分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理教學(xué)設(shè)計(jì)一、本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、地位、作用分析分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是人類在大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納出的基本規(guī)律，它們不 僅是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式的依據(jù)，而且其基本思想方法也貫穿在解決本章應(yīng)用問題的始終，在本 章:中是更基性的知識。返璞歸真的看兩個原理，它們實(shí)際上是學(xué)生從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的加法運(yùn)算與乘法運(yùn) 算的推廣。從思想方法的角度看，運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決問題是將一個復(fù)雜問題分解為若干“類別”, 然后分類解決，各個擊破；運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理是將一個復(fù)雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先 對每個步驟進(jìn)行細(xì)致分析，再整合為一個完整的過程。

2、這樣做的目的是為了分解問題、簡化問題?？梢?， 理解和掌握兩個計(jì)數(shù)原理，是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵。二、教學(xué)目標(biāo)分析1、知識目標(biāo):使學(xué)生熟練掌握兩個原理的內(nèi)容、區(qū)別，能夠靈活的應(yīng)用兩個原理解決常見的計(jì)數(shù)問題。2、能力目標(biāo)：在教學(xué)過程中，凸顯兩個原理發(fā)現(xiàn)的原始過程，使學(xué)生深刻理解由特殊到一般的歸納推理思維，在應(yīng) 用原理解決問題時，體會一般到特殊的演繹推理思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力以及 解決實(shí)際問題時主動應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。3、德育滲透目標(biāo)：通過探索與發(fā)現(xiàn)的過程，使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)研究的成功和快樂，感悟數(shù)學(xué)樸實(shí)無華的內(nèi)在美，學(xué)會提出 問題、分析問題、解決問題、推廣結(jié)論進(jìn)而完善結(jié)論的數(shù)學(xué)應(yīng)用

3、意識，激發(fā)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精 神，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。三、教學(xué)過程【引入】展示世界杯圖片：2010南非世界杯是今年全球的一大體育盛事。32支球隊(duì)齊聚南非，觀眾席上, 人山人海，彩旗飄飄：綠茵場匕群雄逐鹿，球技高超，真是一場難得的視覺盛宴啊！通過小組賽、十六 強(qiáng)賽，八強(qiáng)賽、四強(qiáng)賽、季軍賽、決賽，最終決出冠亞季軍，大家知道總共進(jìn)行了多少場比賽嗎？生齊答：64場。正確！這個場數(shù)我們能否通過一一列舉出所有的場次，逐個數(shù)出呢？學(xué)生1:我覺得應(yīng)該可以，但是方法數(shù)較大，操作起來繁瑣。沒錯。其實(shí)，在生活中，我們還會遇到很多類似的方法數(shù)的計(jì)算問題，這種問題我們稱之為計(jì) 數(shù)問題。（板切一、計(jì)數(shù)間翹：計(jì)算完

4、成一件事的方法數(shù)時詞費(fèi)。我們將通過本章的研究學(xué)習(xí)解決不通過逐個數(shù)來確定這種方法數(shù)的技巧方法。【新課】今天我們先來研究解決計(jì)數(shù)問題的兩種最基本、最重要的方法：字幕：1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理首先，我們大家一起來研窕問題1.（鏡頭指向幻燈片）【問題1 2010南非世界杯開賽前，中央電視臺某位記者通過網(wǎng)絡(luò)測試r解到觀眾最感興趣歐洲球隊(duì)和美 洲球隊(duì)如下：歐洲球隊(duì)葵洲球隊(duì)德國巴西英格蘭阿根廷西班牙烏拉圭意大利法國他決定從這些球隊(duì)中選擇一個跟蹤采訪，試問：他有幾種選擇方式？誰能解決這個問題？ ，你來試試！學(xué)生2： 8種。很好，請問這名記者要完成一件什么事？學(xué)生2：從這些球隊(duì)中選擇一個跟蹤采訪

5、。他怎么完成這件事？學(xué)生2：從歐洲球隊(duì)或美洲球隊(duì)中選一個。怎么計(jì)算方法數(shù)？學(xué)生2：把兩類球隊(duì)數(shù)相加即可，5+3=8。分析的不錯，請坐！其實(shí)，提出問SS比解決問題更難能可貴，我們大家思考一下，能否舉一些生活中類似的例子嗎？【問題2你能舉一些生活中類似的例子嗎？你能試著解決嗎？ 20秒學(xué)生3：暑假馬上到了，我想去看清華園，從滄州到北京有兩種交通工具供選擇：長途汽車、旅客列車，已知當(dāng)天長途汽車有5班，旅客列車有3班。問共有多少種不同的選擇？相當(dāng)不錯！你能解決嗎？學(xué)生3:能，5+3=8.這個問題中，我們需要完成一件什么事？學(xué)生3:從滄州到北京。怎么完成這件事？學(xué)生3:坐汽車或火車都可以完成。怎么計(jì)算？

6、學(xué)生3:把兩類方法數(shù)相加即可。嗯，分析透徹，還有同學(xué)能舉嗎？學(xué)生4：咱們班共有男生30名，女生20名，從班上選出1名同學(xué)當(dāng)班長，有多少不同的選法？也不錯，你能類似分析嗎？學(xué)生4：我需要完成一件事是：從班上選出1名同學(xué)當(dāng)班長，只要從男生或女生中選出一人即可，所以， 304-20=50剛剛我們研究的這些問題雖然簡單，但體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中的一個原理，拋開其實(shí)際意義，我們能否尋求共 性，抽象出一個命題呢？大家可以討論一下。誰能試著分析一下【問題3】這些例子有哪些共性？你能試著歸納出一個一般的命題嗎？學(xué)生5:這些例子都是計(jì)數(shù)問題，即需要完成一件事，計(jì)算其方法數(shù)，都有兩類方案可以選擇，都用加法 運(yùn)算。很好你的抽

7、象概括能力很強(qiáng)。你能把它敘述為一個命題嗎？學(xué)生5:做一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的 方法，那么完成這件事共有N=n+m種不同的方法。相當(dāng)不錯，你的語言表達(dá)能力也很強(qiáng)。好極了，我們把剛才那位同學(xué)敘述的內(nèi)容整理一下，得到分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有小種不同的方法，在第2類方案中 有如種不同的方法，那么完成這件事共有N=ni+ n3 種不同的方法。f板瞥）=、分器 N=n1+ n2原理是指在大最的觀察、實(shí)踐的基礎(chǔ)上，歸納總結(jié)出的具有普遍意義的基本規(guī)律，一般無須證明。 我們看到在這個原理中，大家要注意：”完成一件事”

8、，“分類二,'加法”幾個關(guān)鍵詞。這個原理淺顯易懂, 關(guān)鍵能夠靈活應(yīng)用。以后在用這個原理解決問題時，大家要能夠用原理表達(dá)，要清楚完成一件什么事？怎 么完成？分哪幾類？ 接著看下一個問即。【問題1的變式】2010南非世界杯是今年體育界的一大盛事。開賽前，中央電視臺某位記者通過網(wǎng)絡(luò)測試 了解到觀眾最感興趣歐洲球隊(duì)、美洲球隊(duì)和亞洲球隊(duì)如下：歐洲球隊(duì) d售洲球隊(duì)亞濟(jì)標(biāo)隊(duì)德國巴西軸國英格蘭阿根廷本西班牙烏拉圭意大利法國他決定從這些球隊(duì)中選擇個跟蹤采訪，試問：他行匚種選擇方式？這個問題你能解決嗎？學(xué)生 8：能，5+3+2=10不錯，這個問題對你有什么啟發(fā)呢？學(xué)生8:我覺得原理中的方案的種類不一定是兩

9、類，可以是三類。你能試著把原理推廣到三類嗎？【問題4你能進(jìn)一步推廣到有3類方案的情況嗎？ m類方案呢？學(xué)生8：當(dāng)然能，完成一件事有三類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有m種不同的方法，在第3類方案中有3種不同的方法，那么完成這件事共有N=ni+ n?+113種不同的方法。推廣1完成一件事有三類不同的方案，在第1類方案中有均種不同的方法，在第2類方案中行出種不同的方法，在第3類方案中有由種不同的方法，那么完成這件事共有N=ni+ n?+113種不同的方法。我們當(dāng)然還能進(jìn)一步推廣到4類、5類、甚至m類。學(xué)生，你試試！推廣2完成一件事有m類不同的方案，在第1類方案中有m種不

10、同的方法，在第2類方案中有由種不同的方法，在第m類方案中有批種不同的方法，那么完成這件事共有N=ni+ n3+nm種不同的方法。讓我們繼續(xù)我們的世界杯之旅?！締栴}5世界杯開賽前，新浪網(wǎng)和搜狐網(wǎng)在網(wǎng)上分別進(jìn)行了 “本屆世界杯你最支持的球隊(duì)”的評選活動, 位于前五位的結(jié)果如下：新浪網(wǎng) 搜狐網(wǎng)德國巴西巴西阿根廷西班牙烏拉圭意大利西班牙法國荷蘭試問：如果你從這兩個網(wǎng)站的評選結(jié)果中挑選一支你最支持的球隊(duì)，有多少種選法？ 誰能試著分析一下你的思路。學(xué)生9：因?yàn)槲乙瓿傻氖率翘暨x一支最支持的球隊(duì)，所以我從新浪網(wǎng)和搜狐網(wǎng)中選，但是巴西、西班牙 兩個網(wǎng)的結(jié)果都有，所以有5 + 5-2 = 8種選擇。很好，我們能

11、否直接用分類加法計(jì)數(shù)原理解答呢？學(xué)生9:不能！去掉重復(fù)的隊(duì)即可?！締栴}6由此你能試著總結(jié)應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理需要注意的問題嗎？學(xué)生9:分類需要注意“不能重復(fù)”。總結(jié)的很好，當(dāng)然我們在分類時除了不能重復(fù)之外，還不能遺漏，即“不重不漏”，這也是分類討論 的數(shù)學(xué)思想的關(guān)鍵點(diǎn)。再來研究下一個問題。【問題7】2010年南非世界杯小組賽中，A小組成員有：南非、墨西哥、法國、烏拉圭，在小組賽前， 你能計(jì)算前兩名的可能情況有多少種嗎？ 學(xué)生10: 12種。談?wù)勀愕南敕āW(xué)生10:如果第一名是南非，第二名可以是墨西哥或法國或?yàn)趵?，共三種方法；當(dāng)然第一名還可能是墨 西哥或法國或?yàn)趵?，所以方法?shù)為4x3=12分

12、析很精彩。我們可以用圖來展示這位同學(xué)的思想，這種圖示你能形象的給它命個名嗎？學(xué)生10:嗯，我覺得它形狀象樹，叫做“樹形圖”，可以嗎？很好，這種圖示我們在解決計(jì)數(shù)問題時十分常用，我們通常就稱之為“樹形圖”。學(xué)生11：我覺得還可以這樣考慮：我們要完成一件事是排出第一、第二名，那么我先選第一名，有4種方 法，再選第二名有3種方法，所以共有4X3=12.這位同學(xué)的分析也很好。我們也能舉出生活中一些類似的例子。大家可以討論一下?！締栴}8你能舉一些生活中類似的例子嗎？學(xué)生3：老師，我想改編一卜.剛才的例子，暑假來了，我要從滄州到北京旅游，若想中途參觀南開大學(xué)， 已知從滄州到天津有3種乘車方式，從天津到北京

13、有2種乘車方式，試問：要從滄州到北京共有多少種不 同的方法？ 你能解答嗎？ 學(xué)生3: 3x2 = 6利%這個問題中，要完成一件什么事？學(xué)生3:從滄州到北京。不太確切。學(xué)生3:從滄州先到天津,再到北京。你能指出所有的路線嗎？學(xué)生 3: 1A. IB, 2A、2B、3A、3B.1是否是完成這件事的一種方法？學(xué)生3:不是。為什么？學(xué)生3: 1不能完成這件事.學(xué)生4：老師，我也能改編我的例子，咱們班共有男生20名，女生10名，從班上選出1名男生和一名女 生擔(dān)任節(jié)目主持人，有多少不同的選法？你能類似的分析一下嗎？學(xué)生4:我要我要完成從班上選出1名男生和一名女生的任務(wù)，先選男生，再選女生，共有20x10

14、= 200 種方法。還有同學(xué)能從別的情景下舉例并解決嗎？學(xué)生12:我有5件上衣，4條褲子，選出一件上衣和一條褲子進(jìn)行搭配，有5x4 = 20種選法？學(xué)生13:食堂有米飯、饅頭、花卷3種主食，有6種炒菜，要選擇一種主食和一種炒菜，有6x3 = 18種 不同的選法？大家舉的例子漂亮極了！我相信大家一定能夠?qū)で蠊残裕抡辗诸惣臃ㄓ?jì)數(shù)原理抽象出一個一般命題？ 【問題9這些例子有哪些共性？你能仿照分類加法計(jì)數(shù)原理試若歸納出一個一般的命題嗎？學(xué)生14:這些問題都需要完成一件事，計(jì)算其方法數(shù)，都有兩個步驟，用乘法計(jì)算。很好，你能把它敘述為一個命題嗎？學(xué)生14：可以，完成一件事有兩個步驟，做第1步有內(nèi)種不同的

15、方法，做第2步有m種不同的方法，那 么完成這件事共有Nfxnz種不同的方法。f長瞥）=、分力N=nixn2我們看到在這個原理中，我們要注意：“完成一件事“，“分步”，“乘法”幾個關(guān)鍵詞。步與步之間要相互 獨(dú)立，分步要做到“步驟完整”，從剛才的討論可以看出，只有每一步都完成了，這件事才宣告完成。這 個原理依然淺顯易懂，關(guān)鍵能夠靈活應(yīng)用。以后在用這個原理解決問題時，要用原理表達(dá)，完成一件什么 事？怎么完成？分哪幾步？【問題10你能進(jìn)一步推廣到有3個步驟的情況嗎？ m個步驟呢？學(xué)生15：完成一件事有三個步驟，做第1步有由種不同的方法，做第2步有m種不同的方法，做第3步 有由種不同的方法，那么完成這件

16、事共有N=nixri2xn3種不同的方法。推廣2完成一件事有m個步驟，做第1步有小種不同的方法，做第2步有由種不同的方法，做 第m步有k種不同的方法，那么完成這件事共有N=nixn2xxnra種不同的方法。好，我們共同來解決一個例題?！纠?】書架的第一層有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第二層有3本不同的文藝書，第三層有2本不同的體育書。（1）從書架中任取1本書，有 9種不同的取法:（2）從書架的第1, 2, 3層各取一本書，有 24種不同的取法:（3）從書架中任取2本不同學(xué)科的書，有 26種不同的取法。這個問題綜合應(yīng)用了兩個原理，體現(xiàn)了 “類中有步”、“步中有類”思想.學(xué)生16:（1）要完成從書架中取出

17、1本書這件事，我分三類，即取出計(jì)算機(jī)書或文藝書或體育書，由分類 加法計(jì)數(shù)原理，有4+3+2=9種不同的取法（2）要完成從書架中第1, 2, 3層各取一本書的這件事，我分三步：先取一本計(jì)算機(jī)書，再取一 本文藝書，最后取一本體育書，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有4x3x2 = 24種不同的取法學(xué)生17:要完成從書架中任取2本不同學(xué)科的書這件事，先分三類：一本計(jì)算機(jī)書和一本文藝書，一本文 藝書和一本體育書，一本體育書和一本計(jì)算機(jī)書，第一類又分為兩步，先取一本計(jì)算機(jī)書，再取一本文藝 書，這樣共有4x3+4x2 + 3x2 = 26種不同的取法學(xué)生18:我覺得還可以分兩類，即按照兩本書中是否有體育書分類，每類再

18、分步，即行4x（3 + 2）+3x2= 26種不同的取法學(xué)生討論填充表格?？偨Y(jié)歸納兩個原理的區(qū)別和聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系都需要完成一件事，并計(jì)算其方法數(shù)區(qū)別一完成一件事情共有n類 辦法，關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事情，共分n個 步驟，關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類方案中的每種方法都能獨(dú) 立完成這件事情.只有每個步臊完成了，才能完成這件 事情.區(qū)別三各類辦法相互獨(dú)立各個步驟相互依存課下大家可以分小組談?wù)?，探究如下問題?！咎骄刻骄繂栴}】（1） 5名同學(xué)參加3個不同的體育項(xiàng)目，每人參加一項(xiàng)，不同的方法數(shù)有多少種？（2）5名同學(xué)爭奪3個不同的體育項(xiàng)目的冠軍，不同的方法數(shù)有多少種？ 隨堂練習(xí)

19、：【布置作業(yè)、課下鞏固】書面作業(yè)：課本P6 3®閱讀作業(yè)：課本P11-12研究與發(fā)現(xiàn)“子集的個數(shù)有多少”【反思小結(jié)、思想升華】這節(jié)課我們以世界杯為主線，歸納出了兩個原理，并利用兩個原理解決了很多實(shí)際問題.當(dāng)然要想圓 滿解決引例中“世界杯總場數(shù)為64”這個問題，還需要其它的計(jì)數(shù)知識，在研究完本章后就能順利解答. 細(xì)微的生活中總是蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想，我們在利用數(shù)學(xué)工具研究繽紛多彩的世界過程中，可以充 分的享受無限的樂趣！或許這就是數(shù)學(xué)的魅力！最后預(yù)祝大家都能學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)、熱愛 數(shù)學(xué)！教學(xué)設(shè)計(jì)說明三、本課教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、地位、作用分析分類加法計(jì)數(shù)原理9分步乘法計(jì)數(shù)原理是人

20、類在大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納出的基本規(guī)律，它們不 僅是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式的依據(jù)，而且其基本思想方法也貫穿在解決本章應(yīng)用問題的始終，在本 章中是奠基性的知識。返璞歸真的看兩個原理，它們實(shí)際上是學(xué)生從小學(xué)就開始學(xué)習(xí)的加法運(yùn)算與乘法運(yùn) 算的推廣。從思想方法的角度看，運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決問題是將一個復(fù)雜問題分解為若干“類別”, 然后分類解決，各個擊破；運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理是將一個復(fù)雜問題的解決過程分解為若干“步驟”，先 對每個步驟進(jìn)行細(xì)致分析，再整合為一個完整的過程。這樣做的目的是為了分解問題、簡化問題。可見， 理解和掌握兩個計(jì)數(shù)原理，是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵。四、教學(xué)目標(biāo)分析4、知識目標(biāo)：

21、使學(xué)生熟練掌握兩個原理的內(nèi)容、區(qū)別，能夠靈活的應(yīng)用兩個原理解決常見的計(jì)數(shù)問題。在教學(xué)過程中，凸顯兩個原理發(fā)現(xiàn)的原始過程，使學(xué)生深刻理解由特殊到-般的歸納推理思維，在應(yīng) 用原理解決問題時，體會一般到特殊的演繹推理思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力以及 解決實(shí)際問即時主動應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。6、德育滲透目標(biāo)：通過探索與發(fā)現(xiàn)的過程，使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)研究的成功和快樂，感悟數(shù)學(xué)樸實(shí)無華的內(nèi)在美，學(xué)會提出 問題、分析問題、解決問題、推廣結(jié)論進(jìn)而完善結(jié)論的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精 神，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。五、教學(xué)問題診斷兩個原理的獲得過程對于學(xué)生來講并不難，學(xué)生已經(jīng)具備了由具體

22、問題抽象概括、總結(jié)歸納的能力， 對于兩個原理的應(yīng)用，尤其是分類、分步的區(qū)別是認(rèn)識上的難點(diǎn)，事實(shí)上，經(jīng)驗(yàn)表明：有些學(xué)生一直到高 考前都難以準(zhǔn)確的區(qū)分好兩個原理，教學(xué)始終牢牢把握這一琲.點(diǎn)也是重點(diǎn)展開。四、本節(jié)課的教學(xué)特點(diǎn)以及預(yù)期效果分析普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探窕活動，讓 學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。新課程標(biāo)準(zhǔn)的價(jià)值取向是要求教師成為決策者而不是執(zhí)行者，要求教師 創(chuàng)造出班級氣氛、創(chuàng)造出某種學(xué)習(xí)環(huán)境、設(shè)計(jì)相應(yīng)教學(xué)活動并表達(dá)自己的教育理念等等?；谝陨纤枷耄竟?jié)課采用問題式教學(xué)為主線，輔以啟發(fā)式、探窕式、自主式、討論式教學(xué)方式。教 學(xué)內(nèi)容以2010年

23、南非世界杯相關(guān)問題背景為主線展開，輔以大量的實(shí)際例子，形成學(xué)生對于兩個原理的 發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)、應(yīng)用、推廣、再認(rèn)識的過程。具體而言，設(shè)置以下幾個環(huán)節(jié)：1、【創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)疑激趣】引入采用世界杯總場數(shù)的設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)逐個列舉所有場數(shù)不易操作，從而引出研究計(jì)數(shù)問題的 必要性并給出計(jì)數(shù)問題的含義。給出課題，指明探究方向。2、1問題導(dǎo)學(xué)、研究分類加法計(jì)數(shù)原理】先用世界杯網(wǎng)絡(luò)測試的背景作為引例，啟發(fā)學(xué)生放飛思維，聯(lián)系生活實(shí)際，舉類似的例子；再引導(dǎo)學(xué) 生充分討論，深入探究，尋求例子的共性，歸納、概括出分類加法計(jì)數(shù)原理：接著為了加深對于原理的認(rèn) 識，給出“原理”的含義，并進(jìn)一步對原理的內(nèi)容進(jìn)行解釋，強(qiáng)調(diào)“完成一件事”“分類”“加法”三個關(guān) 鍵詞：再通過實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生推廣原理；最后依然用世界