三角形等高模型與鳥頭模型題庫教師版

1、三角形等高模型與鳥頭模型例題精講板塊一 三角形等高模型我們已經(jīng)知道三角形面積的計算公式：三角形面積底高從這個公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說明當(dāng)三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化但是，當(dāng)三角形的底和高同時發(fā)生變化時，三角形的面積不一定變化比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼?，則三角形面積與原來的一樣這就是說：一個三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化同時也告訴我們：一個三角形在面積不改變的情況

2、下，可以有無數(shù)多個不同的形狀在實際問題的研究中，我們還會常常用到以下結(jié)論：等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比【例 1】 你有多少種方法將任意一個三角形分成： 3個面積相等的三角形； 4個面積相等的三角形；6個面積相等的三角形【解

3、析】 如下圖，D、E是BC的三等分點，F(xiàn)、G分別是對應(yīng)線段的中點，答案不唯一： 如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：【例 2】 如圖，BD長12厘米，DC長4厘米，B、C和D在同一條直線上 求三角形ABC的面積是三角形ABD面積的多少倍？ 求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？【解析】 因為三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分別以BD、BC和DC為底時，它們的高都是從A點向BC邊上所作的垂線，也就是說三個三角形的高相等于是：三角形ABD的面積高高三角形ABC的面積高高三角形ADC的面積高高所以，三角形ABC的面積是三角形ABD面積的倍；三角形A

4、BD的面積是三角形ADC面積的3倍【例 3】 如右圖，和都是矩形，的長是厘米，的長是厘米，那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 圖中陰影部分的面積等于長方形面積的一半，即(平方厘米)【鞏固】(2009年四中小升初入學(xué)測試題)如圖所示，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 根據(jù)面積比例模型，可知圖中空白三角形面積等于平行四邊形面積的一半，所以陰影部分的面積也等于平行四邊形面積的一半，為平方厘米【鞏固】如下圖，長方形和長方形拼成了長方形，長方形的長是20，寬是12，則它內(nèi)部陰影部分的面積是 【解析】 根據(jù)面積比例模型可知陰影部分面積等于長方形面積的一半，為【例

5、 4】 如圖，長方形的面積是平方厘米，點、分別是長方形邊上的中點，為邊上的任意一點，求陰影部分的面積 【解析】 本題是等底等高的兩個三角形面積相等的應(yīng)用連接、，同理，(平方厘米)【鞏固】圖中的、分別是正方形三條邊的三等分點，如果正方形的邊長是，那么陰影部分的面積是 【解析】 把另外三個三等分點標(biāo)出之后，正方形的個邊就都被分成了相等的三段把和這些分點以及正方形的頂點相連，把整個正方形分割成了個形狀各不相同的三角形這個三角形的底邊分別是在正方形的個邊上，它們的長度都是正方形邊長的三分之一陰影部分被分割成了個三角形，右邊三角形的面積和第第個三角形相等：中間三角形的面積和第第個三角形相等；左邊三角形的

6、面積和第個第個三角形相等因此這個陰影三角形的面積分別是、和的三分之一，因此全部陰影的總面積就等于正方形面積的三分之一正方形的面積是，陰影部分的面積就是【例 5】 長方形的面積為36，、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下圖： 可得：、，而 即； 而， 所以陰影部分的面積是： 解法二：特殊點法找的特殊點，把點與點重合，那么圖形就可變成右圖： 這樣陰影部分的面積就是的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有： 【例 6】 長方形的面積為36，、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？ 【解析】 （法1）特殊點法由于為邊上任意一點，找的特殊點，

7、把點與點重合（如左上圖），那么陰影部分的面積就是與的面積之和，而這兩個三角形的面積分別為長方形面積的和，所以陰影部分面積為長方形面積的，為（法2）尋找可利用的條件，連接、，如右上圖可得：、，而，即；而，所以陰影部分的面積是：【鞏固】在邊長為6厘米的正方形內(nèi)任取一點，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與點連接,求陰影部分面積 【解析】 （法1）特殊點法由于是正方形內(nèi)部任意一點，可采用特殊點法，假設(shè)點與點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，所以陰影部分的面積為平方厘米（法2）連接、由于與的面積之和等于正方形面積的一半，所以上、下兩個陰影三

8、角形的面積之和等于正方形面積的，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形面積的，所以陰影部分的面積為平方厘米【例 7】 如右圖，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米求三角形ABC的面積是三角形EBC面積的幾倍？【解析】 因為AD垂直于BC，所以當(dāng)BC為三角形ABC和三角形EBC的底時，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是：三角形ABC的面積三角形EBC的面積所以三角形ABC的面積是三角形EBC的面積的4倍【例 8】 如圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC，連結(jié)BE、AE、CF、BF那么與BEC等積的三角形一共有哪幾個三角形？【解析】 AEC、AFC、ABF【鞏固】如

9、圖，在ABC中，D是BC中點，E是AD中點，連結(jié)BE、CE，那么與ABE等積的三角形一共有哪幾個三角形？【解析】 3個，AEC、BED、DEC【鞏固】如圖，在梯形ABCD中，共有八個三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對？【解析】 ABD與ACD，ABC與DBC，ABO與DCO【例 9】 (第四屆”迎春杯”試題)如圖，三角形的面積為1，其中，三角形 的面積是多少？【解析】 連接，又，【例 10】 (2008年四中考題)如右圖，已知陰影部分面積為5平方厘米，的面積是 平方厘米 【解析】 連接根據(jù)題意可知，的面積為面積的，的面積為面積的，所以的面積為面積的而的面積為5平方厘米，所以的面積為(平方厘

10、米)【鞏固】圖中三角形的面積是180平方厘米，是的中點，的長是長的3倍，的長是 長的3倍那么三角形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 ，等高，所以面積的比為底的比，有,所以=(平方厘米)同理有(平方厘米)， (平方厘米)即三角形的面積是22.5平方厘米【鞏固】如圖，在長方形中，是的中點，是的中點，如果厘米，厘米，求三角形的面積【解析】 是的中點，是的中點，又是長方形， (平方厘米)【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是24，D、E和F分別是BC、AC和AD的中點求三角形DEF的面積【解析】 三角形ADC的面積是三角形ABC面積的一半，三角形ADE又是三角形ADC面積的一半三角形FED的面積是三角形A

11、DE面積的一半，所以三角形FED的面積【鞏固】如圖，在三角形ABC中，厘米，高是6厘米，E、F分別為AB和AC的中點，那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？【解析】 是的中點同理(平方厘米)【例 11】 如圖ABCD是一個長方形，點E、F和G分別是它們所在邊的中點如果長方形的面積是36個平方單位，求三角形EFG的面積是多少個平方單位 【解析】 如右圖分割后可得，（平方單位）【鞏固】(97迎春杯決賽)如圖，長方形的面積是，是邊的中點，在邊上，且.那么，陰影部分的面積是多少？【解析】 連接，因為是中點所以的面積為又因為，所以的面積為，又因為面積為，所以陰影部分的面積為：.【例 12】 如圖，大長方

12、形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個小長方形組合而成求陰影部分的面積 【解析】 如圖，將大長方形的長的長度設(shè)為1，則，所以，陰影部分面積為【例 13】 如圖，三角形中，三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形的面積是多少？【解析】 ，；又，(平方厘米)【例 14】 (2009年第七屆”希望杯”二試六年級)如圖，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面積分別是89，28，26那么三角形的面積是 【解析】 根據(jù)題意可知，所以，那么，故【例 15】 (第四屆小數(shù)報數(shù)學(xué)競賽)如圖，梯形ABCD被它的一條對角線BD分成了兩部分三角形BDC的面積比三角形ABD的面積大1

13、0平方分米已知梯形的上底與下底的長度之和是15分米，它們的差是5分米求梯形ABCD的面積 【解析】 如右圖，作AB的平行線DE三角形BDE的面積與三角形ABD的面積相等，三角形DEC的面積就是三角形BDC與三角形ABD的面積差(10平方分米)從而，可求出梯形高(三角形DEC的高)是：(分米)，梯形面積是：(平方分米)【例 16】 圖中AOB的面積為，線段OB的長度為OD的3倍，求梯形ABCD的面積【解析】 在中，因為，且，所以有因為和等底等高，所以有從而，在中，所以梯形面積：【例 17】 如圖，把四邊形ABCD改成一個等積的三角形【解析】 本題有兩點要求，一是把四邊形改成一個三角形，二是改成的

14、三角形與原四邊形面積相等我們可以利用三角形等積變形的方法，如右上圖把頂點A移到CB的延長線上的A處，ABD與 面積相等，從而ADC面積與原四邊形ABCD面積也相等這樣就把四邊形ABCD等積地改成了三角形ADC問題是A位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則過A作一條和DB平行的直線與CB的延長線交于A點具體做法： 連接BD； 過A作BD的平行線，與CB的延長線交于A 連接AD，則ACD與四邊形ABCD等積【例 18】 （第三屆“華杯賽”初賽試題）一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的，黃色三角形面積是問：長方形的面積是多少平方厘米？【解析】 黃色三角形與綠色三角形的底相等都等于

15、長方形的長，高相加為長方形的寬，所以黃色三角形與綠色三角形的面積和為長方形面積的，而綠色三角形面積占長方形面積的，所以黃色三角形面積占長方形面積的已知黃色三角形面積是，所以長方形面積等于（）【例 19】 是長方形內(nèi)一點，已知的面積是，的面積是，求的面積是多少？【解析】 由于是長方形，所以，而，所以，則，所以【例 20】 如右圖，過平行四邊形內(nèi)的一點作邊的平行線、，若的面積為8平方分米，求平行四邊形的面積比平行四邊形的面積大多少平方分米？ 【解析】 根據(jù)差不變原理，要求平行四邊形的面積與平行四邊形的面積差，相當(dāng)于求平行四邊形的面積與平行四邊形的面積差如右上圖，連接、由于，所以而，所以(平方分米)

16、【例 21】 如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積 【解析】 連接交于點，并連接如下圖所示， 可得，所以與面積相等(同底等高)，所以有：， 因為，所以【鞏固】如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積 【解析】 連接交于點，并連接如右上圖所示， 可得，所以與面積相等(同底等高)，所以有:， 因為，所以【例 22】 在長方形內(nèi)部有一點，形成等腰的面積為16，等腰的面積占長方形面積的，那么陰影的面積是多少？【解析】 先算出長方形面積，再用其一半減去的面積(長方形面積的)，再減去的面積，即可求出的面積根據(jù)模型可知，所以，又與的面積相等，它們的面積和等于長方形面積的一半，

17、所以的面積等于長方形面積的，所以【例 23】 （2008年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學(xué)邀請賽六年級）如右圖所示，在梯形中，、分別是其兩腰、的中點，是上的任意一點，已知 的面積為，而的面積恰好是梯形面積的，則梯形的面積是 【解析】 如果可以求出與的面積之和與梯形面積的比，那么就可以知道的面積占梯形面積的多少，從而可以求出梯形的面積如圖，連接、則，于是要求與梯形的面積之比，可以把梯形繞點旋轉(zhuǎn)，變成一個平行四邊形如下圖所示：從中容易看出的面積為梯形的面積的一半(也可以根據(jù)，得來)那么，根據(jù)題意可知的面積占梯形面積的，所以梯形的面積是小結(jié)：梯形一條腰的兩個端點與另一條腰的中點連接而成的三角形，其面積等于

18、梯形面積的一半，這是一個很有用的結(jié)論本題中，如果知道這一結(jié)論，直接采用特殊點法，假設(shè)與重合，則的面積占梯形面積的一半，那么與合起來占一半【例 24】 如圖所示，四邊形與都是平行四邊形，請你證明它們的面積相等 【解析】 本題主要是讓學(xué)生了解并會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等和三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接(我們通過把這兩個看似無關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起)在平行四邊形中，邊上的高，同理，平行四邊形與面積相等【鞏固】如圖所示，正方形的邊長為厘米，長方形的長為厘米，那么長方形的寬為幾厘米？ 【解析】 本題主要是讓學(xué)生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方

19、形可以看作特殊的平行四邊形)三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半證明：連接(我們通過把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在一起)在正方形中，邊上的高，(三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半)同理，正方形與長方形面積相等 長方形的寬(厘米)【例 25】 如圖，正方形ABCD的邊長為6，1.5，2長方形EFGH的面積為 【解析】 連接DE，DF，則長方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，,所以長方形EFGH面積為33【例 26】 如圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC，如果ADE的面積為4平方厘米求三角形CDF的面積 【解

20、析】 連結(jié)AF、CE；又AC與EF平行， (平方厘米)【鞏固】如右圖，在平行四邊形中，直線交于，交延長線于，若，求 的面積 【解析】 本題主要是讓學(xué)生并會運用等底等高的兩個三角形面積相等(或夾在一組平行線之間的三角形面積相等)和等量代換的思想連接，同理，又， ，即【例 27】 圖中兩個正方形的邊長分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米【解析】 【例 28】 如圖，有三個正方形的頂點、恰好在同一條直線上，其中正方形的邊長為10厘米，求陰影部分的面積【解析】 對于這種幾個正方形并排放在一起的圖形，一般可以連接正方形同方向的對角線，連得的這些對角線互相都是平行的，從而可以利用

21、面積比例模型進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化如右圖所示，連接、，則，根據(jù)幾何五大模型中的面積比例模型，可得，所以陰影部分的面積就等于正方形的面積，即為平方厘米【鞏固】右圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是厘米，求三角形的面積 【解析】 這道題似乎缺少大正方形的邊長這個條件，實際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長沒關(guān)系連接(見右上圖)，可以看出，三角形與三角形的底都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等因為三角形是三角形與三角形的公共部分，所以去掉這個公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個部分，即三角形與三角形面積仍然相等根據(jù)等量代換，求三角形的面積等于求三角形的面積，等于【鞏固】(2008年

22、西城實驗考題)如圖，與均為正方形，三角形的面積為6平方厘米，圖中陰影部分的面積為 【解析】 如圖，連接，比較與，由于，即與的底與高分別相等，所以與的面積相等，那么陰影部分面積與的面積相等，為6平方厘米【鞏固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？ 【解析】 方法一：三角形BEF的面積，梯形EFDC的面積三角形BEF的面積，而四邊形CEFH是它們的公共部分，所以，三角形DHF的面積三角形BCH的面積，進(jìn)而可得，陰影面積三角形BDF的面積三角形BCD的面積(平方厘米)方法二：連接CF，那么CF平行BD ，所以，陰影面積三角形BDF的面積三角形

23、BCD的面積(平方厘米)【鞏固】(人大附中考題)已知正方形邊長為10，正方形邊長為6，求陰影部分的面積 【解析】 如果注意到為一個正方形的對角線(或者說一個等腰直角三角形的斜邊)，那么容易想到與是平行的所以可以連接、，如上圖由于與平行，所以的面積與的面積相等而的面積為，所以的面積也為20【例 29】 (2008年”華杯賽”決賽)右圖中，和是兩個正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面積等于6平方厘米，求五邊形的面積 【解析】 連接、，由于與平行，可知四邊形構(gòu)成一個梯形由于面積為6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根據(jù)梯形蝴蝶定理或相似三角形性質(zhì)，可知的面積為12平方厘米，的面積為

24、6平方厘米，的面積為3平方厘米那么正方形的面積為平方厘米，所以其邊長為6厘米又的面積為平方厘米，所以(厘米)，即正方形的邊長為3厘米那么，五邊形的面積為：(平方厘米)【例 30】 (第八屆小數(shù)報數(shù)學(xué)競賽決賽試題)如下圖，、分別是梯形的下底和腰上的點，并且甲、乙、丙個三角形面積相等已知梯形的面積是平方厘米求圖中陰影部分的面積【解析】 因為乙、丙兩個三角形面積相等，底所以到的距離與到的距離相等，即與平行，四邊形是平行四邊形，陰影部分的面積平行四邊形的面積的，所以陰影部分的面積乙的面積設(shè)甲、乙、丙的面積分別為份，則陰影面積為份，梯形的面積為份，從而陰影部分的面積(平方厘米)【例 31】 如圖，已知長

25、方形的面積，三角形的面積是，三角形的面積是，那么三角形的面積是多少？ 【解析】 方法一：連接對角線 是長方形 ， ，方法二：連接，由圖知，所以，又由，恰好是面積的一半，所以是的中點，因此，所以【例 32】 如圖，在平行四邊形中，求陰影面積與空白面積的比【解析】 方法一：因為，所以，因為，所以，所以，同理可得，因為，所以空白部分的面積，所以陰影部分的面積是，所以陰影面積與空白面積的比是【例 33】 (第七屆”小機靈杯”數(shù)學(xué)競賽五年級復(fù)賽)如圖所示，三角形中，是邊的中點，是邊上的一點，且，為與的交點若的面積為平方厘米，的面積為平方厘米且是平方厘米，那么三角形的面積是 平方厘米【解析】 ，所以(平方

26、厘米)所以(平方厘米)【例 34】 如圖，在梯形中，且的面積比的面積小10平方厘米梯形的面積是 平方厘米【解析】 根據(jù)題意可知，則，而平方厘米，所以，則平方厘米又，所以平方厘米所以(平方厘米)【鞏固】(第五屆小數(shù)報數(shù)學(xué)競賽初賽)如圖，是梯形的一條對角線，線段與平行， 與相交于點已知三角形的面積比三角形的面積大平方米，并且求梯形的面積 【解析】 連接根據(jù)差不變原理可知三角形的面積比三角形大4平方米，而三角形與三角形面積相等，因此也與三角形面積相等，從而三角形的面積比三角形的大4平方米 但，所以三角形的面積是三角形的，從而三角形的面積是(平方米)，梯形的面積為：(平方米)【例 35】 如右圖所示，

27、在長方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是，那么圖中陰影部分的面積是多少？【解析】 三角形的面積三角形的面積長方形面積陰影部分面積；又因為三角形的面積三角形的面積長方形面積，所以可得：陰影部分面積【例 36】 圖中是一個各條邊分別為5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形將它的短直角邊對折到斜邊上去與斜邊相重合，那么圖中的陰影部分(即未被蓋住的部分)的面積是多少平方厘米？ 【解析】 如下圖，為了方便說明，將某些點標(biāo)上字母有為直角，而，所以也為直角.而.與同高，所以面積比為底的比，及=，設(shè)的面積為“8”，則的面積為“5”是由折疊而成，所以有、面積相等，是由、組成，所以=“8”+“5”+“5”

28、=“18”對應(yīng)為，所以“1”份對應(yīng)為，那么ADE的面積為=平方厘米即陰影部分的面積為平方厘米【例 37】 如圖，長方形的面積是2平方厘米，是的中點陰影部分的面積是多少平方厘米？【解析】 如下圖，連接，、的面積相等，設(shè)為平方厘米;、的面積相等，設(shè)為平方厘米，那么的面積為平方厘米 ，所以有比較、式，式左邊比式左邊多，式右邊比式右邊大0.5，有，即,而陰影部分面積為平方厘米【例 38】 (2007年六年級希望杯二試試題)如圖，三角形田地中有兩條小路和，交叉處為，張大伯常走這兩條小路，他知道,且則兩塊地和的面積比是_ 【解析】 方法一：連接設(shè)的面積為1， 的面積，則根據(jù)題上說給出的條件，由得，即的面積

29、為、;又有，、，而；得，所以方法二：連接，設(shè)(份)，則,設(shè)則有，解得，所以方法三：過點作交于點，由相似得,又因為，所以，所以兩塊田地ACF和CFB的面積比【例 39】 (年第一屆”學(xué)而思杯”綜合素質(zhì)測評六年級試)如圖，被分成個面積相等的小三角形，那么 【解析】 由題意可知，所以，；又，所以，同樣分析可得，所以【鞏固】（2009年清華附中入學(xué)測試題）如圖，在角的兩邊上分別有、及、六個點，并且、的面積都等于1，則的面積等于 【解析】 根據(jù)題意可知，所以，【例 40】 、分別為直角梯形兩邊上的點，且、彼此平行，若，求陰影部分的面積 【解析】 連接、由于、彼此平行，所以四邊形是梯形，且與該梯形的兩個底

30、平行，那么三角形與、三角形與的面積分別相等，所以三角形的面積與三角形的面積相等而三角形的面積根據(jù)已知條件很容易求出來由于為直角梯形，且，所以三角形的面積的面積為：所以三角形的面積為25【例 41】 (2007年人大附中分班考試題)已知為等邊三角形，面積為400，、分別為三邊的中點，已知甲、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積(丙是三角形)【解析】 因為、分別為三邊的中點，所以、是三角形的中位線，也就與對應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形和三角形的面積都等于三角形的一半，即為200根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有，即，所以又，所以【例 42】 (2009年四中入學(xué)測試題)如圖，已知，線段將圖形分成兩

31、部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形的面積是 【解析】 連接，根據(jù)題意可知，；所以，于是：；可得故三角形的面積是40【鞏固】(第四屆希望杯)如圖，點、在線段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，將整個圖形分成上下兩部分，下邊部分面積是平方厘米，上邊部分面積是平方厘米，則三角形的面積是多少平方厘米？【解析】 連接設(shè)的面積是,由于所以的面積是、的面積是由于上半部分的面積是平方厘米所以的面積是()平方厘米，因為下半部分的面積是平方厘米所以的面積是()平方厘米，因為是的2倍所以可以列方程為：()解得，的面積為平方厘米.【例 43】 (2008年仁華考題)如圖，正方形的邊長為10，四邊形的

32、面積為5，那么陰影部分的面積是 【解析】 如圖所示，設(shè)上的兩個點分別為、連接根據(jù)面積比例模型，與的面積是相等的，那么與的面積之和，等于與的面積之和，即等于的面積而的面積為正方形面積的一半，為又與的面積之和與陰影部分的面積相比較，多了2個四邊形的面積，所以陰影部分的面積為：【鞏固】如圖，正方形的邊長為12，陰影部分的面積為60，那么四邊形的面積是 【解析】 如圖所示，設(shè)上的兩個點分別為、連接根據(jù)面積比例模型，與的面積是相等的，那么與的面積之和，等于與的面積之和，即等于的面積而的面積為正方形面積的一半，為又與的面積之和與陰影部分的面積相比較，多了2個四邊形的面積，所以四邊形的面積為：【例 44】

33、(2008年走美六年級初賽)如圖所示，長方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，四邊形的面積為 【解析】 利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進(jìn)而求出四邊形的面積由于長方形的面積為，所以三角形的面積為，所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為另解：從整體上來看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色部分的面積，而三角形面積三角形面積為長方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即，所以四邊形的面積為【鞏固】(2008年”華杯賽”初賽)如圖所示，矩形的面積為24平方厘米三角形與三角形 的面積之

34、和為平方厘米，則四邊形的面積是 平方厘米【解析】 因為三角形與三角形的面積之和是矩形的面積的一半，即12平方厘米，又三角形與三角形的面積之和為平方厘米，則三角形與三角形的面積之和是平方厘米，則四邊形的面積三角形面積三角形與三角形的面積之和三角形面積(平方厘米)【鞏固】如圖所示，矩形的面積為36平方厘米，四邊形的面積是3平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米【解析】 因為三角形面積為矩形的面積的一半，即18平方厘米，三角形面積為矩形的面積的，即9平方厘米，又四邊形的面積為3平方厘米，所以三角形與三角形的面積之和是平方厘米又三角形與三角形的面積之和是矩形的面積的一半，即18平方厘米，所以陰影部分面

35、積為(平方厘米)【鞏固】(2008年清華附中考題)如圖，長方形的面積是36，是的三等分點，則陰影部分的面積為 【解析】 如圖，連接根據(jù)蝴蝶定理，所以；，所以又，所以陰影部分面積為：【例 45】 (清華附中分班考試題)如圖，如果長方形的面積是平方厘米，那么四邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 如圖，過、分別作長方形的各邊的平行線易知交成中間的陰影正方形的邊長為厘米，面積等于平方厘米設(shè)、的面積之和為，四邊形的面積等于，則，解得(平方厘米)【例 46】 (2008年日本第12屆小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽初賽)如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長為的正方形，則陰影部分四邊形的面積是 【解析】 如圖所示，分

36、別過陰影四邊形的四個頂點作正方形各邊的平行線，相交得長方形，易知長方形的面積為平方厘米從圖中可以看出，原圖中四個空白三角形的面積之和的2倍，等于、 四個長方形的面積之和，等于正方形的面積加上長方形的面積，為平方厘米，所以四個空白三角形的面積之和為平方厘米，那么陰影四邊形的面積為平方厘米【鞏固】如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長為厘米的正方形，則陰影部分四邊形的面積是多少平方厘米？ 【解析】 如圖所示，分別過陰影四邊形的四個頂點作正方形各邊的平行線，相交得長方形，易知長方形的面積為平方厘米從圖中可以看出，原圖中四個空白三角形的面積之和的2倍，等于、 四個長方形的面積之和，等于正方形的面積加上長

37、方形的面積，為平方厘米，所以四個空白三角形的面積之和為平方厘米，那么陰影四邊形的面積為平方厘米【鞏固】已知正方形的邊長為10，則 【解析】 如圖，作于，于則四邊形分為4個直角三角形和中間的一個長方形，其中的4個直角三角形分別與四邊形周圍的4個三角形相等，所以它們的面積和相等，而中間的小長方形的面積為，所以【例 47】 如圖，三角形的面積是，、的長度分別為11、3求長方形的面積 【解析】 如圖，過作，過作，、交于，連接則另解：設(shè)三角形、的面積之和為，則正方形的面積為從圖中可以看出，三角形、的面積之和的2倍，等于正方形的面積與長方形的面積之和，即，得，所以正方形的面積為【例 48】 (2008年第

38、二屆兩岸四地華羅庚金杯數(shù)學(xué)精英邀請賽)如圖，長方形中，、分別是邊上的兩點，那么，三角形面積的最小值是 【解析】 由于長方形的面積是一定的，要使三角形面積最小，就必須使、的面積之和最大由于、都是直角三角形，可以分別過、作、的平行線，可構(gòu)成三個矩形、和，如圖所示容易知道這三個矩形的面積之和等于、的面積之和的2倍，而這三個矩形的面積之和又等于長方形的面積加上長方形的面積所以為使、的面積之和最大，只需使長方形的面積最大長方形的面積等于其長與寬的積，而其長，寬，由題知，根據(jù)”兩個數(shù)的和一定，差越小，積越大”，所以當(dāng)與的差為0，即與相等時它們的積最大，此時長方形的面積也最大，所以此時三角形面積最小當(dāng)與相等

39、時，此時三角形的面積為：(也可根據(jù)得到三角形的面積)【例 49】 (2007首屆全國資優(yōu)生思維能力測試)是邊長為12的正方形，如圖所示，是內(nèi)部任意一點，、，那么陰影部分的面積是 【解析】 （法1）特殊點法由于是內(nèi)部任意一點，不妨設(shè)點與點重合(如上中圖)，那么陰影部分就是和而的面積為，的面積為，所以陰影部分的面積為（法2）尋找可以利用的條件，連接、可得右上圖所示： 則有: 同理可得：; 而,即； 同理：,; 所以： 而； ； 所以陰影部分的面積是： 即為：【例 50】 如圖所示，在四邊形中，分別是各邊的中點，求陰影部分與四邊形的面積之比 【解析】 (法1)設(shè)，連接知，；所以；同理于是；注意到這四

40、個三角形重合的部分是四塊陰影小三角形，沒算的部分是四邊形；因此四塊陰影的面積和就等于四邊形的面積(法2)特殊值法(只用于填空題、選擇題)，將四邊形畫成正方形，很容易得到結(jié)果【鞏固】(2008年”希望杯”二試六年級)如圖，、分別是四邊形各邊的中點，與交于點，、及分別表示四個小四邊形的面積試比較與的大小 【解析】 如右圖，連接、，則可判斷出，每條邊與點所構(gòu)成的三角形都被分為面積相等的兩部分，且每個三角形中的兩部分都分屬于、這兩個不同的組合，所以可知【例 51】 如圖，四邊形中，已知四邊形的面積等于4，則四邊形的面積 【解析】 運用三角形面積與底和高的關(guān)系解題連接、，因為，所以，在中，在中，在中，在

41、中，因為，所以又因為，所以【拓展】如圖，對于任意四邊形，通過各邊三等分點的相應(yīng)連線，得到中間四邊形，求四邊形的面積是四邊形的幾分之幾？【解析】 分層次來考慮：如下左圖，所以又因為，所以； 如右上圖，已知，；所以；所以，即是三等分點；同理，可知、都是三等分點；所以再次應(yīng)用的結(jié)論，可知，【例 52】 (2008年日本小學(xué)算數(shù)奧林匹克大賽決賽)有正三角形，在邊、的正中間分別取點、，在邊、上分別取點、，使，當(dāng)和、和、和的相交點分別是、時，使這時，三角形的面積是三角形的面積的幾分之幾？請寫出思考過程【解析】 連接、，顯然，是正三角形將放大至如圖 圖 圖連，由對稱性知，因此，同理，所以，【例 53】 如圖

42、：已知在梯形中，上底是下底的，其中是邊上任意一點，三角形、三角形、三角形的面積分別為、求三角形的面積 【解析】 如圖，設(shè)上底為，下底為，三角形與三角形的高相差為由于，所以即又，所以【例 54】 如圖，已知是梯形，求的面積 【解析】 本題是09年六年級試題，初看之下，是梯形這個條件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四邊形內(nèi)似乎也可以用到蝴蝶定理，然而經(jīng)過試驗可以發(fā)現(xiàn)這幾個模型在這里都用不上，因為、這兩個點的位置不明確再看題目中的條件，這兩個條件中的前一個可以根據(jù)差不變原理轉(zhuǎn)化成與的面積差，則是與的面積差，兩者都涉及到、以及有同一條底邊的兩個三角形，于是想到過、分別作梯形底邊的平行線如右圖，分別過、作梯形

43、底邊的平行線，假設(shè)這兩條直線之間的距離為再過作的垂線由于，所以，故根據(jù)差不變原理，這個差等于與的面積之差而與有一條公共的底邊，兩個三角形邊上的高相差為，所以它們的面積差為，故再看，它的面積等于是與的面積之差，這兩個三角形也有一條公共的底邊，邊上的高也相差，所以這兩個三角形的面積之差為，故由于，所以，則，所以【例 55】 （2009年迎春杯決賽高年級組）如圖，是一個四邊形，、分別是、的中點如果、與的面積分別是6、7和8，且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)，則四邊形的面積為 【解析】 連接、由于是的中點，所以與的面積相等，而比的面積大1，所以比的面積大1；又由于是的中點，所以的面積與的面積相等，那么的

44、面積比的面積大1，所以的面積為9假設(shè)的面積為，則的面積為根據(jù)幾何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面積為，的面積為要使這兩個三角形的面積為整數(shù)，可以為1，3或7由于的面積為面積的一半，的面積為面積的一半，所以與的面積之和為四邊形面積的一半，所以與的面積之和等于四邊形的面積，即：，得將、3、7分別代入檢驗，只有時等式成立，所以的面積為7，、的面積分別為8、6、9四邊形ABCD的面積為小結(jié)：本題中“且圖中所有三角形的面積均為整數(shù)”這個條件是多余的板塊二 鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點如

45、圖 (或在的延長線上，在上)，則 圖 圖【例 56】 如圖在中，分別是上的點，且，平方厘米，求的面積 【解析】 連接，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比 【鞏固】如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？ 【解析】 連接 又，【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？ 【解析】 連接，又，【例 57】 如圖在中，在的延長線上，在上，且，平方厘米，求的面積 【解析】 連接， ，所以，設(shè)份，則份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比【例 58】 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點，三角形AFE(圖中陰影部分)的面積為8平方厘米平行四邊形的面積是多少平方厘米？【解析】 連接FB三角形A