科普一下隨機(jī)微積分

1、科普一下隨機(jī)微積分隨便寫(xiě)了一個(gè)關(guān)于隨機(jī)微積分的科普，如果大家覺(jué)得寫(xiě)的不錯(cuò)，讀者受益，如果大家覺(jué) 得寫(xiě)的不好，請(qǐng)指出，我受益，總之是件好事，呵呵1. 隨機(jī)微積分(Stochastic Calculus )是干什么的？一言以蔽之，給隨機(jī)變量建立一套類(lèi)似于普通微積分的理論，讓我們能夠像對(duì)普通的變 量做微積分那樣對(duì)隨機(jī)變量做微積分。知道了這一點(diǎn)，我們很多時(shí)候都可以把普通微積分的思維方式對(duì)應(yīng)到隨機(jī)微積分上。比 如，有些概念，一開(kāi)始如果我們不理解這個(gè)概念起的作用是什么，就可以想想在普通微 積分里面跟這個(gè)概念相對(duì)應(yīng)的概念的作用。2. 隨即微積分的理論框架是怎么樣建立起來(lái)的?一言以蔽之，依樣畫(huà)葫蘆。這里的樣”

2、說(shuō)的是普通微積分。在普通微積分里面，最基本的理論基礎(chǔ)是收斂 ” (con verge nee )禾口 極限 ” (limit)的概念，所有其他的概念都是基于這兩個(gè)基本概念的。對(duì)于隨機(jī)微積分，在我們建立了現(xiàn)代的概率論體系(基于實(shí)分析和測(cè)度論)之后，冋樣的我們就像當(dāng)初發(fā)展普通微積分那樣先建立 收斂”和 極限”這兩個(gè)概念。與普通數(shù)學(xué)分析不同的是，現(xiàn)在我們打交道的是隨機(jī)變量，比以前的普通的變量要復(fù)雜得多，相應(yīng)的建立起來(lái)的收斂”和“極限”的概念也要復(fù)雜得多。事實(shí)上，隨機(jī)微積分的收斂”不止一種，相應(yīng)的 極限”也就不止一種。用的比較多的收斂概念是con verge nce with probability

3、1 (almostsurely)禾口 mean-square con verge nee 。另一個(gè)需要新建立的東西是積分變量。在普通微積分里面，積分變量就是一般的實(shí)變量 ，也就是被積函數(shù)(integrand )的因變量，基本上不需要我們做什么文章。而隨即微 積分的積分變量是布朗運(yùn)動(dòng)，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的定義和構(gòu)造布朗運(yùn)動(dòng)是需要一點(diǎn)功夫的。 這個(gè)過(guò)程是構(gòu)建隨機(jī)微積分的的過(guò)程中的基本的一環(huán)。收斂”極限”和積分變量”都定義好了之后，我們就可以依樣畫(huà)葫蘆，像普通 微積分里面的定義那樣去定義接下來(lái)的一系列概念。3. 既然是依樣畫(huà)葫蘆，那么跟普通微積分的區(qū)別是什么?最基本的區(qū)別在于現(xiàn)在的積分變量是布朗運(yùn)動(dòng)，它是

4、時(shí)間的一個(gè)函數(shù)，但是卻有一個(gè)特殊的性質(zhì)：布朗運(yùn)動(dòng)處處連續(xù)但是處處不可導(dǎo)。正是這個(gè)特殊的性質(zhì)使得隨即微積分跟普通微積分不同。在普通微積分里面，我們其實(shí)已經(jīng)接觸了用基本變量的函數(shù)”來(lái)作為積分變量的情況，比如g(x)是x的函數(shù)，我可以用g作為積分變量進(jìn)行積分：in t_g=g(a)Ag=g(b) f(g) dg如果g(x)是一個(gè)可導(dǎo)的函數(shù)，這就是我們?cè)谄胀ㄎ⒎e分中已經(jīng)解決了了的問(wèn)題，因?yàn)閐gg'dx，所以上式可以寫(xiě)成：in t_x=aAx=b f(g(x) g'(x) dx但是對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng) W來(lái)說(shuō)，dW/dt不存在。正因?yàn)檫@個(gè) 微分 不存在，導(dǎo)致在普通微積分里面可以直接進(jìn)行的上述微分

5、運(yùn)算在隨即微積分里面不能直接進(jìn)行。 比如，在普通微積分里面，有基本的微積分公式(In x)' = 1/x因而dx/x = d(l n x).但在隨機(jī)微積分里面則不能對(duì)dW/W進(jìn)行這樣的計(jì)算dX/X =/= d(ln X)，因?yàn)镮n(X)是不可導(dǎo)的。這就需要我們建立新的基本運(yùn)算規(guī)則。4 .隨即微積分的基本運(yùn)算規(guī)則是什么？在普通微積分里面，首先我們定義了牛頓-萊布尼茲公式f(b) - f(a) = in t_aAb f(x) dx然后我們定義了一系列基本的運(yùn)算法則，比如d(x+y) = dx + dy;d(xy) = x*dy + y*dx和基本微積分公式，比如(xA2)' = 2

6、x ;int exp(x)dx = exp(x)然后我們實(shí)際進(jìn)行微積分運(yùn)算的時(shí)候，主要是把要計(jì)算的微分或者積分按照運(yùn)算法則分 解成這些基本的微積分公式，然后把他們用這些基本的微積分公式套進(jìn)去進(jìn)行計(jì)算。在隨機(jī)微積分里面，我們做相同的事情。導(dǎo)致隨即微積分和普通微積分在操作上的區(qū)別的就是最基本跟牛頓-萊布尼茲公式相對(duì)應(yīng)的新的微積分公式。普通微積分的牛頓-萊布尼茲公式是由分區(qū)間近似求和，然后取極限得到。在隨即微積 分里面，我們可以用相同的方法來(lái)定義積分，但是這個(gè)近似的取法不同，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的 結(jié)果不同。目前最有實(shí)用意義的近似取法是有日本數(shù)學(xué)家 Ito提出的，那就是，在計(jì)算某個(gè)小區(qū)間 的對(duì)整個(gè)積分的貢獻(xiàn)的

7、時(shí)候，用這個(gè)區(qū)別的左邊界的函數(shù)值來(lái)代替整個(gè)區(qū)間的函數(shù)值。(Note :在定義普通微積分的時(shí)候，我們用的是該區(qū)間上任意一點(diǎn)。之所以可以使用該 區(qū)間上任何一點(diǎn)是因?yàn)楹瘮?shù)的可導(dǎo)性。而這里，函數(shù)不可導(dǎo)，所以不能像普通微積分那 樣用任意一點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)代替)用這種近似方法，我們可以得到如下基本公式(跟普通微積分里面的牛頓 -萊布尼茲公 式相對(duì)應(yīng))，Ito公式：f(W(t) - f(W(0) = i nt_0At f(W(u) dW(u) + 1/2in t_0At f'(W(u) duIto 項(xiàng)。f(x)=l n(x), f等式右邊的第二項(xiàng)是讓隨機(jī)微積分在實(shí)際操作上區(qū)別于普通微積分的所謂有了 It

8、o公式之后，就可以計(jì)算一些基本的常用的微積分公式，比如對(duì)于'=1/x, f" = -1/xA2s ，所以ln( W(t) - ln( W(0) = in t_0At (1/W(u) dW(u) + 1/2 in t_0At (-1/W(u)A2) du接下來(lái)的步驟，就跟普通微積分幾乎一模一樣，運(yùn)用運(yùn)算法則將復(fù)雜的微積分分解成基 本的微積分，然后套用基本公式。實(shí)際的隨機(jī)微積分一般都既牽涉到普通變量時(shí)間t，又牽涉到隨機(jī)變量布朗運(yùn)動(dòng)W(t)。注意碰到跟t有關(guān)的部分就用普通微積分的法則，碰到跟W(t)有關(guān)的部分就用隨機(jī)微積分的法則。5 .關(guān)于隨機(jī)微分方程如果你學(xué)到隨機(jī)微分方程了，那么

9、你會(huì)遇上隨機(jī)微積分里面最大的joke，那就是，雖然人們經(jīng)常把隨機(jī)微分”方程掛在嘴上，但實(shí)際上人們處理的統(tǒng)統(tǒng)都是隨機(jī)積分方程。比如最著名的描述股票運(yùn)動(dòng)的方程(其解是Geometric Brownian Motion )，我們通?？吹较旅娴男问剑篸S = mu S dt + sigma S dW這個(gè)貌似微分方程的東西，其實(shí)并不是微分方程，原因很簡(jiǎn)單，S是處處不可導(dǎo)的，所以你不能把dt挪到左邊的分母上得到一個(gè)類(lèi)似于dS/dt的東西。所以這跟本就不是一個(gè)微分方程，實(shí)際上，它是如卜積分方程的一個(gè)簡(jiǎn)寫(xiě)而已：S(t) - S(0) = in t_0At mu S dt + in t_0At sigma S

10、dW(u)我們通常談?wù)摰碾S機(jī)微分"方程的general的形式如下:dX(t) = mu(t,X(t)dt + sigma(t,X(t)dW(t)經(jīng)過(guò)剛才的例子，你很容易明白這其實(shí)是一個(gè)積分方程。具體解隨機(jī)微分”方程的方法沒(méi)有什么新的東西，做法都跟普通的常微分方程和偏微分方程一樣，只不過(guò)在所有涉及到以W為變量的微分和積分的時(shí)候，都要套用Ito積分的公式。正如解析方法在常微分方程和偏微分方程里面能解決的問(wèn)題很有限一樣，解析方法在隨 機(jī)微分”方程里面能做的事情也很有限，實(shí)際工作中主要用的數(shù)值方法。直接解隨機(jī) 微分方程的數(shù)值方法其實(shí)就是模擬。模擬主要分強(qiáng)近似和弱近似，前者模擬大量的符合該微分

11、方程的過(guò)程，然后根據(jù)模擬的 這些過(guò)程來(lái)計(jì)算統(tǒng)計(jì)值。后者也模擬大量的過(guò)程，但這些過(guò)程并不嚴(yán)格符合方程所描述 的過(guò)程的性質(zhì)，而只是在某些方面(比如終點(diǎn)時(shí)刻的值的期望和方差)趨近于方程所描 述的過(guò)程。隨機(jī)微分方程的數(shù)值解基本上就是常/偏微分方程的數(shù)值解的拓展，比如Euler'smethod，操作起來(lái)跟常微分方程的Euler's method幾乎一模一樣。不冋之處在于，用Euler's method解常微分方程，這種逐步往后計(jì)算每個(gè)點(diǎn)的值的過(guò)程只需要進(jìn)行一次。而在解隨機(jī)微分方程的時(shí)候，每一次只得到一個(gè)sample process，對(duì)于解一個(gè)方程，這個(gè)過(guò)程需要重復(fù)很多次。6 .隨

12、機(jī)微分方程跟偏微分方程的關(guān)系再次寫(xiě)出隨機(jī) 微分”方程的general形式dX(t) = mu(t,X(t)dt + sigma(t,X(t)dW(t)假設(shè)我們關(guān)心的是X(T)的某個(gè)函數(shù)的期望值(在實(shí)際工作中，我們幾乎總是只關(guān)心這個(gè)，比如EX(T)是X(T)本身的期望，VarX(T)是XA2(T)的期望)，假設(shè)這個(gè)函數(shù)是h，現(xiàn)在要根據(jù)t時(shí)刻的信息來(lái)推斷h(X(t)在T時(shí)刻的期望。換句話說(shuō)，我們要計(jì)算h(X(T)在時(shí)刻t的條件期望，我們把這個(gè)條件期望記做g(t,X(t)g(t, X(t) = Eh(X(T)|F(t).很顯然這個(gè)g也是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。進(jìn)一步的，可以證明，這個(gè)在一定的條件下，g是一個(gè)m

13、artingale。既然是martingale，那么如果計(jì)算 g的微分，那么微分中的 dt項(xiàng)應(yīng)該為0， 這是建立隨機(jī)微分方程和偏微分方程的最基本出發(fā)點(diǎn)。實(shí)際上，dg中的dt項(xiàng)為0可以導(dǎo)致如下結(jié)論：g_t(t,x) + mu(t,x) g_x(t, x) + 1/2 sigmaA2(t,x) g_xx(t,x) = 0式中的下標(biāo)表示偏微分。這樣我們就由一個(gè)隨機(jī)微分方程得到了一個(gè)偏微分方程。注意這個(gè)偏微分方程非常的有 用，因?yàn)樵趯?shí)際工作中，我們大多數(shù)情況下并不關(guān)注X(t)作為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的種種細(xì)節(jié)，而更多的只關(guān)注他的某些函數(shù)的期望和條件期望，比如Eh(X(T)|F(t)。而上面的這個(gè)微分方程，解決的正是這種問(wèn)題。所以很多時(shí)候，面對(duì)著一個(gè)隨機(jī)微分方程的問(wèn)題，我們并不需要真正的去解隨機(jī)微分方程，而只需要解對(duì)應(yīng)的偏微分方程就可以了。n上面闡述的這層關(guān)系叫做Feynman-Kac定理。順便說(shuō)一句，在金融中大名鼎鼎的Black-Sc