因子分析法的理的論基礎(chǔ)和應(yīng)用

1、壬北何鉅夬摩攻讀博士、碩士學(xué)位研究生試卷（作業(yè)）圭寸面（2008至2009學(xué)年度第1學(xué)期）題 目因子分析法的理論基礎(chǔ)及其應(yīng)用科 目高級(jí)心理統(tǒng)計(jì)姓 名梅專 業(yè)應(yīng)用心理學(xué)入學(xué)年月 2007 年9月簡(jiǎn)短評(píng)語(yǔ)成績(jī)：授課教師簽字：因子分析法的理論基礎(chǔ)及其應(yīng)用【摘要】：因子分析是多元統(tǒng)計(jì)分析技術(shù)的一個(gè)分支，其主要目的是濃縮數(shù)據(jù)。 它通過(guò)研究眾多變量之間的部依賴關(guān)系，探求觀測(cè)數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)假想變量來(lái)表示基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。因子分析就是研究如何以最少的信息丟失 把眾多的觀測(cè)變量濃縮為少數(shù)幾個(gè)因子。并通過(guò)實(shí)例了解因子分析的具體應(yīng)用， 熟練因子分析在SPSS!的具體操作以及掌握數(shù)據(jù)解釋。關(guān)鍵詞：因子分

2、析法理論基礎(chǔ)數(shù)據(jù)濃縮SPSS1、因子分析的起源因子分析是由心理學(xué)家發(fā)展起來(lái)的，最初心理學(xué)家借助因子分析模型來(lái)解釋 人類的行為和能力，1904年Charles Spearman在美國(guó)心理學(xué)雜志上發(fā)表了第一 篇有關(guān)因子分析的文章，在以后的三四十年里，因子分析的理論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)逐步 得到了發(fā)展和完善。50年代以來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)的普及和各種統(tǒng)計(jì)軟件的出現(xiàn)， 因子分析在社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、醫(yī)學(xué)等越來(lái)越多的領(lǐng)域得到應(yīng)用。2、因子分析的原理2.1因子分析模型因子分析模型在形式上和多元回歸模型相似，每個(gè)觀測(cè)變量由一組因子的線 性組合來(lái)表示。因子模型的一般表達(dá)式為：人a, ai2 f2aim fm ui(i 1,2,

3、,k)在該模型中：(1) f1,f2, ,fm叫做公因子，它們是各個(gè)觀測(cè)變量所共有的因 子，解釋了變量之間的相關(guān)。(2) Ui稱為特殊因子，它是每個(gè)觀測(cè)變量所特有的 因子，表示該變量不能被公因子所解釋的部分。(3) aj稱為因子負(fù)載，它是第i 個(gè)變量在第j個(gè)公因子上的負(fù)載，相當(dāng)于多元回歸分析中的標(biāo)準(zhǔn)回歸系數(shù)(i 1,2, ,k;j 1,2, ,m )。2.2因子分析的有關(guān)概念(1) 因子負(fù)載：是因子分析模型中最重要的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，它是連接觀測(cè)變 量和公因子之間的紐帶。當(dāng)分因子之間完全不相關(guān)時(shí)，很容易證明因子負(fù)載aj等 于第i個(gè)變量和第j個(gè)因子之間的相關(guān)系數(shù)。因子負(fù)載不僅表示了觀測(cè)變量是如 何由因

4、子線性表示的，而且反應(yīng)了因子和變量之間的相關(guān)程度，aj的絕對(duì)值越大，表示公因子fj與變量Xi關(guān)系越密切。(2) 公因子方差：也叫共同度，指觀測(cè)變量方差中由公因子決定的比例。 變量Xj的公因子方差記做h,。當(dāng)公因子之間彼此正交時(shí)，公因子方差等于和該 變量有關(guān)的因子負(fù)載的平方和，用公式表示為：hi2 ai12 ai22aim2(3) 因子的貢獻(xiàn)：每個(gè)公因子 對(duì)數(shù)據(jù)的解釋能力，可以用該因子所解釋的總 方差來(lái)衡量，通常稱為該因子的貢獻(xiàn)，它等于和該因子有關(guān)的因子負(fù)載的平方和。3、因子分析的具體步驟3.1計(jì)算所有變量的相關(guān)矩陣相關(guān)矩陣是因子分析直接要用的數(shù)據(jù)，根據(jù)計(jì)算出的相關(guān)矩陣還應(yīng)該進(jìn)一步判斷應(yīng)用因子分

5、析方法是否合適。因子分析的目的是簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)或者找出基本的 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，因此使用因子分析的前提條件是觀測(cè)變量之間應(yīng)該有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān) 系。如果變量之間的相關(guān)程度很小的話，它們不可能共享公因子。所以，計(jì)算出相關(guān)矩陣之后在進(jìn)行下面的步驟之前應(yīng)該對(duì)相關(guān)矩陣進(jìn)行檢驗(yàn)，如果相關(guān)矩陣中的大部分相關(guān)系數(shù)都小于 0.3，則不適合做因子 分析。一般用KMO測(cè)度和巴 特利特球體檢驗(yàn)來(lái)判斷觀測(cè)數(shù)據(jù)是否適合做因子分析。一般情況KMC測(cè)度在0.6 以上巴特利特球體檢驗(yàn)顯著，則觀測(cè)數(shù)據(jù)適合做因子分析。3.2提取因子主成分分析法主成分分析是一種數(shù)學(xué)變換的方法，它把給定的一組相關(guān)變量通過(guò)線性變換 轉(zhuǎn)換成一組不相關(guān)的變量，這些新的變量

6、按照方差依次遞減的順序排列。在數(shù)學(xué) 變換中保持變量的總方差不變，使第一個(gè)變量具有最大的方差，稱為第一主成分， 第二個(gè)變量的方差次大，并且和第一個(gè)變量不相關(guān)，稱為第二主成分，依次類推， K個(gè)變量就有K個(gè)主成分，最后一個(gè)主成分具有的方差最小，并且和前面的主成 分不相關(guān)。因子個(gè)數(shù)的確定：(1)特征值準(zhǔn)則：取特征值大于等于1的主成分作為初始 因子，放棄特征值小于1的主成分。(2)碎石檢驗(yàn)準(zhǔn)則：按照因子被提取的順序， 畫(huà)出因子的特征值隨因子個(gè)數(shù)變化的散點(diǎn)圖， 根據(jù)圖的形狀來(lái)判斷因子的個(gè)數(shù) 。 該圖的形狀像一個(gè)山峰，從第一個(gè)因子開(kāi)始，曲線迅速下降，然后下降變的平緩，最后變成近似一條直線，曲線變平開(kāi)始的前一

7、點(diǎn)認(rèn)為是提取的最大因子個(gè)數(shù)。 公因子分析法公因子模型是從解釋變量之間的相關(guān)關(guān)系出發(fā)的， 假設(shè)觀測(cè)變量之間的相關(guān) 能完全被公因子解釋，變量的方差不一定能完全被公因子解釋， 這樣每個(gè)變量被 公因子所解釋的方差不再是1,而是公因子方差。所以公因子模型在求因子解時(shí)， 指考慮公因子方差。3.3進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)初始因子解達(dá)到了數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)的目的， 在求初始因子解這一步中，確定了公因 子數(shù)，確定了每個(gè)變量的公因子方差。但是根據(jù)初始因子解，往往很難解釋因子的意義，大多數(shù)因子都和很多變量有關(guān)。因子是通過(guò)數(shù)學(xué)方法求解得到的，但 研究人員往往很關(guān)心每個(gè)因子的實(shí)際意義是什么，否則就很難理解和把握因子 分析的結(jié)果。因子旋轉(zhuǎn)是尋

8、求這一實(shí)際意義的有效工具， 因子旋轉(zhuǎn)的目的是通 過(guò)改變坐標(biāo)軸的位置，重新分配各個(gè)因子所解釋的方差的比例， 使因子結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn) 單，更易于解釋。因子旋轉(zhuǎn)不改變模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度，不改變每個(gè)變量的公因子方差。正交旋轉(zhuǎn)正交旋轉(zhuǎn)是使因子軸之間仍然保持 90度角，即因子之間是不相關(guān)的。正交 旋轉(zhuǎn)方法主要有三種：四次方最大法、方差最大法和等量最大法。最常用的是方 差最大法，它從簡(jiǎn)化因子負(fù)載矩陣的每一列出發(fā)， 使和每個(gè)因子有關(guān)的負(fù)載平方 的方差最大。當(dāng)只有少數(shù)幾個(gè)變量在某個(gè)因子上有較高的負(fù)載時(shí)，對(duì)因子的解釋是最簡(jiǎn)單的，和某個(gè)因子有關(guān)負(fù)載平方的方差最大時(shí)，因子具有最大的可解釋性。 斜交旋轉(zhuǎn)方法斜交旋轉(zhuǎn)中，因子之

9、間的夾角可以是任意的，即因子之間不一定是正交的， 所以用斜交因子描述變量會(huì)使因子結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)潔。在斜交旋轉(zhuǎn)中，因子負(fù)載不再 等于因子和變量之間的相關(guān)系數(shù)，因子結(jié)構(gòu)和因子模型之間是有區(qū)別的。3.4計(jì)算因子值如果我們要使用所提取的因子做其它研究，比如把得到的因子作為自變量來(lái) 做回歸分析對(duì)樣本進(jìn)行分類或評(píng)價(jià)，這些都需要對(duì)因子進(jìn)行測(cè)度，給出因子對(duì)應(yīng) 每個(gè)樣本案例上的值，這些值稱為因子值。因子分析模型中，是用因子的線性組 合來(lái)表示一個(gè)觀測(cè)變量，因子負(fù)載實(shí)際是該線性組合的權(quán)數(shù)。求因子值的過(guò)程是 通過(guò)觀測(cè)變量的線性組合來(lái)表示因子， 因子是觀測(cè)變量的加權(quán)平均。因?yàn)楦鱾€(gè)變 量在因子上的負(fù)載不同，所以不能把變量簡(jiǎn)單

10、的相加，權(quán)數(shù)是我大小表示了變量 對(duì)因子的重要程度。對(duì)于主成份分析法得到的因子解，可以直接得到因子值系數(shù)， 對(duì)于其他方法得到的因子解，只能得到因子值系數(shù)的估計(jì)值，通常用回歸方法得 到因子值系數(shù)的估計(jì)值。4、案例分析4.1案例調(diào)查20個(gè)地區(qū)小學(xué)生輟學(xué)率的影響因素，包括家庭經(jīng)濟(jì)狀況、當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)狀況、自身心理素質(zhì)、家庭成員素質(zhì)、師資力量、社會(huì)文化趨向、身體健康狀況、宏觀教育背景、國(guó)家教育政策等指標(biāo)、具體調(diào)查數(shù)據(jù)如下，根據(jù)這9項(xiàng)容經(jīng)行因 子分析，得到維度較少的因子。*|a|捌關(guān) 盯I*|閔刪 捌輛剖網(wǎng) 劉豊|1 ”n毎序用H扎帀I二理業(yè)弋a(chǎn)吁味1r|兀m it忒1師啜力量犬比更向一豐au?:劇颱哥背廉21

11、21<kJ l1JOOPI1Q.DD831SC015011 2如-19C37213-DD24 DOzn.oc15JD1D DO300.B547?-.12712-1.16C2?325 DDmm10JD比EME渙002i mI曲425F1531C10 0010OI1C.0QJiOW100011 DOS9217/弼用額15if nn扛TIB EDVI.DD3D CDlace2J3X1-5713i612 CD120023.0D25.00ICJCO10 DO20001 55積id1號(hào)陽(yáng)四6J52I"T133 DO26(012.QDM.D0iea)16 0039001 7LK316&

12、;K11116LH4ffieSOD幻帥J4W»oaDO1&0QIfiW SSflF10(7%押山irara9悔叩sawJ-5,0010 DO12.03I&w1.EW習(xí).如占1023 DD22iLO1Q.0D12.00lorn20 DD3DB¥.麗旳51.1?.33?121110 0010 CO俎.帥耳血恬gIfi 00xoa20001 ceeia購(gòu)加訂1斑CICQ詣皿nn1E TiZ2.DDWO3in ti15015QD鬥產(chǎn)討祈：-9161B1313 DD10 COigxn2-5.ro25 (Din m26002? 005TO3-51510-1 36TO31

13、426 DD蛙0015.0020.00ffina22 (Di&OOIB.®冷豳31 14J3J1510 00SCO葩前M.OO16 (B15 COlam20 0DI 2B201-；at們的1612 QQ10 QO22.00TD.QC力SIQ DQ街B壬QD扇73173MQla.oufew22 B15UJ10OQ &UO1巧1巧-JI354-103B3WIJiOOllfflSoF叢iux.tn加mIft CD"isanl&tD口地19130015 nn冏to24J0D2D.DCim兀! rowm置It®1 01IM.VII11-1 33BBG

14、1西1DD15 wZ2.0DbuiTBW13 CD16001ECD 硒冒-719®ss&di4.2結(jié)果分析表一檢驗(yàn)結(jié)果Kaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy .427Bartlett's Te st of SphericityApprox. Chi-Square87.058df36Sig.000從上表可以得出，KMO是 Kaiser-meyer-Olkin的取樣適當(dāng)性量數(shù)，當(dāng) KMO值愈大時(shí)，表示變量的共同因素愈多，愈適合進(jìn)行因素分析，根據(jù)學(xué)者Kaiser觀點(diǎn)，如果KMO勺值小于0.5時(shí)較不宜進(jìn)行因素分析，此處的

15、 KMOS為.427,不 太適合因子分析。巴特利特球行檢驗(yàn)給出的相伴概率為0.000，小于顯著性水平0.05，因此拒絕其零假設(shè)，認(rèn)為可以做因子分析。In itialExtractio n家庭經(jīng)濟(jì)1.000.892當(dāng)?shù)貭顩r1.000.744心理素質(zhì)1.000.898成員素質(zhì)1.000.868師資力量1.000.854文化趨向1.000.657健康狀況1.000.970教育背景1.000.656教育政策1.000.902提取方法：主成份分析法，最右邊一欄為題項(xiàng)的共通性。表三主成分提取情況Comp onentIn itial Eige nv aluesExtractio n Sums of Squa

16、red Loadi ngsRotation Sum s of Squared LoadingsTotal% of Varia neeCumulative %Total% of Varia neeCumulative %Total% of Varia neeCumulative %13.40737.85337.8533.40737.85337.8533.23835.97735.97721.76419.60357.4561.76419.60357.4561.84020.44156.41831.21813.52970.9861.21813.52970.9861.26214.02670.44441.0

17、5211.69182.6771.05211.69182.6771.10112.23382.6775.7378.19090.8676.4535.02995.8957.1872.07497.9698.1321.46699.4369.051.564100.000表三中，第一列是因子序號(hào)。第二列是因子變量的方差貢獻(xiàn)（特征值），它是衡量因子重要程序的指標(biāo)。第三列是各因子變量的方差貢獻(xiàn)率， 表示該因子描 述的方差占原有變量的總方差的比例。第四列是各因子變量的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率。 第五到第七是旋轉(zhuǎn)以后得到的因子對(duì)原變量總體的刻畫(huà)情況。第八到第十列是從初始解上按照一定標(biāo)準(zhǔn)提取了四個(gè)公因子后對(duì)原變量總體的描述情況。

18、從上表可以得出，其中前四個(gè)因子的特征值大于 1可見(jiàn)提取四個(gè)因子后， 它們反映了原變量的大部分信息。碎石圖因子個(gè)數(shù)從碎石圖可以看出，第四個(gè)因子之后，碎石圖的變化比較平緩，這和表三分 析的結(jié)果一致。所以確定取四個(gè)因子。表四因子載荷矩陣Component1234家庭經(jīng)濟(jì).919-.202-.084.024心理素質(zhì)-.915-.015.106.223成員素質(zhì)-.903.055.179.133當(dāng)?shù)貭顩r.770-.340.188.031教育政策.227.814.433.035文化趨向-.081-.676.409-.160教育背景.453.656.068.124師資力量-.182.170-.808-.374

19、健康狀況.149-.160-.348.895此表表示的是，在沒(méi)有進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)時(shí)因子的載荷情況，但此時(shí)的載荷不能 明顯的表明各個(gè)因子在因變量上的負(fù)荷情況。表五旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣Component1234家庭經(jīng)濟(jì).927.041.084.153心理素質(zhì)-.919-.198.074.090成員素質(zhì)-.917-.131.093-.026當(dāng)?shù)貭顩r.782-.078.351.060教育政策-.016.902.216-.203教育背景.263.764-.019.051文化趨向.046-.607.483-.230師資力量-.054-.094-.915-.074健康狀況.073-.025.037.981表五中題

20、項(xiàng)在其所屬之因素層面順序，是按照因素負(fù)荷量的高低排列。轉(zhuǎn)軸的主要目的，在于重新安排題項(xiàng)在每個(gè)共同因素上的因素負(fù)荷量， 轉(zhuǎn)軸后，使 原先轉(zhuǎn)軸前較大因素負(fù)荷量變得更大， 而轉(zhuǎn)軸前較小的因素負(fù)荷量變得更小。 轉(zhuǎn) 軸后題項(xiàng)在每個(gè)共同因素之因素負(fù)荷量的平方總和不變。此表表示的是，在進(jìn)行了因子旋轉(zhuǎn)后，因子的載荷情況，此時(shí)的載荷能明顯 的表明各個(gè)因子在因變量上的負(fù)荷情況Comp onent12341.956.261.108.0832-.216.934-.259-.1143-.118.177.902-.3754-.162.165.327.916旋轉(zhuǎn)表六表示的是因子旋轉(zhuǎn)矩陣，標(biāo)明了因子提取的方法是主成分分析法, 的方法是方差極大法。表七因子得分矩陣C