名勝古跡利用圖形的旋轉變換解題舉例

1、利用圖形的旋轉變換解題舉例 泰州市二中附中 姚永前 陳秀娟這一輪課程改革，對幾何作了較大幅度的調整，印象較深之一是加強了“幾何變換”的內容，即從變換的角度去認識傳統(tǒng)幾何中的證題術。初中幾何涉及的變換主要有平移、對稱和旋轉，本文從“旋轉”這一角度舉些例子，供大家參考。我們知道，圖形的旋轉變換不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置，故解題時可充分利用圖形的旋轉變換的這一特點，把圖形位置進行改變，從而達到優(yōu)化圖形結構，進一步整合圖形題設信息的目的，使較為復雜的問題得以順利求解。例1、如圖1分別以正方形ABCD的邊AB、AD為直徑畫半圓，若正方形的邊長為,求陰影部分的面積。解：連AC、BD如右圖，則

2、繞AD中點將圖中逆時針旋轉到圖中，將圖中繞AB中點順時針方向旋轉到圖中，則原圖中陰影部分的面積就和DBC的面積相等，所以圖中陰影部分的面積=SDCB =S 正方形ABCD=。這里我們用旋轉變換的方法改變了圖中和的位置，從而順利地完成了計算。例2、如圖所示，在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一點，試說明。證法一（非旋轉法）：過A點作AEBC于E，如圖,則容易證明AE=BE=EC，又BD=BEDE，DC=CE+DE， 所以，所以=+= ，而在直角三角形ADE中,存在，所以，這是傳統(tǒng)的證明方法。本題考慮到BD、DC、AD三線段分散在兩個三角形中,而且構成平方和的條件不明顯,若利用旋轉變換

3、,將BD、DC放到一個三角形中,若這個三角形是直角三角形,則創(chuàng)造就更能接近所證的目標了.證法二(旋轉法): 將ADC繞A點順時針方向旋轉到AEB,如圖, 連DE, 易知ADE、DBE均為直角三角形,且AE=AD,BE=DC, 所以在RtEBD中有，在RtAED中有，所以。例3、 如圖所示,P為正方形內一點,且PA=1,BP=2,PC=3,求APB的大小解: 如圖（6），將BPC繞B點逆時針旋轉到BEA, 連EP易知PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2，在RtBEP中， 且EPB= ，在AEP中 ，又，所以APE是直角三角形，即APE=，APB=APE+EPB=+=，即APB為。 傳統(tǒng)幾何

4、中，有許多旋轉的例子，尤其是正方形和等腰三角形中。如圖（7），正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，如果APQ的周長為2，求PCQ的度數(shù)。將CDQ繞C點逆時針旋轉90°像圖（8）那樣，立刻可得QA+AB+BE=2，由APQ周長為2得 PQ=PE，進一步可得CPQCPE，PCQ=PCE，又QCE=90°，所以PCQ=45°。又如圖（9），ABC中，AB=AC，P為三角形內一點，且APBAPC，求證：PCPB。將APB繞A點逆時針旋轉成右圖那樣，不難得到條件APBAPC變成了PQCQPC，從而PCCQ，由旋轉關系，PCPB。最能體現(xiàn)旋轉法的莫過于下面這

5、個問題了：如圖（10），四邊形ABCD中，AB=AD，A=C=90°，其面積為16，求A到BC的距離。通過旋轉變換，將圖（10）變成圖（11），答案可以脫口而出：距離為4！類似的例子可以舉出許多，這里不再贅述。綜上可見，正確利用圖形的旋轉變換可大大提高解題效率，不過在使用這一方法解題時還需注意圖形旋轉變換的基礎，即存在相等的線段，故這種方法一般常用于等腰三角形，正方形圖形中。幾何專題復習圖形與變換（1）平移、旋轉和軸對稱廣州市中匯景實驗學校 李朝陽一、教學目標：（1）能借助圖形識別平移、旋轉和軸對稱三種基本變換的異同；（2）能利用平移、旋轉和軸對稱三種變換認識基本圖形并解決圖形中的問

6、題。 二、教學重點與難點重點：利用變換認識圖形的能力訓練；ABCODE難點：應用變換找規(guī)律的能力訓練。三、教學過程：1、借助圖形，識別變換如圖，長方形ABCD中，對角線AC與BD相交于O，DEAC，CEBD，那么ABD可以看作是由_旋轉得到，旋轉中心是_，DEC可以看作是由_經過 變換得到；有沒有與DEC成軸對稱的三角形？中心對稱呢？圖中還有沒有其它類似的圖形變換？通過回顧圖形的三種變換，歸納總結如下圖形變換共性個性軸對稱（1）形狀不變、大小不變；（2）變換前后，兩個圖形全等，對應線段、對應角相等對應點的連線段被對稱軸垂直平分平移對應線段平行（或在同一直線上）且相等；對應點的連線段平行（或在同

7、一直線上）且相等。旋轉對應點到旋轉中心的距離相等. 圖形上的每個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了同樣的角度.(即任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角)（意圖：通過改編教材中的一道練習題，以題引入，借助圖形幫助學生回顧圖形的三種變換以及識別變換的異同）2、訓練與探索環(huán)節(jié)1：動手練習，明確變換1. 同學們曾玩過萬花筒，它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的右圖是看到的萬花筒的一個圖案，圖中所有小三角形均是全等的等邊三角形，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以點A為中心【 】(A)順時針旋轉60°得到 (B)順時針旋轉120°得到(C)逆時針旋轉60°得到 (

8、D)逆時針旋轉120°得到2.下列各圖中，不是中心對稱的是【 】3. 將一張正方形紙片沿一對角線對折后，得到一個等腰直角三角形，再沿底邊上的高線對折，把得到的圖形(如圖)沿虛線剪開，打開陰影部分并鋪平，此圖形有 條對稱軸。4如圖（1），將邊長為2cm的兩個互相重合的正方形紙片沿對角線AC翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一個等腰直角三角形沿AC移動，若重疊部分AC=2cm，則它移動的距離AA等于_cm（意圖：設置簡單的新穎的直接反映某一知識點的題目，讓學生通過訓練，達到對知識點回顧的目的，明確變換的觀點）環(huán)節(jié)2：更上層樓，運用變換1如圖，如果APB繞點B按逆時針方向旋轉90°

9、;后得到APB，且BP=2，那么PP的長為_.2如圖，在直角ABC中，C90°，A35°，以直角頂點C為旋轉中心，將ABC旋轉到A'B'C 的位置，其中A'、B' 分別是A、B的對應點，且點B在斜邊A'B'上，則A'CB的度數(shù)是_.3. 如圖（1），將邊長為2cm的兩個互相重合的正方形紙片按住其中一個不動，另一個紙片繞點B順時針旋轉30°，則重疊部分的面積為_cm2（意圖：題目難度就環(huán)節(jié)1略有提高，用變換來識別圖形，力求通過題目反映利用圖形變換解題技巧和優(yōu)勢。）環(huán)節(jié)3 利用變換，實踐探索如圖，在紙上畫ABC和

10、一條直線m，畫出ABC關于直線m對稱的A1B1C1，如果再增加一條直線n，繼續(xù)畫所得三角形A1B1C1的軸對稱圖形A2B2C2，得到的三角形跟原來的三角形關系怎樣？除此之外，A2B2C2還可以由ABC怎樣變換得到？（對于平移變換要求回答出平移的方向和平移的距離；對于旋轉變換要求回答出旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度）學生可能不會回答旋轉的情況，此時可提問：怎樣構造直線n使得A2B2C2可看成由 ABC旋轉得到？旋轉的角度為多少？如圖，四邊形中，°，于，若，則四邊形的面積為 .如圖，正方形ABCD中，點P 是對角線BD上任意一點，過點P作PECD于E，PFBC于F，連結EF，請問：EF與P

11、A具有怎樣的大小與位置關系？（意圖：經過環(huán)節(jié)1的基礎訓練和環(huán)節(jié)2的拓展訓練后，本環(huán)節(jié)主要是通過實踐探索發(fā)現(xiàn)平移、旋轉和軸對稱三種變換之間的聯(lián)系，進一步強化平移、旋轉和軸對稱三種圖形變換在解題中的應用。）四、歸納小結在圖形的平移、旋轉及軸對稱作圖中通過反映對應點的特征體現(xiàn)整個圖形的特征。平移的特征：平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大??；對應線段平行（或在同一直線上）且相等；對應點的連線段平行（或在同一直線上）且相等。旋轉的特征： （3）旋轉的特征：對應點到旋轉中心的距離相等.圖形上的每個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了同樣的角度.(即任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角) 圖形

12、的形狀、大小都不變對應線段相等,對應角相等. 軸對稱的特征：只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大?。粚c的連線被對稱軸垂直平分。五、課后作業(yè)1在梯形ABCD中，已知AB/CD，且AB+CD=5、AC=3、BD=4，則梯形ABCD的面積為 .2、已知P是正方形ABCD內一點，PA=1、PB=3、PD=，求的大小3、若由ABC旋轉得到A/ B/ C/如圖1所示，請做出它們的旋轉中心.附設計說明：新課程理念、新的教材、新的課程評價觀對教師提出了新的更高要求。這迫切要求教師本身要提高自己教育專業(yè)發(fā)展水平，更好地為基礎教育服務。廣州市教研室組織的這次初三復習研討課交流活動，是教師學習的重要契機。為此市中心組姚中東老師、趙連華老師、黃嘉禾老師、林俊偉老師、陳志紅老師、劉永東老師承擔了幾何復習課型的課例研究，本著體現(xiàn)新課標的要求，根據(jù)理論聯(lián)系實際、直接指導教學實踐的原則，形成了此教學設計。主要是旨在幫助教師了解新