丘成桐-幾何觀點看相對論

1、丘成桐：從幾何的觀點談相對論2016年01月25日 14:09 來源于 財新網(wǎng)我從事廣義相對論研究已經(jīng)四十多年，參與了整個廣義相對論的發(fā)展。今天，我想從幾何的觀點來講講廣義相對論。（一）黎曼幾何：改變?nèi)祟惖臅r空觀如果沒有黎曼幾何的發(fā)展，愛因斯坦將會需要更多的時間來創(chuàng)立偉大的廣義相對論。值得一提的是，他的博士論文全部是通過他自己想象寫出來的?，F(xiàn)代幾何學的發(fā)展推動我們對于空間的認識。黎曼（Bernhard Riemann）和他的老師高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）毫無疑問是現(xiàn)代幾何學的兩位奠基人。高斯是現(xiàn)代幾何學的先父，而真正的創(chuàng)始人可能是黎曼。黎曼的一生短

2、暫，只在世40年，就英年早逝。他的學術生涯雖然只有短短16年，但是他發(fā)表的每一篇文章都開創(chuàng)了整個幾何和數(shù)學不同方面的領域，尤其是現(xiàn)代幾何。1854年，黎曼在論關于作為幾何學基礎的假設的講師資格論文中開啟了現(xiàn)代幾何學的概念。黎曼幾何這一漂亮的理論變革了人們對古希臘幾何學家所引入的空間的認識?？梢哉f如果沒有黎曼幾何的發(fā)展，愛因斯坦（Albert Einstein）將會需要更多的時間來創(chuàng)立偉大的廣義相對論。值得一提的是，他的博士論文全部是通過他自己想象寫出來的，除了高斯的一些工作以及赫爾巴特（Johann Friedrich Herbart）的哲學作品，黎曼可以借鑒的文獻很少。黎曼開創(chuàng)幾何最重要的目

3、的是解釋物理現(xiàn)象，他認為：幾何學定理無法從一般的量綱概念導出，而必須借助那些可以區(qū)分空間和其他實體的性質。這些性質只能通過實驗發(fā)現(xiàn).我們只能研究他們的可能性，判斷是否可以將其延拓到可觀察范圍之外，不可測量的巨大或微小.或者空間所依存的物理現(xiàn)實是一個離散的多樣體，或者它的度量關系的基礎需要追溯到它的元素的結合力的外部來源.我們現(xiàn)代的幾何學是包括了幾何、分析與數(shù)學物理的一門綜合的科學。這正是黎曼160年前研究幾何學時采用的觀點。與黎曼同時代的數(shù)學家中，最重要的一個人是柯西（Cauchy）?？挛骱屠杪际菑头治龅牡旎?，但黎曼與柯西不同的是，他從幾何和微分方程的觀點來研究復分析，引進了“黎曼面”的基

4、本概念。這個概念是19世紀和20世紀最重要的概念之一，影響到高能物理的發(fā)展。黎曼還是第一位引入獨立于歐氏幾何的空間概念的學者。他用坐標來測量長度，面積和曲率等幾何量。他希望這些值與坐標的選取無關，這叫做等效原理，是愛因斯坦后來用作推導他的場方程的一個基本假設。愛因斯坦受到黎曼工作的深刻影響。黎曼還引入了黎曼曲面的抽象概念。他設想所有自然存在的光滑二維曲面都可以描述為黎曼曲面。這個發(fā)現(xiàn)很重要，黎曼面被應用到不同的物理范疇中。在過去30年中，物理學家對一種稱為超弦的理論極度著迷，根據(jù)這一理論，粒子是時空中振動的微小的弦。振動中的弦掃出一張二維曲面。黎曼觀察到二維曲面存在一種全純函數(shù)賦予的結構，也即

5、共形幾何。這啟發(fā)了共形場論的誕生?，F(xiàn)代粒子物理學家的工作依賴于對這些共形結構的深刻理解。黎曼面在日常生活中也有應用，比如計算機圖形學和地圖繪制。黎曼以后，龐加萊（Jules Henri Poincaré）推進了幾何發(fā)展。龐加萊在19世紀后期證明推廣了黎曼的單值化定理。這是一個很重要的定理，影響到今天多維空間的發(fā)展。黎曼幾何的主要奠基人是三位意大利學者：列維·齊維塔（Levi-Civita,）、克里斯托費爾（Elwin Bruno Christoffel）和路易吉·比安基（Luigi Bianchi）。由于身體不佳，黎曼臨終前幾年都在意大利過冬療養(yǎng)，他在意大利的四年

6、影響了一批學者。其中前述三位學者成功發(fā)展了黎曼流形的微積分。（二）數(shù)學的美與愛因斯坦方程當愛因斯坦最后成功解釋天體現(xiàn)象的時候，有人問愛因斯坦，假如你觀測到的天象和你的理論有不同的時候，你會怎么講？愛因斯坦講，“我會替造物者惋惜，居然不懂得用到這樣漂亮的理論?！?905年，當愛因斯坦在洛倫茲和龐加萊的幫助下發(fā)現(xiàn)狹義相對論時，人們認識到三維空間與時間是不可分割的。時空的數(shù)學定義由愛因斯坦的老師閔可夫斯基（Hermann Minkowski）給出。他引入一個與黎曼度量類似的新度量，找到一個以羅倫茲群為等距變換群的黎曼空間，用來描述狹義相對論的幾何基礎。閔可夫斯基的發(fā)現(xiàn)對于希望統(tǒng)一狹義相對論和牛頓力學

7、的愛因斯坦來說是一個很大的啟發(fā)。當時，這兩個理論是不兼容的。所有的信息不能超光速傳遞，這是狹義相對論的要求?？墒桥ｎD力學是要求超距作用的，太陽重力場影響地球的轉動，是同一個時間，根本不用光速，它就傳達到地球來了。前者要求信息低于光速傳播，而后者要求超距作用。愛因斯坦對這兩個理論矛盾的研究引入了等效原理，提出運動方程由等效原理決定：引力定律不受觀測方式或坐標選擇的影響。通過思想實驗他意識到，描述重力的位勢依賴于方向。愛因斯坦在思索這應該是何種類型的量時，他的數(shù)學家朋友馬塞爾·格羅斯曼（Marcel Grossman）告訴他，他所需要的數(shù)學概念應該是黎曼幾何中的某個張量，類似于牛頓力學，

8、重力場運動方程包含位勢的二階導數(shù)，這個量也應該與坐標選擇無關。張量的概念產(chǎn)生于19世紀末，由克里斯托費爾(Christoffel Elwin Bruno）提出。隨后，愛因斯坦邀請數(shù)學家格羅斯曼幫忙。格羅斯曼在全世界最好的圖書館哥廷根圖書館，發(fā)現(xiàn)由19世紀的意大利幾何學家里奇（Ricci）引入的里奇張量恰好符合這些特性。里奇張量是黎曼曲率張量的二次縮并得出來的張量。這個發(fā)現(xiàn)發(fā)表在愛因斯坦和格羅斯曼于1912年和1913年合寫的兩篇論文中。他們用里奇張量定義空間中物質分布的物質張量。不過，因為物質張量滿足守恒律，而里奇張量本身并不滿足守恒律，所以這個方程組不兼容。同時，他們寫下的方程組在解釋物理現(xiàn)

9、象時，并不成功。雖然方程很漂亮，也滿足了很多事情，可是愛因斯坦仍然無法解釋水星近日點進動和牛頓方程預言的偏差問題，所以他知道這個方程還是沒有成功。有一到兩年的時間，愛因斯坦幾乎想放棄等效原理這樣基本的看法，企圖采取特殊的坐標來解決和觀察不和諧的問題。作為一代大師的數(shù)學家希爾伯特卻不愿意這樣做。因為從數(shù)學的觀點來講，不能找特殊的坐標系統(tǒng)來解決這個問題。希爾伯特答應他，用數(shù)學的美來解決這個問題。當廣義相論論最后成功解釋天體現(xiàn)象的時候，有人問愛因斯坦，假如你觀測到的現(xiàn)象和你的理論有不同的時候，你會怎么想？愛因斯坦說，“我會替造物者惋惜，居然不懂得用到這樣漂亮的理論?！睘槭裁雌聊?？因為用了等效原理，

10、同時能夠解釋天體的問題。愛因斯坦后來多次講到，數(shù)學的美是很重要的，甚至比實踐還要重要。愛因斯坦方程的成功，起源于對稱應用在物理學上的巨大威力。等效原理可以說是用對稱學來找到物理方程的重要的方法。推導愛因斯坦的場方程的時候，最重要的就是等效原理，等效原理其實就是對稱群的利用。對稱群的應用起源于十九世紀數(shù)學家伽羅華（Évariste Galois）和索菲斯·李（Marius Sophus Lie），以及二十世紀的女數(shù)學家埃米·諾特（Emmy Noether）。艾米·諾特是有史以來最偉大的女數(shù)學家。1915年，諾特正在哥廷根，和希爾伯特是同事。她有沒有直接影響

11、愛因斯坦的想法不得而知，但是諾特用對稱群來研究物理方程的理論影響至今。艾米·諾特可以說是有史以來最偉大的女數(shù)學家。所以我們知道，愛因斯坦完成廣義相對論的時候，主要想法是對時空有一個哲學的思想，就是盡量滿足等效原理，同時要跟牛頓力學是能夠推導，能夠平行的。通過思想的實驗，也通過數(shù)學的思維，他能夠得出這樣的結論。所以他堅持物理最基礎的部分必須要通過這個過程：要有思想實驗般的思考，同時要有哲學的思想，還有數(shù)學的思維。廣義相對論的這個方程，通過一百年的觀察，基本上都是正確的。愛因斯坦跟希爾伯特互相競爭，也互相幫忙。1915年，二人相遇。他們之間的討論激發(fā)了兩人的靈感并促成了廣義相對論中愛因斯

12、坦運動方程的誕生（希爾伯特發(fā)現(xiàn)了希爾伯特作用量，可以用來簡潔地推導愛因斯坦方程，而愛因斯坦直接創(chuàng)建了這個方程）。數(shù)學家希爾伯特甚至比愛因斯坦更早地推導出了這個方程。愛因斯坦發(fā)覺他的方程可以用來解釋時空和物質的分布是互相影響的，不像牛頓力學里面認為的時空是固定的，時間和空間是沒有關系的。他發(fā)覺時空不停在改變。發(fā)現(xiàn)這些方程可以用來解釋光線偏折。在此過程中，愛因斯坦做出了一個基礎性的概念突破：不僅僅物質的存在產(chǎn)生重力從而彎曲時空纖維，而且重力直接來源于時空的曲率。過了不到兩年，天文觀察證實了這個發(fā)現(xiàn)。1918年，愛因斯坦因此一舉成名。這是一個劃時代的觀念上的大突破。愛因斯坦方程有很多不同的解，因為愛

13、因斯坦在構造這個方程的時候，他找到了方程，可是并沒有限定這個解的唯一性。這個解有它的邊界條件，有它的初始條件，這兩個條件愛因斯坦都沒有解決。不但不曉得，直到現(xiàn)在過了一百年以后，我們對這個問題還是在辯論。愛因斯坦在1915年發(fā)現(xiàn)這個方程，不到一年，當時正研究球形對稱星系如何影響重力的史瓦西（Karl Schwarzschild）發(fā)現(xiàn)愛因斯坦方程的一組解，這個解是球對稱的（史瓦西解可以應用于單一球狀行星的天文研究）。史瓦西解讓愛因斯坦得以計算并觀察很多引力場的重力是怎么樣的。通過這個解，我們可以模擬太陽系：行星的質量遠輕于太陽，它們在史瓦西幾何里可以被看成是沿著測地線移動的微粒。測地線可以通過計算

14、得到，它們不必是閉合的圓周。例如水星的運行軌道已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)是一個具有微小偏差的圓形軌跡，每世紀進動43秒。同時，史瓦西解還有助于推算光線彎曲度。正如愛因斯坦所預測的，太陽產(chǎn)生的重力會改變時空的幾何。因此，從行星射向地球的光線在經(jīng)過太陽附近時會產(chǎn)生彎曲。通過計算史瓦西幾何中的零測地線，可以推算光線的彎曲度。計算結果與實驗數(shù)據(jù)的吻合令人滿意。這是這一重力的新理論開創(chuàng)初期所取得的重要成就之一。史瓦西解在今天依然重要，我們做全球定位GPS的時候，仍然要用到這個解。因為地球是一個重力場，我們的光線受到這個重力場的影響，假如不用這個解的話，算出來的結果不對。史瓦西解讓我們知道光線通過太陽的引力場時會有偏差，

15、這是很重要的成就。廣義相對論受到黎曼幾何發(fā)展的重要影響，反過來講，愛因斯坦所取得的巨大成功深刻影響了黎曼幾何的發(fā)展。在廣義相對論提出之后，幾何學家認識到了愛因斯坦度量的美特別是那些滿足真空愛因斯坦方程的度量。（三）廣義相對論反哺數(shù)學：規(guī)范場理論與卡魯扎的創(chuàng)意卡魯扎發(fā)現(xiàn)，在四維空間里有效的理論，在拿走這些圓之后，通常是重力四維空間中的愛因斯坦方程的非真空解。這些圓創(chuàng)造了一種物質，即電磁場。這絕對是一項驚人發(fā)現(xiàn)。為了進一步說明，我們應該指出，在愛因斯坦的廣義相對理論之后，很多作者試圖去理解如何將麥克斯韋的電磁理論與愛因斯坦的重力理論統(tǒng)一起來。這項研究導致了幾何學與物理學的一些重要發(fā)展。由于麥克斯韋

16、電磁學方程和重力場方程表面上看來并不接近，所以想要將它們統(tǒng)一起來，就要融合對于這兩個偉大的理論勢必產(chǎn)生的種種不同的建議，其中一個最重要的建議來自赫曼·外爾（Hermann Weyl）。外爾受到列維·齊維塔（(Levi-Civita ）和嘉當（Joseph Cartan）的影響，成功地將麥克斯韋的電磁理論建立在規(guī)范場論基礎上。最初，外爾所用的不保持長度的規(guī)范群受到愛因斯坦的否定。在他提出基本構想的十年后，受到量子力學中相位理論的影響，外爾構建完成了阿貝爾規(guī)范場理論。這在數(shù)學和物理中是一項根本性突破。在數(shù)學里，我們將規(guī)范場論稱為幾何學中的聯(lián)絡理論，它給出了向量沿著空間中封閉環(huán)路

17、移動的規(guī)則，這些向量可以通過很廣泛的方式來定義。規(guī)范場的理論在數(shù)學上其實是相當普遍的理論，可是應用到物理上以后，它變成重要的理論。因為在數(shù)學上，從嘉當、霍普夫、惠特尼，他們就推廣了規(guī)范場的理論，他們提出了所謂的“向量叢”的觀念，他們認為基本上，我們給空間中的每一點都賦予一個線性空間。這個附上的空間可以任意扭曲，正是這些扭曲給物理和幾何注入了新的觀點。向量叢被應用于粒子物理學的量子化，其結果就是楊米爾斯理論。在這個理論中楊振寧和米爾斯將外爾的理論一般化到更加廣泛的叢（從交換的規(guī)范群到非交換的規(guī)范群），到了以后，整個規(guī)范場理論是影響到整個高能物理的重要的結果。現(xiàn)在，我們知道楊-米爾斯理論決定了自然

18、界中所有基本力的相互作用。有意思的是，這個理論影響到了數(shù)學本身的發(fā)展，有助于理解四維流形幾何拓撲的基本結構，其中就包括宇宙的幾何形態(tài)。西蒙·唐納森（Simon Donaldson）在這方面做了開創(chuàng)性的工作，但四維空間的幾何構造還遠未被滲透。廣義相對論除了影響赫曼·外爾的規(guī)范場的理論以外，還產(chǎn)生了第二個很重要的理論。當時愛因斯坦的廣義相對論是四維空間，愛因斯坦其實很想從四維時空里面推導到電磁場，但是不知道如何做。 1921年，德國數(shù)學家和物理學家卡魯扎（Kaluza）提出了將愛因斯坦廣義相對論推廣到五維時空的大膽設想。他提出，通過在四維空間的每個點附上一個圓，將愛因斯坦的工作

19、平行推廣到五維時空。他根據(jù)愛因斯坦的理論來研究相應的五維真空?？斣l(fā)現(xiàn)，在四維空間里有效的理論，在拿走這些圓之后，通常是重力四維空間中的愛因斯坦方程的非真空解。這些圓創(chuàng)造了一種物質，即電磁場。這絕對是一項驚人發(fā)現(xiàn)?？巳R因隨后將這項理論向物理方向進行了更深的發(fā)展。愛因斯坦也很欣賞這個理論。但不久之后，人們發(fā)現(xiàn)使用這項理論會創(chuàng)造出一種自然界尚未被觀察到的超重的標量粒子。隨后這項理論就被物理學摒棄了。盡管如此，在四維的愛因斯坦時空中添加維度的想法很有創(chuàng)意。通過這種方法，當時空是簡單乘積，洛倫茲對稱的愛因斯坦度量可以約化為額外空間的愛因斯坦度量。雖然放棄了這個理論，但是這個理論很漂亮，所以有很多不停

20、的改進。在四維空間添加維度的想法，一直以來都在發(fā)展，這個理論以后發(fā)展成現(xiàn)在弦論里的四維空間。（四）卡拉比丘流形的誕生有了超對稱的這個觀念以后，我看卡拉比先生的問題，和愛因斯坦的方程就容易得多了。最后我完成了卡拉比猜想，這個過程很不容易，因為我需要建立一整套理論基礎。我記得當我還是研究生時，愛因斯坦用時空幾何來替代重力的創(chuàng)見很令我著迷：在赤道上兩地，兩人同時朝北移動，本以為是平行移動的兩人，卻發(fā)現(xiàn)快到北極時，竟然越來越靠近對方，就像兩人之間有吸引力。這種吸引力的作用實際上來自于地球的正曲率。反之，若空間曲率為負，例如雙曲空間，兩人將漸行漸遠，感受到排斥力。我對于尋找空間拓撲結構作用下真空愛因斯坦

21、方程的解很感興趣。如愛因斯坦所說，這樣的空間存在，并且拓撲結構本身能夠產(chǎn)生重力。由于重力是由時空的完全曲率張量來表示，我們希望找到這樣一個具有非平凡曲率的真空。物質可以僅用時空的部分曲率，即里奇曲率張量來描述。里奇張量在愛因斯坦方程里被用來描述物質的分布。如果里奇張量為零，那這個時空就不存在物質。所以我非常想要找到這樣一個里奇曲率為零同時又具有非平凡曲率的時空。找到這樣一個例子是我讀研究生時給自己定下的目標。直到有一天，我在圖書館看書時發(fā)現(xiàn)一篇意大利幾何學家歐亨尼奧·卡拉比（Eugenio Calabi）的論文，發(fā)現(xiàn)在我想到這個問題的二十年前，卡拉比就已經(jīng)在思考完全不同條件下的類似問

22、題了?？ɡ鹊撵`感并不是來自廣義相對論。他所感興趣的問題是復數(shù)域的幾何。我很興奮，因為我覺得卡拉比這個問題會幫助我解決剛才廣義相對論的問題，找到那個沒有物質的真空。黎曼球面的高維推廣、龐加萊度量在高維流形的推廣滿足愛因斯坦方程。同時，它也表現(xiàn)出某種內(nèi)在的對稱，我們現(xiàn)在稱之為超對稱。這是一個很奇妙的對稱，到現(xiàn)在實驗室還沒有找到，可是超對稱在這四十年來對物理理論有很重要的影響，很多重要的理論都是通過超對稱來了解的。令我驚訝的是，卡拉比的觀點給出了一種簡單的將完整而復雜的愛因斯坦方程約化為復流形上更簡潔的數(shù)量方程的方法。這個方程是一個相當復雜的非線性方程，我們稱之為蒙日安培方程（Monge-Ampe

23、re equation）?？ɡ炔聹y這個方程總是可解。在相當長的一段時間里，沒有人知道該怎樣處理這類非線性方程，無論是在一般空間還是彎曲空間中。連一個例子都沒有被發(fā)現(xiàn)。因此大部分人不相信卡拉比猜想是正確的，包括當時所有的年輕幾何學家，也包括我。有了超對稱的這個觀念以后，我看卡拉比先生的問題，和愛因斯坦的方程就容易得多了。最后我完成了卡拉比猜想，這個過程很不容易，因為我需要建立一整套理論基礎。這一學科最終被稱為幾何分析，很多朋友都參與了這一學科的開創(chuàng)。他們是理查德·舍恩（Richard  Schoen）、鄭紹遠、利昂·西蒙（Leon Simon）、凱倫·烏

24、倫貝克（Karen Uhlenbeck）、理查德·漢密爾頓（Richard Hamilton），以及之后的克里夫·陶布斯（Clifford H Taubes）和西蒙·唐納森。他們都是一流的學者，還兼研究其他重要的學科。幾何分析學科的建立是過去四十年來幾何學中非常重要的發(fā)展，我有幸親身參與了很多發(fā)展。盡管如此，在1984年之前，我?guī)缀醪恢肋@些發(fā)展能和物理的弦論聯(lián)系起來。由于舍恩和我在廣義相對論上的研究進展，我和物理學家有了相當多的交流。1982年，當時我在普林斯頓高等研究院任教時，加里·霍洛維茨（Gary Horowitz）成為了我的博士后。我的學生都對

25、我的解有興趣，但是與之后認識的安迪·斯特羅明格（Andy Strominger）和愛德華·威滕（Edward Witten）一起討論數(shù)學和物理的聯(lián)系時，我會向他們提到我應用卡拉比猜想構造愛因斯坦度量，他們似乎沒有對此表現(xiàn)出什么興趣。1984年的一天，我去圣地亞哥與太太團聚。正在欣賞美麗的海景時，我接到了安迪·斯特羅明格和加里·霍洛維茨的電話。他們很興奮地告訴我，一個被稱為弦論的關于量子引力的新理論被發(fā)現(xiàn)了。在這個理論里，粒子表示為時空中微小的振動的弦。為了使這一理論與量子力學相容，這個理論要求時空是十維的。他們提議建立一個十維時空模型將四維時空乘上一個微

26、小的六維空間。這個六維空間非常微小，以至于肉眼無法觀測，而這個十維空間在普通人看來就呈現(xiàn)為四維時空。這個六維空間需要滿足愛因斯坦方程，同時他們希望這個時空具有對稱性，從而使得量子場論更完美。額外的超對稱伴隨著一類卡拉比和我研究過的六維流形，而我已經(jīng)證明了它的存在。我的朋友急切地想要知道這樣的流形是否存在，至少在數(shù)學上是否正確。當我告訴他們這樣的流形確實存在而且很多時，他們著實地感到興奮。之后，坎德拉（Candelas），霍洛維茨，斯特羅明格和威滕等四位作者寫了一篇革命性的論文。他們將弦論中的六維空間稱為卡拉比丘（CalabiYau）流形。這些空間成為過去的三十年中數(shù)學和物理研究中非常熱門的主題

27、。數(shù)學為物理提供了一個非常重要的平臺，同時物理的直覺靈感推動數(shù)學前進。弦論還遠未被證明是正確的還是錯誤的。另一方面，由弦論所激發(fā)的數(shù)學卻是正確和漂亮的。一些非常重要的數(shù)學公開問題就是由于弦論所激發(fā)的靈感得以解決。它們可以建立在嚴格的數(shù)學理論上。由此，數(shù)學為驗證由弦論所激發(fā)出的構想是否正確或至少是否自洽，提供了一種方式。不容置疑的是那些結果在數(shù)學上都是正確的。雖然這很振奮人心，但還仍然沒有能夠證明弦論是統(tǒng)一自然的理論。二十世紀物理學的兩大支柱毫無疑問是量子力學和廣義相對論。廣義相對論比量子力學的基礎來的扎實，比量子力學重要，但在應用上不如量子力學，主要的原因我想是因為廣義相對論里面的方程是非線性方程，解這個方程比較困難。量子力學進展神速，在短時間內(nèi)，就在實驗室里驗證出各種重要的現(xiàn)象，對于粒子物理、化學、通信技術，乃至現(xiàn)代工業(yè)的一切進展都有奠基性的貢獻。這里有幾個原因，它有不斷的實驗的支持，從實驗室觀察到新的現(xiàn)象，不但可以驗證和修訂現(xiàn)存的理論，還可以引導物理學家提出新的學說。在觀察現(xiàn)象時，它所需要的數(shù)學比較簡單，它的數(shù)學基礎是線性分析，而這些基礎很多已經(jīng)由希爾伯特提出的無限維空間的譜分析提供。至于進一步的規(guī)范場理論由外爾提出時還是比較線性化，因為初步的規(guī)范場論是用可交換群來