 )的順序?qū)φ{(diào)一下。對(duì)響應(yīng)的另一種區(qū)分是瞬間響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)的另一種求法：求 rzs(t)3rzs(t) 2rzs(t2-(t) 6u(t)1的零狀態(tài)響應(yīng)。解：由于零狀態(tài)，故r(0J =r (0_) = 0又由于解的區(qū)間為 0：t ”：二，故當(dāng)t _0 .時(shí)，上方程蛻變?yōu)?設(shè)p(t) =B代入方程(2)得(t) =3求 r(0 ),r 0 分析：r t含有：t ， r t含有u t， r t含有tu t對(duì)方程(1)從00 .積分得將初始條件代入(3)式：r(t) - -4e e? 3 t _0 .注：直接用r(t Aie- A2eJt u t Bu t代入方程此方法是不正確的。瞬態(tài)

20、響應(yīng)：當(dāng) t時(shí)，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：保留下來的那部分響應(yīng)分量。在建立了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的概念后，進(jìn)一步說明系統(tǒng)的線性和時(shí)不變問題。由下圖可知， 對(duì)外加激勵(lì)信號(hào) e(t)和它對(duì)應(yīng)的響應(yīng) rzs t=. H e t 1的 關(guān)系而言，若 U 0_1 = 0,則用常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)是線性和時(shí)不 變的，若起始狀態(tài) 斯0_，= 0，由于響應(yīng)中零輸入分量的存在，導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng) 對(duì)外激勵(lì)e(t)不滿足疊加性和均勻性，也不滿足時(shí)不變性，因而是非線性時(shí)變系 統(tǒng)，同時(shí)由于零輸入分量的存在，使響應(yīng)的變化不可能發(fā)生在激勵(lì)之后，因而系統(tǒng)又是非因果的。e(t)r(t)=He(t)+Hx(0-

21、)x(0-)然而，若把起始狀態(tài)等效成系統(tǒng)的激勵(lì)，則對(duì)零輸入響應(yīng) rzi t而言，也滿足疊加性和均勻性。(1) 響應(yīng)的可分解性：系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。(2) 零狀態(tài)線性：當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) rzs t對(duì)于外加 激勵(lì)信號(hào)e t呈線性，稱為零狀態(tài)線性。例1 某lti系統(tǒng)，其初始狀態(tài)一定，當(dāng)激勵(lì)為e(t)時(shí)，其全響應(yīng)為nt = et cos二tt - 0 .；若初始狀態(tài)不變，激勵(lì)為 2e(t)，其全響應(yīng)r2 t =2 cos二tt亠0 .，求初始化狀態(tài)不變，激勵(lì)為 3e t時(shí)系統(tǒng)的全響應(yīng)。e(t) LTI x(0-)解.Jzi(t )十 rzs(t+cos(Jit

22、)G (t )+2Q(t ) = 2cos(;tt )根據(jù)線性不變的性質(zhì)例2某LTI系統(tǒng)，初始狀態(tài)為 X1 Q_ , x2 0_。已知當(dāng)x1 Q_ =1 ,x2 0_ =0時(shí)，其零輸入響應(yīng)為rzi t =et -e-2t, t _0當(dāng) xi 0 一 =0，X2 0 一 =1 時(shí)，其零輸入響應(yīng)為當(dāng)x1 0_ =1, x2 0_=1時(shí)，而輸入為e(t)時(shí)，其全響應(yīng)求當(dāng)x1 0_i； = 3，x2 0_=2時(shí)，輸入為2e(t)時(shí)的全響應(yīng)解：e(t) LTI tX1(0-) ,X2(0-)當(dāng) X1 0_ =1, X2 0_ 二 -1時(shí)，而輸入為e(t)時(shí)，其全響應(yīng)根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)(3) 零輸入

23、線性：當(dāng)外加激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)rzi t，對(duì)于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系，稱為零輸入線性。§ 2.5沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，沖激響應(yīng)h(t)的性質(zhì)，可以表征系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性，h(t)的變換域表示更是分析時(shí)不變系統(tǒng)的重要手段，因而沖激響應(yīng) h(t)的分析是系統(tǒng)分析中極為重要的問題。1.沖激響應(yīng)h(t)定義：系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)-t的作用下，產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)g(t)定義：系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)u( t)作用下，產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。e t =.匸e Nt - d ，若將e(t)作用下沖激響應(yīng)為h(t)的線性時(shí)不變系統(tǒng)，則系統(tǒng)的響應(yīng)。即:零狀態(tài)響應(yīng)是激勵(lì)e(t)與沖激

24、響應(yīng)h(t)的卷積積分考慮到：t與u t的關(guān)系，因而對(duì)于 LTI系統(tǒng)，h t和g t也一樣存在微積分關(guān)系L hftg(t )6(t 戶 LTI -*dtI1tg(t )=腫 d對(duì)于LTI系統(tǒng)，它的h(t)滿足下微分方程及起始狀態(tài)h k 0=0 k =0,1n-1 ,由于、：(t)及其各階躍導(dǎo)數(shù)在t _0 .時(shí)都等于零，因而在t _0 .時(shí)方程(1)的自由項(xiàng)恒等于零，因此沖激響應(yīng)h(t)與齊次解的形式相同，且在n>m時(shí)，h(t)可以表示為ut若n乞m，則表達(dá)式還將含有-t及其相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)njm tt等,其中，常數(shù)Ak K =1,2n ,可以通過沖激函數(shù)匹配法，求岀h k 0.值，從而求得A

25、k各值。 例：由例2-5求得微分方程表示為i t 7i t 10i t 二 e t 6e t 4et，求 h(t)=?當(dāng) et t 時(shí),i t 二h t故 h t 7hi t 10h t ='et 6、. t - 4、. t當(dāng)t -0 .時(shí)，方程自由項(xiàng)為 0, 上方程蛻化為齊次方程pl利用沖激函數(shù)匹配法求h(0 +)，和 2h(0 +)，由于方程右端自由項(xiàng)6(t )最dt代入方程后得:a =1*b+7a=6高階導(dǎo)數(shù)為t，所以設(shè)代入h(t)得丿c 7b 10a = 4A1 A2 - -1-2A1 - 5A 2 =1由分析可知，h(t)含有：t ,a =1方法2:根據(jù)方程可設(shè) h t 二

26、B、. tA2et u t代入上方程41可得 B =1,A1 ,A2 =33具體解法用此方法必須注意，齊次解后必須帶u(t),否則結(jié)果不正確方法3:利用LTI系統(tǒng)的線性微分性，先求hi t - 7hi t 10hi t =、 t 的解 hi(t) 再利用 h t 二 ht6h1 t 4h1 t 求岀 h(t)解：由 h；t 7h1 t 10h1 t j：2當(dāng)t>0時(shí)，上方程為h；t7h； t 10h1 U0將h1(t)代入方程(2)得由對(duì)比系數(shù)法得:A +A2=o 0=* 二 15A1+2A2 =1A2=-_kI 3方法 4： h；t 7h1 t 10h1 t 二、.t分析：由于方程等號(hào)

27、右端含:.t，故h； t含有：t ,h t含有t ：u(t)對(duì)上方程兩端同時(shí)由 0 一 0 4進(jìn)行積分得由于 h1 0 . =1，h1 0 , = m 0_1=1由于go. =1， mo.=山o_ =o將初始化條件代入h1 t 二人怡乂 Aze't u t 中得:h1 0 . =A1 A00 0. -2A1 - 5A 2A1a2系統(tǒng)的階躍響應(yīng)g(t)微分方程及起始狀態(tài)g k 0_ =0 k =0,1n-1，可以看岀方程右端的自由項(xiàng)含有：t及其各階導(dǎo)數(shù)，同時(shí)還包含階躍函數(shù)u(t)，因而階躍響應(yīng)中，除含齊次解形式之外，還應(yīng)增加特解項(xiàng)。例：求系統(tǒng)t 7i t 10iti=e”t 6e t 4

28、e t的階躍響應(yīng)g(t)=?解：當(dāng)e(t)=u(t)時(shí)，貝U i t i(t)=g(t), g(t)滿足的方程為g t 7g t 10g t - t 6、t 4u t ,及g0_ =g 0_=0。當(dāng)t - 0 .，上方程蛻化成g t 7g t TOgt =4其解的形式為設(shè)特解為gp(t)=B,對(duì)t _0 .代入方程利用沖激函數(shù)匹配法求常數(shù)Al, A2代入原方程得代入方程得-2A, -5AA!A223_ 115t 當(dāng)然g(t)也可由g th . d .求得。§ 2.6 卷積卷積的定義：任意兩個(gè)信號(hào)fi(t)和f2(t)的卷積定義為設(shè)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為e(t)，沖激響應(yīng)為h(t)，則系統(tǒng)的

29、零狀態(tài)響應(yīng)為r t 二e(t) h t 二 _e( )h(t - )d卷積的幾何解釋：卷積的運(yùn)算有5個(gè)步驟。(1) 換自變量：將兩信號(hào)的時(shí)間變量t換為：(2) 反折：把其中的一信號(hào)反折(3) 移位：將反折后的信號(hào)做位移，移位量是t,t>0時(shí)，圖形右移；t<0時(shí)圖形左移(4) 相乘：兩信號(hào)重疊部分相乘(5) 積分：完成相乘后圖形的積分計(jì)算積分的方法有1公式法2圖形法例1用公式法求以下兩個(gè)函數(shù)的卷積例2:用圖形法求以下兩個(gè)函數(shù)的卷積f t =片t f2 td1hi2ht-121f t =0(3 )當(dāng)f t 二(4 )當(dāng)f t 二(5)當(dāng)-> »t1 2§ 2.

30、72<t<3 時(shí)，21 2d =6t-it>3 時(shí)，1<t<2 時(shí)，t1 2d 二2t-i(2 )當(dāng) 0<t<1 時(shí)，tf t =。1 2d =2t與f2 t無交疊，故(1)當(dāng) t<0 時(shí)，f1 t2t tT卷積運(yùn)算具有某用，利用這些性質(zhì)可以使卷積運(yùn)算簡(jiǎn)化。一、卷積代數(shù)1、交換律：卷積的性質(zhì)些特殊性質(zhì)，這些性質(zhì)在信號(hào)與系統(tǒng)分析中有重要作yzs t i=e t h t Ah t e te(t)2、分配律:3、結(jié)合律：f1 t f21 1- f3 n-f1 t f2 t f31 1結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當(dāng)于串聯(lián)系統(tǒng)的總的沖激響應(yīng)，系統(tǒng)組成串聯(lián)系統(tǒng)h2

31、(t)的各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積。hi(t)4、卷積的微分與積分即兩函數(shù)卷積后的導(dǎo)數(shù)，等于其中一函數(shù)之導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)之卷積證明:de“dtJf2td5、與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積函數(shù)f t與單位沖激函數(shù) ：t卷積結(jié)果仍是 ft本身。注意與f t : t=f 0t的區(qū)別ft 與、 t)信號(hào)相卷積的結(jié)果，相當(dāng)于把函數(shù)本身延遲to利用卷積的微分，積分特性不難得到下結(jié)論式中K表示求導(dǎo)或取重積分的次數(shù)，K取正整數(shù)時(shí)表示導(dǎo)數(shù)階次，K取負(fù)整數(shù)時(shí)為重積分的次數(shù)。2.8用算子符號(hào)表示微分方程在連續(xù)系統(tǒng)時(shí)域分析法中，求解的是一個(gè)高階微分方程或一組聯(lián)系微分方 程，如果把經(jīng)常岀現(xiàn)的微分，積分用下述算子符號(hào)表示d1 tP =dt，PdP) (Z) d(1)則 Cor t Gr tHI Cr t 二E°e t *e t III Eme t可表示為:CoPnr t GPn1 t 川 Gr t = EoPme t EiPm4el|Eme t或簡(jiǎn)化為:(2)CoPn Gpg I" Cn r t 二 EoPm EipZ 川 Em e t若令 D -CoPn - CiPn4 JH Cn則式可化為：D pj（rtL = N p t這是高階微分方程的算子符號(hào)表示。二、算子符號(hào)的基本規(guī)則。D p ,N p算子多項(xiàng)式僅是一種運(yùn)算符號(hào)，代數(shù)方程中的運(yùn)算規(guī)則，有的適