因式分解的9種方法

1、因式分解的多種方法-知識延伸，向競賽過度1 .提取公因式：這種方法比較常規(guī)、簡單，必須掌握。常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：2x2 -3x = 0解：x(2x-3)=0 , x1=0,x2=3/2這是一類利用因式分解的方程。總結(jié)：要發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解x=a時(shí)，該式分解后必有一個(gè) (x-a)因式，這對我們后面的學(xué)習(xí)有幫助。2 .公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。注意：使用公式法前，部分題目先提取公因式。例二：x24分解因式分析：此題較為簡單，可以看出4=2 2,適用平方差公式 a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3 .十字相

2、乘法是做競賽題的基本方法，做平時(shí)的題目掌握了這個(gè)也會(huì)很輕松。注意：它不難。這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積a1?a2 ,把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積c1?c2 ,并使a1c2+a2c1 正好是一次項(xiàng)b,那么可以直接寫成結(jié)果例三：把2x2 7x+3分解因式.分析：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)分解二次項(xiàng)系數(shù)(只取正因數(shù)):2 = 1X2 = 2X1 ；分解常數(shù)項(xiàng)：3=1X3=3X 1=(-3) X(-1)=(-1) 牛3).用畫十字交叉線方法表示

3、下列四種情況：經(jīng)過觀察，第四種情況是正確的，這是因?yàn)榻徊嫦喑撕?，兩?xiàng)代數(shù)和恰等于一次項(xiàng)系數(shù)-7.解原式二(x-3)(2x-1).總結(jié)：對于二次三項(xiàng)式axA2+bx+c(a 0),如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即 a=a1a2 ,常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即 c=c1c2，把a(bǔ)1 , a2 , c1 , c2 ,排列如下：a1 c1Xa2 c2a1c2+a2c1按斜線交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1 ,若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的一次項(xiàng)系數(shù) b,即a1c2+a2c1=b ,那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2 之積，即ax2+bx+c

4、=(a1x+c1)(a2x+c2).這種方法要多實(shí)驗(yàn)，多做，多練。它可以包括前兩者方法。4 .分組分解法也是比較常規(guī)的方法。一般是把式子里的各個(gè)部分分開分解，再合起來，需要可持續(xù)性！ 22例四：x 4x 4 - y可以看出，前面三項(xiàng)可以組成平方，結(jié)合后面的負(fù)平方，可以用平方差公式解：原式 =(x+2) A2-yA2=(x+2+y)(x+2-y)總結(jié)：分組分解法需要前面的方法作基礎(chǔ)，可見前面方法的重要性。5 .換元法整體代入，免去繁瑣的麻煩，亦是建立的之前的基礎(chǔ)上2例五：(x + y) -2(x + y)+1分解因式考慮到x+y是以整體出現(xiàn)，展開是十分繁瑣的，用 a代替x+y那么原式=aA2-2

5、a+1 =(a-1)A2 ,回代原式=(x+y-1 ) A26 . 主元法這種方法要難一些，多練即可。即把一個(gè)字母作為主要的未知數(shù)，另一個(gè)作為常數(shù)例六：因式分解 16y 2x2(y -1)2 8x2y x4(y -1)2分析：本題尚且屬于簡單例用，只是稍加難度，以y為主元會(huì)使原式極其煩瑣，而以 x為主元的話，原式的難度就大大降低了。原式=x4(y 1)2 +2x2(y _1)2 +8x2y +16y 主元法=僅人2yA2-2xA2y+xA2+8y)(xA2+2) 【十字相乘法】可見，十字相乘十分重要。7 .雙十字相乘法難度較之前的方法要提升許多。是用來分解形如ax2 +bxy +cy2 +dx

6、 +ey + f的二次六項(xiàng)式在草稿紙上，a = mn, c = pq, f = jk如果mq + np = b, pk + qj = e , mk + nj = d ,即第1,2列和第2,3列都滿足十字相乘規(guī)則。則原式=(mx + py + j) (nx + qy+k)要訣：把缺少的一項(xiàng)當(dāng)作系數(shù)為 例七：ab + b2 + ab 2分解因式解：原式= 0X1 xaA2 + ab + bA2 + a b 2=(0Xa+b+1) (a+b 2)=(b+ 1 ) ( a+ b 2)8 .待定系數(shù)法將式子看成方程，將方程的解代入，這時(shí)就要用到“1 ”中提到的知識點(diǎn)了當(dāng)一個(gè)方程有一個(gè)解 x=a時(shí)，該式分

7、解后必有一個(gè) (x-a)因式例八：x2 , x -2該題可以用十字相乘來做，這里介紹一種待定系數(shù)法我們可以把它當(dāng)方程做，xA2+x-2=0一眼看出，該方程有一根為 x=1 ,那么必有一因式為(x-1)結(jié)合多項(xiàng)式展開原理，另一因式的常數(shù)必為2 (因?yàn)槌?1要為-2)一次項(xiàng)系數(shù)必為1 (因?yàn)榕c1相乘要為1),所以另一因式為(x+2),分解為(x-1)(x+2)9 . 列豎式讓人拍案叫絕的方法。原理和小學(xué)的除法差不多。要建立在待定系數(shù)法的方程法上，不足的項(xiàng)要用0補(bǔ)除的時(shí)候，一定要讓第一項(xiàng)抵消例九：3x3 +5x2 -2分解因式提示：x=-1可以使該式=0,有因式(x+1 )那么該式分解為(x+1) (3xA2+2x-2)因式分解有9種方法，這么多其實(shí)是不止的，還有很多很多。不過了解這些，初中的因式分解是不會(huì)有問題了?？紤]到每種方法只有一個(gè)例題，下面提供一些題目，供大家練習(xí)。3, 2- 2, 2 22 3xy + 6 2x 3y3a b c -6a b c 9ab c(3a -b)2 -4(3a -b)(a 3b) 4(a 3b)2(x+2)(x 3)+ (x+ 2)(x + 4)2 一 ,12x -29x+ 15x(y