非線性時間序列ARMA模型的優(yōu)化估計法

1、韭線牲時間序列ARMA蟆型的優(yōu)化估計法單銳,鄭彩萍(燕山大學(xué) 理學(xué)院河北 秦皇場066004) 摘 要：本丈捷供了 一種ARMA模U參It的優(yōu)化估計法一NLBFGS算法它攻斂速度快且只須 一階導(dǎo)敏的仕不窯束運(yùn)矩陣和具有規(guī)圾栓收斂性爭優(yōu)點。而且農(nóng)文堆出實例於MATLAB «序并 利用t疑計量才ARMA蟆型參數(shù)佶計進(jìn)行了檢尷：擬合樓愛敗泉JL看。關(guān)僅謁：罪錢41;時間序列；ZLBFGS鼻法;ARMA中圖分類號：0212.7文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章集號:1002-6487(2008)07-0169-03ARMA ffi型參數(shù)估計方法大致可分為三類一類是由時 序理論本身發(fā)展的參數(shù)估計方法，稱為AR

2、MA模型矣數(shù)的 時序理論估計方法；另一類是將優(yōu)化理論中的迭代算法用于 模型劣數(shù)估計稱為ARMA模型參數(shù)的優(yōu)化理論估計方法. 第三類定將控制理論中差分樓型的參數(shù)估計方法用于AR MA模!0參數(shù)估計稱為ARMA模型參數(shù)的控制理論估計方 法。本文只對討論了 ARMA模羽參數(shù)的優(yōu)化理論估計方法 的一種:NLBFGS算法。1 NLBFGS算法的優(yōu)點NLBFCS算法結(jié)合了 Newton法在的S(B)極小值附近收 敘快和最速*降法可對任意初值都能收敘這兩個優(yōu)點不但 保還了迭代計劃的收斂性又加快了收斂速度，在計算過程 中只須求一階導(dǎo)數(shù)不必求逆矩陣,而且毎次迭代僅只需yn2) 次乘法運(yùn)算(?；n法為0(0)所需的

3、存儲單元一樣為和*> (n)和具有超線性收斂性等諸多優(yōu)點。2 ARMA植型的NLBFGS優(yōu)化算法2.1目標(biāo)不敏對于觀測時序兇(口 2m需對其擬和出數(shù)學(xué)口 X/曲(1)式中X=(3 3 xt-kf,它是由不同時刻的觀測值組成的0.54).9).ft佳候選人均為5。由上述實例分析可見決策方 的心杰指標(biāo)對決策結(jié)果有著非席厳要的形響當(dāng)決策者處于 不同的心態(tài)時可以通過調(diào)整其心態(tài)指標(biāo)來進(jìn)行決策。本文 的方法同時兼顧了不同決策者的不同心杰指標(biāo)所以更加符 合實際情況具有可行性和實用性。3 結(jié)束悟本文針對屬性權(quán)更后息完全未知決策矩陣元素和決策 者的僞好倍息為區(qū)間數(shù)的不確定多屬性決策問題捉岀了一 種菇于心態(tài)

4、指標(biāo)的新的決策方法。該方法通過決策者的心態(tài) 指標(biāo)把區(qū)間型決策矩陣轉(zhuǎn)化為帶心態(tài)指標(biāo)的決策矩陣再通 過求解主觀偏好與客偏好的總絕對偏差晟小的單目標(biāo)規(guī) 劃模型得到屬性的權(quán)蟲向61.利用方案的綜合屬性值給出 各方案的排序結(jié)果。該方法充分考慮了決策者的不同心杰對 決策方案的電響更加符合實際。當(dāng)燃本文提出的方法也可 以容易地推廣到區(qū)間肝多屬性群決策問題?？嘉臄常?lJBnuon N Mobolurin A. An action learning evaluation procedure for multiple criteria decision making problctmJJ. European J

5、ournal of Operational Research, 1996.(96)(SIKweku-Muala, 0»ei-Bryson. Evaluation of decision Um: a multi-criteria approach (J). Compttero & OperMiom Research. 2004. (31)3 Zhou H A. Liu S Y Fang X R. Method for uncertain multi-at- tribute decision-making with preference information in the fb

6、nn of interval numbero complementary judnent matrix(J). Journal of System Engineering and Electionics, 2005. 18(2).4 潭剋.族矣炭.高妍方一種併的基于俎令瞅權(quán)的區(qū)何里$屬耳決 策才法幾 系豉工鼻.2006. 24(4).(5|&淨(jìng)水，達(dá)慶利.的可能廢法及其左禺卩1系比工極 學(xué)報20038(1)(6 tjr*t達(dá)康利.K W « > 決策的一種併才決幾東南大學(xué)*.2003,33(4).<(7 張興芬.管足瑞jtr<.區(qū)御值權(quán)削僚合評料及算尺用卩系

7、 統(tǒng)工收U論與浜戰(zhàn).2001X12)(8 *求解不丈從$屬技決策何理的一種併才決卩).用絞工 事學(xué)報.2002. 17(2).(貴任集輯/浩天)與決策2008年豹7期(總攜259期)169k維向$它是由待估計的模型參數(shù)何組成的M維向最.一般Mna；e.j&模型的殘表示 人與8之間的預(yù)數(shù)關(guān)系。對于 ARMA(p.q)«fiWPi213+代“£廠色片1-6皿16*7根據(jù)式可以寫為迅X1護(hù)務(wù)式中X«=(Xm 3 J geT， k=pwi；P=(WW® 026/ 彷予啊/風(fēng)哄X羊(2 )由3厶鼻斗是 j斗的函數(shù)從而9致B的非線 性項岀現(xiàn)。故對于ARMA&

8、#171;fl 與B之間具有非線性關(guān)系， 從而ARMA棋!0的目標(biāo)冶數(shù)MB)定義為模型的殘差平方和。I (3) i i從優(yōu)化理論的角度來看參數(shù)B的估值問題就是對9(B) 的刁優(yōu)(求極小值)問題。文中對ARMA價型鑫數(shù)的估值何題.利用優(yōu)化理論中 的Newton法的改進(jìn)法一NLBFGS算法準(zhǔn)岀參數(shù)估值的迭代 算法。2.2初值的瑞文221參數(shù)初值B°苣確定參數(shù)初值B°的選取十分耋整.它關(guān)系到迭代計算收斂 速度的快慢，文中采用先估計出AR加模型的參數(shù)再給出 ARMA(p,q)«®的務(wù)數(shù)，這時，一般有PoMpq.故稱AR(j®為 長自回歸模型。由AR3模

9、5!掐述的等價系統(tǒng)傳遞函敦為：-F=Z%(B) 1-Il>iI式中丄是逆函數(shù)丄等于AR模繪豔數(shù)如式"片 9燈(g®所示。由ARMA(p.q)模型描述的等價系統(tǒng)傳遞 0伽)由于各傳遞阪放所描述的系統(tǒng)是等價的故(4)與(5)兩 式應(yīng)相等，即有：(11站疔.B、(l出B-W岬戶 ® B-冊(6)比絞(6)式兩邊B算子的同次事系數(shù)有： <p°i=0°i+li；帆1介】或的線形方程組可方便解出S為:分別今1(利】尸24>的且心寫成矩陣形式有:此式仍是關(guān)于叭的線形方程組，可方便地解岀叭。因 匕可先解式(9)得出后再解式(8)得©

10、這就是長自回歸模 型法的計算原理。利用此原理可得到即的初值。這時儼一 般在極值點附近，只需進(jìn)行少數(shù)幾次迭代計算即可收斂。2.2.2殘差&初值的確定 殘差氏初值的於定通冷爲(wèi)采用下面兩科方法：(1)由于E(£j=O.故可直接取 6j=er=-=eF=0(2)由下式確定初值ei=xi弋6(10)23 JLt NLBFGS#法的優(yōu)化算法對T ARMA(p.q)的模型式(1),設(shè)X給定了參數(shù)初值M展砂 環(huán)幾"V3°J m=pw梯度模的允杵溟£e>OtI為單位陣o是阻尼系數(shù) 趴由式(3),殘產(chǎn)平方和S(B)在涉處的梯度為：-“名阡幅朗瞬判"(

11、11) i=12m 寫成向倉形式為： 白彎W鬻I” 製g為了便于計算在B°處時ARMA模朋中的m進(jìn)行泰初展開：V=f(K3Wr3°i)卄彎|才.(B)沁 Bz£V+yB°S 記(k>p)(7)對于此式中的lip個方程，當(dāng)叫為已知時，這是關(guān)于S170 tttt 與決 « 2008<«7M(a«259M)把式（13）右邊第一項移到左邊并由（1）可得 畑 f（X0詡廠明）隙）L（XU彎11”竹記咋“昭i-1.2,m吧=警越寫成向域形式為殳譏T（(16)由式（14卜（16）有°=w1u°f*n(17)

12、當(dāng)時可有:000000W0- w (18)0 0 0 lWM S JmJ(19)期3°£*°|(20)由(12),(18)10(20)式有：gMBHWV（2）算法步驟： 選定初始點B°計算=8（0，SMP0）; 債DH吐#1=0； 計.滬-納乍包用）專； 檢驗是否満足收效性判別冷則llg°ll<e若満足則迭代停止得到拓儼否則轉(zhuǎn) 用一維搜索方法可采用斐波那J? （Fibonacci）法或黃 金分割（0.618）法求單交員極值問題E優(yōu)解Min莎的唧認(rèn)4）入Mo 令入血。如果k5轉(zhuǎn)步。如果k=mo轉(zhuǎn)步 計算力貴# 4曠咿-UAgXAp-ApXA

13、gDj1 k=k+l t 轉(zhuǎn)2.4算法的枚it呂分析定理I：在基于NLBFGS算法ARMA模型的第數(shù)估計中設(shè) 殘差平方和S（0）是凸兩數(shù)，且集含®S（B）WS（有界則有 下述結(jié)論： （&阿為嚴(yán)格單調(diào)下陳數(shù)列且lim 鄧存在：L8 0的任童極限點都是問題Min郎）的最優(yōu)解.因而有 lim （S（3）|= Min 郎）l*8 pen,參號文畝：卩楊叔子*時同斥列分析的工乂漢：華中理工大學(xué)出MH. 19922王您人與仇化設(shè)計冏北京：S防工業(yè)出版社, 1990.MWB M ARAS工大f.2005X39）:No4 PIMokhurS.BazaraaC.MSheity. Nonline

14、ar Programming Eeory and AlgorithmfMPohn Wiley «nd Sons. 1979.王息蟲闇才同序列分析M比扎中國人氏大f AMH.2005.張尢灣0錢技最優(yōu).化計*才法（M北社2005. 李建罕尋總銭雄最化化ML*為種技大學(xué)出麵社.2003（8Wolf M.A_ Numerical Methods for VnconMrained optimization AnMr<roduction（M.Van Noel rand Reinbold Company J 9789）飛SHttA*研發(fā)中心仇化計*與設(shè)計MJ.北*:電子工業(yè) 出皈 4120

15、03.（10J*爻聲技MATLAB7.0從入門劉榆人氏邙電出版也 2006.（貴任集輯/李友平）統(tǒng)計與茯竇2008年第7朗（總那259期）171mHnsis1 1 1 WAHFANGDATA非線性時間序列ARM模型的優(yōu)化估計法作者：單銳，鄭彩萍作者單位：燕山大學(xué)，理學(xué)院河北秦皇島,066004刊名：統(tǒng)計與決策|PKU|站貳I英文干刊名：STATISTICS AND DECISION年，卷(勒：2008(7)被引用次數(shù)：1次參考文獻(xiàn)(10條)1. 楊叔子 時間序列分析的工程應(yīng)用19922. 王德人非線性方程組解法與優(yōu)化設(shè)計19903. 陳國強(qiáng)趙俊偉基于MTLABAI模型參數(shù)估計期刊論文-河南理工

16、大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2005(04)4. Mokhtar.S.BazaraaQM.ShettyNonlinear Programming Theory and Algorithms 19795. 王燕應(yīng)用時間序列分析20056. 張光澄非線性最優(yōu)化計算方法20057. 謝政;李建平非線性最優(yōu)化20038. Wolf M.A Numerical Methods for Unconstrained optimization An Metroduetion19789. 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心輔助優(yōu)化計算與設(shè)計200310. 求是科技MATLAB7從入門到精通2006本文讀者也讀過4條)1. 董言治.周曉東.婁樹理.陳永剛.沈同圣MATLAB運(yùn)用系統(tǒng)建模處理南海氣象數(shù)據(jù)過程中應(yīng)用期刊論文-成都信息工程學(xué)院學(xué)報2004,19(1)2. 鄭彩