層次分析法課件

1第一章層次分析法(AHP)

AHP(AnalyticHierarchyProcess)方法，又稱為層次分析法或多層次權(quán)重解析方法，是20世紀70年代初期由美國著名運籌學(xué)家、匹茲堡大學(xué)薩蒂(T·L·Saaty)教授首次提出來的。該方法是定量和定性分析相結(jié)合的多目標決策方法，能夠有效地分析目標準則體系層次間的非序列關(guān)系，有效地綜合測度決策者的判斷和比較。由于系統(tǒng)、簡潔、實用，在社會、經(jīng)濟、管理等許多方面，得到越來越廣泛的應(yīng)用。

1第一章層次分析法(AHP)A21.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出能夠反映系統(tǒng)內(nèi)在聯(lián)系的遞階層次結(jié)構(gòu)模型。將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結(jié)構(gòu)模型的一個層次。同一層次的元素既對下一層次元素起著制約作用，同時又受到上一層次元素的制約。這樣，構(gòu)造了遞階層次結(jié)構(gòu)模型。AHP的層次結(jié)構(gòu)，既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般來說，可以將層次分為三種類型：①最高層。只包含一個元素，表示總目標層。②中間層。包含若干層元素，表示實現(xiàn)總目標所涉及到的各子目標，稱目標層。③最低層。表示實現(xiàn)各決策目標的可行方案，稱為方案層。

21.1AHP方法的基本原理31.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

層次結(jié)構(gòu)中相鄰兩層次元素之間的關(guān)系用直線標明，稱為作用線，元素之間不存在關(guān)系，就沒有作用線。如果某一元素與相鄰下一層次所有元素均有關(guān)系，則稱此元素與下一層次存在完全層次關(guān)系；如果某元素僅與相鄰下一層次部分元素存在關(guān)系，則稱為不完全層次關(guān)系。在實際操作中，模型的層次數(shù)由系統(tǒng)的復(fù)雜程度和決策的實際需要而定，不宜過多。每一層次元素一般不要超過9個，過多的元素會給主觀判斷比較帶來困難。構(gòu)造一個合理而簡潔的層次結(jié)構(gòu)模型，是AHP方法的關(guān)鍵。

G…………C1C2……Cs總目標第1層子目標第n層子目標方案層31.1AHP方法的基本原理層次結(jié)構(gòu)中相鄰41.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

[例1]構(gòu)建科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型。決策往往涉及眾多因素：成果貢獻、人才培養(yǎng)、可行性、發(fā)展前景四個目標。和這四個目標相關(guān)的因素又有以下幾個：①實用價值。研究成果給社會帶來的效益，包括經(jīng)濟效益和社會效益。實用價值與成果貢獻、人才培養(yǎng)、發(fā)展前景等目標都有關(guān)系。②科技水平。課題在學(xué)術(shù)上的理論價值以及在同行中的領(lǐng)先水平?？萍妓街苯雨P(guān)系到成果貢獻、人才培養(yǎng)、發(fā)展前景。③優(yōu)勢發(fā)揮。課題發(fā)揮本單位學(xué)科及人才優(yōu)勢程度，體現(xiàn)與同類課題比較的有利因素。與人才培養(yǎng)、課題可行性、發(fā)展前景均有關(guān)系。④難易程度。指課題本身的難度以及課題組現(xiàn)有人才、設(shè)備條件所決定的成功可能性。與課題可行性、發(fā)展前景相關(guān)聯(lián)。⑤研究周期。課題研究預(yù)計所需時間，與可行性直接相關(guān)。⑥財政支持。是指課題的經(jīng)費、設(shè)備以及經(jīng)費來源。與課題可行性、發(fā)展前景直接相關(guān)?？蒲姓n題決策，就是綜合上述各種目標和因素，確定各個課題的相對優(yōu)劣次序，以供優(yōu)選課題和安排科研力量參考。為此，建立科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型。模型從上到下，分為四個層次，層次之司的關(guān)聯(lián)情況均以作用線標明。

41.1AHP方法的基本原理[例1]構(gòu)建科研51.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

綜合評價科研課題A課題1……成果貢獻B1人才培養(yǎng)B2可行性B3發(fā)展前景B4實用價值C1科技水平C2優(yōu)勢發(fā)揮C3難易程度C4研究周期C5財政支持C6經(jīng)濟效益C11社會效益C12課題N51.1AHP方法的基本原理綜合評價科研課題A課題161.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

AHP方法采用優(yōu)先權(quán)重作為區(qū)分方案優(yōu)劣程度的指標。優(yōu)先權(quán)重是一種相對度量數(shù)，表示方案相對優(yōu)劣的程度，其數(shù)值介于0和

1之間。在給定的決策準則之下，數(shù)值越大，方案越優(yōu)，反之越劣。方案層各方案關(guān)于目標準則體系整體的優(yōu)先權(quán)重，是通過遞階層次從上到下逐層計算得到。這個過程稱為遞階層次權(quán)重解析過程。

[例2]設(shè)有3個物體，它們的重量分別為g1，g2，g3。為了測出各物體的重量，現(xiàn)將每一物體與其它物體重量兩兩比較：第i個物體重量與其它物體重量相比較，得到3個重量比值gi/g1

，gi/g2，gi/g3

(i=1,2,3)。構(gòu)成一個3行3列的矩陣A，稱為3個物體重量的判斷矩陣。

61.1AHP方法的基本原理AHP方法采71.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

設(shè)3個物體重量組成的向量為

根據(jù)線性代數(shù)知識，3是矩陣A的最大特征值，G是矩陣A屬于特征值3的特征向量。因此，物體測重問題就轉(zhuǎn)化為求判斷矩陣的特征值和對應(yīng)的特征向量，3個物體的重量，就是判斷矩陣最大特征值3的特征向量的各個分量。71.1AHP方法的基本原理設(shè)3個物體重量組成81.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

判斷矩陣

產(chǎn)生問題：根據(jù)決策者主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣的最大特征值是否存在，是否為單根?

元素aij＞0（稱為正矩陣），i,j=1,2,3，并且滿足下列三個條件：

81.1AHP方法的基本原理判斷矩陣產(chǎn)91.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

實際中，判斷矩陣的構(gòu)造采用Saaty引用的1-9標度方法，各級標度含義如下表。

標度定

義含

義1同樣重要兩元素對某準則同樣重要3稍微重要兩元素對某準則，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要兩元素對某準則，一元素比另一元素明顯重要7強烈重要兩元素對某準則，一元素比另一元素強烈重要9極端重要兩元素對某準則，一元素比另一元素極端重要2,4,6,8相鄰標度中值表示相鄰兩標度之間折衷時的標度上列標度倒數(shù)反比較元素i對元素j的標度為aij，反之為l/aij

1-9標度法則符合人的認識規(guī)律，有一定科學(xué)依據(jù)。從人的直覺判斷能力看，在區(qū)分事物數(shù)量差別時，習(xí)慣使用相同、較強、強、很強、極端強等判斷語言。根據(jù)心理學(xué)實驗表明，多數(shù)人對不同事物在相同準則上的差異，其分辨能力介于5-9級之間，1-9標度反映了多數(shù)人的判斷能力。Saaty將l-9標度方法和其它標度方法進行對比，大量模擬實驗證明，1-9標度是可行的，與其它標度方法比較，能更有效地將思維判斷數(shù)量化。

91.1AHP方法的基本原理實際中，判斷矩陣的101.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

[例3]設(shè)有3個元素A1，A2，A3，現(xiàn)在構(gòu)造關(guān)于準則Cr的判斷矩陣

CrAlA2A3Ala11a12a13A2a21a22a23A3a31a32a33101.1AHP方法的基本原理[例3]設(shè)有3個元111.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

定義1:設(shè)如果滿足下列二個條件：則稱A

為互反矩陣。

定義2:設(shè)如果滿足下列三個條件：則稱A

為一致性矩陣。111.1AHP方法的基本原理定義1:設(shè)如果滿121.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

定理1(Perron):設(shè)則：①A

有最大的正特征值max，并且max是單根，其余特征值的模均小于max

定理2:設(shè)A

是互反矩陣。②A

的屬于max的特征向量X＞0

①若max是A

的最大特征值，則max≥m

②若1,2,…,m

是A的特征值，則③A是一致性矩陣的充分必要條件是max=m

121.1AHP方法的基本原理定理1(Perr131.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性定理2:設(shè)A

是一致性矩陣，則：①一致性正矩陣是互反正矩陣；

②A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致性矩陣；③A的每一行均為任意指定一行的正數(shù)倍數(shù)；④A的最大特征值max=m，其余特征值均為0

；⑤若A的屬于max的特征向量為

產(chǎn)生問題：根據(jù)決策者主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣具有互反性，但是不一定具有一致性，即不一定滿足131.1AHP方法的基本原理定理2:設(shè)A是一致性141.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

盡管判斷矩陣不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值max略大于階數(shù)m，其余特征值接近于零，稱之為滿意的一致性。這樣，計算出的層次單排序結(jié)果才是合理的。因此，必須對判斷矩陣的一致性進行檢驗，使之達到滿意的一致性標準。

設(shè)判斷矩陣A的全部特征值為：1=max，2，，m

由于A是互反矩陣，aii=1，(i=1，2，，m)。由矩陣理論有

為達到滿意一致性，除了max之外，其余特征值盡量接近于零。取作為檢驗判斷矩陣一致性指標。

141.1AHP方法的基本原理盡管判斷矩陣不151.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性C.I越大，偏離一致性越大。反之，偏離一致性越小。判斷矩陣的階數(shù)m越大，判斷的主觀因素造成的偏差越大，偏離一致性也就越大，反之，偏離一致性越小。當(dāng)階數(shù)m≤2時，C.I=0，判斷矩陣具有完全一致性。因此，必須引入平均隨機一致性指標R.I，隨判斷矩陣的階數(shù)而變化，如下表。這些R.I值是用隨機方法構(gòu)造判斷矩陣，經(jīng)過500次以上的重復(fù)計算，求出一致性指標，并加以平均而得到的。

階數(shù)12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41階數(shù)9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59一致性指標C.I與同階平均隨機一致性指標R.I的比較值，稱為一致性比率151.1AHP方法的基本原理C.I越大，偏離一致性161.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性用一致性比率C.R檢驗判斷矩陣的一致性，當(dāng)C.R越小時，判斷矩陣的一致性越好。一般認為，當(dāng)C.R≤0.1時，判斷矩陣符合一致性標準，層次單排序的結(jié)果是可以接受的。否則，需要修正判斷矩陣，直到檢驗通過。判斷矩陣的一致性檢驗步驟是：

第一步：求出一致性指標

第二步：查表得到平均隨機一致性指標R.I

第三步：計算一致性比率

當(dāng)C.R≤0.1時，接受判斷矩陣，否則，修改判斷矩陣

161.1AHP方法的基本原理用一致性比率C.R檢驗171.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解判斷矩陣A=(aij)m×m是決策者主觀判斷的描述，求解判斷矩陣并不要求過高的精度。有根法、和法及冪法，冪法適于在計算機上運算。

（1）根法

第一步：計算A的每一行元素之積Mi

第二步：計算Mi的m次方根ai

第三步：對向量a=(a1,a2,…,am)T作歸一化處理，

得到最大特征值對應(yīng)的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特征值max171.1AHP方法的基本原理判斷矩陣A=(aij181.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法取算述平均值：

181.1AHP方法的基本原理取算述平均值：191.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。

191.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判201.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗。

201.1AHP方法的基本原理進行一致性檢驗：211.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（2）和法

第一步：判斷矩陣A的元素按列作歸一化處理得到矩陣Q

第二步：將矩陣Q的元素按行相加，得到向量a

第三步：對向量a=(a1,a2,…,am)T作歸一化處理，

得到最大特征值對應(yīng)的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特征值max211.1AHP方法的基本原理（2）和法第一步：判221.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法221.1AHP方法的基本原理231.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法取算述平均值：

231.1AHP方法的基本原理取算述平均值：241.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。

241.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判251.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗。

251.1AHP方法的基本原理進行一致性檢驗：261.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計算

第一步：k=0，任取初始正向量

第二步：k=1，迭代計算定理：設(shè)則，其中E=(1,1,…,1)T，C為常數(shù)

第k+1步：迭代計算（k=0,1,2,3,…）261.1AHP方法的基本原理（3）冪法：逐步迭代方271.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計算

第三步：精度檢查，當(dāng)|mk+1-mk|<，轉(zhuǎn)入第四步；否則令k=k+1，轉(zhuǎn)入第二步

第四步：求最大特征值和對應(yīng)的特征向量

271.1AHP方法的基本原理（3）冪法：逐步迭代方281.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（3）冪法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。精度=0.0001

解：任取初始正向量

kX(k)Y(k)011111118.00008.50001.34290.941210.158023.73122.57660.489110.69060.131133.03672.10830.429810.69430.141543.09612.18480.440610.70570.142353.12292.20180.443110.70500.141963.11952.19830.442610.70470.141973.11892.19800.442610.70470.141983.11892.19800.442610.70470.1419當(dāng)k=7時，|m8－m7|=|3.1189－3.1189|=0＜0.0001，迭代終止。得到

281.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判291.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（3）冪法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A不滿足一致性檢驗。

291.1AHP方法的基本原理進行一致性檢驗：301.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式G…………C1C2……Cs總目標第1層子目標第2層子目標方案層……第n層子目標┆301.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程G…………C1C2…311.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式第一層n1個子目標關(guān)于總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量（第一層子目標判斷矩陣最大特征值對應(yīng)的特征向量）第二層n2個子目標關(guān)于總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量

第二層n2個子目標關(guān)于第一層第1個元素優(yōu)先權(quán)重向量第二層n2個子目標關(guān)于第一層第2個元素優(yōu)先權(quán)重向量第二層n2個子目標關(guān)于第一層第n1個元素優(yōu)先權(quán)重向量311.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程第一層n1個子目標關(guān)321.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式第三層n3個子目標關(guān)于總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量

第三層n3個子目標關(guān)于第二層第1個元素優(yōu)先權(quán)重向量第三層n3個子目標關(guān)于第二層第2個元素優(yōu)先權(quán)重向量第三層n3個子目標關(guān)于第二層第n2個元素優(yōu)先權(quán)重向量321.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程第三層n3個子目標關(guān)331.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式第n層nn個子目標關(guān)于總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量

第n層nn個子目標關(guān)于第n-1層第1個元素優(yōu)先權(quán)重向量第n層nn個子目標關(guān)于第n-1層第2個元素優(yōu)先權(quán)重向量第n層nn個子目標關(guān)于第n-1層第nn-1個元素優(yōu)先權(quán)重向量331.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程第n層nn個子目標關(guān)341.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

二、AHP方法的基本步驟①建立層次結(jié)構(gòu)模型：對決策對象調(diào)查研究，將目標體系所包含的因素劃分為不同層次。

②構(gòu)造判斷矩陣：按照層次結(jié)構(gòu)模型，從上到下逐層構(gòu)造判斷矩陣。每一層元素都以相鄰上一層次各元素為準則，按1-9標度方法兩兩比較構(gòu)造判斷矩陣。也可以用其他改進的標度方法構(gòu)造。③層次單排序及一致性檢驗：求解判斷矩陣最大特征值和對應(yīng)的特征向量，經(jīng)過歸一化處理，即得層次單排序權(quán)重向量。層次單排序要進行一致性檢驗，檢驗不合格的要修正判斷矩陣，直到符合滿意的一致性標準。

④層次總排序。層次總排序是從上到下逐層進行的。在實際計算中，一般按表格形式計算較為簡便。341.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程①建立層次結(jié)構(gòu)模型351.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

[例4]某市中心有一座商場，由于街道狹窄，人員車輛流量過大，經(jīng)常造成交通堵塞。市政府決定解決這個問題，經(jīng)過有關(guān)專家會商研究制定出三個可行方案：

c1：在商場附近修建一座環(huán)形天橋；

c2：在商場附近修建地下人行通道；

c3：搬遷商場。決策的總目標是改善市中心交通環(huán)境。根據(jù)當(dāng)?shù)氐木唧w條件和有關(guān)情況,專家組擬定五個目標作為對可行方案的評價準則：

b1：通車能力；

b2：方便群眾；

b3：基建費用不宜過高；

b4：交通安全；

b5：市容美觀。試對該市改善市中心交通環(huán)境問題作出決策分析。

351.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程[例4]某市中心有一361.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

[解]用AHP方法對此問題作出決策分析

(1)構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型

改善交通環(huán)境A總目標準則層方案層通車能力B1方便群眾B2基建費用B3交通安全B4市容美觀B5天橋C1地道C2搬遷C3361.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程[解]用AHP方法對37(2)層次單排序及其一致性檢驗①第一層：對于總目標A，準則層各準則構(gòu)造判斷矩陣A(1)，求解最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。最大特征值特征向量(權(quán)重)所以，判斷矩陣A(1)滿足一致性檢驗。

37(2)層次單排序及其一致性檢驗①第一層：對于總目標A，38(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對于各準則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。最大特征值特征向量所以，判斷矩陣A1(2)滿足一致性檢驗。

●對于準則B1(通車能力)：38(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對于各準則B139(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對于各準則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。最大特征值特征向量所以，判斷矩陣A2(2)滿足一致性檢驗。

●對于準則B2(方便群眾)：39(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對于各準則B140(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對于各準則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。最大特征值特征向量所以，判斷矩陣A3(2)滿足一致性檢驗。

●對于準則B3(基建費用)：40(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對于各準則B141(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對于各準則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。最大特征值特征向量所以，判斷矩陣A4(2)滿足一致性檢驗。

●對于準則B4(交通安全)：41(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對于各準則B142(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對于各準則B1、B2、B3，構(gòu)造判斷矩陣A1(2)、A2(2)、A3(2)，分別求解最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。最大特征值特征向量所以，判斷矩陣A5(2)滿足一致性檢驗。

●對于準則B5(市容美觀)：42(2)層次單排序及其一致性檢驗②第二層：對于各準則B143(2)層次單排序及其一致性檢驗●第二層權(quán)重向量（此時為層次總排序）這說明三個可行方案的排序結(jié)果是C1＞C2＞C3，即是修建天橋是最滿意方案，其次是修建地下人行通道，最次是搬遷商場。

43(2)層次單排序及其一致性檢驗●第二層權(quán)重向量（此時為44習(xí)題一

1、某單位需要建立一個蓄水池，有南區(qū)方案和北區(qū)方案，按照投資合理、效益顯著、運行可靠、管理方便的原則選擇最優(yōu)方案，各項比較準則所需的相關(guān)資料如下，試用確定最佳方案。

目標方案A工程投資B1工程效益B2施工條件B3開挖量C11地基條件C12施工條件C12進水C21管理條件C22影響環(huán)境C23蓄水量C24施工條件C31南區(qū)方案D1北區(qū)方案D244習(xí)題一目標方案A工程投資B1工程效益B2施工條件B345第一章層次分析法(AHP)

AHP(AnalyticHierarchyProcess)方法，又稱為層次分析法或多層次權(quán)重解析方法，是20世紀70年代初期由美國著名運籌學(xué)家、匹茲堡大學(xué)薩蒂(T·L·Saaty)教授首次提出來的。該方法是定量和定性分析相結(jié)合的多目標決策方法，能夠有效地分析目標準則體系層次間的非序列關(guān)系，有效地綜合測度決策者的判斷和比較。由于系統(tǒng)、簡潔、實用，在社會、經(jīng)濟、管理等許多方面，得到越來越廣泛的應(yīng)用。

1第一章層次分析法(AHP)A461.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

首先要把問題條理化、層次化，構(gòu)造出能夠反映系統(tǒng)內(nèi)在聯(lián)系的遞階層次結(jié)構(gòu)模型。將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結(jié)構(gòu)模型的一個層次。同一層次的元素既對下一層次元素起著制約作用，同時又受到上一層次元素的制約。這樣，構(gòu)造了遞階層次結(jié)構(gòu)模型。AHP的層次結(jié)構(gòu)，既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般來說，可以將層次分為三種類型：①最高層。只包含一個元素，表示總目標層。②中間層。包含若干層元素，表示實現(xiàn)總目標所涉及到的各子目標，稱目標層。③最低層。表示實現(xiàn)各決策目標的可行方案，稱為方案層。

21.1AHP方法的基本原理471.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

層次結(jié)構(gòu)中相鄰兩層次元素之間的關(guān)系用直線標明，稱為作用線，元素之間不存在關(guān)系，就沒有作用線。如果某一元素與相鄰下一層次所有元素均有關(guān)系，則稱此元素與下一層次存在完全層次關(guān)系；如果某元素僅與相鄰下一層次部分元素存在關(guān)系，則稱為不完全層次關(guān)系。在實際操作中，模型的層次數(shù)由系統(tǒng)的復(fù)雜程度和決策的實際需要而定，不宜過多。每一層次元素一般不要超過9個，過多的元素會給主觀判斷比較帶來困難。構(gòu)造一個合理而簡潔的層次結(jié)構(gòu)模型，是AHP方法的關(guān)鍵。

G…………C1C2……Cs總目標第1層子目標第n層子目標方案層31.1AHP方法的基本原理層次結(jié)構(gòu)中相鄰481.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

[例1]構(gòu)建科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型。決策往往涉及眾多因素：成果貢獻、人才培養(yǎng)、可行性、發(fā)展前景四個目標。和這四個目標相關(guān)的因素又有以下幾個：①實用價值。研究成果給社會帶來的效益，包括經(jīng)濟效益和社會效益。實用價值與成果貢獻、人才培養(yǎng)、發(fā)展前景等目標都有關(guān)系。②科技水平。課題在學(xué)術(shù)上的理論價值以及在同行中的領(lǐng)先水平?？萍妓街苯雨P(guān)系到成果貢獻、人才培養(yǎng)、發(fā)展前景。③優(yōu)勢發(fā)揮。課題發(fā)揮本單位學(xué)科及人才優(yōu)勢程度，體現(xiàn)與同類課題比較的有利因素。與人才培養(yǎng)、課題可行性、發(fā)展前景均有關(guān)系。④難易程度。指課題本身的難度以及課題組現(xiàn)有人才、設(shè)備條件所決定的成功可能性。與課題可行性、發(fā)展前景相關(guān)聯(lián)。⑤研究周期。課題研究預(yù)計所需時間，與可行性直接相關(guān)。⑥財政支持。是指課題的經(jīng)費、設(shè)備以及經(jīng)費來源。與課題可行性、發(fā)展前景直接相關(guān)?？蒲姓n題決策，就是綜合上述各種目標和因素，確定各個課題的相對優(yōu)劣次序，以供優(yōu)選課題和安排科研力量參考。為此，建立科研課題決策的層次結(jié)構(gòu)模型。模型從上到下，分為四個層次，層次之司的關(guān)聯(lián)情況均以作用線標明。

41.1AHP方法的基本原理[例1]構(gòu)建科研491.1AHP方法的基本原理

一、遞階層次結(jié)構(gòu)模型

綜合評價科研課題A課題1……成果貢獻B1人才培養(yǎng)B2可行性B3發(fā)展前景B4實用價值C1科技水平C2優(yōu)勢發(fā)揮C3難易程度C4研究周期C5財政支持C6經(jīng)濟效益C11社會效益C12課題N51.1AHP方法的基本原理綜合評價科研課題A課題1501.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

AHP方法采用優(yōu)先權(quán)重作為區(qū)分方案優(yōu)劣程度的指標。優(yōu)先權(quán)重是一種相對度量數(shù)，表示方案相對優(yōu)劣的程度，其數(shù)值介于0和

1之間。在給定的決策準則之下，數(shù)值越大，方案越優(yōu)，反之越劣。方案層各方案關(guān)于目標準則體系整體的優(yōu)先權(quán)重，是通過遞階層次從上到下逐層計算得到。這個過程稱為遞階層次權(quán)重解析過程。

[例2]設(shè)有3個物體，它們的重量分別為g1，g2，g3。為了測出各物體的重量，現(xiàn)將每一物體與其它物體重量兩兩比較：第i個物體重量與其它物體重量相比較，得到3個重量比值gi/g1

，gi/g2，gi/g3

(i=1,2,3)。構(gòu)成一個3行3列的矩陣A，稱為3個物體重量的判斷矩陣。

61.1AHP方法的基本原理AHP方法采511.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

設(shè)3個物體重量組成的向量為

根據(jù)線性代數(shù)知識，3是矩陣A的最大特征值，G是矩陣A屬于特征值3的特征向量。因此，物體測重問題就轉(zhuǎn)化為求判斷矩陣的特征值和對應(yīng)的特征向量，3個物體的重量，就是判斷矩陣最大特征值3的特征向量的各個分量。71.1AHP方法的基本原理設(shè)3個物體重量組成521.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

判斷矩陣

產(chǎn)生問題：根據(jù)決策者主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣的最大特征值是否存在，是否為單根?

元素aij＞0（稱為正矩陣），i,j=1,2,3，并且滿足下列三個條件：

81.1AHP方法的基本原理判斷矩陣產(chǎn)531.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

實際中，判斷矩陣的構(gòu)造采用Saaty引用的1-9標度方法，各級標度含義如下表。

標度定

義含

義1同樣重要兩元素對某準則同樣重要3稍微重要兩元素對某準則，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要兩元素對某準則，一元素比另一元素明顯重要7強烈重要兩元素對某準則，一元素比另一元素強烈重要9極端重要兩元素對某準則，一元素比另一元素極端重要2,4,6,8相鄰標度中值表示相鄰兩標度之間折衷時的標度上列標度倒數(shù)反比較元素i對元素j的標度為aij，反之為l/aij

1-9標度法則符合人的認識規(guī)律，有一定科學(xué)依據(jù)。從人的直覺判斷能力看，在區(qū)分事物數(shù)量差別時，習(xí)慣使用相同、較強、強、很強、極端強等判斷語言。根據(jù)心理學(xué)實驗表明，多數(shù)人對不同事物在相同準則上的差異，其分辨能力介于5-9級之間，1-9標度反映了多數(shù)人的判斷能力。Saaty將l-9標度方法和其它標度方法進行對比，大量模擬實驗證明，1-9標度是可行的，與其它標度方法比較，能更有效地將思維判斷數(shù)量化。

91.1AHP方法的基本原理實際中，判斷矩陣的541.1AHP方法的基本原理

二、判斷矩陣及其特征向量

[例3]設(shè)有3個元素A1，A2，A3，現(xiàn)在構(gòu)造關(guān)于準則Cr的判斷矩陣

CrAlA2A3Ala11a12a13A2a21a22a23A3a31a32a33101.1AHP方法的基本原理[例3]設(shè)有3個元551.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

定義1:設(shè)如果滿足下列二個條件：則稱A

為互反矩陣。

定義2:設(shè)如果滿足下列三個條件：則稱A

為一致性矩陣。111.1AHP方法的基本原理定義1:設(shè)如果滿561.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

定理1(Perron):設(shè)則：①A

有最大的正特征值max，并且max是單根，其余特征值的模均小于max

定理2:設(shè)A

是互反矩陣。②A

的屬于max的特征向量X＞0

①若max是A

的最大特征值，則max≥m

②若1,2,…,m

是A的特征值，則③A是一致性矩陣的充分必要條件是max=m

121.1AHP方法的基本原理定理1(Perr571.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性定理2:設(shè)A

是一致性矩陣，則：①一致性正矩陣是互反正矩陣；

②A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致性矩陣；③A的每一行均為任意指定一行的正數(shù)倍數(shù)；④A的最大特征值max=m，其余特征值均為0

；⑤若A的屬于max的特征向量為

產(chǎn)生問題：根據(jù)決策者主觀判斷所構(gòu)造的判斷矩陣具有互反性，但是不一定具有一致性，即不一定滿足131.1AHP方法的基本原理定理2:設(shè)A是一致性581.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性

盡管判斷矩陣不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值max略大于階數(shù)m，其余特征值接近于零，稱之為滿意的一致性。這樣，計算出的層次單排序結(jié)果才是合理的。因此，必須對判斷矩陣的一致性進行檢驗，使之達到滿意的一致性標準。

設(shè)判斷矩陣A的全部特征值為：1=max，2，，m

由于A是互反矩陣，aii=1，(i=1，2，，m)。由矩陣理論有

為達到滿意一致性，除了max之外，其余特征值盡量接近于零。取作為檢驗判斷矩陣一致性指標。

141.1AHP方法的基本原理盡管判斷矩陣不591.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性C.I越大，偏離一致性越大。反之，偏離一致性越小。判斷矩陣的階數(shù)m越大，判斷的主觀因素造成的偏差越大，偏離一致性也就越大，反之，偏離一致性越小。當(dāng)階數(shù)m≤2時，C.I=0，判斷矩陣具有完全一致性。因此，必須引入平均隨機一致性指標R.I，隨判斷矩陣的階數(shù)而變化，如下表。這些R.I值是用隨機方法構(gòu)造判斷矩陣，經(jīng)過500次以上的重復(fù)計算，求出一致性指標，并加以平均而得到的。

階數(shù)12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41階數(shù)9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59一致性指標C.I與同階平均隨機一致性指標R.I的比較值，稱為一致性比率151.1AHP方法的基本原理C.I越大，偏離一致性601.1AHP方法的基本原理

三、判斷矩陣的一致性用一致性比率C.R檢驗判斷矩陣的一致性，當(dāng)C.R越小時，判斷矩陣的一致性越好。一般認為，當(dāng)C.R≤0.1時，判斷矩陣符合一致性標準，層次單排序的結(jié)果是可以接受的。否則，需要修正判斷矩陣，直到檢驗通過。判斷矩陣的一致性檢驗步驟是：

第一步：求出一致性指標

第二步：查表得到平均隨機一致性指標R.I

第三步：計算一致性比率

當(dāng)C.R≤0.1時，接受判斷矩陣，否則，修改判斷矩陣

161.1AHP方法的基本原理用一致性比率C.R檢驗611.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解判斷矩陣A=(aij)m×m是決策者主觀判斷的描述，求解判斷矩陣并不要求過高的精度。有根法、和法及冪法，冪法適于在計算機上運算。

（1）根法

第一步：計算A的每一行元素之積Mi

第二步：計算Mi的m次方根ai

第三步：對向量a=(a1,a2,…,am)T作歸一化處理，

得到最大特征值對應(yīng)的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特征值max171.1AHP方法的基本原理判斷矩陣A=(aij621.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法取算述平均值：

181.1AHP方法的基本原理取算述平均值：631.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。

191.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判641.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（1）根法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗。

201.1AHP方法的基本原理進行一致性檢驗：651.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（2）和法

第一步：判斷矩陣A的元素按列作歸一化處理得到矩陣Q

第二步：將矩陣Q的元素按行相加，得到向量a

第三步：對向量a=(a1,a2,…,am)T作歸一化處理，

得到最大特征值對應(yīng)的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特征值max211.1AHP方法的基本原理（2）和法第一步：判661.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法221.1AHP方法的基本原理671.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法取算述平均值：

231.1AHP方法的基本原理取算述平均值：681.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。

241.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判691.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（2）和法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A滿足一致性檢驗。

251.1AHP方法的基本原理進行一致性檢驗：701.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計算

第一步：k=0，任取初始正向量

第二步：k=1，迭代計算定理：設(shè)則，其中E=(1,1,…,1)T，C為常數(shù)

第k+1步：迭代計算（k=0,1,2,3,…）261.1AHP方法的基本原理（3）冪法：逐步迭代方711.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解（3）冪法：逐步迭代方法，容易編程計算

第三步：精度檢查，當(dāng)|mk+1-mk|<，轉(zhuǎn)入第四步；否則令k=k+1，轉(zhuǎn)入第二步

第四步：求最大特征值和對應(yīng)的特征向量

271.1AHP方法的基本原理（3）冪法：逐步迭代方721.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（3）冪法[例3]求解下列判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量，并進行一致性檢驗。精度=0.0001

解：任取初始正向量

kX(k)Y(k)011111118.00008.50001.34290.941210.158023.73122.57660.489110.69060.131133.03672.10830.429810.69430.141543.09612.18480.440610.70570.142353.12292.20180.443110.70500.141963.11952.19830.442610.70470.141973.11892.19800.442610.70470.141983.11892.19800.442610.70470.1419當(dāng)k=7時，|m8－m7|=|3.1189－3.1189|=0＜0.0001，迭代終止。得到

281.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判731.1AHP方法的基本原理

四、判斷矩陣求解:（3）冪法

進行一致性檢驗：

所以，判斷矩陣A不滿足一致性檢驗。

291.1AHP方法的基本原理進行一致性檢驗：741.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式G…………C1C2……Cs總目標第1層子目標第2層子目標方案層……第n層子目標┆301.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程G…………C1C2…751.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式第一層n1個子目標關(guān)于總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量（第一層子目標判斷矩陣最大特征值對應(yīng)的特征向量）第二層n2個子目標關(guān)于總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量

第二層n2個子目標關(guān)于第一層第1個元素優(yōu)先權(quán)重向量第二層n2個子目標關(guān)于第一層第2個元素優(yōu)先權(quán)重向量第二層n2個子目標關(guān)于第一層第n1個元素優(yōu)先權(quán)重向量311.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程第一層n1個子目標關(guān)761.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式第三層n3個子目標關(guān)于總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量

第三層n3個子目標關(guān)于第二層第1個元素優(yōu)先權(quán)重向量第三層n3個子目標關(guān)于第二層第2個元素優(yōu)先權(quán)重向量第三層n3個子目標關(guān)于第二層第n2個元素優(yōu)先權(quán)重向量321.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程第三層n3個子目標關(guān)771.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

一、遞階權(quán)重解析公式第n層nn個子目標關(guān)于總目標G的優(yōu)先權(quán)重向量

第n層nn個子目標關(guān)于第n-1層第1個元素優(yōu)先權(quán)重向量第n層nn個子目標關(guān)于第n-1層第2個元素優(yōu)先權(quán)重向量第n層nn個子目標關(guān)于第n-1層第nn-1個元素優(yōu)先權(quán)重向量331.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程第n層nn個子目標關(guān)781.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

二、AHP方法的基本步驟①建立層次結(jié)構(gòu)模型：對決策對象調(diào)查研究，將目標體系所包含的因素劃分為不同層次。

②構(gòu)造判斷矩陣：按照層次結(jié)構(gòu)模型，從上到下逐層構(gòu)造判斷矩陣。每一層元素都以相鄰上一層次各元素為準則，按1-9標度方法兩兩比較構(gòu)造判斷矩陣。也可以用其他改進的標度方法構(gòu)造。③層次單排序及一致性檢驗：求解判斷矩陣最大特征值和對應(yīng)的特征向量，經(jīng)過歸一化處理，即得層次單排序權(quán)重向量。層次單排序要進行一致性檢驗，檢驗不合格的要修正判斷矩陣，直到符合滿意的一致性標準。

④層次總排序。層次總排序是從上到下逐層進行的。在實際計算中，一般按表格形式計算較為簡便。341.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程①建立層次結(jié)構(gòu)模型791.2遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過程

[例4]某市中心有一座商場，由于街道狹窄，人員車輛流量過大