初升高銜接資料---學(xué)生版

1、初高中數(shù)學(xué)銜接教材目錄數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1 絕對(duì)值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1. 4分式1 2 分解因式一元二次方程2.1.1 根的判別式2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）22一元二次不等式23二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值24一元二次方程根的分布數(shù)與式的運(yùn)算1. 1.1 ,絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零.即 a, a 0,|a|0, a 0,a, a 0.絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：|a b表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離.例1解不等式：x 1

2、x 3 >4.解法一：由x 1 0,得x 1;由x 3 0,得x 3;若x 1,不等式可變?yōu)?x 1) (x 3) 4,即 2x 4 >4,解得 x<0,又 x< 1,.x<0；若1 x 2,不等式可變?yōu)?x 1) (x 3) 4,即 1>4,不存在滿足條件的x；若x 3,不等式可變?yōu)?x 1) (x 3) 4,即 2x 4 >4,解得 x>4.又 x>3,x>4.解法二：如圖1. 1 1 ,1x 1表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離| PA ,即| PA= |x1|； |x3|表示x軸上點(diǎn)P到坐標(biāo)為2的點(diǎn)B之間的距離

3、|PB,即|PB=|x 3|.所以，不等式x 1 |x 3 >4的幾何意義即為| PA +| PB >4.由| AB =2,可知點(diǎn)p在點(diǎn)q坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D(坐標(biāo)為4)的右側(cè).|x-3|zPCABD1I11_x0134xjV|x-1|圖 1. 1 - 1綜上所述，原不等式的解為 x<0,或 x>4.練 習(xí)1.填空：(1)若 x 5,貝U x=；若 x 4 ,貝U x=.(2)如果 |a b 5,且 a 1,則 b=；若1 c 2,則 c=2.選擇題:下列敘述正確的是(A)若 Ja biab(B)若a b ,則 a b(C)若 ab,則za t)(D)若1b

4、b ,則 a b3.化簡(jiǎn)：| x-5| -|2x-13|(x>5).1.1.2.乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(ab)(a b) a2b2 ；(2)完全平方公式(a b)2 a2 2ab我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：b2 .(1)立方和公式(a22b)(a ab b )a3b3 ;(2)立方差公式(a22b)(a ab b )3,3a b ;(3)三數(shù)和平方公式(a222b c)2a2 b22c 2(ab bc ac);(4)兩數(shù)和立方公式(a332.b) a 3a b233ab b ;(5)兩數(shù)差立方公式 對(duì)上面列出的五個(gè)公式，(a b)3

5、a3 3a2b 3ab2 b3 .有興趣的同學(xué)可以自己去證明.例 1 計(jì)算：(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1).2.=(x2=x6解法二：原式=(x=(x36例2解：習(xí)填空：已知ab2xb2 c1)(x 1. 1)(x2 1)(x 1.4, (a1)ab(1)(2)(3)(4 m(a選擇題:1)21)(x 1)(x x 1)bc ac2_b c) 2(ab4 ,求 a2 bc ac)b28.的值.1b242bc)2(1b2)22 a1 、a)(32.,16m 4m (224b2 c2 (1一 mx2個(gè)完全平方式，則k等于(A)(2)不論a, b為何實(shí)數(shù),(A)總是正數(shù)12(B

6、) - m4a2 b2 2a1(C) -m34b 8的值(B)總是負(fù)數(shù)(D)1 2一 m16解法一：原式= (x2 1) (x2 1)2 x2(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.3 .二次根式一般地，形如癡（a 0）的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式.例如3aTa2b2b ,Ta2b2等是無理式，而亞X x 1 ,x2&xyy2,JO2等是有2理式.1 .分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做 分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理 化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就

7、說這兩個(gè)代數(shù) 式互為有理化因式，例如72與"，3荷與 荷，褥 參與小 76,273 3戶與2展 3”，等等. 一 般地，a4與7x, ax b與ax b百,a麻 b與ax b互為有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式 亞凡 質(zhì)（a 0,b 0）;而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行 運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并

8、同類二次根式.2 .二次根式一 a2的意義1a, a 0, a, a 0.例1解：例2解法(3) J4x6y(x 0).將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：(1) V12b;(2) Va2b(a 0);(1) 12b 2 ,3b ；(2) Va2b a|7b a而(a 0);(3) J4x6y 2 x3|7y2x3 77(x 0).計(jì)算：73 (3 73).3 (3、3) (3 .3)(3 . 3) 3 .3 39 33(.3 1)6近12解法二：# (3 v3) = 333 .3二 3.3(% 3 1)=看=3_1_(-3 1)(. 3 1)2解:試比較下列各組數(shù)的大?。海―屈E和布氏;（D .、布

9、石四一111不而(2)(瓦布)(7125)1.12 >1112 .11 '(布而)(日而)1.11 .10,11 .10.,.取"一聞.(2) V 2 ,2、 62 2- 6 (2,2- . 6)(2 .2+ ,6)22、. 2+、6212+ , 6 '又 4 >2班+4> 優(yōu)+2啦，2.-<2./2-叔.6 4例4化簡(jiǎn)：(方 的2004 (褥 M 200520042004於3 ,2)(3 ,2)20052004(,3 ,2)(、,3 、2) 200412004 ( -.3、,3 ,2 ,(.3、,2)(.3.2)例5 化簡(jiǎn)：（1） 49 4展

10、;(2)2(0解：（1）原式/5 4下4(2)原式二X 知 已 6 例(5)2 2 .(2、.5)2 2、.5、525 22,(x x)2 x 1 ,所以，原式=1 x-3-33 .23 .23 、2,求 3x2 5xy 3y2 的值、3 2.210 ，._ 2_ 2 一-3x 5xy 3y 3(x2-2y) 11xy 3 1011 289.1.填空:(1)1,3(2)(3)若 就5 x)(x 3)2(x 3)15 x ,則x的取值范圍是4,24 6,54 3.96 2.150 什 5 皿 x 1 x 1右x，則一j=一尸=2 x 1 、x 12.選擇題:等式 xx 2(A) x 2A

11、87; J成立的條件是x 2(B) x 0(C) x 2(D) 0x2a 1 21 a3,育b 21，求a b的值.a 14,比較大小：2 3木木（填“>”，或“v”）1.1. 4 ,分式1.分式的意義A AA形如二的式子，若B中含有字母，且 B 0 ,則稱2為分式.當(dāng) W0時(shí)，分式-具有卜列性質(zhì):上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).2,繁分式a像_cm n2mp這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式.n p 5x 4 x(x 2)A BA ,求常數(shù)A,B的值.解:Bx 2B 5,x x 2A(x 2) Bxx(x 2)(A B)x 2Ax(x 2)5x 4x(x 2)(1)(2)(3

12、)2A 4,解得(1)(2)A 2,B試證:計(jì)算:證明:3.1 n(n11)（其中n是正整數(shù)）；n 1HI9 10對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,n(n 1) 2(n 1) nn（n 1）解：由（1）可知n(n 1)n 11n(n 1)（其中n是正整數(shù)）成立.(11212)112 31 (29III13)19 10in(91而)10證明：二101IIIn(n 1)12 3（2 3）（3 4）hi(1n又n>2,且n是正整數(shù),1n+ 112 3定為正數(shù),六III-vn(n 1)C 一2_ 2例 3 設(shè)e ,且 e>1, 2c 5ac+2a =0,求 e 的值.解：在2c2 5ac+2a2=0

13、兩邊同除以a2,得2e 5e+2=0, .(2e1)( e 2) =0,1.人，；e=2 <1，舍去；或二 e= 2.習(xí)填空題:2.3.1對(duì)任意的正整數(shù)n,1選擇題：若2x(A) 1n(n 2)2,則3舊：(C)(D)正數(shù)x, y滿足4.1計(jì)算1 2x y 199 100習(xí)題1. 1A組1 .解不等式：(1) x 1 3;(2)x 3 x 2 7 ;(3) x 1 x 1 6.332 .已知x y 1,求x y 3xy的值.3.填空：(2)若7(1 a)2J(1 a)22 ,則a的取值范圍是 (4) 111111 22.3、3.4:4.5.5 、6 1.填空:22若 X2 xy 2y2。

14、，則 x 23xy 2 y 一 -； x y2 .已知：X 1, y 1,求 Xy 一9 L的值.23. x y x ；yC組1 .選擇題：(1)若 vab27ab Vb,則(A) a b(B) a b(0a b 0(D) b a 0(A)jtjaii2 .解萬程 2(x2 ) 3(x -) 1 0.xx3 .計(jì)算：1 3 2 4 3 59 11(0a-a(D) 7a4 .試證：對(duì)任意的正整數(shù)11n,有1 2 3 2 3 4n(n 1)(n 2)1. 2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法 及待定系數(shù)法.1 .十字相乘法例1分解因式：

15、(1) x2-3x+2；(2) x2+ 4x12;22(3) x (a b)xy aby ;(4) xy 1 x y .解：(1)如圖1. 21,將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成一1與一2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為一 2x 3x + 2=(x1)( x 2).1/T1.<2x ,/ 一 ay1' 216x- by圖1.2-2圖1.23圖1.2 一 43x,就是x2 3x+2中的一次項(xiàng)，所以，有圖 1. 21說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖 圖1. 2-2所示).(2)由圖1. 2 3,得2x +4x12=(x2)( x+

16、6).(3)由圖1. 2 4,得22x (a b)xy aby = (x ay)(x by)(4) xy 1 x y=xy+(x y) 1= (x1)( y+1)(如圖 1. 25所示)1.21中的兩個(gè)x用1來表示(如2 .提取公因式法與分組分解法例2分解因式：(1) x3 9 3x2 3x ;(2) 2x2 xy y2 4x 5y 6.解： (1) x3 9 3x2 3x=(x3 3x2) (3x 9)=x2(x 3) 3(x 3)-2_= (x 3)(x 3).或3232333x 9 3x 3x = (x3x 3x 1) 8 = (x 1) 8 = (x 1)2= (x 1) 2(x 1)

17、2 (x 1) 2 222=(x 3)(x2 3).(2) 2x2 xy y2 4x 5y 6 = 2x2 (y 4)x y2 5y 62=2x (y 4)x (y 2)( y 3)=(2x y 2)(x y 3).或c 2222、2x xy y 4x 5y 6 = (2x xy y ) (4x 5y) 6(2x y)(x y) (4x 5y) 6=(2x y 2)( x y 3).3 .關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(aw0)的因式分解.若關(guān)于x的方程ax2bx c 0(a0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、x2,則二次三項(xiàng)式ax2bx c(a 0)就可分解為 a(x x)(x x2).例3把下列關(guān)

18、于x的二次多項(xiàng)式分解因式：22(1) x 2x 1；(2) x 4xy 4y .解：(1)令 x2 2x 1=0,則解得 x11 質(zhì), x21 也， x2 2x 1= x ( 1、2) x ( 1 . 2)=(x 1 72)( x 1 亞).(2)令 x2 4xy 4y2 =0,貝U解得 x1 ( 2 2揚(yáng) y , x1 ( 2 272) y ,. x2 4xy 4y2=x 2(1 T2)yx 2(1 " y.練 習(xí)1 .選擇題：多項(xiàng)式2x2 xy 15y2的一個(gè)因式為()(A) 2x 5y(B) x 3y(C) x 3y(D) x 5y2 .分解因式：(1) x2+6x+8；(2)

19、 8a3b3；(3) x22x1;(4) 4(x y 1) y(y 2x).習(xí)題1 . 21 .分解因式：(1) a3 1 ；(2) 4x4 13x2 9 ；2222(3) b c 2ab 2ac 2bc ；(4) 3x 5xy 2y x 9y 4 .2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：(1) x2 5x 3 ；(2)x2272x3；(3) 3x2 4xy y2；(4)(x22x)27(x22x) 12 .2223 . ABC二邊a, b , c滿足a b c ab bc ca ,試判定 ABC的形狀.4 .分解因式：x2+x(a2a).一元二次方程2.1.1根的判別式我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+

20、bx+c= 0 （aw。），用配方法可以將其變形為(x2a)22b 4ac因?yàn)椋?）aw。，所以,4a2, 24a >0.于當(dāng)b24ac>0時(shí)，方程的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)(3)x1,2=b 居 4ac；2a當(dāng)b24ac=0時(shí)，方程的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根bx1 = x2 =；2a當(dāng)b24acv0時(shí)，方程的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程的左邊 （x 2）2一定大于或等于零，因此，原方程2a沒有實(shí)數(shù)根.由此可知，一元二次方程 ax2+bx+ c=0 (aw0)的根的情況可以由 b24ac來判定，我們把b24ac叫做一元二次 方程ax2+bx+c

21、 = 0 (aw0)的根的判別式,通常用符號(hào)“A”來表示.綜上所述，對(duì)于一元二次方程 ax2+bx + c=0 (aw。)，有(1) 當(dāng)A > 0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b .b2 4acXi, 2=；2a(2)當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根bxi = x2=；2a(3)當(dāng)AV 0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根.(1) x2-3x+3=0; x2ax1=0;(3) x2ax+ (a1) = 0；(4) x2-2x+a=0.解：(1) A = 3? 4><1><3= 3v0,方程沒有

22、實(shí)數(shù)根.(2)該方程的根的判別式 A= a24X1X( 1) =a2+4>0,所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根aa2 4aa2 4x1 ,x2 .22(3)由于該方程的根的判別式為A = a24X1X( a-1) = a2-4a+4=(a-2)2,所以，當(dāng)a=2時(shí)，A= 0,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1 = x2= 1 ；當(dāng)aw2時(shí)，A> 0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 x1 = 1, x2= a 1.(3)由于該方程的根的判別式為A= 22-4X1 x a=4-4a=4(1 -a),所以當(dāng)A>0,即4(1 - a) >0,即av 1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1

23、1 小 a ,x2 1 a ；當(dāng)A= 0,即a=1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1 = x2= 1 ；當(dāng)Av0,即a>1時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.說明：在第3, 4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對(duì) a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題.2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)若一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根bb2 4ac b . b2 4acx12a ，x22a ，b . b2 4ac b . b2 4ac 2b b為

24、 x2 一；2aa.2,.2、b(b4ac) 4ac224a4a所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果ax2+bx+c = 0 (aw0)的兩根分別是 xb x2,那么xdx2= ba特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,2a b .b2 4ac2a，b2 4ac2a2ac一.ac,x1 - x2=.這一"關(guān)系也被稱為ax2是其兩根，由韋達(dá)定理可知x1 + x2 = p, x1 x2= q,即p= (xi + X2), q = xi X2,所以，方程x2 + px+q = 0可化為x2-(xi + x2)x+xi - X2=0,由于Xi, X

25、2是一元二次方程 x2+px+q = 0的兩根，所 以，Xi , X2也是一元二次方程 X2-(Xi+X2)X + Xi - X2=0.因此有以兩個(gè)數(shù)Xi, X2為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是X2 ( Xi + X2) X + Xi X2 = 0.2例2已知萬程5x kx 6 。的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及 k的值.分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出 k的值，再由方程解出另一個(gè)根.但由于我們學(xué) 習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利 用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出k的值.解法一： 2

26、是方程的一個(gè)根， 25X2 2+ kx 2- 6 = 0, k= - 7.,2-3所以，方程就為 5x -7x-6 = 0,解得Xi = 2, X2=-.5一 、一3所以，方程的另一個(gè)根為一 3 , k的值為一7.5解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為xi,則2 xi=-xi = - 3 .553k 一由 (一 一 ) + 2= _ ,倚 k= _ 7. 55一、一，一*,3，八所以，方程的另一個(gè)根為一 3 , k的值為一7.5例3 已知關(guān)于x的方程X2+2( m-2)x+n2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大2i,求m的值.分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根

27、的積大2i得到關(guān)于m的方程，從而解得 m的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零.解：設(shè)Xi, X2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得2 .Xi + X2= 2(m-2), Xi X2=m + 4.22- xi + X2 xi - X2= 2i, (Xi + X2)23 x i - x2= 2i, 即2(m-2) 23(m2+4) = 2i, 2化簡(jiǎn)，得 mi6m- i7 = 0,解得 m= - i,或 m= i7.當(dāng)m= i時(shí)，方程為x2+6x+5=0, A >0,滿足題意；當(dāng) mi= i7 時(shí)，方程為 X2+ 30X+293= 0, A= 3

28、02 4XiX293v 0,不合題意，舍去.綜上，m= i7.說明：(i)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大 2i”求出m的值，取滿足條件的 m的值即可.(i)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式A是否大于或大于零.因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根.例4 已知兩個(gè)數(shù)的和為 4,積為一i2,求這兩個(gè)數(shù).分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x, y,利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù).也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解.解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x, v,則 x+y=4,xy = -

29、 i2.由，得 y=4-x,代入，得x(4 x) = i2,即x2-4x-i2=0, . xi = - 2, X2 = 6.Xi2,或 x2 6,Vi 6, V2 2.因此，這兩個(gè)數(shù)是2和6.解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程2x -4x- 12=0的兩個(gè)根.解這個(gè)方程，得X1 = 2, X2= 6.所以，這兩個(gè)數(shù)是2和6.要比解法一簡(jiǎn)捷.說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二(直接利用韋達(dá)定理來解題)例5(1)若X1和X2分別是一兀二次方程 2*2+5*3=0的兩根.求| X 1 X2|的值；(2)(3) 解：1求X1331 的值;X2X1 + X2 .X1和X2分別是52.次方程

30、2x + 5x 3= 0的兩根,3(2)(3)說明: I1-2X1X2X1X2X 1 X2| = X1 + X 21-2X22., 5、22 x 1X2= (X1 + X2) 4 X1X2=( )= 25 + 6=449,42I X1-X2I = 7 .(i)2X12X222X1 x2X13+X23= ( X1+X2)( X2(X1 X2)2X1X225 2(2)2 2(2)(-2)2X1X2+ X22) = (X1+ X2)(=(-5 ) x ( - -)2-3x(次方程的兩根之差的絕對(duì)值3二) =一2(2)2X 1 + X2) 2 3X1X2215空34 3 379-94是一個(gè)重要的量，今

31、后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律:設(shè)X1和X2分別是一bb2二次方程ax2+bx+ c=0 (aw0),貝UXi2a4ac,X2b . b2 4acb . b2 4ac2a2ab . b22a4ac2 b2 4ac2a.b2 4ac|a|于是有下面的結(jié)論：|a|若Xi和X2分別是二次方程 ax2+bx+ c= 0 (aw 0),則 | x 1 X2| = (其中 A=b24ac).|a|今后，在求二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論.例6若關(guān)于x的二次方程x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)X1, X

32、2是方程的兩根，則X1X2= a 4V 0,且A = 由得由得2(一 1) 一4(a-4)>0.a<4,17a< .4，a的取值范圍是a<4.練 習(xí)1.選擇題:(1)方程x2 2j3kx 3k2 0的根的情況是(A)有一個(gè)實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)沒有實(shí)數(shù)根若關(guān)于 x2的方程mx 十(2 m+ 1) x +m= 0有兩個(gè)不相( )1(A) m< (B)m>-144(C) m< 1,且 m 0(D)m>-1,且 m 044(2)等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是2 .填空：,一 211(1)右方程x 3x 1 =

33、0的兩根分力1J是 xi和X2,則 =X x2(2)方程 mx+x2m= 0 (nr50)的根的情況是 .(3)以一3和1為根的一元二次方程是 .3 .已知Ja2 8a 16 |b 1| 0,當(dāng)k取何值時(shí)，方程kx2+ax+b= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根4 .已知方程x?3x1 = 0的兩根為x1和x2,求(x-3)( x23)的值.習(xí)題A組1 .選擇題：(1)已知關(guān)于x的方程x2+kx 2=0的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是()(A) - 3(B) 3(C) -2(D) 2(2)下列四個(gè)說法：方程*2+2x7= 0的兩根之和為一 2,兩根之積為一 7;方程x22x+7=0的兩根之和為2,兩根之積

34、為7;27方程3 x - 7=0的兩根之和為0,兩根之積為一3方程3 x 2+2x = 0的兩根之和為一 2,兩根之積為0.其中正確說法的個(gè)數(shù)是()(A) 1 個(gè)(B) 2 個(gè)(C) 3 個(gè)(D) 4 個(gè)(3)關(guān)于x的一元二次方程 ax25x+a2 + a= 0的一個(gè)根是0,則a的值是()(A) 0(B) 1(C) - 1(D 0,或12 .填空：2(1)萬程kx+4x1 = 0的兩根之和為一2,則k=.(2)方程 2x2 x 4= 0 的兩根為 a , 3,則 a 2+ 3 2=.(3)已知關(guān)于x的方程x2- ax- 3a=0的一個(gè)根是一2,則它的另一個(gè)根是2(4)方程 2x + 2x1 =

35、 0 的兩根為 x1 和 x2,則 | x 1-x2| =.3 .試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于 x的一元二次方程 n2x2- (2 n 1) x + 1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 沒有實(shí)數(shù)根4 .求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2-7x-1=0各根的相反數(shù).B組1 .選擇題：若關(guān)于 x 的方程 x2+(k2 1) x+k+1=0 的兩根互為相反數(shù)，則 k 的值為 ( )(A) 1,或1(B) 1(C) - 1(D) 02 .填空：(1)若m n是方程x2+2005x 1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 mn+mB mn的值等于.(2)如果a, b是方程x2+x1 = 0的兩個(gè)

36、實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式a3+a2b+ab2+ b3的值是.3 .已知關(guān)于x的方程x2-kx-2=0.(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩根為 xi和X2,如果2(xi +X2) >xiX2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.4 . 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aw0)的兩根為 xi和X2.求：(1) | xi-x2| 和 xx2-；2 xi3+x23.25.關(guān)于x的萬程x +4x + mi= 0的兩根為xi, x2滿足| x i-x2| =2,求實(shí)數(shù) m的值.C組1.選擇題：(1)已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2x2-8x+7=0的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于

37、( )(A)串(B) 3(C) 6(D) 9 若xi, x2是方程2x24x+1 = 0的兩個(gè)根，則 上 至的值為()x2 x13(A) 6(B) 4(Q 3(D)一2(3)如果關(guān)于x的方程x2 2(1 mx+m2=0有兩實(shí)數(shù)根 a , 3,則 a + 3的取值范圍為( )11，(A) a +(B)a + BW (C)a + B>1(D)a + 0W122(4)已知 a , b , c是 A ABC的三邊長(zhǎng)，那么方程 cx2 + (a + b) x + =0的根的情況是4( )(A)沒有實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2 .填空：若方程 x2

38、8x+m= 0 的兩根為 x1, x2,且 3x1 + 2x2= 18,則 m=.3 .已知x1, x2是關(guān)于x的一元二次方程 4kx24kx+k+1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)是否存在實(shí)數(shù)k,使(2x1x2)( x 1-2 x2)= 3成立若存在，求出 k的值；若不存在，說明理由;2(2)求使% x2 _ 2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù) k的整數(shù)值；x2 x1(3)若k=2, 土，試求的值.乂222m4 .已知關(guān)于x的方程x (m 2)x 0 .4(1)求證：無論 m取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根必，X2滿足| x2| = | x1| + 2,求m的值及相應(yīng)的x1

39、, x2.5 .若關(guān)于x的方程x2+x+a=0的一個(gè)大于1、零一根小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.一元二次不等式及其解法知識(shí)點(diǎn):(1)拋物線 y ax2 bx c (a> 0)與x軸的相關(guān)位置，分為三種情況，這可以由一元二次方程ax2 bx c=0的判別式b2 4ac三種取值情況(a> 0 , A =0, A <0)來確定因此，要分二種情況討論(2) a<0可以轉(zhuǎn)化為 a>0分A>Q A =0, A <0三種情況，得到一元二次不等式ax2 bx c>0與ax2 bx c<0的解集一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0的

40、解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的兩根為x1、x2且x1 x2,b2 4ac ,則不等式的解的各種情況如下表：(讓學(xué)生獨(dú)立完成課本第 77頁(yè)的表格)000二次函數(shù)y ax2bx c(a 0)的圖象y ax2 bx cy ax2 bx cy ax2 bx cr IJ.uz一兀一次方程2ax bx c 0a 0的根有兩相異實(shí)根xi,x2(xi x2)有兩相等實(shí)根bxi x2_2a無實(shí)根2ax bx c 0(a 0)的解集xx x1 或 x x2b xx2aRax2 bx c 0(a 0)的解集xx1x x2類型一：解一元二次不等式例1.解下列一元二次不等式222(1) x

41、5x 0； x 4x 4 0 ；(3) x 4x 5 0【變式1】解下列不等式2_ 2_(1)2x3x 20 ; (2)3x6x 2 02_2_(3)4x4x 10； (4)x2x 3 0.【變式2】解不等式：6 x2 x 6 6類型二：已知一元二次不等式的解集求待定系數(shù)例2.不等式x2 mx n 0的解集為x (4,5),求關(guān)于x的不等式nx2 mx 1 0的解集?！咀兪? 不等式ax2+bx+12>0的解集為x|-3<x<2,則a=, b= 。2 112【變式2】已知ax22x c 0的解為 x -,試求a、c,并解不等式cx22x a 0.3 2【變式3】已知關(guān)于x的不

42、等式x2 ax b 0的解集為(1,2),求關(guān)于x的不等式bx2 ax 1 0的解集類型三：二次項(xiàng)系數(shù)含有字母的不等式恒成立恒不成立問題例3.已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍?！咀兪?】若關(guān)于x的不等式mx2 (2 m 1)x m 1 0的解集為空集，求m的取值范圍.【變式2】若關(guān)于x的不等式mx2(2 m1)xm10的解為一切實(shí)數(shù)，求m的取值范圍.【變式3】若關(guān)于x的不等式mx2(2 m1)xm10的解集為非空集，求m的取值范圍.類型四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法例4.解下列關(guān)于x的不等式(1) x2-2ax

43、 & -a2+1;(2) x2-ax+1>0 ;(3) x2-(a+1)x+a<0 ;【變式1】解關(guān)于x的不等式：x2 (a l)x 1 0(a 0) a【變式2】解關(guān)于x的不等式：x2 (a a2)x a3 0 (a R)例5.解關(guān)于x的不等式：ax2(a+1)x+1 <0?！咀兪?解關(guān)于x的不等式：(ax-1)(x-2)>0;【變式2解關(guān)于x的不等式：ax2+2x-1<0 ;【變式3解關(guān)于x的不等式：ax2-x+1>0二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值(1)知識(shí)要點(diǎn)：一元二次函數(shù)的區(qū)間最值問題，核心是函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系的討論。一般分為：對(duì)稱

44、軸在區(qū)間的 左邊，中間，右邊三種情況 .設(shè) 坂)ax2 bxc (a 0),求f(x)在x m, n上的最大值與最小值。2.分析：將f(x)配方，得頂點(diǎn)為,4ac b 、對(duì)稱軸為x 22a 4a2a當(dāng)a 0時(shí)，它的圖象是開口向上的拋物線，數(shù)形結(jié)合可得在m, n上f(x)的最值：2b b 4ac b(1)當(dāng) 巴 m, n時(shí)，f(x)的最小值是f b , f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的較大者。2a2a 4a(2)當(dāng)-b- m, n 時(shí)2a.b右 m,由f(x)在 m, n上是增函數(shù)則f (x)的最小值是f(m),最大值是f(n) 2a4 b右n ，由f (x)在m, n上是減函數(shù)則f(x

45、)的取大值是f (m),取小值是f (n)2a當(dāng)a 0時(shí)，可類比得結(jié)論。二、例題分析歸類：(一)、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問題的關(guān)鍵。此類問題包括以下四種情形：(1)軸定，區(qū)間定；(2)軸定，區(qū)間變；(3)軸變，區(qū)間定；(4)軸變，區(qū)間變。1.軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的，我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例1.函數(shù)y x2 4x 2在區(qū)間0 , 3上的最大值是 ,最小值是 。練習(xí).已知2x2 3x ,求函數(shù)f (x) x2 x 1的最值。2、軸定區(qū)間變二次函數(shù)是確定的，但它的定

46、義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是“定函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值”。例2.如果函數(shù)f (x) (x 1)2 1定義在區(qū)間t, t 1上，求f(x)的最值。例 3.已知 f (x)x2 4x 3 ,當(dāng) x t, t 1(t R)時(shí)，求 f (x)的最值.對(duì)二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下:f(m),b1.與n)仰圖1)當(dāng) a 。時(shí) f(x)max2a21f(x)minf(n),b2a(m2n)(如圖2)， b & ef(n), n(如圖3) 2abbf(), mn(如圖 4)2a2abf(m), m(如圖5)2a例8.已知函數(shù)f (x)2f (n), n(如圖6)2a當(dāng) a 0

47、時(shí) f(x)maxf( 3), mb- n(如圖 7) f (x)min2a 2af(m), m(如圖 8)f (m),f(n),b 2a b2a1 ,-(m n)(如圖 9)g(m n)(如圖 10)ra 6 西？r?i xmi知】03、軸變區(qū)間定二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運(yùn)動(dòng)的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是“動(dòng)二次函數(shù) 在定區(qū)間上的最值”。例4.已知X2 1,且a 2 0,求函數(shù)f(x) x2 ax 3的最值。例 5. (1)求 f(x)2x 2ax 1在區(qū)間-1,2上的最大值。(2)求函數(shù)y x(x a)在x 1,1上的最大值。(二)、逆向型是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。例7.已知函數(shù)f (x)2ax 2ax 1在區(qū)間3,2上的最大值為4,求實(shí)數(shù)a的值。x在區(qū)間m, n上的最小值是3 m最大值是3n,求m, n的值。例9.已知二次函數(shù)f(x)23ax2 (2a 1)x 1在區(qū)間 -,2上的最大值為3,求實(shí)數(shù)a的值。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值專題演練x 1在1,1上的最小值和最大值分別是(A)1，33。(B) 4 ,3(c)2 ,3(D)2