偏微分方程的數(shù)值方法

1、2021/8/141偏微分方程的數(shù)值方法偏微分方程的數(shù)值方法劉劉 銘銘 2021/8/142 偏微分方程定解問題，是表述自然與工程技術(shù)領(lǐng)域中各種現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)工具之一，應(yīng)用十分廣泛。 遺憾的是，絕大多數(shù)偏微分方程的解不能以實用的解析形式來表示，因而其數(shù)值解就顯得尤為重要。2021/8/143 雖然常微分方程數(shù)值方法的歷史可以追溯到18世紀，一些偏微分方程的數(shù)值方法也在20世紀初得到研究，但是，它們發(fā)展成為一門理論上嚴謹，實用上有效的學(xué)科，還是20世紀50年代以來的事，這主要得益于電子計算機的誕生。2021/8/144偏微分方程的分類偏微分方程的分類（1）橢圓型方程（2）拋物型方程（如熱傳導(dǎo)方

2、程）（3）雙曲型方程（如波動方程）22,uuaf x ttx222220uuatx2222,uuabf x yyx2021/8/145三種類型的邊界條件：（1）狄里赫利型邊界條件（第一類邊界條件）：邊界上的函數(shù)值已知；（2）紐曼型邊界條件（第二類邊界條件）：邊界上函數(shù)的法向?qū)?shù)值已知或是一種連續(xù)函數(shù)。（3）混合邊界條件：邊界條件為第一類邊界條件和第二類邊界條件的線性組合。邊界條件邊界條件2021/8/146數(shù)值求解偏微分方程定解問題的數(shù)值求解偏微分方程定解問題的主要方法主要方法1.差分方法2.有限元方法 共同點共同點：都是將連續(xù)的偏微分方程進行離散，采取適當(dāng)形式將其化為線性代數(shù)方程組，通過求解

3、代數(shù)方程組給出其數(shù)值解。2021/8/147差分差分方法方法 無論是常微分方程還是偏微分方程，初值問題或邊值問題，橢圓型、雙曲型或拋物型二階線性方程，以及高階方程或非線性方程，通常均可利用此法將它們轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組，再借助計算機求其數(shù)值解。2021/8/148 目前，對于線性偏微分方程定解問題，差分方法已經(jīng)形成了較成熟的算法格式，對于非線性問題，有效的算法正在迅速發(fā)展之中。2021/8/149差分方法的準(zhǔn)備工作差分方法的準(zhǔn)備工作（1）把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格；（2）把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的函數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的離散的數(shù)值代替。 網(wǎng)格的劃分有不同的方法，有正方形和三角形網(wǎng)格等劃分方法。 2021/8/141

4、0差分方法的基礎(chǔ)，即泰勒級數(shù)展開： 2222xuuu xxu xxxx 最初的估計加上斜率的影響加上曲率的影響不太好差分差分方法方法的基本概念的基本概念 -用差商代替導(dǎo)數(shù)用差商代替導(dǎo)數(shù)2021/8/1411一階導(dǎo)數(shù)的差分表達式： 二階導(dǎo)數(shù)的差分表達式：1,iji ji juuuOxxx221,1,22,2iji jiji juuuuOxxx2021/8/1412 隨著精度的不斷提高，可以推導(dǎo)出無窮無盡的差分表達式。對于高階精度公式，其優(yōu)點、缺點： （1）缺點：高階精度的差分需要更多的網(wǎng)格點，所以計算中的每一步都需要更多的計算時間。 （2）優(yōu)點：要得到相同精度的解，如果使用高階差分格式，網(wǎng)格點的

5、總數(shù)可以更少一些；高階差分格式可以給出質(zhì)量更高的解。2021/8/1413 例如，方程 有兩個自變量x和t，設(shè)t是用于推進求解的變量 。i是x方向的標(biāo)號，n是t方向的標(biāo)號。設(shè)第n層上的數(shù)值已知，求第n+1層上的數(shù)值。22TTtx差分方程的顯式方法與隱式方法差分方程的顯式方法與隱式方法 2021/8/1414顯式方法顯式方法 時間導(dǎo)數(shù) x方向?qū)?shù) 差分方程： 1222nnnniiiiTTTTtttt22411224212nnnnniiiiixTTTTTxxx2122411222420212nnnnnnniiiiiiiTTTxTTTTTtTtxttxx 差分方程截斷誤差2021/8/1415隱式方

6、法隱式方法 11122111111121222222nnnnniiiiinnnnnniiiiiinniitTTTTTxTTTTTTTTtxTTtx 克蘭克 尼克爾森隱式格式顯式隱式2021/8/1416 整理隱式格式，將未知量放在等式左邊，已知量放到右邊，得 隱式格式可化成三對角形式的方程組。 1111111222212222nnnnnnniiiiiiittttTTTTTTTxxxx 2021/8/1417 顯式方法顯式方法：每一個差分方程只包含一個第n+1層的未知數(shù)，從而這個未知數(shù)可以用直接計算的方式顯式地求解。顯式方法是最簡單的方法。11122nnnnniiiiitTTTTTx2021/8

7、/1418 隱式方法隱式方法：包含第n+1層上的多個未知量，必須形成一個代數(shù)方程組。由于需要求解聯(lián)立的代數(shù)方程組，隱式方法通常涉及大型矩陣的運算。比顯式方法需要更多、更復(fù)雜的計算。 1111111222212222nnnnnnniiiiiiittttTTTTTTTxxxx 2021/8/1419顯示方法和隱式方法的優(yōu)缺點顯示方法和隱式方法的優(yōu)缺點1）顯式方法）顯式方法優(yōu)點優(yōu)點：方法的建立及編程相對簡單。缺點缺點：對取定的x，t必須小于穩(wěn)定性條件對它提出的限制。在某些情形，t必須很小，才能保持穩(wěn)定性。要將時間推進計算到時間變量的給定值，就需要很長的計算機運行時間 。2021/8/14202）隱式

8、方法）隱式方法優(yōu)點優(yōu)點：用大得多的t值也能保持穩(wěn)定性。要將時間推進計算到時間變量的給定值，需要少得多的時間步，這將使計算機運行時間更短。缺點缺點：方法的建立和編程更復(fù)雜。而且，由于每一時間步的計算通常需要大量的矩陣運算，每一時間步的計算機運行時間要比顯式方法長得多。2021/8/1421求解偏微分方程的一些差分方法求解偏微分方程的一些差分方法拉克斯溫德羅夫方法可用于時間或空間推進求解，尤其是雙曲型方程麥考馬克方法克蘭克-尼克爾森方法可用于時間或空間推進求解，尤其是拋物型方程松弛法用于橢圓型方程交替方向隱式方法-可用于時間或空間推進求解，雙曲型和拋物型方程2021/8/1422有限元方法有限元方法 有限元方法屬于變分法的范疇，是古典的變分法和分片多項式插值相結(jié)合的產(chǎn)物。 由于差分法通常采用方形網(wǎng)格，很難適應(yīng)區(qū)域形狀的任意性，而有限元方法可以用多種多樣的網(wǎng)格對區(qū)域作剖分，可以適應(yīng)各種形狀的區(qū)域。2021/8/1423 MATLAB的偏微