線性控制系統(tǒng)理論與方法動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁(yè)，共129頁(yè)。 一、基本概念一、基本概念 定義定義 3.1、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)指其行為可用時(shí)間函數(shù)表示的任何過(guò)程，這個(gè)過(guò)程由有限個(gè)微分方程（常微分方程組，微分-代數(shù)方程組、偏微分方程組、泛函微分方程組或隨機(jī)微分方程組）確定，如工程系統(tǒng)、生物系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)和社會(huì)系統(tǒng)等。 由微分方程的類型可以把動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分為：集中參數(shù)系統(tǒng)、奇異系統(tǒng)（Singular System） （或廣義系統(tǒng)(General System)、描述系統(tǒng)(Descriptor System)） 、分布參數(shù)系統(tǒng)(Distribution Parameter System)、時(shí)滯系統(tǒng)(Time-delay System(包括滯后系統(tǒng)

2、（Retarded System）和中立系統(tǒng)（ Neutral System)和隨機(jī)系統(tǒng)(Stochastic System)等。 3.1系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)模型的建立模型的建立Construction of System Model第1頁(yè)/共128頁(yè)第二頁(yè)，共129頁(yè)。定義定義 3.2、系統(tǒng)的輸入是指由外部源（環(huán)境）加到系統(tǒng)上的全部激勵(lì)，常用 u 表示。 定義定義 3.3、系統(tǒng)的輸出是指系統(tǒng)對(duì)環(huán)境的作用，由能從外部直接觀測(cè)到的信息組成，常用 y 表示。 定義定義 3.4、系統(tǒng)中除過(guò)外部變量，用以刻畫系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)刻所處狀況的變量是系統(tǒng)的內(nèi)部變量，常用 x 表示。 通常一個(gè)系統(tǒng)可用方塊圖來(lái)表示（

3、見圖 3.1） 。 圖3.1 系統(tǒng)(xtng)的方框圖表示 第2頁(yè)/共128頁(yè)第三頁(yè)，共129頁(yè)。定義定義3.5、系統(tǒng)模型、系統(tǒng)模型就是反映系統(tǒng)變量間的就是反映系統(tǒng)變量間的第3頁(yè)/共128頁(yè)第四頁(yè)，共129頁(yè)。圖3.2 RLC電路(dinl) 第4頁(yè)/共128頁(yè)第五頁(yè)，共129頁(yè)。d ( )( )( )dd ( )( )( )d( )( )i tu tLv ttv ti tCy ttv ty tR (3.1) 其中(qzhng)： 0000)(,)(vtviti第5頁(yè)/共128頁(yè)第六頁(yè)，共129頁(yè)。22d( )1 d ( )11( )( )ddy ty ty tu ttRCtLCRLC (3.

4、2) 選擇電感(din n)電流和電容兩端電壓為內(nèi)部變量，則狀態(tài)空間模型為：d ( )1111( )( )0( )d( )( )1111d ( )( )( )( )0d( )i tv tu ti ttLLLLu tv tv ti tv tCRCCRCt)()(10)(tvtiRty(3.3) 第6頁(yè)/共128頁(yè)第七頁(yè)，共129頁(yè)。其中( ), ( )y s u s分別是輸出和輸入的 Laplace 變換量。 2111( )( )( )( )s y ssy sy su sRCLCRLC當(dāng)111 ,23CF LH R時(shí)，我們有 221( )611( )32y sRLCu sssssRCLC2( )

5、6( )( )32y sh su sss稱為系統(tǒng)(3.2)的傳遞函數(shù)。 第7頁(yè)/共128頁(yè)第八頁(yè)，共129頁(yè)。圖3.3 車輛(chling)系統(tǒng) 第8頁(yè)/共128頁(yè)第九頁(yè)，共129頁(yè)。)()(01)()(20)()(6010)(2)(6)()()(tvtytytutvtytutvtvtvty 由以上兩例可以看出：I/O模型只是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全描述，它不能反映系統(tǒng)內(nèi)部（黑箱）的某些部分信息。而狀態(tài)空間模型則是基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的分析，由兩個(gè)微分方程和一個(gè)代數(shù)方程(dish fngchng)組成。我們把反映系統(tǒng)內(nèi)部變量組與輸入變量組之間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式(常是差分方程與微分方程形式)，稱為狀態(tài)方

6、程；另一個(gè)是表征系統(tǒng)內(nèi)部變量組及輸入變量組和輸出變量組間的轉(zhuǎn)換關(guān)系的代數(shù)方程(dish fngchng)，稱為輸出方程。 第9頁(yè)/共128頁(yè)第十頁(yè)，共129頁(yè)。由以上兩例可以看由以上兩例可以看出：出：I/O模型只是對(duì)系模型只是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全統(tǒng)的一種不完全(wnqun)描述，它不描述，它不能反映系統(tǒng)內(nèi)部（黑箱）能反映系統(tǒng)內(nèi)部（黑箱）及輸入變量組和輸出變及輸入變量組和輸出變量組間的轉(zhuǎn)換關(guān)系的代量組間的轉(zhuǎn)換關(guān)系的代數(shù)方程，稱為輸出方程。數(shù)方程，稱為輸出方程。第10頁(yè)/共128頁(yè)第十一頁(yè)，共129頁(yè)。定義定義 3.6、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)定義為完全表達(dá)系統(tǒng)時(shí)間域行為的一個(gè)最 小 內(nèi) 部 變 量 組 。

7、這 個(gè) 變 量 組 的 變 量 稱 為 狀 態(tài) 變 量 ， 記 為12( ),( ),( )nx txtxt。最小內(nèi)部變量組10( ),( )( ),Tnx txtx t tt稱為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，狀態(tài)向量取值的向量空間稱為狀態(tài)空間。 為了正確理解狀態(tài)和狀態(tài)空間的含義，有必要對(duì)其定義作如下幾點(diǎn)解釋。 只要給定這組變量12( ),( ),( )nx txtxt在0t時(shí)刻的值，以及輸入變量12( ),( ),( )pu t utut在0tt各瞬時(shí)的值，則系統(tǒng)中任何一個(gè)變量在0tt時(shí)的運(yùn)動(dòng)行為就隨之確定了。 第11頁(yè)/共128頁(yè)第十二頁(yè)，共129頁(yè)。第12頁(yè)/共128頁(yè)第十三頁(yè)，共129頁(yè)。狀態(tài)變量組

8、在物理上的特征狀態(tài)變量組在物理上的特征為：若狀態(tài)變量個(gè)數(shù)為：若狀態(tài)變量個(gè)數(shù)n為有窮正為有窮正整數(shù)時(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為有窮維整數(shù)時(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為有窮維系統(tǒng)，且稱系統(tǒng)，且稱n為系統(tǒng)的階次；當(dāng)為系統(tǒng)的階次；當(dāng)n第13頁(yè)/共128頁(yè)第十四頁(yè)，共129頁(yè)。三、兩類動(dòng)態(tài)模型的定義：三、兩類動(dòng)態(tài)模型的定義： 定義定義 3.7、單變量標(biāo)量（SISO）線性定常系統(tǒng)的輸入輸出模型為 ububububyayayaymmmmnnn01)1(1)(01)1(1)( (3.4) 其中，, y u分別是系統(tǒng)的輸出和輸入量，mn 。假定系統(tǒng)具有零初始條件，即y和y的一階直到1n階導(dǎo)數(shù)在零點(diǎn)的值為零，且 u 和 u 的一階直到

9、1m階導(dǎo)數(shù)在零點(diǎn)的值為零, 則此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為： 第14頁(yè)/共128頁(yè)第十五頁(yè)，共129頁(yè)。11101110( )( )( )mmmmnnnb sbsb sbb sh sa ssasa sa (3.5) 分別把h(s)的分母多項(xiàng)式和分子多項(xiàng)式的根稱為(chn wi)系統(tǒng)(3.4)的極點(diǎn)和零點(diǎn)。若一個(gè)多項(xiàng)式的所有根均在復(fù)平面的開左半平面內(nèi)（即所有根具有負(fù)實(shí)部），則稱該多項(xiàng)式是穩(wěn)定的，也稱為(chn wi)Hurwitz多項(xiàng)式。若傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均在復(fù)平面的開左半 第15頁(yè)/共128頁(yè)第十六頁(yè)，共129頁(yè)。第16頁(yè)/共128頁(yè)第十七頁(yè)，共129頁(yè)。定義定義 3.8、(傳遞函數(shù)矩陣)對(duì)于 M

10、IMO 線性定常系統(tǒng)，令輸入變量組為12 ,pu uu輸出變量組為12,qyyy，且假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，)(sgij表示系統(tǒng)的第 j 個(gè)輸入端到第 i 個(gè)輸出端的傳遞函數(shù)，其中1,2, ,jp 1,2,iq，則 )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(22112222121212121111susgsusgsusgsysusgsusgsusgsysusgsusgsusgsypqpqqqpppp （3.6） 第17頁(yè)/共128頁(yè)第十八頁(yè)，共129頁(yè)。)()()()()()()()(1111susGsusgsgsgsgsyqpqp稱由上式定義的( )

11、G s為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，當(dāng)( )G s至少有一個(gè)傳遞函數(shù)中分子分母次數(shù)相同時(shí)，稱( )G s為真有理分式陣，否則稱( )G s為嚴(yán)格真有理分式陣。 顯然( )G s為qp的一個(gè)有理分式矩陣，對(duì)于因果系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)( )G s為真的或嚴(yán)格真的時(shí)，它才是物理上可以實(shí)現(xiàn)的。 第18頁(yè)/共128頁(yè)第十九頁(yè)，共129頁(yè)。當(dāng)且僅當(dāng)0)(limsGs或)0()(limDDsGs時(shí)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)陣( )G s為嚴(yán)格真的或真的。 將定義3.7推廣，得到動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(xtng)一般化的輸入輸出模型如下。 第19頁(yè)/共128頁(yè)第二十頁(yè)，共129頁(yè)。),()()1()(tuuuyyyfymnn(3.7) 其中mn

12、，f 為 q 維非線性函數(shù)向量，稱該系統(tǒng)是時(shí)變非線性系統(tǒng)；當(dāng) f 不顯含 t 時(shí)，稱該系統(tǒng)是時(shí)不變非線性系統(tǒng)；當(dāng)f 是 y，y 的一階直到1n階導(dǎo)數(shù)和 u，u 的一階直到 m 階導(dǎo)數(shù)以及 t 的線性函數(shù)時(shí)， 稱該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)； 當(dāng)所有系數(shù)矩陣都是常數(shù)矩陣時(shí)，稱該系統(tǒng)是時(shí)不變線性系統(tǒng)，否則稱為時(shí)變線性系統(tǒng)。這里 n 稱為系統(tǒng)的階次。 第20頁(yè)/共128頁(yè)第二十一頁(yè)，共129頁(yè)。11112211011(,;,; )(,;,; ) (,;,; )npnpnnnpxfxxuutxfxxuutttxfxxuut (3.8) 11112211011(,;,; )(,;,; ) (,;,; )npnpqq

13、npyg xxuutygxxuutttygxxuut(3.9) 第21頁(yè)/共128頁(yè)第二十二頁(yè)，共129頁(yè)。0( )( , , ) ( )( , , )x tf x u ttty tg x u t (3.10) 稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間(kngjin)模型。 第22頁(yè)/共128頁(yè)第二十三頁(yè)，共129頁(yè)。.0,1,2, , ),(),()(),(),() 1(kkkukxgkykkukxfkx線性連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)(zhungti)空間模型為 0( )( ) ( )( ) ( ), ( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u ttty tC t x tD t u t.0

14、,1,2, , )()()()()()()()()() 1(kkukDkxkCkykukHkxkGkx(3.11) 第23頁(yè)/共128頁(yè)第二十四頁(yè)，共129頁(yè)。例 3.3 假設(shè)一城市感染了某種流行病，城市人口按時(shí)間（天數(shù)）分為四類：對(duì)疫病敏感人數(shù)為1x;目前感染人數(shù)為2x;已免疫人數(shù)3x和已死亡人數(shù)為4x。假設(shè)每天敏感者被免疫的百分?jǐn)?shù)為，每天敏感者被感染的百分?jǐn)?shù)為，每天感染者死亡的百分?jǐn)?shù)為，每天感染者治愈而免疫的百分?jǐn)?shù)為，新的敏感者和新的感染者分別按每天1( )u t和2( )u t的比率加到人口中。 第24頁(yè)/共128頁(yè)第二十五頁(yè)，共129頁(yè)。111112222123312442(1)( )

15、( )( )( )(1)( )( )( )( )( )(1)( )( )( ),0,1,2,. (1)( )( )0010( )( )0001x tx tx tx tu tx tx tx tx tx tu tx tx tx tx tt x tx tx ty tx t 解：該問題的離散解：該問題的離散(lsn)時(shí)間模型為時(shí)間模型為連續(xù)時(shí)間(shjin)模型為 11112221231242( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ),0 ( )( )0010( )( )0001x tx tx tu tx tx tx tx tu tx tx tx tt x tx ty t

16、x t 第25頁(yè)/共128頁(yè)第二十六頁(yè)，共129頁(yè)。例例3.4 考慮如圖考慮如圖3.6所示的小車，其上端有所示的小車，其上端有一倒置擺，用鉸鏈一倒置擺，用鉸鏈(jiolin)與之相連。為與之相連。為彈助推器在起飛時(shí)的簡(jiǎn)彈助推器在起飛時(shí)的簡(jiǎn)化模型。）化模型。）第26頁(yè)/共128頁(yè)第二十七頁(yè)，共129頁(yè)。第27頁(yè)/共128頁(yè)第二十八頁(yè)，共129頁(yè)。22ddyMuHt222dsincossin ( )dHmylmymlmlt 222d( cos ) sincos ( ) dmgvmlmlt 將牛頓定律應(yīng)用于擺的旋轉(zhuǎn)(xunzhun)運(yùn)動(dòng)，得 2sinsincosmlmglvlHl第28頁(yè)/共128頁(yè)

17、第二十九頁(yè)，共129頁(yè)。sin,cos1(0,0)故上述方程組中僅保留, , 的線性項(xiàng)，舍棄22,諸高階項(xiàng)，即得 2()vmgMyumymlmlmglmglmymll化簡(jiǎn)得 ()220Mm ymlulgy(3.12)第29頁(yè)/共128頁(yè)第三十頁(yè)，共129頁(yè)。利用此線性方程組，可以導(dǎo)出系利用此線性方程組，可以導(dǎo)出系22()( )( )( )Mm s y smlssu s22(22 ) ( )( )0lsgss y s由此可得從,uy u的傳遞函數(shù)( ),( )yuugs gs 222( )( )22( )( )( )(2)2 ()yuL y ty slsggsL u tu ssMm lsg Mm

18、2( )( )1( )( )( )(2)2 ()uLtsgsL u tu sMm lsg Mm第30頁(yè)/共128頁(yè)第三十一頁(yè)，共129頁(yè)。為導(dǎo)出動(dòng)態(tài)方程，定義1234,xy xy xx為狀態(tài)變量，由(3.12)可解得, y 2222gmyuMmMm 2 ()1(2)(2)g MmuMm lMm l由此可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間(kngjin)描述 1234010002200022000102 ()1000(2)(2)xmgxMmMmxuxg MmxMm lMm l1000yx第31頁(yè)/共128頁(yè)第三十二頁(yè)，共129頁(yè)。四、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按其狀態(tài)空間四、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按其狀態(tài)空間模型的分類模型的分類( , , )f

19、 x u t( , , )g x u t0( )( ) ( )( ) ( ), ( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u ttty tC t x tD t u t其中 均為不依賴于狀態(tài)x和輸入u的時(shí)變陣。( ),( ),( ),( )A tB t C tD t第32頁(yè)/共128頁(yè)第三十三頁(yè)，共129頁(yè)。 2. 時(shí)變系統(tǒng)和非時(shí)時(shí)變系統(tǒng)和非時(shí)0 , ),()(),()(ttuxgtyuxftx線性時(shí)不變（定常）系統(tǒng)(xtng)為： 0 ,)()()()()()(tttDutCxtytButAxtx第33頁(yè)/共128頁(yè)第三十四頁(yè)，共129頁(yè)。.0,1,2, , )()()()

20、()() 1(kkDukCxkykHukGxkx線性連續(xù)(linx)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的方框圖見圖3.7(a)、 (b)。 第34頁(yè)/共128頁(yè)第三十五頁(yè)，共129頁(yè)。第35頁(yè)/共128頁(yè)第三十六頁(yè)，共129頁(yè)。另外另外(ln wi)， 還有如下還有如下兩種分類：兩種分類：（1） 根據(jù)系統(tǒng)是否含有隨機(jī)根據(jù)系統(tǒng)是否含有隨機(jī)0 , ),()(),()(ttuxgtyuxftxE其中nnRE是奇異矩陣。 第36頁(yè)/共128頁(yè)第三十七頁(yè)，共129頁(yè)。第37頁(yè)/共128頁(yè)第三十八頁(yè)，共129頁(yè)。0 , ),()(),()(tttuxgtytuxftx（3.13） 對(duì)于給定的外部輸入00),(tttu和初始狀

21、態(tài))(0tx， (3.13)的解為)(0tx，f, g 在()(),(00txtu的 Taylor 展開式為 00000 , ),()()(),(),(),(),()()(),(),(),(tttuxutDxtCtuxgttutxgtuxutBxtAtuxfttutxf第38頁(yè)/共128頁(yè)第三十九頁(yè)，共129頁(yè)。其中 ,00uuuxxxTTTTugtDxgtCuftBxftA)(,)(,)(,)( 均為不依賴于狀態(tài)和控制的時(shí)變 Jacobian 矩陣，) , , (), , ( 是ux,的高階項(xiàng)。 忽略高階項(xiàng)， 則系統(tǒng)(3.13)在00( ),( )utxt附近的線性化模型為： 0 , )()

22、()()(ttUtDXtCYUtBXtAX（3.14） 第39頁(yè)/共128頁(yè)第四十頁(yè)，共129頁(yè)。0000000( , , )(, )( , , )(, )( )( ),( )( )Xf x u tf xutYyyg x u tg xutUu tutXx tx t第40頁(yè)/共128頁(yè)第四十一頁(yè)，共129頁(yè)。ubububyayayaymmnnn01)(01)1(1)(其中(qzhng)mn. 第41頁(yè)/共128頁(yè)第四十二頁(yè)，共129頁(yè)。選擇合適的狀態(tài)變量組1( ),( )nx txt， 確定各個(gè)系數(shù)陣, , ,A b c d得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。選擇不同的狀態(tài)變量組， , , , A b c

23、d也將不同。下面給出兩種典型算法。 第42頁(yè)/共128頁(yè)第四十三頁(yè)，共129頁(yè)。ddpt)()(011101tuapapapbpbpbtynnnmm (3.16) (i)當(dāng)時(shí)，式(3.16)改寫為 mn)()()()(1010111tybpbpbtytuapapapymmnnn即有 )()()()(0)(0)1(1)(tybybtytutyayaymmnnn第43頁(yè)/共128頁(yè)第四十四頁(yè)，共129頁(yè)。)1()1(21,nnyxyxyx122301121011nnnmmxxxxxa xa xaxuyb xb x 即011010100101,0,0nmxxuaaayb bbx 第44頁(yè)/共128頁(yè)

24、第四十五頁(yè)，共129頁(yè)。21010000106401941611607207201600 xxuyxxx (ii)當(dāng)m=n時(shí)，先將(3.16)式有理分式(yu l fn sh)進(jìn)行嚴(yán)格真化，即 )()()()(01100111tuapapabbpabbbtynnnnnnnnn(3.18) 第45頁(yè)/共128頁(yè)第四十六頁(yè)，共129頁(yè)。ubybabyabbyuyayayaynnnnnnnnn)()(00)1(110)1(1)1(1)(選取與(i)中相同的狀態(tài)向量，得到一個(gè)(y )狀態(tài)空間模型為： )(),()()(1000)(100001000010)(1111001210tubxabbabbab

25、btytutxaaaatxnnnnnnn第46頁(yè)/共128頁(yè)第四十七頁(yè)，共129頁(yè)。uuuyyyy720160464019416)1()3()1()2()3(它的一個(gè)(y )狀態(tài)空間模型為 010000106401941611840616644xxuyxu 第47頁(yè)/共128頁(yè)第四十八頁(yè)，共129頁(yè)。012100100000100000101000nxxuaaaabyx第48頁(yè)/共128頁(yè)第四十九頁(yè)，共129頁(yè)。(ii)mn代表了一般情況，當(dāng)mn時(shí)，只要取下面式中0,kb ,kn 1,n ,1m， 選取狀態(tài)變量組為 y 及 u 及它們的各階導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)組合： uuuuyxuuuyxuuyxuyx

26、nnnnnn1)1(2)2(1)1(0)1(2)1(1)2(0)2(31)1(0)1(201 (3.19) 其中, 為待定常數(shù). 01,n第49頁(yè)/共128頁(yè)第五十頁(yè)，共129頁(yè)。uuuuxyuauaxayauauaxayauaxayannnnnnnnnnnnnn)1(1)1(1)(01)(11)1(011)1(111)1(0121)1(100100 (3.20) 注意到uxxnnn1，1nx是1,nxx的某種線性組合。 將(3.20)式代入ubububyayaynnnnnnn0)1(1)(0)1(1)(的左端經(jīng)過(guò)整理，得到如下等式 第50頁(yè)/共128頁(yè)第五十一頁(yè)，共129頁(yè)。( )(1)11

27、1 20 1011 0()()nnnnnnxaxa xa xuau(1)1122 11 0111 10 0( )(1)10()()nnnnnnnnnnaaauaaaub ubub u 由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等(xingdng)，得到Markov參數(shù)的值為： 011100112200nnnnnnnnbbabaaa(3.21) 并且有 101121nnnxa xa xax 第51頁(yè)/共128頁(yè)第五十二頁(yè)，共129頁(yè)。12012101000010,00011000.nnnxxuaaaayxb u第52頁(yè)/共128頁(yè)第五十三頁(yè)，共129頁(yè)。uuuyyyy720160464019416)1()3()1()2()

28、3(由式（3.21）先求出Markov參數(shù)(cnsh)為 404840864400112203011212022130aaabaababb一個(gè)狀態(tài)(zhungti)空間模型為： uxyuxx4001,40484086416194640100010 第53頁(yè)/共128頁(yè)第五十四頁(yè)，共129頁(yè)。二、二、 SISO線性系統(tǒng)狀態(tài)空間線性系統(tǒng)狀態(tài)空間0)0(,xcxybuAxx (3.22) 其中 1,nn nnnxRuR yR ARbRcR在初始條件為零的情況下， 系統(tǒng)(3.22)的輸入/輸出模型為 ( )( ) ( )y sh s u s其中(qzhng) 1101110( )()mmnnnb sb

29、sbg sc sIAbsasa sa第54頁(yè)/共128頁(yè)第五十五頁(yè)，共129頁(yè)。0( ( )( )( )s x sxAx sbu s( )( )y scx s進(jìn)而(jn r)，有 1( )()( )x ssIAbu s1( )()( )y sc sIAbu s所以(suy)有 1( )()( )( )y sc sIAbg su s第55頁(yè)/共128頁(yè)第五十六頁(yè)，共129頁(yè)。(0)(0)0, (0)(0)(0)(0)0ycxycxc Axbu(1)12 (2)(0)(0)(0)(0)0nnnnycAxcAucbu故g(s)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。由Laplace反變換得系統(tǒng)(3.22)的輸入(shr)

30、/輸出模型為 ububyayaymmnnn0)(0)1(1)(第56頁(yè)/共128頁(yè)第五十七頁(yè)，共129頁(yè)。( )( ),1,., ;1,.ijG sgsiq jp其中(qzhng), 為qp常陣。 (0,1,.,1)mP mk第57頁(yè)/共128頁(yè)第五十八頁(yè)，共129頁(yè)。,C ,00,00110110kppkppppPPPIBIIIIIA(3.25) 第58頁(yè)/共128頁(yè)第五十九頁(yè)，共129頁(yè)。11( )( )()( )kV sV ssIABV s), 1)(kisVi為pp矩陣， 則由此可導(dǎo)出 可導(dǎo)出 () ( ),sIA V sB( )( )sV sAV sB或考慮到（3.25）中矩陣(j

31、zhn)A和B的形式，故由上式可得到 )()()()()(11112sVsssVsVssVsVkkk（3.26） 第59頁(yè)/共128頁(yè)第六十頁(yè)，共129頁(yè)。pkkkIsVsVsVssV)()()()(12110（3.27） 將（3.26）代入（3.27）又可導(dǎo)出 101111()( )( )( )kkkpsss V sd s V sI（3.28） 將（3.28）代入（3.26），有 11( )1,2,( )iipV ssIikd s于是(ysh)，即可得到 1011211011()( )( )( )( )1()( )( )kkkkC sIABCV sPV sPV sP V sPPsP sG s

32、d s即(A,B,C)為G(s)的一個(gè)(y )實(shí)現(xiàn)。 第60頁(yè)/共128頁(yè)第六十一頁(yè)，共129頁(yè)。,A B C為 , 0 , 0C ,00110110qkqkqqqqIPPPBIIIIIA該方案的證明過(guò)程與實(shí)現(xiàn)類似， 讀者(dzh)可作為練習(xí)來(lái)證明。 第61頁(yè)/共128頁(yè)第六十二頁(yè)，共129頁(yè)。二、二、 MIMO線性系統(tǒng)狀態(tài)線性系統(tǒng)狀態(tài)DuCxyxBuAxx0)0(, （3.23） 它的傳遞函數(shù)矩陣為1( )()G sC sIABD，且當(dāng)0D時(shí)( )G s為真的，而當(dāng) D=0 時(shí)，( )G s為嚴(yán)格真的，且有DsGs)(lim。 第62頁(yè)/共128頁(yè)第六十三頁(yè)，共129頁(yè)。( )(0)( )(

33、 )( )( )( )s X sXAX sBU sY sCX sDU s11( ) () ( )( )()Y sC sIABD U sG sC sIABD因?yàn)?yn wi)，所以 0)(lim1AsIsDDBAsICsGs1)()(lim當(dāng)D0時(shí)G（s)為真的(zhn de)， 當(dāng)D=0時(shí)G（s)是嚴(yán)格真的(zhn de)。 第63頁(yè)/共128頁(yè)第六十四頁(yè)，共129頁(yè)。 1 20 1 )(, 23)(2ssPsssd再計(jì)算(j sun) CBBCABCAECBBCABCAECBCABECBEnnnnnnnnn1211023121121則相應(yīng)(xingyng)地傳遞函數(shù)陣可按下式求出 12121

34、01( )( )nnnnG sEsEsE sEDa s第64頁(yè)/共128頁(yè)第六十五頁(yè)，共129頁(yè)。)(1)()(1)(0122111RsRsRsRsasRsaAsInnnn右乘)()(AsIIsa得， )()(011AsIRsRIsann1211122011,nnnnRI RRAaIRR Aa I RR Aa I所以(suy) 212131212011,nnnnnnnnnRI RAaI RAaAaIRAaAa I第65頁(yè)/共128頁(yè)第六十六頁(yè)，共129頁(yè)。1 ( )()G sC sIABD121201 ( )()( )nnnnG sCRsBCRsBCR BDa s0111)det()(asas

35、asAsIsannn則其系數(shù))0 , 1 , 2, 1(nniai可按如下的順序遞推地來(lái)定出 第66頁(yè)/共128頁(yè)第六十七頁(yè)，共129頁(yè)。nARtraIaARRnARtraIaARRARtraIaARRARtraIaARRARtraIRnnnnnnnnnnnnn)(,1)(,3)(,2)(,1)(,00110112213322322112111第67頁(yè)/共128頁(yè)第六十八頁(yè)，共129頁(yè)。2001202010,1 1203131xxu yx485) 1()2()det()(232sssssAsIsa計(jì)算(j sun)系數(shù)陣 21220218424141612ECBECABa CBECA Ba C

36、ABaCB 所以(suy)傳遞函數(shù)的矩陣為 222210323218241641412( )()( )584584ssssG sE sE sEa sssssss第68頁(yè)/共128頁(yè)第六十九頁(yè)，共129頁(yè)。23111)(2ssssG（i） (ii) 12(1)2( )1211s ssG sss解：(i) 2111( )( )132d( )G sP sssss確定(qudng)出 2( )32( )1 02 1d sssP ss第69頁(yè)/共128頁(yè)第七十頁(yè)，共129頁(yè)。20 21 220100100000120300203000001001,21 10IAIIBICP P第70頁(yè)/共128頁(yè)第七十

37、一頁(yè)，共129頁(yè)。01010021132110 C0 1APBP（ii） )()(1112212) 1(1)(sPsdssssssG確定(qudng)出: 322( )(1)(2)32021220( )214200d ss sssssP sss第71頁(yè)/共128頁(yè)第七十二頁(yè)，共129頁(yè)。220 21 22 20010000001000000001000000001002030000203IAIIII012200000002012020, C,000042211001BP P PI第72頁(yè)/共128頁(yè)第七十三頁(yè)，共129頁(yè)。0 221 222 20122000000000000001000200

38、0100020001030000103200012000010, C0 0 420000010221IAIIIIPBP IP第73頁(yè)/共128頁(yè)第七十四頁(yè)，共129頁(yè)。3.12設(shè)線性定常系統(tǒng)設(shè)線性定常系統(tǒng)(xtng)的狀態(tài)方程為的狀態(tài)方程為 BuAxx(3.29) 第74頁(yè)/共128頁(yè)第七十五頁(yè)，共129頁(yè)。系統(tǒng)的特征值定義為如下特征方程det()0IA的根。 （1）n 階系統(tǒng)有且僅有 n 個(gè)特征值，它們是實(shí)數(shù)或以共軛對(duì)出現(xiàn)的復(fù)數(shù)。 （2）一個(gè)非零向量i稱為矩陣 A 的屬于特征值i的特征向量，如果成立()0iiAI。 （3）特征向量不是唯一的。但當(dāng)12,n 為兩兩相異時(shí)，任取的 n 個(gè)特征向量

39、12,n 必是線性無(wú)關(guān)的。 第75頁(yè)/共128頁(yè)第七十六頁(yè)，共129頁(yè)。定理定理 3.3、 設(shè)系統(tǒng)(3.29)的特征值12,n 為兩兩相異，并利用它們的特征向量組成變換陣12,nP ，那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換xPx1下必可化為如下對(duì)角線規(guī)范型 BPBuBxxn121,xxBu (3.30) 第76頁(yè)/共128頁(yè)第七十七頁(yè)，共129頁(yè)。證明：由xPx1及（3.29）得 BuPxAPPBuAxPxPx1111)( nnnnnvvvvvvAvAvAvAP2121221121 第77頁(yè)/共128頁(yè)第七十八頁(yè)，共129頁(yè)。nnPPAPP2121111BP B第78頁(yè)/共128頁(yè)第七十九頁(yè)，共129頁(yè)。1

40、210100001000010naaaaA且其特征(tzhng)根兩兩互異, 則變換陣P具有如下形式： 1121121111nnnnnP第79頁(yè)/共128頁(yè)第八十頁(yè)，共129頁(yè)。證明：設(shè)n,21為 A 的互不相同的特征值，由 特 征 向 量 的 定 義 可 知 ，i對(duì) 應(yīng) 的 特 征 向 量 為niTnii, 2 , 1,11。由定理 3.3 知本結(jié)論成立。 第80頁(yè)/共128頁(yè)第八十一頁(yè)，共129頁(yè)。二、二、 Jordan規(guī)范型規(guī)范型0)()()()det(iiiAI則稱i為 A 的關(guān)于i的代數(shù)重?cái)?shù)。 若()iirank AIn， 則稱i為i的幾何重?cái)?shù)。 由線性代數(shù)知識(shí)知道，i即為()iAI

41、的零子空間維數(shù)。()iAI的零子空間定義為使()0iAI h成立的非零向量 h 的集合，這就是稱i為i的幾何重?cái)?shù)的由來(lái)。 第81頁(yè)/共128頁(yè)第八十二頁(yè)，共129頁(yè)。0)(0)(1ikiikiIAIA當(dāng)k=1時(shí)，廣義(gungy)特征向量即為常義下的特征向量。第82頁(yè)/共128頁(yè)第八十三頁(yè)，共129頁(yè)。ikiiiikiikiIAIA1)1()1()()()(且稱此向量組為長(zhǎng)度(chngd)是k的廣義特征向量鏈. 第83頁(yè)/共128頁(yè)第八十四頁(yè)，共129頁(yè)。0)()()(1)(1kikikkikkiIAIA所以(suy)，k=0。 同理， 兩端再左乘(A-iI)k-2可推出k-1=0， 依次類推

42、， 可得第84頁(yè)/共128頁(yè)第八十五頁(yè)，共129頁(yè)。irank()0,1,2,mimAInm直到0()miirank AIn，即0mi。 記Nm表 示miIA)(的 零 子 空 間 , 顯 然012mNNN，0,1m分別為01,mNN的維數(shù)。顯然00120mi，則按如下方式生成的i個(gè)廣義特征向量是線性無(wú)關(guān)的。 第85頁(yè)/共128頁(yè)第八十六頁(yè)，共129頁(yè)。為了敘述簡(jiǎn)單, 假定n=10, 001238,4,0,3,6,7,im 48,設(shè)1 i為滿足0)(14iiIA且0)(13iiIA的非零向量，則1 i為 4 級(jí)廣義 特 征 向 量 ， 由 此 生 成 長(zhǎng) 度 為 4 的 廣 義 特 征 向 量

43、 鏈 為)1(1)2(1)3(1)4(1,iiii。2i和3i滿 足32)2(1,iii線 性 無(wú) 關(guān) ，0)(22iiIA且0)(2iiIA, 0)(32iiIA且0)(3iiIA. 則 表 3.1 所 生 成 的 8 個(gè) 廣 義 特 征 向 量 為 2 , 1, 4 , 3 , 2 , 1,)(3)(2)(1jkjijiki是線性無(wú)關(guān)的。 第86頁(yè)/共128頁(yè)第八十七頁(yè)，共129頁(yè)。證明：先證)1(3)1(2)1(1,iiivvv是線性無(wú)關(guān)，令0)1(33)1(22)1(11iiivavava，即： 0)()2(33)2(22)2(11iiiivavavaIA第87頁(yè)/共128頁(yè)第八十八頁(yè)

44、，共129頁(yè)。第88頁(yè)/共128頁(yè)第八十九頁(yè)，共129頁(yè)。134 123 312 301 3)2(3ii 3)1 (3)(iiiIA 2)2(2ii 2)1(2)(iiiIA 1)4(1ii 1)3(1)(iiiIA 12)2(1)(iiiIA 13)1(1)(iiiIA N1 N2 N3 N4 第89頁(yè)/共128頁(yè)第九十頁(yè)，共129頁(yè)。、化為、化為 Jordan 規(guī)范規(guī)范型型的變換陣組成：的變換陣組成： 定 理定 理3.4 、 設(shè) 系 統(tǒng) 矩 陣A的 特 征 值 為1122()(),()ll 重 ，重 ，重，它們的幾何重?cái)?shù)分別為,21lnl21且。)(ikikv為ik級(jí)的廣義特 征 向 量

45、， 由 它 產(chǎn) 生 的 廣 義 特 征 向 量 鏈 為)1()()(jikijikvIAv，1 , 2 , 1ikj，ik, 2 , 1，變換陣 Q 按如下方式組成： 第90頁(yè)/共128頁(yè)第九十一頁(yè)，共129頁(yè)。112()(1)(2), ,1,2,1,2,iikliiiiiikikikikQQQQQQQkilQvvv利用變換xQx1，即可得到系統(tǒng)（3.29）的 Jordan 規(guī)范型如下： uBBBxJJJxll2121 (3.31) 第91頁(yè)/共128頁(yè)第九十二頁(yè)，共129頁(yè)。121,2,iiiiiJJJilJ第92頁(yè)/共128頁(yè)第九十三頁(yè)，共129頁(yè)。i111,2,1ikikiiikiirr

46、Jk 證明：由 及（3.29）得 xQx1BuQxAQQBuAxQxQx1111)(第93頁(yè)/共128頁(yè)第九十四頁(yè)，共129頁(yè)。12,lAQAQAQAQiiiiiAQAQAQAQ21)()2()1(ikikikikikAvAvAvAQ由廣義(gungy)特征向量鏈的定義，不難推出： )1()1()1()1()1(ikiikiikiikikvvvAvAv)2()1()2()2()2()2(ikiikikiikiikikvvvvAvAv)()1()()()()(ikikikikikikikiikikiikiikikvvvvAvAv第94頁(yè)/共128頁(yè)第九十五頁(yè)，共129頁(yè)。()(1)(1)(2)(

47、1)ikikikiikiikikiikikikikAQvvvvvQ J12iiiiiiiAQAQAQAQQ J12lAQAQAQAQQJ因此(ync)JAQQ1第95頁(yè)/共128頁(yè)第九十六頁(yè)，共129頁(yè)。關(guān)于關(guān)于Jordan規(guī)范型規(guī)范型我們作如下說(shuō)明：我們作如下說(shuō)明：(1) Jordan規(guī)范型表規(guī)范型表明：明： 當(dāng)系統(tǒng)陣當(dāng)系統(tǒng)陣A的特征的特征值有重根時(shí)，值有重根時(shí)， 通常不能通常不能數(shù)；而數(shù)；而i的代數(shù)重?cái)?shù)的代數(shù)重?cái)?shù)i則則是所有屬于是所有屬于i的的Jordan小小塊的階數(shù)之和，塊的階數(shù)之和， 即即ikikir1第96頁(yè)/共128頁(yè)第九十七頁(yè)，共129頁(yè)。(3) 當(dāng)所有特征值的當(dāng)所有特征值的幾何

48、重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)等于,max21iiiii（i=1,2,l） 則A的最小多項(xiàng)式為 liiissf1)()(第97頁(yè)/共128頁(yè)第九十八頁(yè)，共129頁(yè)。矩陣矩陣A為循環(huán)矩為循環(huán)矩第98頁(yè)/共128頁(yè)第九十九頁(yè)，共129頁(yè)。,xAxBu其中311000111100002011000211000011000011A012010121101B第99頁(yè)/共128頁(yè)第一百頁(yè)，共129頁(yè)。5)2()det( IA得 ) 1(0),5(222111112123131rank()4,642rank()2,624rank()1,6 15AIvAIvAIv 第100頁(yè)/共128頁(yè)第一百零一頁(yè)，共129頁(yè)。(1)21

49、111(2 )(2 2 0 0 0 0)TvAIv(2)1111(2 )(1 1 0 0 0 0)TvAI v11)3(11vv第101頁(yè)/共128頁(yè)第一百零二頁(yè)，共129頁(yè)。表 3.2 123 212 201 12)2(12 12)1(12)2(AI 11)3(11 11)2(11)2(AI 112)1(11)2(AI 第102頁(yè)/共128頁(yè)第一百零三頁(yè)，共129頁(yè)。 再 由)2(11v與12v線 性 無(wú) 關(guān) ， 且0)2( , 0)2(12122vIAvIA, 可定出一個(gè)列向量Tv1 1 1 1 0 012，從而得到 (1)(2)12121212(2 )0 0 2 2 0 0,TvAI v

50、vv第103頁(yè)/共128頁(yè)第一百零四頁(yè)，共129頁(yè)。確定屬于02的特征向量2v 由0)(22vIA得02Av屬于02的一個(gè)特征向量為 T2(0 0 0 0 1 1)v 第104頁(yè)/共128頁(yè)第一百零五頁(yè)，共129頁(yè)。11111201211212 2)2(12)1(12)3(11)2(11)1(11vvvvvvQ第105頁(yè)/共128頁(yè)第一百零六頁(yè)，共129頁(yè)。112101/42111/2220211/40021/2101/21xQ AQxQ Buxu第106頁(yè)/共128頁(yè)第一百零七頁(yè)，共129頁(yè)。一、一、 狀態(tài)空間的坐標(biāo)變換狀態(tài)空間的坐標(biāo)變換 設(shè) n 維 狀 態(tài) 空 間 有 兩 組 基 ：nee

51、e21和neee21，它們之間可以相互表出，即 nnnnnnnnnnepepepeepepepeepepepe22112222112212211111第107頁(yè)/共128頁(yè)第一百零八頁(yè)，共129頁(yè)。記 3212222111211nnnnnpppppppppP則 Peeeeeenn2121狀態(tài)向量在neee21和neee21下的坐標(biāo)分別為 x(t),)(tx，則 第108頁(yè)/共128頁(yè)第一百零九頁(yè)，共129頁(yè)。)()()()()()()(2121212121tPxeeetxtxtxeeetxtxtxeeennnnn1( )( ), ( )( )x tPx tx tP x t所以(suy)實(shí)際上，

52、不同基下狀態(tài)向量的坐標(biāo)變換(binhun)是線性非奇異變換(binhun)。 第109頁(yè)/共128頁(yè)第一百一十頁(yè)，共129頁(yè)。xAxBuyCxDu:（3.32） 引入變換 ，并令變換后狀態(tài)空間模型 (det0)xPxP,xAxBuyCxDu（3.33） :第110頁(yè)/共128頁(yè)第一百一十一頁(yè)，共129頁(yè)。11, , , APAPBPBCCPDD第111頁(yè)/共128頁(yè)第一百一十二頁(yè)，共129頁(yè)。( )( )1,2,iiAAin證明(zhngmng) 11det()det()IAPPIPAP1detdet()det()det()PIAPIA第112頁(yè)/共128頁(yè)第一百一十三頁(yè)，共129頁(yè)。utDx

53、tCyutBxtAx)()(,)()(:引入變換)(,)(tPxtPx 可逆且連續(xù)可微，則變換后狀態(tài)空間模型為： :( )( ) ,( )( )xA t xB t u yC t xD t u(3.34)(3.35)則(3.34)與(3.35)間有如下(rxi)關(guān)系)()(),()()(),()()()()()()()()(111tDtDtPtCtCtBtPtBtPtAtPtPtPtA (3.36) 第113頁(yè)/共128頁(yè)第一百一十四頁(yè)，共129頁(yè)。由系統(tǒng)由系統(tǒng)(xtng)代數(shù)等價(jià)的代數(shù)等價(jià)的概念，概念， 易得如下結(jié)論：易得如下結(jié)論： (1) 狀態(tài)變換下，狀態(tài)變換下， 同一系統(tǒng)同一系統(tǒng)第114頁(yè)/共128頁(yè)第一百一十五頁(yè)，共129頁(yè)。定理定理3.8線性定常線性定常11( )(),( )()G sC sIA