22-第22講不定積分及其計算(續(xù))(精)

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 高等數(shù)學(xué)（上） - 元微積分學(xué) 第二十二講不定積分及其計算（續(xù)） 教案制作：吳洪武 二.不定積分的計算 利用不定積分的性質(zhì) 換元法（第一.第二） 分部積分法 部分分式法 3.不定積分的分部積分法 分部積分法是計算不商只分時應(yīng)用較廣泛的-種方法. 該方法與函數(shù)的乘積凍導(dǎo)公式相對應(yīng)： 設(shè)函數(shù)臥X),只兀)在區(qū)間/上可微，則有 (w(x)v(x)z = uXx)v(x) + w(x)vz(x) 如果函數(shù)Mz(x)v(x)與 (x)v，(x)的原函數(shù)存在，對上式兩 邊關(guān)于X積分，便得到 j ux)v(x)dx = w(x)v(x) J w(x)vz(x)dx. 該公式稱為

2、不定積分白窮部積分公式 定理 設(shè)函數(shù)u(x),卩(兀)在區(qū)間/上可微.若函數(shù)wz(x)v(x) 在區(qū)間/上的原函數(shù)存在，貝U J u(x)vx)d x = w(x)v(x) j u (x)v(x)d x. 該公式稱為不定積分白符部積分公式 分部積分公式將一個醱攵的積分計算轉(zhuǎn)化為另一個 函數(shù)的積分計算. 一般說來，當(dāng)被積函數(shù)為下列形式之一時，可考慮 運用分部積分法進行計算： 幕函數(shù)與三角函數(shù)（或反三角函數(shù)）之積， 指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)（或反三角函數(shù)）之積， 幕函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積， 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之積， 一個函數(shù)難于用其它方法積分， 兩個函數(shù)的乘= X ux) = 1 耶解 J xsin xdx

3、 = x(-cosx) - J (-cos 計算xsinxdx. =cosx 積. vx) = sin x X 、 v(x) = COS X =-xcosx + sin x + C =xarccos x - 1-x2 +C.cosx L 檢 f xcosxdx 計算（育廠 X sin3 x 計算arccosxdx. arccosxd x = xarccosx + xdx =-x2 cos x + 2(xsin x - J sinxdx) =-x2 cos x 4- 2x sin x + 2 cos x + C. 該例說明，與換元法一樣只要條件允許, 分部積分法可以連續(xù)傑 故 | ex cos

4、xd x = - (sin x + cos x) + C計算 J X2 sinxdx. x2 sinxdx = -x2 cosx + 2x 、 sin x 一 cosx xcosxdx 計算 J ex cosxdx. cosx sinx ex cosxdx = ex sinx ex sinxdx 辱解 =ex sin x - (-e v cos x + =e sinx + K cosx -f ex cosxdx) ex cosxcix x cosx i sin x 該例顯示，在運用分部積分法時，可能會出現(xiàn)下列關(guān)系式： J /(X)d X = 9(X)+67 J f(X)dx (dHl). 此時

5、，經(jīng)移項并在等式右端加 任意常數(shù)C后，便可得出 所求的不定積分 (/(x)d x = 4- C. xy/x2 +a2 - -1 + a2 n x + y/x2 + a2 In I x + 7+ aT + C. 計算 / = J 2 2 dx = xlx2 2 故 ，己 In = j (In x)n d x,貝U ln = j (Inx)n dx = x(lnx)n -nJ (Inx)n 1 dx 例如，求厶=(lnx)3dx. I3 = x(ln x)3 3/2, 厶=x(lnx)2-2/|, /2 = x(ln x)2 - 2(xln x - (x + C) /i = xlnx- /0, 人

6、=xlnx-(x + C) /0 = j (lnx) dx = j dx = x + C9 故 I、= x(ln xY 一 3x(ln x)2 +6xlnx-6x + C.計算 J =x(ln x)n - n In_x 于是，得到/” 利用遞推關(guān)系式 可以由低次彖函 數(shù)的 =-sin,l xcosx + (z? -1)人_2 -(農(nóng)一1)In 故 ln = -sinn 1 xcosx + - I“ r. /0 = f dx = x + C. n T? _ J /J1 sin x (n-Osin-2 xcosx -cosx sinn In = J sin 2 i = _sin = -sinw-1

7、 xcosx4-(n-l)| sinH 2 xdx-(?-l)J sin xAx 計算 J sinxdx. 如果需要，條件又允許，則不定積分的 換元法、分部積分法等可以混合起來使用。 =2(x - 2)、/ 1 +21n 乂比空巴 + C. V1 + -1令 u = A/ 1 + e 貝U x = ln(w2 一 1), dx = ir -1 t z 2 IX / 2 IX 2udu =2J ln(u +1) + ln(w 一 1) d u , ln(w + l)d w =. c udu u 1 n( w + 1) 1 J u + 1 If u + 1 = uln(u + l) 類似地， 有

8、J ln(w -l)dw = un(u 1) M In I 11 + C =2wln(w2 -l)-4w + 21n I u +11 lu ll 計算（貨3 ln(w +1)-J xe A d x 下面介紹原函數(shù)可以表示為初等函數(shù)的三類 常用函數(shù)的積分法 - 部分分式法.計算J x2 arctan x 1 + x2 dx. 2 x arctan x dx = J (x2 +1-1) arctan + x2 arctanx 1 + x2 r =arctan xdx- -J =xarctan x ln(l +x2)- arctan2 x + C 4.不定眾所周知， 有些函例如訂沁dx, J X 1

9、 J sinx2 aQxn 4- ax 1 + 4- an_xx + an 久肝+恥心+船“ +乞 7?(x, ax + bx + c) (1) - 有理函數(shù)的積分法 部分分式法 有理函數(shù)是由兩個多啾的商構(gòu)成的函數(shù) aox +axnl 4 - an Ax + an 當(dāng)nm時，稱/?(%)為有理作艮分式. 運用除法可將假分式化 一個多項式與一 有理真分式的和的形式 部分分式法 7?(sin x, cosx) 換元法 我們只需討論有理真分式的積分方法.由高等代數(shù)知識，任何一個有理真分式均可化為 下列四類簡單分式之和的形式: A B Ax + B Ax + B x a (x a)k x1 + px

10、+ q (x2 px + q)k 其中、k 常數(shù) A, B, a, p, qwR、且 p2 -4y 且 4qv0,則 P(x)= ARX + BR * 4一+ Bk_ _ B * (x) Q(x) (x2 4- px + q)k (x2 + px + q)k x2 + px + q 22(x) 其中，呂冥為有理真分式 Q2M 因為 x5 -2x4 +2X3-4X2+X-2 = (X-2)(X2 +1)2,故令 2x2 + 2x+13 _ 2 宀 2x+13 有理真分式可以 分將盹）=宀2懇二二；+ _2寫成部分分式形式 x5 2x + 2%3 + x 2 (x 2)(x + 1) A Bx +

11、 C Dx + E - 1 - 9 - 7 - 5 - x-2 (JC+1) JC+1 通分、比較分子的系數(shù) 2x2+2x + 3 = (A + D)x4 (E-2D)X3 + (B + 2A + D-2E)X2 + (C 23 2)+ E)x + (A 2C-2E) 得到代數(shù)方程組 A + D = O E-2D=0 B + 2A + D-2E = 2 C-2B-2D+E=2 A-2C-2E = 3 解方程組得:A = l, B = -3, C = -4, D = -l, E = -2,故 2x2 +2x +13 _ 1 3x + 4 x + 2 X5-2X4+2X3-4X2+X-2 _ x2

12、_ (x2+l)2 _x2+l i 8 由 X3-3X2+4 = (X-2)2(X + 1),得 x2+l A B C 疋 一3云 + 4 = 771 + (2)2 + r-2 通分，比較系數(shù)，得 X2+ = A(X-2)2 + + 1) + C(x - 2)(x +1), ? 5 令 x = -l,得 A = -; 令 x = 2,得 8 = 1； 7 令 x = 0,得 C = -, 2 1 5 1 7 1 - + - y + - d x 9x + l 3(x-2)2 9x-2 2 5 7 -lnlx + ll - - + -lnlx-2l + C- 9 3(兀一 2) 9 計算丿X2 +

13、1 X3-3X2 dx = J 三角函數(shù)有理式的積分法半角代換 令心噸，可將三角函數(shù)有理式白併只分轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的 有理函數(shù)的積分計算: | /?(sin x, cosx)dx = f /?(刀 J 1 + r dx sin x = 2sin- cos - = 2 tan - cos2 -=- 2 2 2 2 x x 2 tan 2 tun , 2- _ _ 2t 2 X - 2 X 1 +/2 1 + tair 丄十 2 2 sec l-tarr t 昇 2% 2兀 八 2% 2 兀 2 1一/ cosx = cos sirr = (1-tan )cos -=- =- 弓， 2 2 2 2 14

14、-tan * 廠 代換r = tan -常常被人們稱為“萬絢弋換”.它將 2 J 7?(sin x, cosx)dx轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)積分J Rdt,而 有理函數(shù)的積分是徹底 解決了的(最差的情況也可用部 分分式法)，從而可以認(rèn)為“萬能代 換”能夠徹底解決 三角函數(shù)有理式的積分 計算，但它不一定是最好的方 法. 請記住: t = tan -時: 2 2/ sin x = - 7 1 +尸 1-r2 3 COSX = - r 1 + r2 1 + r2 2 ( 5 x 4、廠 =arctan tan - 1 - +C 3 I 3 2 3 J 2d _ = r 10d/ 亦 + 8/ + 5 5(5尸

15、+8/ + 5) z u =-arctan - + C 3 3計算J dx 5 + 4sinx Y 7 t 令心母巧，則sin“R dx = 2dr r+P dx 5 + 4sinx 令 r = tan -,貝 U cosx = , dx = 4,故 2 1 + /2 1 + r2 dx = f (2 + cosx) = m(2 + cosx)+ c2. 2 + cos x J 2 + cos x 1Idx = -4arctanfXtan-|4-ln(2 + cosx) + C 2 + cosx 、3 IV3 2) 其它三角函數(shù)有理式的積分計算 (1) 若 /?(-sin x, -cosx)

16、= 7?(sin x, cos x), 則可令t = tanx,此時， .7 t4 1 , dt sin x = - , cosx = - , dx = - l + t2 1 + r2 l + t2 (2) 若 /?(sin x, cosx) = -/?(sin x, cosx),則可令 t = cosx. (3) 若 7?(sinx, -cosx) = -/?(sin x, cosx),貝U 可令 r =sinx. (4) 運用三角函數(shù)恒等式可 將一些三角函緞1有理式 的積分化 4 tanx =x 7= arctan + C. 計算 f 2-sinxdx 2 + cosx 2 + cosx

17、2 + cosx 2 + cos x 2dx r dr 4 t 廠 - -= arctan = + C. J 廠+3 V3 “ 1 4 V3 1 1 f -sinx 從而 為適宜的積分計算 計算J dx 2-sin1 2 x 令一az,則 dt J冷HP = Xarctan-L + C x?2 x2 1 tan x -7= arctan 、2 + C 72 計算息 令/ = tan兀，貝dx = dx dr J dr =arctan V2 + C 計算( - - - (心0,心0為常數(shù)). asinx + bcosx =!a2 +b2 sin(x + 0), dx _ r dx asinx + bcosx +b2sin(x + “) -7=ln lcsc(x + 0)-cot(x + 0)l+ C y/a2 +b2 r l + sinx r (1 + sinx)(l-cosx) dx 1 + cos x (1 + cos x)(l - cos x) r z 2 cosx cosx、( = (csc x - F