高等數(shù)學李偉版課后習題答案第二章

1、高等數(shù)學李偉版課后習題答案第二章習題21（A）1下列論述是否正確，并對你的回答說明理由：（1）函數(shù)的導數(shù)是函數(shù)的平均變化率在自變量的增量趨于零時的極限； （2）求分段函數(shù)f(x)=íìj(x),x<a,îf(x),x³a在分界點x=a處的導數(shù)時，一般利用左、右導數(shù)的定義分別求該點處的左、右導數(shù)如果二者存在且相等，則在這一點處的導數(shù)就存在，且等于左、右導數(shù)，否則函數(shù)在這點不可導；（3） y=f(x)在x0點可導的充分必要條件是y=f(x)在x0點的左、右導數(shù)都存在； （4）函數(shù)y=f(x)在x0點連續(xù)是它在x0點可導的充分必要條件. 答：（1）正確根

2、據(jù)導數(shù)的定義-) （2）正確一般情況下是這樣，但是若已知f¢(x)連續(xù)時，也可以用f-¢(x0)=f¢(x0+（即導函數(shù)的左極限），f+¢(x0)=f¢(x0)（即導函數(shù)的右極限）求左右導數(shù)（3）不正確應是左、右導數(shù)都存在且相等（4）不正確f(x)在x0點連續(xù)僅是f(x)在x0可導的必要條件，而不是充分條件，如y=3x、y=x都在x=0點連續(xù)，但是它們在x=0點都不可導22設函數(shù)y=x+x，用導數(shù)定義求它在x=-1點處的導數(shù).解：y¢(-1)=limx+x-0x+12x®-1=limx=-1x®-13設函數(shù)y=x0

3、=1點處的導數(shù)解：y¢(1)=limx-1x-1x®1=lim1x+1x®1=124用定義求函數(shù)y=lnx在任意一點x(x>0)處的導數(shù)ln(x+Dx)-lnxDx2解：y¢=limDx®0=limln(1+Dx®0Dxxx11)Dxx=lnex=1x5 對函數(shù)f(x)=x-2x，分別求出滿足下列條件的點x0： （1）f¢(x0)=0； （2）f¢(x0)=-2解：f¢(x)=lim(x+h)-2(x+h)-(x-2x)h22h®0=lim(2x-2+h)=2x-2，h®0（1）

4、由f¢(x0)=0，有2x0-2=0，得x0=1； （2）由f¢(x0)=-2，有2x0-2=-2，得x0=0 6已知某物體的運動規(guī)律為s=12gt，求時刻t時物體的運動速度v(t)，及加速度a(t)222解：速度為v(t)=s¢(t)=limg(t+h)/2-gthg(t+h)-gth/2h®0=lim(gt+h®0h2)=gt，加速度為a(t)=v¢(t)=limh®0=limg=gh®07求曲線y=lnx在點(1，0)處的切線方程與法線方程 解：切線斜率k=y¢(1)=1xx=1=1，切線方程為：y

5、-0=1×(x-1)，即x-y-1=0； 法線方程為：y-0=-11(x-1)，即x+y-1=08若函數(shù)f(x)可導，求下列極限：f(x0-Dx)-f(x0)Dxf(x)x（1）lim； （2）limDx®0x®0（其中f(0)=0）；（3）limf(x0+h)-f(x0-h)hf(x0-Dx)-f(x0)Dx=limf(x)x； （4）limf(1)-f(1-sinx)xh®0x®0解：（1）limDx®0=-limf(x0-Dx)-f(x0)-DxDx®0=-f¢(x0)（2）limf(x)-f(0)x-0x&

6、#174;0x®0=f¢(0)（3）limf(x0+h)-f(x0-h)hh®0 =limf(x0+h)-f(x0)hh®0+limf(x0-h)-f(x0)-hh®0=f¢(x0)+f¢(x0)=2f¢(x0)（4）limf(1)-f(1-sinx)xx®0=limx®0f(1-sinx)-f(1)sinx×=f¢(1)´1=f¢(1)-sinxx9討論下列函數(shù)在指定點的連續(xù)性和可導性：（1）y=3x，在x=0點；1ìïxarctan

7、2，x¹0，（2）f(x)=í 在x=0點； xïx=0，î0，ìx2,（3）f(x)=íîx,x³1,x<1,在x=1點解：（1）y=x是初等函數(shù)，且在x=0的鄰域內有定義，因此y=x在x=0點連續(xù)，因為limx-0x-0x®0=lim1x2x®0=+¥（極限不存在），所以y=3x在x=0點不可導（2）因為limxarctan(1/x)-0x-02x®0=limarctanx®01x2=p2，1ìpïxarctan2，x¹0，&

8、#162;x=0f(0)=所以f(x)=í在點可導，且，從而也連續(xù) x2ïx=0，î0，（3）因為f(1)=limx=1，f(1)=limx=1，f(1)=1，有l(wèi)imf(x)=f(1)，x®1-+2x®1+x®1ìx2,所以，f(x)=íîx,x³1,x<1,在x=1點連續(xù)，又f-¢(1)=limx-1-x®1x-1=1，f+¢(1)=lim-x®1x-1x-12=lim-(x+1)=2，由f-¢(1)¹f+¢(1)，

9、x®1ìx2,所以，f(x)=íîx,x³1,x<1,在x=1點不可導ìex，x<1，10設函數(shù)f(x)=í 求f¢(1)îex，x³1，解：因為f-¢(1)=lime-e-xx®1x-1=elim-x®1ex-1-1x-1=e，f+¢(1)=lim-x®1ex-ex-1=e，所以f¢(1)=e11設函數(shù)f(x)=íìcosx，x<0，î2x+1，x³0，求f¢(x)解

10、：當x<0時，f¢(x)=(cosx)¢=-sinx，當x>0時，f¢(x)=(2x+1)¢=lim2(x+h)+1-(2x+1)h=lim2=2，h®0h®0當x=0時，由f-¢(0)=limcosx-1_x®0x-0=0，f+¢(0)=lim+x®02x+1-1x-0=2，ì-sinx，x<0，¢于是函數(shù)在x=0點不可導，所以f(x)=í2，x>0.î習題21（B）1有一非均勻細桿AB長為20 cm，又知AM的質量與從A點到點M

11、 的M為AB上一點，距離平方成正比，當AM為2 cm時質量為8 g，求： (1) AM為2 cm時，這段桿的平均線密度； （2）全桿的平均線密度； （3）求點M處的密度解：設AM=x cm，則AM桿的質量為m(x)=kx2 g，由AM=2時,m=8，得k=2，2(x+h)-2xhm(2)2=22所以，m(x)=2x，m¢(x)=lim2h®0=lim(4x+2h)=4x g/cmh®0（1）AM為2 cm時，這段桿的平均線密度為（2）全桿的平均線密度為m(20)20=8002082=4 g/cm=40 g/cm（3）點M處的密度為m¢(x)=4x g/c

12、mìex，x<0，a，bf(x)=2求的值，使函數(shù) 在x=0點可導 íîax+b，x³0解：首先函數(shù)f(x)要在x=0點連續(xù)而f(0)=lime=1，f(0)=lim(ax+b)=b，f(0)=b，x®0-x+x®0+-+由f(0)=f(0)=f(0)，得b=1，此時f(0)=1又f-¢(0)=lime-1-xx®0x=1，f+¢(0)=lim+x®0ax+1-1x=a，由f-¢(0)=f+¢(0)得a=1ìex，x<0，所以，當a=1，b=1時，函數(shù)f

13、(x)=í 在x=0點可導îax+b，x³03討論函數(shù)y=tanx在x=0點的可導性解：f-¢(0)=limtanx-0-x®0x=lim-x®0-tanxx=-1，f+¢(0)=lim+x®0tanx-0x=lim+x®0tanxx=1因為f-¢(0)¹f+¢(0)，所以函數(shù)y=tanx在x=0點不可導4若函數(shù)f(x)可導，且f(x)為偶（奇）函數(shù)，證明f¢(x)為奇（偶）函數(shù) 證明：（1）若f(x)是偶函數(shù)，有f(-x)=f(x)， 因為f¢(-x)=

14、limf(-x+h)-f(-x)h=-limf(x-h)-f(x)-h=-f¢(x)，h®0h®0所以f¢(x)是奇函數(shù)（2）若f(x)是奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x)， 因為f¢(-x)=limf(-x+h)-f(-x)h=limf(x-h)-f(x)-h=f¢(x)，h®0h®0所以f¢(x)是偶函數(shù)5設非零函數(shù)f(x)在區(qū)間(-¥，+¥) 因為limf(x+h)-f(x)hf(h)-1h=limf(x)f(h)-f(x)hf(h)-f(0)hh®0h®0 =

15、f(x)limh®0=f(x)limh®0=f(x)f¢(0)=af(x)，所以函數(shù)f(x)可導，且f¢(x)=af(x) 6求曲線y=x+解：y¢(x)=lim1x上的水平切線方程=limx+h+1/(x+h)-(x+1/x)hy(x+h)-y(x)hh®0h®0 =lim1+h®-1x(x+h)=1-1x2，由y¢(x)=0，得x=±，當x=1時，y=2，此時水平切線是y-2=0(x-1)，即y=2； 當x=-1時，y=-2，此時水平切線是y+2=0(x-1)，即y=-27在拋物線y=1-x

16、2上求與直線x-y=0平行的切線方程 解：對y=1-x2，導函數(shù)為：y(x+h)-y(x)h2y¢(x)=limh®0=lim1-(x+h)-(1-x)h22h®0=-lim(2x+h)=-2x，h®0設切點為(t，1-t)，則切線斜率為k=y¢(t)=-2t，而直線斜率為k1=1， 根據(jù)已知，有k=k1，即-2t=1，得t=-1/2，切點為(-1/2，3/4)， 切線方程為：y-34=1×(x+12)，即4x-4y+5=08已知曲線y=ax2與曲線y=lnx相切，求公切線方程解：設切點為(x0,y0)，則兩曲線在切點處的斜率分別為k

17、1=2ax0，k2=1/x0.2ìax0=lnx0,1由兩曲線在x=x0時相切，有í得lnx0=，即x0=2î2ax0=1/x0.e，此時，a=12e，y0=12，公切線斜率為k=1e，公切線方程為y-12=1e(x-e)，化簡得y-1ex+12=0.習題22（A）1下列論述是否正確，并對你的回答說明理由：（1）在自變量的增量比較小時，函數(shù)的微分可以近似刻畫函數(shù)的增量，但是二者是不會相等的；（2）函數(shù)y=f(x)在一點x處的微分df(x)=f¢(x)Dx僅與函數(shù)在這點處的導數(shù)有關； （3）函數(shù)在一點可微與在這點可導是等價的，在一點可微的函數(shù)在這點必然連續(xù)

18、，但反過來不成立，即在一點連續(xù)的函數(shù)在這點未必可微答：（1）前者正確，根據(jù)微分的定義Dy=dy+o(Dx)»dy；后者不正確，如對線性函數(shù)y=ax+b，恒有Dy=dy(=aDx)（2）不正確因為df(x)=f¢(x0)Dx，可見df(x)x=x0x=x0不僅與f¢(x0)有關，還與自變量x在該點的增量Dx有關（3）正確這就是本章定理2.1與定理1.2所述 2求下列函數(shù)在x點處的微分dy：（1）y=lnx； （2）y=（3）y=1x1x3； x（x¹0）（x¹0）； （4）y=2x+x2dxx3解：（1）因為y¢=，所以dy=3x1(x

19、+h)2（2）因為y¢(x)=limx+h-hh®0=limh®0+x(x+h)+x2=3×1，x2所以，dy=3×dxx2（3）因為y¢(x)=lim1/x+h-1/hxh®0=limx-2x+hh®0=1xlim-1x+x+hhx+xhh®0=-12xx，所以，dy=-dx2xx（4）因為y¢(x)=lim2(x+h)+(x+h)-(2x+x)h22h®0=lim(2+2x+h)=2(1+x)，h®0所以dy=2(1+x)dx3求下列函數(shù)在x=x0點處的微分dy（1） y

20、=cosx，x0=p2x=x0：1x； （2）y=x+=-sinx1x2，x0=1解：（1）因為y¢=-sinx，所以dy（2）因為y¢=1-4設函數(shù)y=1x2x=p/2x=p/2×dx=-dx，所以dyx=1=1-x=1×dx=0×dx=0x0=1，Dx=0.1時函數(shù)的微分dy解：因為y¢=limx+h-hDx2xx=1Dx=0.1xh®0=lim1x+h+xh®0=12x，所以dyx=1Dx=0.1=0.055用函數(shù)的局部線性化計算下列數(shù)值的近似值：（1）sin30o30¢； （2）.05； （3）l

21、n1.002解：（1）取f(x)=sinx，x=30o30¢=61p/360，x0=30o=p/6，f¢(x)=cosx， 由f(x)»f¢(x0)(x-x0)+f(x0)，得sin30o30¢»cosp6×p360+12=3720p+12»0.0076+0.5000=0.5076（2）取f(x)=x，x=1.05，x0=1，f¢(x)=1/2x，12´0.05+1=1.025由f(x)»f¢(x0)(x-x0)+f(x0)，得.05»（3）取f(x)=ln(1+x

22、)，當x<<1時，先證明ln(1+x)»x， 事實上，取x0=0，則f(x0)=f(0)=0f¢(x0)=f¢(0)=limln(1+x)-0x-0=1，x®0由f(x)»f¢(x0)(x-x0)+f(x0)，得ln(1+x)»1×(x-0)+0=x， 利用ln(1+x)»x，得ln1.002=ln(1+0.002)»0.002 6討論下列函數(shù)在x=0點的可微性： （1）f(x)=3ìx3，x<0，x； （2）f(x)=xx； （3）f(x)=íî

23、sinx，x³0.23解：（1）因為limx2-0x®0x-0=lim1xx®03=¥，則f(x)=32x在x=0點不可導，所以f(x)=2x在x=0不可微（2）因為limxx-0x-0x®0=limx=0，則f(x)=xx在x=0點可導，x®0所以f(x)=xx在x=0點可微x-0-3（3）因為f-¢(0)=limx®0x-0=0，f+¢(0)=lim+x®0sinx-0x-0=1，f-¢(0)¹f+¢(0)，ìx3，x<0，f(x)=得在x=0點

24、不可導，所以在x=0點也不可微 íîsinx，x³0習題22（B）1已知單擺的振動周期T=2plg，其中g=980cm/s是重力加速度，l是擺長（單位：2cm）設原擺長為20 cm，為使周期T增加0.05 s，問擺長大約需要增加多少？ 解：dTdll=20=lim2pl/g-2pl-2020/gl®20=2pgl®20lim1l+20=p20g»0.02244由DT»T¢(20)Dl，得Dl»DTT¢(20)»0.050.02244»2.23，即為使周期T增加0.05 s，擺

25、長大約需要加長2.23 cm2用卡尺測量圓鋼的直徑D，如果測得D=60.03 mm，且產生的誤差可能為0.05 mm，求根據(jù)這樣的結果所計算出來的圓鋼截面積可能產生的誤差的大小 解：設圓鋼的截面積為A=A(D)=pD2/4，p(D+h)/4-pD/4h22A¢(D)=limh®0=p4lim(2D+h)=h®0pD2；DA»A¢(D)DD=pD×DD/2，當D=60.03，DD£0.05時，DA£3.1416´60.03´0.04/2»4.715 mm2， 所以絕對誤差大約為4.715

26、 mm2；DAA»pD×DD/2pD/42=2×DDD£2´0.0560.03»0.0017，所以相對誤差大約為0.17%3若函數(shù)f(x)在x=0點連續(xù)，且lim解：由limf(x)xf(x)xx®0=1，求dyx=0x®0=1，及分母極限limx=0，得分子極限limf(x)=0；x®0x®0又因為函數(shù)f(x)在x=0點連續(xù)，所以f(0)=limf(x)=0，x®0f¢(0)=limf(x)-f(0)x-0x®0=limf(x)xx®0=1，dyx=0=

27、f¢(0)dx=dxDydy4設函數(shù)f(x)在點x0可微，且f¢(x0)=2，求極限lim解：由已知，有dy=2Dx，所以Dydydy+o(Dx)dyo(Dx)2DxDx®0Dx®0lim=limDx®0=lim1+Dx®0=1+0=1習題23（A）1下列敘述是否正確？并根據(jù)你的回答說出理由：（1）求復合函數(shù)的導數(shù)時要根據(jù)復合函數(shù)的關系，由“外”到“里”分別對各層函數(shù)求導，再把它們相乘；（2）求任意函數(shù)的微分首先要求出該函數(shù)的導數(shù)，然后將該導數(shù)乘以自變量的微分 答：（1）正確這就是復合函數(shù)求導定理推廣到多重復合的情形，通常稱為復合函數(shù)

28、的“鏈式求導法則”，又形象地俗稱為“扒皮法”，要注意不能漏項（2）不一定還可以用微分法則及一階微分形式不變性求函數(shù)的微分 2求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=x2+2 （2）y=x(x+1x+3； x2)；3（3）y=(1-x)x2； （4）y=xlnx；（5）y=2x+tanx-sinx； （6）y=cosxx1+cosx解：（1）y¢=(x2)¢+2(1)¢+(3)¢=2x-11 xxx+0=2x-xx331（2）y¢=(x2)¢+(x-2)¢=3-523x2x2-32x=2(1-1x3)（3）y¢=(x-2-3x-

29、1+3-x)¢=-2321x3+x-（4）y¢=x¢lnx+x(lnx)¢=lnx+x/x=lnx+1 （5）y=(2x)¢+(tanx)¢-x(sinx)¢-x¢sinxx2=2xln2+sec2x-xcosx-sinxx2（6）y¢=(cosx)¢(1+cosx)-cosx(1+cosx)¢x(1+cosx)2=-sin(1+cosx)23求下列函數(shù)在指定點的導數(shù)或微分：（1）f(x)=sinx-cosx，求f¢(p3)與f¢(p2)；（2）y=2+x35-x3

30、，求dyx=0與dyx=2解：（1）f¢(x)=cosx+sinx， f¢(p3)=cosp3+sinp33=1+23， f¢(p22)=cosp2+sinp2=1（2）y=(25-x)¢+(225x3)¢=-2´(-1)(5-x)292+x389=2(5-x)2+x，2253892因為y¢(0)=，y¢(2)=+4=，所以dyx=0=dx，dyx=2=dx4求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=(2-x)7； （2）y=cos(3x+2)； （3）y=earctanx； （4）y=tan-x；（5）y=arcsine2x；

31、 （6）y=arccos（7）y= （8）y=sin1x；2+x；（9）y=cos2(1+ln2x)； （10）y=ln(x+ 解：（1）y¢=7(2-x)6(2-x)¢=-7(2-x)6 （2）y¢=-sin(3x+2)(3x+2)¢=-3sin(3x+2)earctanx2（3）y¢=earctanx(arctanx)¢=1+x（4）y¢=sec2-x(-x)¢=2x2xsec2-x2-x(1-x)¢=-sec2-x2-x（5）y¢=(e)¢2x-(e)2=e(2x)¢4

32、x=2e2x4x-e=-e=（6）y¢=-(1/x)¢-(1/x)2xx×21xx-12x-12（7）y¢=(sin2x)¢2=x2sinx(sinx)¢2+sin22=sinxcosx+sin22+sinx(x)¢2x2（8）y¢=cos+x(1+x)¢=22+x2cos+x=x+x2cos+x2（9）y¢=2cos(1+ln2x)cos(1+ln2x)¢=-2cos(1+ln2x)sin(1+ln2x)(1+ln2x)¢=-sin(2+2ln2x)0+(2x)¢

33、2x=-sin(2+2ln2x)x（10）y¢=(x+2x)¢x+2x=1x+2x(1+1x)=1+2x+xxx5求下列函數(shù)的微分dy：（1）y=x3+3x+ln3； （2）y=x2sin2x； （3）y=ln2(1+x)； （4）y=sec2(1-x)； （5）y=x-x2； （6）y=tan(1+2x2)；（7）y=arctan-sin2+x； （8）y=22x解：（1）dy=d(x3)+d(3x)+d(ln3)=3x2dx+3xln3dx+0×dx=(3x2+3xln3)dx （2）dy=sin2xd(x2)+x2d(sin2x)=2xsin2xdx+2x2

34、cos2xdx=2x(sin2x+xcos2x)dx （3）dy=2ln(1+x)dln(1+x)=2ln(1+x)1+xd(1+x)=2ln(1+x)1+xdx（4）dy=2sec(1-x)dsec(1-x)=2sec2(1-x)tan(1-x)d(1-x)=-2sec(1-x)tan(1-x)dx2（5）因為y¢=1×1-x2-x(-x/-x)1-x22=1(1-x)223/2，所以，dy=dx(1-x)223/2（6）因為y¢=sec(1+2x)×4x=4xsec(1+2x)，所以dy=4xsec(1+2x)dx （7）因為y¢=11+(

35、+x)222222×2x2+x22=x(2+x)1+x22，所以dy=xdx(2+x)+x22（8）因為y¢=2-sin2xln2×(-sin-sinx)¢=-ln2×sin2x×2x-sin2x，所以dy=-ln2×sin2x×22dx6在括號 )=2dx； （2）d( )=21+xdx；（3）d( )=2sin2xdx； （4）d()=x；（5）d( )=xdx（n¹-1）； （6）d( )=n11+x2dx解：（1）因為(2x+C)¢=2，所以d(2x+C)=2dx （2）因為(2ln+x

36、+C)¢= （3）(2sin221+x，所以d(2ln+x+C)=221+xdxx+C)¢=2sin2x，所以d(2sinx+C)=2sin2xdx，或因為(-cos2x+C)¢=2sin2x，所以d(-cos2x+C)=2sin2xdx12xn（4）因為(x+C)¢=，所以d(x+C)=x（5）因為(xn+1n+1+C)¢=x，所以d(11+x2nxn+1n+1 +C)=xdx（n¹-1）11+x2（6）因為(arctanx+C)¢=，所以d(arctanx+C)=dx習題23（B）1如圖所示的A,B,C三個圓柱型零件當圓

37、柱A轉過x圈時，B轉過u圈，從而帶動C轉過y圈通過計算周長知道y=dydu=1，=du=3，求=12u2,u=3x，因此dydx解：2dydxdxdydududx32´3=2求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=xesinx； （2）y=lnlnlnx； （3）y=ln(x+（5）y=ln1+1-xa+x)； （4）y=ln(cscx-cotx)；xx22； （6）y=x2a-x+22a22arcsinxa；（7）y=arcsin1-x1+x1； （8）y=x2x+(2x)xxxxx解：（1）y¢=x¢esinx+x(e)¢sinx+xe(sinx)¢=

38、e(sinx+xsinx+xcosx)（2）y¢=(lnlnx)¢lnlnx=(lnx)¢lnlnx×lnx=1lnlnx×lnx×x=1x×lnx×lnlnx （3）y¢=(x+x+a+x)¢a+x2222=1+x/x+a+xa+x2222=a+x22（4）y¢=(cscx-cotx)¢cscx-cotx=-cscxcotx+cscxcscx-cotxx)¢=12x(1+1/a2=cscx（5）y¢=ln(1+x)¢-ln(1-x)+12x(1

39、-x)=1(1-x)x（6）y¢=a-x222-x222+a22a-x22-(x/a)2 =a-x22-x222+a222=a-x222+a-x222=a-x222a-x2a-x（7）y¢=1-11-x1+x211-x1+x1-(1+x)-(1-x)(1+x)2=-1(1+x)2x(1-x)ln2xx（8）因為y=x2x+(2x)x=e2xlnx+eln2x，所以=(2lnx+2)x2xy¢=e2xlnx(2lnx+2)+ex1-ln2xx2+1-ln2xx21(2x)x3若函數(shù)f(x)可微，求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=f(x2)； （2）y=f2(x)； （3）

40、y=ff(x)； （4）y=ln1+ef(x)222解：（1）y¢=f¢(x)(x)¢=2xf¢(x)（2）y¢=2f(x)f(x)¢=2f(x)f¢(x)（3）y¢=f¢f(x)f(x)¢=f¢f(x)f¢(x)1+e1+ef(x)f(x)（4）y¢=¢=ef(x)f(x)¢f(x)1+e=ef(x)f¢(x)f(x)1+e14設可導函數(shù)f(x)滿足方程f(x)+2f()=x3x，求f¢(x)11x2解：（方法1）等式兩邊對

41、x求導，有f¢(x)+2f¢()(-x)=-3x2，1x2用1x22替換上式中的x，有f¢()-2xf¢(x)=-3x，從而得f¢(x)=2+1x（方法2）用1x替換題中等式里的x，有f()+2f(x)=3x，x1x1由此得f(x)=2x-5設y=fg2(x)-解：dy=f¢g2(x)-1x1， 所以，f¢(x)=2+1x2，其中f(u)，g(u)可微，求dy dg(x)-21xx=2g(x)g¢(x)+1x22f¢g(x)-1xdx.6試寫出垂直與直線2x-6y+1=0且與曲線y=x3+3x2-5相切的

42、直線方程 解：y¢(x)=3x2+6x，設切點的橫坐標為x=t，則切線斜率k=y¢(t)=3t2+6t， 而直線2x-6y+1=0的斜率k1=1/3，由已知kk1=-1，有t2+2t=-1，得t=-1，切點為(-1，-3)，切線斜率為k=-3， 于是，所求切線方程為y+3=-3(x+1)，即3x+y+6=0習題24（A）1下列論述是否正確？并根據(jù)你的回答說出理由：（1）如果y=f(x)的導數(shù)f¢(x)大于零，那么y=f(x)的二階導數(shù)也一定大于零； （2）變速直線運動的加速度大于零，該變速運動一定是加速運動 答：（1）不正確如f(x)=lnx（x>0），f&

43、#162;(x)=1x>0，但是f¢¢(x)=-1x2<0（2）正確由v¢(t)=a(t)>0，有速度的變化率是正的，即運動是加速運動 2求下列函數(shù)的二階導數(shù)：（1）y=x+2lnx； （2）y=2x+4x3；（3）y=arctanx； （4）y=sin(1-2x)； （5）y=（7）y=-xarcsinx； （6）y=ecosx； ； （8）y=ln(1+x)；x-1)； （10）y=xshx222x（9）y=ln(x+解：（1）y¢=2x+2x，y¢¢=2-2x2（2）y=x2+2x-12-1+4x，y¢

44、;=2x-x-32-4x-2，y¢¢=2+32x×2x+8x3（3）y¢=11+x2，y¢¢=-2x(1+x)22（4）y¢=-2cos(1-2x)，y¢¢=-4sin(1-2x)x-x2（5）y¢=-arcsinx+1，y¢¢=-x2+x/-x2222(1-x)arcsinx-x-x2×1-x2=-arcsinx(1-x)23/2-x1-x2（6）y¢=ex(cosx-sinx)，y¢¢=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)

45、=-2exsinx （7）y¢=xx-32，y¢¢=x-3-x/x-3222x-322=-3(x-3)23/2（8）y¢=2x1+x2，y¢¢=2(1+x)-2x×2x(1+x)22=2(1-x)(1+x)-12222（9）y¢=1+x/x+x-1x-122=1x-12，y¢¢=(x-1)2¢=-x(x-1)23/2（10）y¢=shx+xchx，y¢¢=chx+chx+xshx=2chx+xshx243設函數(shù)f(x)=3+x+2x+x，求f¢&

46、#162;¢(0)及f(4)(0)(4)32解：f¢(x)=1+4x+4x，f¢¢(x)=4+12x，f¢¢¢(x)=24x，f(x)=24，f¢¢¢(0)=24xx=0=0；f(4)(0)=24x=0=244計算下列各題：（1）f(x)=e2x+1，求f(5)(x)；（2）y=(x+1)lnx，求dydx33；（3）y=lnsinx，求y¢¢¢2x+12x+12x+1解：（1）f¢(x)=2e，f¢¢(x)=4e，f¢

47、62;¢(x)=8e，f(4)(x)=16e2x+1，f(5)(x)=32e2x+1 dydx33（2）dydx=lnx+1+cosxsinx1x，dydx22=1x-1x2，=-1x2+2x3=2-xx3（3）y¢=cotx，y¢¢=-csc22x，y¢¢¢=-2cscx×(-cscxcotx)=2cscx×cotx5驗證函數(shù)y=C1elx+C2e-lx（其中C1,C2為任何常數(shù)）滿足關系式（微分方程） y¢¢-l2y=0證明：因為y¢=C1lelx+C2(-l)e-lx，

48、y¢¢=C1l2elx+C2(-l)2e-lx=l2y，所以y¢¢-l2y=0 6驗證函數(shù)y=exsinx滿足關系式y(tǒng)¢¢-2y¢+2y=0 證明：因為y¢=exsinx+excosx，y¢¢=esinx+ecosx+ecosx+-esinx=2ecosx，xxxxx所以y¢¢-2y¢+2y=2excosx-2(exsinx+excosx)+2exsinx=0習題24（B）1掛在彈簧上的一個重物，從靜止位置往下拉長5 cm，并松開使其上下振動記松開時的時刻為t=0，

49、在時刻t時物體的位置為s=5cost求時刻t時物體的速度和加速度 解：物體的速度v(t)=dsdt=-5sint；物體的加速度a(t)=dsdt22=dvdt=-5cost2設函數(shù)y=4x-x2-4arcsinx2，求y¢¢x4x-x22解：y¢=4-2x24x-x2-41/4x-x/4=-,y¢¢=-4x-x2-x(2-x)/4x-x24x-x=-2x(4x-x)23/23設函數(shù)y=arcsinx，求y(10)(0)解：由y=arcsinx是奇函數(shù)，則y¢(x)是偶函數(shù)，y¢¢(x)是奇函數(shù)，y¢

50、62;¢(x)是偶函數(shù)， 以此類推y(10)(x)是奇函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)導數(shù)的性質，y(10)(x)在x=0點有定義，所以y(10)(0)=04求下列函數(shù)的n（n³3）階導數(shù)：（1）y=xex； （2）y=x2cosx； （3）y=x2lnx；（4）y=anxn+an-1xn-1+L+a1x+a0（其中ai(i=1,2,L,n)為常數(shù)，an¹0） 解：（1）（方法1）y¢=ex+xex=ex(x+1)，y¢¢=ex(x+1)+ex=ex(x+2)，y¢¢¢=e(x+2)+exxx=e(x+3)，LL以此類

51、推y(n)=ex(x+n)n（方法2）y(n)=åCk=0(k)kn(x)(k)(e)x(n-k)=x(e)x(n)+nx¢(e)x(n-1)x=e(x+n)n（2）y(n)=åCk=02kn(x)2(cosx)(n-k) n(n-1)2x) =x(cos2(n)+n(x)¢(cosx)2(n-1)+(x)¢¢(cosx)(n)2(n-2) =xcos(x+22np2)+2nx(sinx)np2(k)(n)+n(n-1)(-cosx)np2) =(x-n+n)cos(x+n)+2nxsin(x+（3）（方法1）y2(n)=å

52、Ck=0kn(x)2(lnx)(n-k) =x(lnx)2(n)+n(x)¢(lnx)2(n-1)+n(n-1)2(x)¢¢(lnx)2(n-2) n-3=x×(-1)n-1n(n-1)!x2(-1)n-1+2nx(-1)n-2n-1(n-2)!x+n(n-1)(-1)x(n-3)!n-2 =(n-3)!xn-2（方法2）y¢=2xlnx+x，y¢¢=2lnx+3，2(-1)n-3y(n)=(y¢¢)(n-2)=(2lnx+3)(n-2)=(n-3)xn-2=2(-1)n-1(n-3)x(n)n-2（4）

53、y(n)=an(x)n(n)+an-1(xn-1)(n)+L+a1(x)(n)+(a0) =ann!+0+L+0+0=ann!5若函數(shù)f(x)滿足f¢(sinx)=cos2x+cscx，求f¢¢(x)解：由f¢(sinx)=cos2x+cscx=1-2sin所以f¢¢(x)=(1-2x2+1x)¢=-4x-1x22x+1sinx，有f¢(x)=1-2x2+1x， 6若函數(shù)y=f(x)存在二階導數(shù)，分別求y=f2(x)及y=f(x2)的二階導數(shù) 解：對y=f2(x)，y¢=2f(x)f¢(x)，y

54、¢¢=2f(x)f¢(x)¢=2f¢(x)2+2f(x)f¢¢(x)；對y=f(x2)，y¢=2xf¢(x2)，y¢¢=2xf¢(x2)¢=2f¢(x2)+4x2f¢¢(x2)7若函數(shù)f(x)有任意階導數(shù)，且f¢(x)=f2(x)，證明f證明：用數(shù)學歸納法進行證明，當n=1時顯然成立，設n=k時成立，即f(k)(n)(x)=n!fn+1(x) (x)=k!fk+1(x)，(x)兩邊同時對x求導，得k+2當n=k+1時，等式ff(k+1)(k)(x)=k!fk+1kk2(x)=k!(k+1)f(x)f¢(x)=(k+1)!f(x)f(x)=(k+1)!f(x)，即對n=k+1，式子f有f(n)(n)(x)=n!fn+1所以根據(jù)數(shù)學歸納法原理，對任何正整數(shù)n都(x)，(x)=n!fn+1(x)習題25（A）1判斷下列論述是否正確，并說明理由：（1）求由方程