蒙特卡洛方法在中子輸運中的應用

1、中子輸運理論與數(shù)值方法課程作業(yè)蒙特卡洛方法目錄1.前言32. 蒙特卡洛方法概述32.1 蒙特卡洛方法的基本思想42.2 蒙特卡洛方法的收斂性、誤差42.2.1 蒙特卡洛方法的收斂性42.2.2 蒙特卡洛方法的誤差52.3 蒙特卡洛方法的特點62.4 蒙特卡洛方法的主要應用范圍73. 隨機數(shù)73.1 線性乘同余方法93.2 偽隨機數(shù)序列的均勻性和獨立性93.2.1 偽隨機數(shù)的均勻性93.2.2 偽隨機數(shù)的獨立性104. 蒙特卡洛方法在粒子輸運上的應用104.1 屏蔽問題模型104.2 直接模擬方法114.2.1 狀態(tài)參數(shù)與狀態(tài)序列114.2.2 模擬運動過程124.2.3 記錄結(jié)果154.3 蒙

2、特卡洛方法的效率165. 蒙特卡洛方法應用程序MCNP175.1 MCNP簡述175.2 MCNP誤差的估計185.3 MCNP效率因素196. 結(jié)論19參考文獻201. 前言半個多世紀以來，由于科學技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作為一種獨立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗與研制中得到了應用。蒙特卡洛方法是一種計算方法，但與一般數(shù)值計算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的一種方法。由于蒙特卡洛方法能夠比較逼真地描述事物的特點及物理實驗過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應用領(lǐng)域日趨廣泛。蒙特卡洛模擬計算是解決中子在介質(zhì)中輸運較為成熟

3、、有效的方法，對于原子能、輻射防護、劑量學和輻射生物物理學等研究領(lǐng)域?qū)嶋H問題的計算，都可以利用蒙特卡洛方法予以實現(xiàn)。粒子輸運過程可以用玻耳茲曼方程加以描述，然而，以此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的近似數(shù)值方法如擴散近似法、離散坐標方法在處理截面與能量相關(guān)以及散射各向異性介質(zhì)、復雜幾何條件問題時碰到了較大困難。而蒙特卡洛方法在處理這類問題時得心應手，有很強的解題能力，并且近似較少，接近于真實情況。粒子輻射問題計算通常有輸運方程法、蒙特卡洛法(MC法)、實驗測量法以及經(jīng)驗法等幾種方法。蒙特卡洛計算法又稱隨機抽樣法或統(tǒng)計試驗法，是基于計算機模擬的思想，抓住物理過程的數(shù)量和幾何特征，進行數(shù)字模擬試驗，該方法是求解輻

4、射輸運問題的一種相當成熟和有效的方法，而且它對于各種復雜問題，具有良好的通用性，實用性相當廣泛，幾乎涉及核科學的各個領(lǐng)域。本文主要介紹蒙特卡洛的概念、原理和應用及研究現(xiàn)狀。2. 蒙特卡洛方法概述蒙特卡洛方法又稱隨機抽樣技巧或統(tǒng)計試驗方法。半個多世紀以來，由于科學技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明 ，這種方法作為一種獨立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗與研制中得到了應用。蒙特卡洛方法是一種計算方法，但與一般數(shù)值計算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的一種方法。由于蒙特卡洛方法能夠比較逼真地描述事物的特點及物理實驗過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應用領(lǐng)域日趨廣泛。蒙特卡洛方法

5、的主要組成部分有：(1)概率密度函數(shù)(pdf) 必須給出描述一個物理系統(tǒng)的一組概率密度函數(shù)；(2)隨機數(shù)產(chǎn)生器能夠產(chǎn)生在區(qū)間0,1上均勻分布的隨機數(shù)；(3)抽樣規(guī)則如何從在區(qū)間0,1上均勻分布的隨機數(shù)出發(fā),隨機抽取服從給定的pdf的隨機變量；(4)模擬結(jié)果記錄記錄一些感興趣的量的模擬結(jié)果；(5)誤差估計必須確定統(tǒng)計誤差（或方差）隨模擬次數(shù)以及其它一些量的變化；(6)減少方差的技術(shù)利用該技術(shù)可減少模擬過程中計算的次數(shù)；(7)并行和矢量化可以在先進的并行計算機上運行的有效算法2.1 蒙特卡洛方法的基本思想可以通俗地說，蒙特卡洛方法是用隨機試驗的方法計算積分，即將所要計算的積分看作服從某種分布密度函

6、數(shù)f(r)的隨機變量(r)的數(shù)學期望通過某種試驗，得到N個觀察值r1，r2，rN（用概率語言來說，從分布密度函數(shù)f(r)中抽取N個子樣r1，r2，rN，），將相應的N個隨機變量的值g(r1)，g(r2)，g(rN)的算術(shù)平均值，作為積分的估計值（近似值）。為了得到具有一定精確度的近似解，所需試驗的次數(shù)是很多的，通過人工方法作大量的試驗相當困難，甚至是不可能的。因此，蒙特卡洛方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。本世紀四十年代以來，由于電子計算機的出現(xiàn)，使得人們可以通過電子計算機來模擬隨機試驗過程，把巨大數(shù)目的隨機試驗交由計算機完成，使得蒙特卡洛方法得以廣泛地應用，在現(xiàn)代化的科學技術(shù)中

7、發(fā)揮應有的作用。2.2 蒙特卡洛方法的收斂性、誤差蒙特卡洛方法作為一種計算方法，其收斂性與誤差是普遍關(guān)心的一個重要問題。2.2.1 蒙特卡洛方法的收斂性由前面介紹可知，蒙特卡洛方法是由隨機變量X的簡單子樣X1，X2，XN的算術(shù)平均值.作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限期望值，則。即隨機變量X的簡單子樣的算術(shù)平均值，當子樣數(shù)N充分大時，以概率1收斂于它的期望值E(X)。2.2.2 蒙特卡洛方法的誤差蒙特卡洛方法的近似值與真值的誤差問題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機變量序列X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限非零的方差2，即。f(

8、X)是X的分布密度函數(shù)。則當N充分大時，有如下的近似式其中稱為置信度，1稱為置信水平。這表明，不等式近似地以概率1成立，且誤差收斂速度的階為。通常，蒙特卡洛方法的誤差定義為上式中與置信度是一一對應的，根據(jù)問題的要求確定出置信水平后，查標準正態(tài)分布表，就可以確定出。常用的與的對應關(guān)系為：=0.5，=0.6745；=0.05，=0.96；=0.003，=3. 蒙特卡洛方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。誤差中的均方差是未知的，必須使用其估計值來代替以求出均方差。由式可知當給定置信度后，誤差由和N決定。要減小，或者是增大N，或者是減小方差2。在固定的情況下，要把精度提高一個數(shù)量級，

9、試驗次數(shù)N需增加兩個數(shù)量級。因此，單純增大N不是一個有效的辦法。另一方面，如能減小估計的均方差，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當于N增大四倍的效果。因此降低方差的各種技巧，引起了人們的普遍注意。2.3 蒙特卡洛方法的特點作為一種統(tǒng)計試驗方法，蒙特卡洛方法因其優(yōu)點在諸多領(lǐng)域內(nèi)有著廣泛，但同時存在一些缺點。蒙特卡洛的主要優(yōu)點有：(1)能夠比較逼真地描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程。蒙特卡洛方法可以部分代替物理實驗，甚至可以得到物理實驗難以得到的結(jié)果。用蒙特卡洛方法解決實際問題，可以直接從實際問題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學表達式出發(fā)。它有直觀、形象的特點。(2)受幾何條件限制小。在計

10、算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分時，無論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個點，得到積分的近似值，其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。(3)收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)。由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，蒙特卡洛方法的收斂速度為，與問題本身的維數(shù)無關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時間及估計量計算時間的變化，不影響誤差。也就是說，使用蒙特卡洛方法時，抽取的子樣總數(shù)N與維數(shù)s無關(guān)。維數(shù)的增加，除了增加相應的計算量外，不影響問題的誤差。這一特點，決定了蒙特卡洛方法對多維問題的適應性。(4)具有同時計算多個方案與多個未知量的能力。對于那些需要

11、計算多個方案的問題，使用蒙特卡洛方法有時不需要像常規(guī)方法那樣逐個計算，而可以同時計算所有的方案，其全部計算量幾乎與計算一個方案的計算量相當。例如，對于屏蔽層為均勻介質(zhì)的平板幾何，要計算若干種厚度的穿透概率時，只需計算最厚的一種情況，其他厚度的穿透概率在計算最厚一種情況時稍加處理便可同時得到。(5)誤差容易確定。對于一般計算方法，要給出計算結(jié)果與真值的誤差并不是一件容易的事情，而蒙特卡洛方法則不然。根據(jù)蒙特卡洛方法的誤差公式，可以在計算所求量的同時計算出誤差。對干很復雜的蒙特卡洛方法計算問題，也是容易確定的。(6)程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)。在計算機上進行蒙特卡洛方法計算時，程序結(jié)構(gòu)簡單，分塊性強，

12、易于實現(xiàn)。蒙特卡洛的主要缺點有：(1)收斂速度慢。如前所述，蒙特卡洛方法的收斂速度為，一般不容易得到精確度較高的近似結(jié)果。對于維數(shù)少（三維以下）的問題，不如其他方法好。(2)誤差具有概率性。由于蒙特卡洛方法的誤差是在一定置信水平下估計的，所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差。(3)在粒子輸運問題中，計算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)。經(jīng)驗表明，只有當系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時（一般在十個平均自由程左右），蒙特卡洛方法計算的結(jié)果較為滿意。但對于大系統(tǒng)或小概率事件的計算問題，計算結(jié)果往往比真值偏低。而對于大系統(tǒng)，數(shù)值方法則是適用的。因此，在使用蒙特卡洛方法時，可以考慮把蒙特卡洛方法與解

13、析（或數(shù)值）方法相結(jié)合，取長補短。2.4 蒙特卡洛方法的主要應用范圍蒙特卡洛方法所特有的優(yōu)點，使得它的應用范圍越來越廣。它的主要應用范圍包括：粒子輸運問題，統(tǒng)計物理，典型數(shù)學問題，真空技術(shù)，激光技術(shù)以及醫(yī)學，生物，探礦等方面。隨著科學技術(shù)的發(fā)展，其應用范圍將更加廣泛。蒙特卡洛方法在粒子輸運問題中的應用范圍主要包括：實驗核物理，反應堆物理，高能物理等方面。蒙特卡洛方法在實驗核物理中的應用范圍主要包括：通量及反應率，中子探測效率，光子探測效率，光子能量沉積譜及響應函數(shù)，氣體正比計數(shù)管反沖質(zhì)子譜，多次散射與通量衰減修正等方面。 3. 隨機數(shù)隨機數(shù)是蒙特卡洛方法的主要組成部分之一。隨機數(shù)是指一個數(shù)列，

14、其中的每一個體稱為隨機數(shù)，其值與數(shù)列中的其它數(shù)無關(guān)。在一個均勻分布的隨機數(shù)中，每一個體出現(xiàn)的概率是均等的。物理中的很多過程需要隨機數(shù)確定，比如出射粒子的能量、方向等屬性，粒子與介質(zhì)的相互作用等等。所模擬的物理過程要求隨機數(shù)應具有下列特性：1. 隨機數(shù)序列應是獨立的、互不相關(guān)的(uncorrelated)：即序列中的任一子序列應與其它的子序列無關(guān)；2. 長的周期(long period)：實際應用中，隨機數(shù)都是用數(shù)學方法計算出來的，這些算法具有周期性，即當序列達到一定長度后會重復；3. 均勻分布的隨機數(shù)應滿足均勻性(Uniformity)：隨機數(shù)序列應是均勻的、無偏的，即：如果兩個子區(qū)間的“面積

15、”相等，則落于這兩個子區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)的個數(shù)應相等。4. 有效性（Efficiency):模擬結(jié)果可靠，隨機數(shù)的產(chǎn)生必須快速、有效，最好能夠進行并行計算。為了產(chǎn)生隨機數(shù)，可以使用隨機數(shù)表。隨機數(shù)表是由0，1，9十個數(shù)字組成，每個數(shù)字以0.1的等概率出現(xiàn)，數(shù)字之間相互獨立。這些數(shù)字序列叫作隨機數(shù)字序列。如果要得到n位有效數(shù)字的隨機數(shù)，只需將表中每n個相鄰的隨機數(shù)字合并在一起，且在最高位的前邊加上小數(shù)點即可。例如，某隨機數(shù)表的第一行數(shù)字為7634258910，要想得到三位有效數(shù)字的隨機數(shù)依次為0.763，0.425，0.891?？梢允褂梦锢矸椒óa(chǎn)生隨機數(shù)，用來作為隨機數(shù)發(fā)生器的物理源主要有兩種：一種

16、是根據(jù)放射性物質(zhì)的放射性，另一種是利用計算機的固有噪聲。但在計算機上產(chǎn)生隨機數(shù)最實用、最常見的方法是數(shù)學方法，即用如下遞推公式： (3.1)產(chǎn)生隨機數(shù)序列。對于給定的初始值。1,2，k，確定n+k，=1，2。經(jīng)常使用的是k=1的情況。a) 用數(shù)學方法產(chǎn)生的隨機數(shù)有兩個特點，即：遞推公式和初始值1,2，k確定后，整個隨機數(shù)序列便被唯一確定。不滿足隨機數(shù)相互獨立的要求。b) 由于隨機數(shù)序列是由遞推公式確定的，而在計算機上所能表示的0,1上的數(shù)又是有限的，因此，這種方法產(chǎn)生的隨機數(shù)序列就不可能不出現(xiàn)無限重復。一旦出現(xiàn)這樣的n，n(n< n)，使得成立隨機數(shù)序列便出現(xiàn)了周期性的循環(huán)現(xiàn)象。對于k=

17、1的情況，只要有一個隨機數(shù)重復，其后面的隨機數(shù)全部重復，這與隨機數(shù)的要求是不相符的。由于這兩個問題的存在，常稱用數(shù)學方法產(chǎn)生的隨機數(shù)為偽隨機數(shù)。3.1 線性乘同余方法線性乘同余方法是由Lehmer在1951年提出來的，是一種最常用的產(chǎn)生偽隨機數(shù)的方法。乘同余方法中采用的遞推公式為 (3.2)其中：I0為初始值，a為乘法器，c為增值，m為模數(shù)，mod為取模運算，除以m后的余數(shù)。a、c、m皆為整數(shù)。實型隨機序列： (3.3) (3.4)上式中，獨立性和均勻性取決于參數(shù)a和c的選擇。m應盡可能地大，因為序列的周期不可能大于m。通常將m取為計算機所能表示的最大的整型量，在32位機上，。1961年，M.

18、 Greenberger證明，用線性乘同余方法產(chǎn)生的隨機數(shù)序列具有周期m的條件是：(1)c和m互為質(zhì)數(shù)；(2)a-1是質(zhì)數(shù)p的倍數(shù)，其中p是a-1和m的公約數(shù)；(3)如果m是4的倍數(shù)，a-1也是4的倍數(shù)。3.2 偽隨機數(shù)序列的均勻性和獨立性3.2.1 偽隨機數(shù)的均勻性這里只考慮偽隨機數(shù)序列1,2，n全體作為子樣時的均勻性問題。其中n為偽隨機數(shù)序列的最大容量。對于任意的0x1，令Nn(x)表示偽隨機數(shù)序列1,2，n中適合不等式i< x,i=1,2,n的個數(shù)，則 (3.5)將偽隨機數(shù)序列1,2，n從小至大重新排列，令，則由(n)的定義，容易證明，很明顯，對于固定的，(n)的值越小越好。它是描

19、述偽隨機數(shù)序列均勻程度的基本量。對于任意隨機數(shù)序列，均有不等式成立。當成立時，所對應的偽隨機數(shù)序列為最佳分布。3.2.2 偽隨機數(shù)的獨立性對于任意，令表示(1,2),(2,3),(n,n+1)中適合不等式。的個數(shù)，根據(jù)隨機變量間相互獨立的定義和頻率近似概率的方法，令 (3.6)則(n)標志偽隨機數(shù)序列1,2，n的獨立程度，簡稱為獨立偏度。對于固定的n,(n)的值越接近于零，偽隨機數(shù)序列的獨立性越好。4. 蒙特卡洛方法在粒子輸運上的應用輻射（光子和中子）屏蔽問題是蒙特卡洛方法最早廣泛應用的領(lǐng)域之一?，F(xiàn)主要從物理直觀出發(fā)，說明蒙特卡洛方法解決這類粒子輸運問題的基本方法和技巧。解決屏蔽問題時可采取多

20、種方法，如直接模擬方法、簡單加權(quán)法、統(tǒng)計估計法、指數(shù)變換法等，這里只對直接模擬方法做介紹。4.1 屏蔽問題模型在反應堆工程和輻射的測量與應用中，常常要用一些吸收材料做成屏蔽物擋住光子或中子。我們所關(guān)心的是經(jīng)過屏蔽后射線的強度及其能量分布，這就是屏蔽問題。當屏蔽物的形狀復雜，散射各向異性，材料介質(zhì)不均勻 , 核反應截面與能量、位置有關(guān)時，難以用數(shù)值方法求解，用蒙特卡洛方法能夠得到滿意的結(jié)果。粒子的輸運問題帶有明顯的隨機性質(zhì)，粒子的輸運過程是一個隨機過程。粒子的運動規(guī)律是根據(jù)大量粒子的運動狀況總結(jié)出來的，是一種統(tǒng)計規(guī)律。蒙特卡洛模擬，實際上就是模擬相當數(shù)量的粒子在介質(zhì)中運動的狀況，使粒子運動的統(tǒng)計

21、規(guī)律得以重現(xiàn)。不過，這種模擬不是用實驗方法，而是利用數(shù)值方法和技巧，即利用隨機數(shù)來實現(xiàn)的。為方便起見，選用平板屏蔽模型，在厚度為a，長、寬無限的平板左側(cè)放置一個強度已知，具有已知能量、方向分布的輻射源S，見圖4.1。求粒子穿透屏蔽概率（穿透率）及其能量、方向分布。穿透率就是由源發(fā)出的平均一個粒子穿透屏蔽的數(shù)目。同時，假定粒子在兩次碰撞之間按直線運動 , 且粒子之間的相互作用可以忽略。圖4.1 屏蔽問題模型4.2 直接模擬方法直接模擬方法就是直接從物理問題出發(fā)，模擬粒子的真實物理過程。4.2.1 狀態(tài)參數(shù)與狀態(tài)序列粒子在介質(zhì)中的運動的狀態(tài)，可用一組參數(shù)來描述，稱之為狀態(tài)參數(shù)。它通常包括：粒子的空

22、間位置r，能量E和運動方向，以S(r , E , )表示。有時還需要其他的參數(shù)，如粒子的時間t和附帶的權(quán)重W，這時狀態(tài)參數(shù)為 S'(r , E , , t ,W )。狀態(tài)參數(shù)通常要根據(jù)所求問題的類型和所用的方法來確定。對于無限平板幾何，取S(z , E , cos)，其中z為粒子的位置坐標，為粒子的運動方向與Z軸的夾角。對于球?qū)ΨQ幾何，取 S(r , E , cos)，其中r表示粒子所在位置到球心的距離，為粒子的運動方向與其所在位置的徑向夾角。粒子第m次碰撞后的狀態(tài)參數(shù)為，或，它表示一個由源發(fā)出的粒子，在介質(zhì)中經(jīng)過 m 次碰撞后的狀態(tài)，其中rm：粒子在第 m 次碰撞點的位置Em：粒子第

23、 m 次碰撞后的能量m：粒子第 m 次碰撞后的運動方向tm：粒子到第 m 次碰撞時所經(jīng)歷的時間Wm：粒子第 m 次碰撞后的權(quán)重一個由源發(fā)出的粒子在介質(zhì)中運動，經(jīng)過若干次碰撞后，直到其運動歷史結(jié)束（如逃出系統(tǒng)或被吸收等）。假定粒子在兩次碰撞之間按直線運動，其運動方向與能量均不改變，則粒子在介質(zhì)中的運動過程可用以下碰撞點的狀態(tài)序列描述，即S0，S1，SM-1，SM?；騺砻枋?。這里S0為粒子由源出發(fā)的狀態(tài)，稱為初態(tài)，SM 為粒子的終止狀態(tài)。M稱為粒子運動的鏈長。4.2.2 模擬運動過程這里以中子穿透均勻平板的模型來說明，這時狀態(tài)參數(shù)取S(z,E,cos)。模擬的步驟如下。(1)確定初始狀態(tài)S0：確定

24、粒子的初始狀態(tài)，實際上就是要從中子源的空間位置、能量和方向分布中抽樣。設(shè)源分布為，則分別從各自的分布中抽樣確定初始狀態(tài)。(2)確定下一個碰撞點：已知狀態(tài)Sm-1，要確定狀態(tài)Sm，首先要確定下一個碰撞點的位置zm。在相鄰兩次碰撞之間，中子的輸運長度l服從如下分布： (4.1)對于平板模型，l服從分布： (4.2)其中，t為介質(zhì)的中子宏觀總截面。積分稱為粒子輸運的自由程數(shù)。顯然，粒子輸運的自由程數(shù)服從指數(shù)分布，因此從f(l)中抽樣確定l，就是要從積分方程中解出l。對于單一介質(zhì)，則下一個碰撞點的位置為 (4.3)如果zma，則中子穿透屏蔽，若zm0, 則中子被反射出屏蔽。這兩種情況，均視為中子歷史終

25、止。(3)確定被碰撞的原子核：通常介質(zhì)由幾種原子核組成，中子與核碰撞時，要確定與哪一種核碰撞。設(shè)介質(zhì)由A、B、C 三種原子核組成，其核密度分別為NA、NB、NC，則介質(zhì)的宏觀總截面為： (4.4)其中分別為核A、B、C的宏觀總截面。其定義如下：，分別表示(·)核的宏觀總截面、核密度和微觀總截面。由于中子截面表示中子與核碰撞可能性的大小，因此，很自然地，中子與A、B、C核發(fā)生碰撞的幾率分別為： (4.5)若，則中子與A核碰撞；若，則中子與B核碰撞；若，則與C核碰撞。(4)確定碰撞類型：確定了碰撞的核(比如B核)后，就要進一步確定碰撞類型。中子與核的反應類型有彈性散射、非彈性散射、(n,

26、2n)反應，裂變和俘獲等，它們的微觀截面分別為，則有 (4.6)各種反應發(fā)生的幾率分別為 (4.7)利用離散型隨機變量的抽樣方法，確定反應類型。在屏蔽問題中，中子與核反應常只有彈性散射和吸收兩種類型，吸收截面為：。這時，總截面為： (4.8)發(fā)生彈性散射的幾率為：若，則為彈性散射；否則為吸收，發(fā)生吸收反應意味著中子的歷史終止。(5)確定碰撞后的能量與運動方向：如果中子被碰撞核吸收，則其輸運歷史結(jié)束。如果發(fā)生彈性散射，需要確定散射后中子的能量和運動方向。中子能量Em為： (4.9)其中。A是碰撞核的質(zhì)量與中子質(zhì)量之比，一般就取元素的原子量；C為質(zhì)心系中中子散射前后方向間的夾角，即偏轉(zhuǎn)角?？蓮馁|(zhì)心

27、系中彈性散射角分布fC(C)中抽樣產(chǎn)生。實驗室系散射角L的余弦L為：。如果給出實驗室系散射角余弦分布fL(L)，可直接從fL(L)中抽取L，此時能量Em與L的關(guān)系式為：。確定了實驗室系散射角L后，再使用球面三角公式確定cosm ：。各角度關(guān)系如圖4.2所示。圖4.2 角度關(guān)系示意圖至此，由Sm-1完全可以確定Sm。因此，當中子由源出發(fā)后，即S0確定后，重復步驟 (2)(5)，直到中子游動歷史終止。于是得到了一個中子的隨機游動歷史S0，S1，SM-1，SM，即也就是模擬了一個由源發(fā)出的中子的運動過程。4.2.3 記錄結(jié)果在獲得中子的隨機游動歷史后，我們要對所要計算的物理量進行估計。對于屏蔽問題，

28、我們要計算中子的穿透率。考察每個中子的隨機游動歷史，它可能穿透屏蔽（zMa），可能被屏蔽發(fā)射回來（zM0），或者被吸收。設(shè)第n個中子對穿透的貢獻為n，則如果我們共跟蹤了N 個中子，則穿透屏蔽的中子數(shù)為：。則穿透屏蔽概率的近似值為： (4.10)我們稱這種直觀地模擬過程和估計方法為直接模擬方法。在置信水平10.95時，的誤差為： (4.11)其中為n的均方差，由于n是一個服從二項分布的隨機變量，所以 (4.12)或 (4.13)為得到中子穿透屏蔽的能量、角分布，將能量、角度范圍分成若干個間隔：，。其中Emax，Emin分別表示能量的上、下限，對于穿透屏蔽的中子按其能量、方向分間隔記錄。設(shè)一穿透屏

29、蔽的中子能量為EM，其運動方向與Z軸夾角為M，若能量EM屬于第 i 個能量間隔Ei，角度M屬于第 j 個角度間隔j，則分別在第 i 個能量計數(shù)器及第 j 個角度計數(shù)器中加1。跟蹤N個中子后，則 (4.14) (4.15)分別為穿透中子的能量分布和角分布。其中N1,i和N2,i分別為第 i 個能量和第 j 個角度間隔的穿透中子數(shù)。歸一后分別為： (4.16) (4.17)4.3 蒙特卡洛方法的效率衡量蒙特卡洛技巧的好壞，除了看其方差大小外，還要看其所需費用（計算時間）多少，即從該技巧的效率Ef（方差與費用乘積的倒數(shù)）全面考慮： (4.18)其中2為方差，T為所需費用。Ef大時，所用方法的效率高；

30、否則，效率低。在一般情況下，直接模擬方法、簡單加權(quán)法、統(tǒng)計估計法、指數(shù)變換法等方法中有些方法雖然減小了方差，卻增加了費用。例如，加權(quán)法、統(tǒng)計估計法雖然較直接模擬方法減小了方差，卻使每個粒子的運動鏈長增加，或記錄貢獻的計算時間增加。因此，不能認為方差小的方法一定好，要從方法的效率全面考慮。在有些情況下，直接模擬方法仍然是一個被廣泛使用的方法。5. 蒙特卡洛方法應用程序MCNP5.1 MCNP簡述MCNP(A General Monte Carlo Code for Neutron and Particle Transport)是一套通用的、三維空間中連續(xù)能量中子、光子和帶電粒子（離子）聯(lián)合輸運過

31、程模擬程序，在軍事和工業(yè)領(lǐng)域有著廣泛應用。是基于蒙特卡洛方法的用于計算三維復雜幾何結(jié)構(gòu)中的中子、光子、電子或者耦合中子、光子、電子輸運問題的通用軟件包，也具有計算核臨界系統(tǒng)（包括次臨界和超臨界系統(tǒng)）本征值問題的能力。該軟件包通過FORTRAN語言編程實現(xiàn)。MCNP程序具有超強的幾何處理能力，幾何系統(tǒng)由幾何空間單元(cell)組成，而幾何空間單元的界面(surface)由平面、二次曲面及特殊的四次橢圓環(huán)曲面組成。幾何空間單元中的材料由包括同位素在內(nèi)的多種核素組成，使用精確的點截面參數(shù)，對特定的評價庫(ENDF/B-IV,V,V,VI庫或ENDL851庫)，考慮了該庫給出的所有中子反應類型。在截面

32、數(shù)據(jù)文件中收集了多種評價庫的數(shù)據(jù)。對熱中子還配備了相應的截面數(shù)據(jù)，可按自由氣體模型或S模型處理。對光子考慮了相干和非相干散射，并處理了光電吸收后可能的熒光發(fā)射或電子對產(chǎn)生。MCNP3版(1983 年)和3A版(1985年)發(fā)行后，這一軟件就成為用蒙特卡洛方法模擬核過程最流行的通用程序，程序在計算輻射能量沉積和輻射計量等方面取得成功。88年出版的 MCNP3B程序具有重復構(gòu)造和結(jié)構(gòu)的能力，能夠解決特征譜線的問題，可以很好地模擬中子和光子的聯(lián)合輸運問題，使用的主要核數(shù)據(jù)庫是ENDF/B-4。91年MCNP4版問世，這時程序可以模擬中子、光子、帶電粒子(離子)的聯(lián)合輸運過程，可以模擬探測器的測量結(jié)果

33、。MCNP4版使用了更新的ENDF/B-6評價核數(shù)據(jù)庫，加入了脈沖中子源功能等。MCNP5版（2003年）提高了彩色描點能力（64種顏色），提高了處理中性粒子照相問題能力，為源增加了新選項，并對廣泛應用的windows系統(tǒng)有了更好的支持。該程序是目前國際上在核技術(shù)領(lǐng)域中應用最廣泛、效果較佳、具有通用性的蒙特卡洛模擬計算程序，許多核反應蒙特卡洛專用程序都引用該程序的核心部分。MCNP程序涉及面如此之多，關(guān)鍵是通過讀入一個經(jīng)用戶創(chuàng)建的稱為INP的輸入文件來進行計算。該文件必須遵循按照柵元卡(card)的格式進行組織，指定描述空間問題的信息，具體地有：(1)空間幾何體的描述說明；(2)幾何體的使用材

34、料描述和交叉區(qū)域的選擇估計；(3)中子、光子以及電子這3種粒子源的位置和特性說明；(4)必要的回答卡和標記卡的類型；(5)任何必需的冗余量消除技術(shù)，以提高計算效率。目前，MCNP以其靈活、通用的特點以及強大的功能被廣泛應用于輻射防護與射線測定、輻射屏蔽設(shè)計優(yōu)化、反應堆設(shè)計、（次）臨界裝置實驗、醫(yī)學以及檢測器設(shè)計與分析等學科領(lǐng)域，并得到一致認可。5.2 MCNP誤差的估計蒙特卡洛方法的結(jié)果方法的結(jié)果代表被抽樣的許多歷史過程貢獻的平均值，假定P(x)是選擇一個隨機步的幾率密度函數(shù)，x是這個隨機步產(chǎn)生的被估計的記錄值，其平均值記為： (5.1)E(x)近似期望值可以通過MC方法得到：，其中N是粒子數(shù)目，xi是從P(x)中第i個歷史的值。從加強大數(shù)定理：，x的方差是離散度的度量，定義為：，為標準差，MCNP方法可以估計這個