線性方程組向量組相關(guān)性習(xí)題課學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第一頁，共55頁。第1頁/共54頁第二頁，共55頁。定義定義12121122:,ssssAk kkkkkA 給給定定向向量量組組對對于于任任何何一一組組實實數(shù)數(shù)向向量量稱稱為為向向量量組組 的的一一個個線線性性組組合合1212112212:,:,.sssssAbk kkbkkkbAbA 給給定定向向量量組組和和向向量量如如果果存存在在一一組組實實數(shù)數(shù)使使則則向向量量 是是向向量量組組 的的線線性性組組合合 這這時時稱稱向向量量 可可經(jīng)經(jīng)向向量量組組線線性性表表出出第2頁/共54頁第三頁，共55頁。定義定義(dngy)1212:,:,.,.msABBABAABa aabbb設(shè)設(shè)有有兩兩個

2、個向向量量組組及及若若 組組中中的的每每個個向向量量都都能能由由向向量量組組線線性性表表示示 則則稱稱向向量量組組 能能由由向向量量組組若若向向量量組組 與與向向量量組組 能能相相互互線線性性表表出出 則則稱稱這這兩兩個個向向量量性性表表出出組組線線等等價價1.1.自自向向量量組組反反性性，線線性性表表出出性性質(zhì)質(zhì)2.2.傳傳遞遞性性1.1.自自反反性性，2.2.傳傳遞遞性性向向量量組組，3 3等等價價性性質(zhì)質(zhì). .對對稱稱性性第3頁/共54頁第四頁，共55頁。定義定義:如果向量組如果向量組 中有中有一向量一向量12,(2)ss 稱為稱為線性相關(guān)線性相關(guān)的的.可經(jīng)其余向量線性表出，則向量組可經(jīng)

3、其余向量線性表出，則向量組12,s 定義定義：向量組向量組 稱為線性相關(guān)稱為線性相關(guān)12,(1)ss 如果存在如果存在 P 上上不全為零不全為零的數(shù)的數(shù) 12,sk kk11220.sskkk使使第4頁/共54頁第五頁，共55頁。定義定義：若向量組若向量組 不線性相關(guān)，則稱不線性相關(guān)，則稱12,s 若不存在若不存在 P 中不中不全為零的數(shù)全為零的數(shù) ，使使12,sk kkP 11220sskkk向量組向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 即即則稱向量組則稱向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 11220sskkk必有必有120,skkk等價的，對于一個向量組等價的，對于一個向量組1

4、2,s 若由若由則稱向量組則稱向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 第5頁/共54頁第六頁，共55頁。1）一向量組線性相關(guān)的）一向量組線性相關(guān)的充要條件充要條件是其中至少有一是其中至少有一個向量可由其余向量線性表出個向量可由其余向量線性表出. 121212):,:,.,.sssABBA 若若向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 則則向向量量組組也也線線性性相相關(guān)關(guān) 反反言言之之 若若向向量量組組 線線性性無無關(guān)關(guān) 則則向向量量組組 也也線線性性無無關(guān)關(guān)部分相關(guān)部分相關(guān)(xinggun)-整體相關(guān)整體相關(guān)(xinggun)（整體無關(guān)（整體無關(guān)(wgun)-部分無關(guān)部分無關(guān)(wgun)）12123)

5、:,:,.ssAa aaBbba aaA設(shè)設(shè)向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 而而向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 則則向向量量 必必能能由由向向量量組組 線線性性表表示示 且且表表示示式式是是唯唯一一的的第6頁/共54頁第七頁，共55頁。111,12214),(1,2, ).:,:,.,.jjjjrjrjrjjjssaajsaaaABBA 設(shè)設(shè)即即向向量量添添上上一一個個分分量量后后得得到到向向量量若若向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān) 則則向向量量組組也也線線性性無無關(guān)關(guān) 反反言言之之 若若向向量量組組 線線性性相相關(guān)關(guān) 則則向向量量組組也也線線性性相相關(guān)關(guān)短向量線性無關(guān)短向量線性無關(guān)(wgun)(wg

6、un)，則加長向量線性無關(guān)，則加長向量線性無關(guān)(wgun)(wgun)；長向量線性相關(guān)，則縮短向量線性相關(guān)長向量線性相關(guān)，則縮短向量線性相關(guān)第7頁/共54頁第八頁，共55頁。定理定理2 設(shè)設(shè) 與與 為兩個為兩個12,s 12,r i) 向量組向量組 可經(jīng)可經(jīng) 線性表出線性表出；12,s 12,r 則向量組則向量組 必線性相關(guān)必線性相關(guān).12,r ii).rs 向量組，若向量組，若推論推論1 若向量組若向量組 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,r 12,s 線性表出，且線性表出，且 線線線性無關(guān)線性無關(guān)，則則 12,r .rs 推論推論2 2任意任意(rny) n(rny) n1 1 個個 n n 維

7、向量必線性相關(guān)維向量必線性相關(guān). . 推論推論3兩個線性無關(guān)的等價兩個線性無關(guān)的等價(dngji)向量組必含相同個數(shù)的向量組必含相同個數(shù)的向量向量第8頁/共54頁第九頁，共55頁。定義定義12,riiiAAr 設(shè)設(shè)有有向向量量組組如如果果在在 中中能能選選出出 個個向向量量滿滿足足120(1):,;riiiA 部部分分組組線線性性無無關(guān)關(guān),)1(1)2(都都線線性性相相關(guān)關(guān)個個向向量量的的話話中中有有如如果果個個向向量量中中任任意意向向量量組組 rArA0();.AArA極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組 簡簡稱稱極極那那么么稱稱向向量量組組是是向向量量組組 的的一一個個極極大大無無關(guān)關(guān)組組

8、所所含含向向量量個個數(shù)數(shù) 稱稱為為向向量量組組無無關(guān)關(guān)組組的的大大秩秩第9頁/共54頁第十頁，共55頁。等價等價(dngji)(dngji)的向量組的秩相等的向量組的秩相等定理定理(dngl)(dngl) 矩陣的秩等于矩陣的秩等于(dngy)(dngy)它的列向量組的秩，也等于它的列向量組的秩，也等于(dngy)(dngy)它的行向量組的秩它的行向量組的秩定理定理設(shè)向量組設(shè)向量組B B能由向量組能由向量組A A線性表示，則向量線性表示，則向量組組B B的秩不大于向量組的秩不大于向量組A A的秩的秩推論推論第10頁/共54頁第十一頁，共55頁。推論：一個推論：一個(y )向量組的任意兩個極大無關(guān)

9、組向量組的任意兩個極大無關(guān)組都等價都等價. 命題命題2 2：一個向量：一個向量(xingling)(xingling)組的任意兩個極大無組的任意兩個極大無關(guān)組都含有關(guān)組都含有 相同個數(shù)的向量相同個數(shù)的向量(xingling). (xingling). 命題命題1：向量組和它的任一極大無關(guān)組等價向量組和它的任一極大無關(guān)組等價. .極大無關(guān)極大無關(guān)(wgun)(wgun)組的性質(zhì)組的性質(zhì)1）一個向量組的極大無關(guān)組不是唯一的）一個向量組的極大無關(guān)組不是唯一的.2）一個線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其自身）一個線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其自身. .注：注：第11頁/共54頁第十二頁，共55頁。向量

10、向量(xingling)(xingling)組的秩組的秩 的性質(zhì)的性質(zhì)一個向量組線性相關(guān)的充要條件是一個向量組線性相關(guān)的充要條件是它的秩它所含向量個數(shù)它的秩它所含向量個數(shù).1）一個）一個(y )向量組線性無關(guān)的充要條件向量組線性無關(guān)的充要條件是是 它的秩與它所含向量個數(shù)相同；它的秩與它所含向量個數(shù)相同；2）等價向量組必有相同的秩）等價向量組必有相同的秩. .反之，反之，有相同的秩的兩個向量組不一定等價有相同的秩的兩個向量組不一定等價. .3）若向量組）若向量組12,s 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,t 線性表出，則秩線性表出，則秩 12,s 秩秩 12,t 第12頁/共54頁第十三頁，共55頁。

11、6.6.矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)的秩的秩矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的行秩與矩陣的列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩矩陣的秩，定義定義 1. 1.設(shè)，則設(shè)，則 ijs nAa ( )min( , ).R As n 定理定理5 設(shè)設(shè) ， 則則()ijn nAa 0( );AR An 0( )AR An第13頁/共54頁第十四頁，共55頁。推論推論(tuln)1齊次線性方程組齊次線性方程組10(1,2,)nijjja xin () ( ).R An有非零解有非零解 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 的行列式的行列式 =0() ijn nAa A( ) ( ).R An只有零解只有零解 0 A( ) 個個 級子式級

12、子式r1r 不等于不等于0，且所有，且所有 級子式等于級子式等于0定理定理6 矩陣矩陣 的秩為的秩為 的充要條件是中有一的充要條件是中有一rAA第14頁/共54頁第十五頁，共55頁。定理定理7 7 線性方程組有解的充分必要條件是線性方程組有解的充分必要條件是的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，即( )( ).R AR A 7.1齊次線性方程組齊次線性方程組解的性質(zhì)；基礎(chǔ)解系解的性質(zhì)；基礎(chǔ)解系1.基礎(chǔ)解系的條件基礎(chǔ)解系的條件2.基礎(chǔ)解系的性質(zhì)：與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)組基礎(chǔ)解系的性質(zhì)：與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)組任意任意(rny)n-r個線性無關(guān)的解向量個線性無關(guān)的解向量

13、3.基礎(chǔ)解系的求法基礎(chǔ)解系的求法第15頁/共54頁第十六頁，共55頁。解的性質(zhì)解的性質(zhì)(xngzh)解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)推論推論 非齊次線性方程組（非齊次線性方程組（3）在有解的條件下，）在有解的條件下，解是唯一的充要條件是它的導(dǎo)出（解是唯一的充要條件是它的導(dǎo)出（4）只有零解）只有零解. .第16頁/共54頁第十七頁，共55頁。一、向量一、向量(xingling)組線性關(guān)系的判定組線性關(guān)系的判定二、求向量二、求向量(xingling)組的秩組的秩三、基礎(chǔ)三、基礎(chǔ)(jch)解系的證法解系的證法四、解向量的證法四、解向量的證法第17頁/共54頁第十八頁，共55頁。12,?sk kk利利用用定定義義：是

14、是否否存存在在一一組組不不全全為為零零的的數(shù)數(shù)使使得得其其線線性性組組合合為為零零向向量量,(),?,:,.線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)還還可可以以通通過過線線性性表表出出的的概概念念來來體體現(xiàn)現(xiàn) 即即看看其其中中有有無無某某個個向向量量可可由由其其余余向向量量線線性性表表出出 此此外外 還還應(yīng)應(yīng)注注意意到到 線線性性相相關(guān)關(guān)與與線線性性無無關(guān)關(guān)是是一一對對的的概概念念 據(jù)據(jù)此此 在在論論證證某某些些相相關(guān)關(guān)性性問問題題時時不不是是我我們們?nèi)稳我庖庖灰煌刹蓚€個向向用用量量排排中中對對立立反反證證法法第18頁/共54頁第十九頁，共55頁。研究這類問題一般有兩個研究這類問題一般有兩

15、個(lin )方法方法方法方法1 1從定義從定義(dngy)(dngy)出發(fā)出發(fā)1122112111222212120,000sssssnnsnkkkaaaaaakkkaaa 令令整理整理(zhngl)得線性方程組得線性方程組第19頁/共54頁第二十頁，共55頁。1112121121222211220,0,( )0,ssssnnsnsa ka ka ka ka ka ka ka ka k 1212( ),.( ),.ss 若若線線性性方方程程組組只只有有唯唯一一零零解解 則則線線性性無無關(guān)關(guān)若若線線性性方方程程組組有有非非零零解解 則則線線性性相相關(guān)關(guān)第20頁/共54頁第二十一頁，共55頁。方

16、法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系方法利用矩陣的秩與向量組的秩之間關(guān)系(gun x)判判定定12121212,(,),().(),(),.ssssnAR AR AsR As 給給出出一一組組 維維向向量量就就得得到到一一個個相相應(yīng)應(yīng)的的矩矩陣陣首首先先求求出出若若則則線線性性無無關(guān)關(guān)若若則則線線性性相相關(guān)關(guān)第21頁/共54頁第二十二頁，共55頁。例研究例研究(ynji)下列向量組的線性相關(guān)性下列向量組的線性相關(guān)性.201,520,321321 解一解一 000201520321, 0321332211kkkkkk即即令令 第22頁/共54頁第二十三頁，共55頁。整理整理(zhngl)得到得到)

17、(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321線線性性相相關(guān)關(guān)從從而而必必有有非非零零解解線線性性方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式線線性性方方程程組組 第23頁/共54頁第二十四頁，共55頁。解二解二,201,520,321321 ,253022101),(321 A矩陣矩陣 000220101253022101初等行變換初等行變換A., 32)(321線線性性相相關(guān)關(guān)故故向向量量組組 AR第24頁/共54頁第二十五頁，共55頁。12121122,:, ,(2).rrrrt ttrttt 設(shè)設(shè)線線性性相相關(guān)關(guān) 證證明明不不全全為為零零

18、的的數(shù)數(shù)使使對對任任何何向向量量 都都有有線線存存在在性性相相關(guān)關(guān)例例2 2分析分析(fnx)考考察察向向量量方方程程我我們們從從定定義義出出發(fā)發(fā) ,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr第25頁/共54頁第二十六頁，共55頁。.,21因因此此可可得得如如下下證證明明恒恒有有非非零零解解每每個個而而使使得得對對數(shù)數(shù)是是否否有有某某組組不不全全為為零零的的 kkkr證明證明(zhngmng)0,22112121 rrrrkkkkkk使使為為零零的的數(shù)數(shù)所所以以存存在在不不全全線線性性相相關(guān)關(guān)因因為為11220rrk x

19、k xk x 考考慮慮線線性性方方程程都都有有則則對對任任意意向向量量零零解解為為任任一一非非設(shè)設(shè)它它必必有有非非零零解解因因為為,),(, 221 tttrr 第26頁/共54頁第二十七頁，共55頁。0)(22112211 tktktkkkkrrrr111222()()()0rrrktktkt 即即., :,221121線線性性相相關(guān)關(guān)不不全全為為零零得得知知由由 tttkkkrrr 第27頁/共54頁第二十八頁，共55頁。1212,:,.(7)ssrr 已已知知向向量量組組的的秩秩是是證證明明中中任任意意 個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量均均構(gòu)構(gòu)成成它它的的一一個個極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)

20、組組 習(xí)習(xí)題題例例3 3證明向量組的一個部分組構(gòu)成極大證明向量組的一個部分組構(gòu)成極大(j d)線性無線性無關(guān)組的基本方法就是：關(guān)組的基本方法就是：分析分析(fnx)根據(jù)極大線性無關(guān)組的定義來證，（本身線性無根據(jù)極大線性無關(guān)組的定義來證，（本身線性無關(guān)，其余向量可由其線性表出）它往往關(guān)，其余向量可由其線性表出）它往往(wngwng)還與向量組的秩相聯(lián)系還與向量組的秩相聯(lián)系第28頁/共54頁第二十九頁，共55頁。證明證明(zhngmng).,), 2 , 1(,212121rskrkiiiksiiirr否否則則這這向向量量組組的的秩秩大大于于相相關(guān)關(guān)線線性性向向量量組組的的于于是是對對于于任任意意

21、個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量中中的的任任意意是是設(shè)設(shè)不不失失一一般般性性 ., 2121線線性性表表出出以以由由可可所所以以線線性性無無關(guān)關(guān)又又向向量量組組 iiikiiirr1212 ,.riiis 由由定定義義 這這就就證證明明了了是是的的一一個個極極大大線線性性無無關(guān)關(guān)組組第29頁/共54頁第三十頁，共55頁。第30頁/共54頁第三十一頁，共55頁。證明：只需證明向量部分證明：只需證明向量部分(b fen)組線性無關(guān)即可，組線性無關(guān)即可，兩向量組等價，具有相同的秩兩向量組等價，具有相同的秩因為向量組個數(shù)因為向量組個數(shù)=秩，則該向量組線性無關(guān)秩，則該向量組線性無關(guān)即證即證證明：向量組證

22、明：向量組(I)的極大的極大(j d)無關(guān)組可由向量組無關(guān)組可由向量組(II)線性表出，而且線性表出，而且(II)的極大的極大(j d)無關(guān)組與無關(guān)組與(II)等價，即，向量組等價，即，向量組(I)的極大的極大(j d)無關(guān)組可由無關(guān)組可由(II)的極大的極大(j d)無關(guān)組線性表出，無關(guān)組線性表出，(I)的極大的極大(j d)無關(guān)組線性無關(guān)，由無關(guān)組線性無關(guān)，由定理定理2的推論的推論1，知，知，R(I)=R(II)第31頁/共54頁第三十二頁，共55頁。證明：證明：兩向量組等價，具有相同兩向量組等價，具有相同(xin tn)的秩的秩n因為向量組個數(shù)因為向量組個數(shù)=秩，則該向量組線性無關(guān)秩，則

23、該向量組線性無關(guān)即證即證證明證明2：R(a1,a2,an)=r=n，R(II)=n,向量組向量組II,可由向量組可由向量組(I)線性表出，線性表出，所以所以(suy)R(II)=n=R(I)=r所以所以(suy)r=n因此因此(I)線性無關(guān)線性無關(guān)即證即證第32頁/共54頁第三十三頁，共55頁。證明：必要性：已知：向量證明：必要性：已知：向量(xingling)組組I線性無關(guān)，結(jié)論線性無關(guān)，結(jié)論:任一任一n維向量維向量(xingling)可可被向量被向量(xingling)組組(I)線性表出。線性表出。向向量向向量(xingling)組組I中任意添加一向量中任意添加一向量(xingling)，

24、構(gòu)成的新向量，構(gòu)成的新向量(xingling)組共有組共有n+1個個n維維向量向量(xingling)構(gòu)成，線性相關(guān)（定理構(gòu)成，線性相關(guān)（定理2推論推論2）證明：充分性：已知：任一證明：充分性：已知：任一n維向量可被向量組維向量可被向量組(I)線性表，線性表，結(jié)論結(jié)論(jiln):出向量組出向量組I線性無關(guān)。線性無關(guān)。任一任一n維向量可被向量組維向量可被向量組I線性表出，則線性表出，則n維單位向量也可被維單位向量也可被其線性表出，由其線性表出，由(t13)可知，向量組可知，向量組I線性無關(guān)線性無關(guān)第33頁/共54頁第三十四頁，共55頁。第34頁/共54頁第三十五頁，共55頁。求一個向量組的秩，

25、可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣求一個向量組的秩，可以把它轉(zhuǎn)化為矩陣(j zhn)的秩來求，的秩來求，這個矩陣這個矩陣(j zhn)是由這組向量為行（列）向量所排成的是由這組向量為行（列）向量所排成的如果向量組的向量以列向量的形式給出，把向量如果向量組的向量以列向量的形式給出，把向量作為矩陣的列，對矩陣作初等行變換，這樣，不僅作為矩陣的列，對矩陣作初等行變換，這樣，不僅可以求出向量組的秩，而且可以求出極大可以求出向量組的秩，而且可以求出極大(j d)線性無關(guān)線性無關(guān)組組若矩陣若矩陣 A 經(jīng)過初等行變換化為矩陣經(jīng)過初等行變換化為矩陣 B，則，則A和和B中中任何對應(yīng)的列向量組都有相同的線性相關(guān)性任何對應(yīng)的列向量

26、組都有相同的線性相關(guān)性第35頁/共54頁第三十六頁，共55頁。.)1, 4, 6, 2(),1, 2, 3, 1( ),1, 1, 1, 0(),1, 1, 2, 1( ),0, 0, 1, 1(54321的秩的秩求向量組求向量組 TTTTT例4例4解解 為為階階梯梯形形化化行行變變換換作作初初等等對對作作矩矩陣陣AAA, 54321 第36頁/共54頁第三十七頁，共55頁。 1234511012121360112401111A 1111042110421102101112rr324211012011240000000035rrrr 0000053000421102101134rr .5432

27、1U 記作記作第37頁/共54頁第三十八頁，共55頁。, 3)( ARA的的列列秩秩. 3,54321的的秩秩為為故故向向量量組組 00000530004211021011 ) (54321 U, 421無無關(guān)關(guān)組組線線性性的的列列向向量量組組的的一一個個最最大大是是又又U ., 421線線性性無無關(guān)關(guān)組組的的列列向向量量組組的的一一個個最最大大也也是是所所以以A 第38頁/共54頁第三十九頁，共55頁。例例5證明與基礎(chǔ)解系等價證明與基礎(chǔ)解系等價(dngji)的線性無關(guān)的向量組的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系也是基礎(chǔ)解系分析分析(fnx)(3)方程組的任一解均可由該向量組線性表示方程組的任一解均

28、可由該向量組線性表示(1)該組向量都是方程組的解；該組向量都是方程組的解；(2)該組向量線性無關(guān)；該組向量線性無關(guān)；要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解要證明某一向量組是方程組的基礎(chǔ)解系，需要證明三個結(jié)論系，需要證明三個結(jié)論:0 AX第39頁/共54頁第四十頁，共55頁。證明證明(zhngmng).,0,212121ntaaaAXtnt 即即向向量量個個數(shù)數(shù)相相等等所所以以這這兩兩個個向向量量組組所所含含數(shù)數(shù)是是相相同同的的向向量量組組所所含含向向量量個個因因為為等等價價的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的向向量量組組等等價價的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的是是與與系系的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解是是方方程程組組設(shè)設(shè) .

29、0 ,), 2 , 1(,2121的的解解都都是是故故合合仍仍然然是是原原方方程程組組的的解解而而解解的的線線性性組組的的線線性性組組合合可可以以表表示示成成知知由由向向量量組組的的等等價價關(guān)關(guān)系系易易 AXaaatiatti 第40頁/共54頁第四十一頁，共55頁。.,21線線性性無無關(guān)關(guān)由由題題設(shè)設(shè)知知aaat.,021212121線線性性表表示示也也可可由由故故線線性性表表示示均均可可由由由由向向量量組組的的等等價價性性線線性性表表示示可可由由則則的的任任一一解解為為方方程程組組設(shè)設(shè)aaaaaaAXtttt .0,21的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系也也是是方方程程組組故故由由定定義義知知

30、AXaaat注注 當(dāng)線性方程組有非零解時，基礎(chǔ)解系的取當(dāng)線性方程組有非零解時，基礎(chǔ)解系的取法不唯一，且不同法不唯一，且不同(b tn)的基礎(chǔ)解系之間是等價的的基礎(chǔ)解系之間是等價的第41頁/共54頁第四十二頁，共55頁。111, .:(1),;(2),1.(3),1,1.n rn rn rAXBAXBnrAXBXnr 設(shè)設(shè)是是非非齊齊次次線線性性方方程程組組的的一一個個解解是是其其導(dǎo)導(dǎo)出出組組的的一一個個基基礎(chǔ)礎(chǔ) 解解系系 證證明明線線性性無無關(guān)關(guān)是是方方程程組組的的個個線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解方方程程組組的的任任一一解解都都可可以以表表示示為為這這個個解解的的線線性性組組合合 而而且且組組合合

31、系系數(shù)數(shù)之之和和為為例例6 6第42頁/共54頁第四十三頁，共55頁。. 0)(, 0)1(0110 kkkkrnrn其中必有其中必有令令 證明證明(zhngmng). 0,0,0,0210101 kBAXAXAXkkkkrnrnrn所以所以矛盾矛盾的解的解齊次方程組齊次方程組是非是非而等式左邊而等式左邊的解的解必是必是其線性組合其線性組合故等式右邊為故等式右邊為的解的解是齊次方程組是齊次方程組由于由于有有否則否則 , 0,)(022110 rnrnkkkk則有則有式式代入代入將將第43頁/共54頁第四十四頁，共55頁。., 0,0,21212121線性無關(guān)線性無關(guān)于是于是故有故有線性無關(guān)線性

32、無關(guān)所以所以的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系是是因為因為 rnrnrnrnkkkAX .,), 2 , 1()2(再證它們線性無關(guān)再證它們線性無關(guān)的解的解都是都是知知由線性方程組解的性質(zhì)由線性方程組解的性質(zhì)BAXrnii 所以所以線性無關(guān)線性無關(guān)的證明知的證明知由由則則令令,)1(, 0)(, 0)()(211110110 rnrnrnrnrnrnkkkkkkkk 第44頁/共54頁第四十五頁，共55頁。 , 0, 0, 0, 021210kkkkkkkrnrn., 0,21210線性無關(guān)線性無關(guān)故故得得解之解之 rnrnkkkk 第45頁/共54頁第四十六頁，共55頁?？杀頌榭杀頌閯t則的任一解的任一解為

33、方程組為方程組設(shè)設(shè)XBAXX,)3( rnrntttX 2211)()(11 rnrntt)()()1(111 rnrnrntttt , 1,11001 ttttttrnrn則則令令都都可可以以表表示示為為的的任任一一解解故故XBAX 第46頁/共54頁第四十七頁，共55頁。. 1),()( 10110 ttttttXrnrnrn且且 注意注意(1)本例是對非齊次線性方程組的解本例是對非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)作進一步的分析和討論，即非齊次線性方的結(jié)構(gòu)作進一步的分析和討論，即非齊次線性方程組一定存在著個線性無關(guān)的解，題中程組一定存在著個線性無關(guān)的解，題中(2)的證明表明了它的存在性的證明表明了

34、它的存在性BAX 1 rn(3)對非齊次線性方程組，有時也把對非齊次線性方程組，有時也把如題中所給的個解稱為的基礎(chǔ)如題中所給的個解稱為的基礎(chǔ)解系，所不同的是它的線性組合只有當(dāng)線性組合解系，所不同的是它的線性組合只有當(dāng)線性組合系數(shù)之和為系數(shù)之和為1時，才是方程組的解時，才是方程組的解BAX BAX 1 rn(2)對齊次線性方程組，當(dāng)時，對齊次線性方程組，當(dāng)時，有無窮多組解，其中任一解可由其基礎(chǔ)解系線性有無窮多組解，其中任一解可由其基礎(chǔ)解系線性表示表示nrAR )(第47頁/共54頁第四十八頁，共55頁。第四章測試題第四章測試題一、填空題一、填空題 .,1 , 2 , 0 , 1, 1 , 0 ,

35、 10 , 3 , 2, 4,5 , 0 , 1, 2 . 14321線性相關(guān)線性相關(guān)時時則則設(shè)設(shè) kk .,0 , 3 , 1,4 , 3 , 5, 0,2, 0 , 2 , 1,0 , 3 , 1, 2 . 24321線性無關(guān)線性無關(guān)時時則則設(shè)設(shè) tt 則則該該向向量量組組的的秩秩是是已已知知向向量量組組,7 , 6 , 5 , 4,6 , 5 , 4 , 3,5 , 4 , 3 , 2,4 , 3 , 2 , 1 . 34321 第48頁/共54頁第四十九頁，共55頁。則向量個數(shù)則向量個數(shù)線性表出線性表出均可由向量組均可由向量組維單位向量組維單位向量組, . 42121snn ARA則秩則秩已知已知1101001100001100001100101 . 5第49頁/共54頁第五十頁，共5