基本不等式教學設(shè)計

1、基本不等式（第一課時）授課教師：教材：人教版高中數(shù)學必修5第三章一、教學目標1 .通過兩個探究實例，引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景， 體會數(shù)形結(jié)合的思想：2 .進一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學生分析證明方法，加深 對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力：3 .結(jié)合課本的探究圖形,引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數(shù)形結(jié)合的思想：4 .借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等 式對4二的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法 與策略.以

2、上教學目標結(jié)合了教學實際，將知識與能力、過程與方法、情感態(tài)度價值觀的三維目標融入各個教 學環(huán)節(jié).二、教學重點和難點重點：應用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式如4%士的證明過程：難點：在幾何背景卜抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教學過程：1.動手操作，幾何引入如圖是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標，會標 代數(shù)學家趙爽的“弦圖”設(shè)計的，該圖給出了迄今為止對勾股定理最 明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何是緊密結(jié)合、互不可分探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？在正方形ABCD中有4個全等的直角三角角形兩條直角邊長為a,b,rjszi

3、那么正方形的邊長為JaF?.于是，4個直角三角形的面積之和5 = 2ab ,是根據(jù)我國占.,|H 的，形.設(shè)直角三 DB正方形的面積S = a3+b2.三角形，再用 直角邊，多余 個直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個不等式嗎？通過學生動手操作，探索發(fā)現(xiàn)：Vb< 2 .代數(shù)證明，得出結(jié)論根據(jù)上述兩個幾何背景，初步形成不等式結(jié)論:a,b e R+,則 a+bAZab.若 a,b e R+ ,則 Vab < 3.o1學生探討等號取到情況，教師演示幾何畫板，通過展示圖形動畫，使學生宜觀感受不等關(guān)系中的相等 條件，從而進一步完善不等式結(jié)論：（1）若 a,beR+,則 a+bNZab；

4、 （2） a,b e R+, Ml Vab < 3請同學們用代數(shù)方法給出這兩個不等式的證明.證法一（作差法）：a3 +b: - 2ab = (a -b)2 > 0a2+b2>2ab,當a =b時取等號.（在該過程中，可發(fā)現(xiàn)a.b的取值可以是全體實數(shù)）證法二（分析法）：由于a,beR+,于是要證明止之而，只要證明 a +b > 2-x/ab »即證 Va + Vb - 2Vab > 0 ,即 W?->/b）2>0,該式顯然成立，所以山2而，當a=b時取等號.得出結(jié)論，展示課題內(nèi)容基本不等式：若a,beR+,則廊4山（當且僅當a =b時，等號成立

5、）若a,beR,則a+b2 2 2ab （當且僅當a =b時，等號成立）深化認識：稱而為a.b的幾何平均數(shù)；稱山為a,b的算術(shù)平均數(shù)基本不等式而4 3又可敘述為：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)3 .幾何證明，相見益彰探究三：如圖，AB是圓0的直徑，點C是AB上一點，AC = a, BC = b .過點C作垂直于AB的弦DE ,連接 AD,BD.D根據(jù)射影定理可得：cd = Vac Bc = Vb由于RtACOD中直角邊CD v斜邊OD ,A（T o C J B于是有而2E當且僅當點C與圓心。重合時，即a = b時等號成立.故而再次證明：當a>0,b>0時，而4孚（當且僅

6、當a=b時，等號成立）（進一步加強數(shù)形結(jié)合的意識，提升思維的靈活性）4.應用舉例，鞏固提高例1.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆 最短，最短的籬笆是多少？（2） 一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面枳最大,最大面枳是多少？（通過例1的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問翹的特征,實現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）對于 x,yeR+,（1）若xy=p （定值），則當且僅當a=b時，x + y有最小值又質(zhì)：2（2）若x + y = s （定值），則當且僅當a=b時，xy行最大值亍.（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基

7、本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于 探索的精神.）例2.求y = x+4（xh 0）的值域.變式1.若X > 2 ,求X+的最小值.x- 2在運用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示y=x+1（XHO）的函數(shù)圖象，使學生再次感受數(shù) X形結(jié)合的數(shù)學思想.并通過例2及其變式引導學生領(lǐng)會運用基本不等式a V包的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略.練一練（自主練習）：c 81 .已知x>0,y>0,且二+ = 1,求xy的最小值.x y2 .設(shè)x,yeR,且x+y=2,求3*+3曠的最小值.5 .歸納小結(jié)，反思提高

8、基本不等式：若a,bcR,則a'b2 2 2ab （當且僅當a = b時，等號成立）若a,bwR+,則聞 4烈士（當且僅當a = b時，等號成立）（1）基本不等式的幾何解拜（數(shù)形結(jié)合思想）：（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法.媒體展示，滲透思想：若將算術(shù)平均數(shù)記為馬=二2,幾何平均數(shù)記為4=歷利用電腦3D技術(shù)，在空間坐標系中向?qū)W生展示基本不等式的幾何背景：100- Z平面71=2在曲面=向的匕方6 .布置作業(yè)，課后延拓（1）基本作業(yè)：課本P1OO習題A組1、2題（2）拓展作業(yè)：請同學們課外到閱覽室或網(wǎng)上杳找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流.（3）探究作業(yè)：現(xiàn)有一臺天

9、平，兩臂長不相等，其余均精確，有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托盤 各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實重量.這種說法對嗎？并說明你的結(jié)論.基本不等式（第一課時）教學設(shè)計說明一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)課是人教版高中數(shù)學必修5中第三章第4節(jié)的內(nèi)容。主要是二元均值不等式。它是在系統(tǒng)地學習 了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續(xù)的學 習奠定基礎(chǔ)。要進一步了解不等式的性質(zhì)及運用，研究最值問題.此時基本不等式是必不可缺的?；静?等式在知識體系中起了承上啟卜的作用，同時在生活及生產(chǎn)實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進 行情感價值觀

10、教育的優(yōu)良素材，所以基本不等式應重點研究。教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數(shù)學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自 主探究、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發(fā)揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學 生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過程。就知識的應用價值上來看，基本不等式是從大量數(shù)學問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，在公式 推導中所蘊涵的數(shù)學思想方法如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究中均 有著廣泛的應用；另外，在解決函數(shù)最值問題中，基本不等式也起著重要的作用。就內(nèi)容的人文價值上來看，基本不等式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納，有助于培養(yǎng)學生

11、創(chuàng) 新思維和探索精神，是培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合意識和提高數(shù)學能力的良好載體。二、教學目標和目標解析教學目標：了解基本不等式的幾何背景，能在教師的引導卜探究基本不等式的證明過程，理解基本不 等式的幾何解釋，并能解決簡單的最值問題；借助于信息技術(shù)強化數(shù)形結(jié)合的思想方法。在教師的逐步引導下，能從較為熟悉的幾何圖形中抽象出基本不等式，實現(xiàn)對基本不等式幾何背景的 初步了學生己經(jīng)學習了不等式的基本性質(zhì)，可以運用作差法給出基本不等式的證明，同時，介紹并滲透分析 法證明的思想方法，從而完成基本不等式的代數(shù)證明。進一步通過探究幾何圖形，給出基本不等式的幾何解糅，加強學生數(shù)形結(jié)合的意識。通過應用問題的解決，明確解決應用

12、題的一般過程。這是一個過程性目標。借助例b引導學生嘗試 用基本不等式解決簡單的最值問題，體會和與枳的相互轉(zhuǎn)化，進一步通過例2,引導學生領(lǐng)會運用基本不 等式加4山的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，并用幾何畫板展示函數(shù)圖形，進一步深化數(shù)形結(jié)合的思想。結(jié)合變式訓練完善對基本不等式結(jié)構(gòu)的理解，提升解決問題的能力，體 會方法與策略。三、教學問題診斷在認知上，學生己經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，井能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進行數(shù)、式的大小比較，也 具備了一定的平面幾何的基本知識。但是，倘若教師不加以引導，學生并不能自覺地通過已有的知識、記 憶去發(fā)展和構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系，這就需要教師

13、逐步地引導，并選用合理的手段去激活學生 的思維，增強數(shù)形結(jié)合的思想意識。另外，盡可能引領(lǐng)學生充分理解兩個基本不等式等號成立的條件，為利用基本不等式解決簡單的最值 問題做好鋪墊。在用基本不等式解決最值時，學生往往容易忽視基本不等式同4受使用的前提條件a,b>0,同時又要注意區(qū)別基本不等式a?+b222ab的使用條件為a,bwR。因此，在教學過程中，借助 例題落實學生領(lǐng)會基本不等式成立的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用。而對于 “一正二定三相等”的進一步強化和應用，將放于下一個課時的內(nèi)容。四、教學支持條件分析為了能很好地展示幾何圖形，體會基本不等式的幾何背景，教學中需要有

14、具體的圖形來幫助學生理解基 本不等式的生成，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，所以，借助于幾何畫板軟件來加強幾何直觀十分必要，同時 演示動畫幫助學生驗證基本不等式等號取到的情況，并用電腦3D技術(shù)展示基本不等式的又一幾何背景， 加深對基本不等式的理解，增強教學效果。五、教學設(shè)計流程圖教學過程的設(shè)計從實際的問題情境出發(fā)，以基本不等式的幾何背景為著手點，以探究活動為主線，探 求基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，并進一步給出幾何解釋，深化對基本不等式的理解。通過典型例題的講解，明 確利用基本不等式解決簡單最值問題的應用價值。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于整個教學過程，并時刻體現(xiàn)在教 學活動之中。六、教法和預期效果分析本節(jié)課通過6個教學環(huán)節(jié)，強調(diào)過程教學，在教師的引導卜.，啟動觀察、分析、感知、歸納、探究等 思維活動，從各個層面認識基本不等式，并理解其幾何背景。課堂教學以學生為主體，基本不等式為主線, 在學生原有的認知基本上，充分展示基本不等式這一知識的發(fā)生、發(fā)展及再創(chuàng)造的過程。同時，以多媒體課件、幾何畫板、電腦3D技術(shù)作為教學輔助手段，賦予學生直觀感受，便于觀察， 從而把一個生疏的、內(nèi)在的知識