§34角動量、角動量定理和角動量守恒定律PPT課件

1、 3.4 3.4 角動量、角動量定理和角動量守恒定律南開大學物理學院本版修訂：王新宇第三章第三章 質點系統(tǒng)的運動規(guī)律質點系統(tǒng)的運動規(guī)律01 3.4 3.4 角動量、角動量定理和角動量守恒定律角動量、角動量定理和角動量守恒定律3.4.1 3.4.1 質點的角動量和角動量定理質點的角動量和角動量定理3.4.2 3.4.2 質點系的角動量定理質點系的角動量定理3.4.3 3.4.3 角動量守恒定律角動量守恒定律一、質點的角動量二、質點的角動量定理 3.4.1 3.4.1 質點的角動量和角動量定理質點的角動量和角動量定理一一 、 質點的角動量質點的角動量質點的角動量質點的角動量2 LrPrmv Lo

2、rP一一 、 質點的角動量質點的角動量大?。捍笮。篖mrVsin 方向：方向：右手螺旋定則判定，垂直于位移和速度所在的平面，右手螺旋定則判定，垂直于位移和速度所在的平面，什么情況下什么情況下L L0 0？單位：單位：kgm2/s 量綱：量綱：ML2T-13 Lo rP LrPrmv質點的角動量質點的角動量一一 、 質點的角動量質點的角動量例如，作圓周運動的質點的角動量例如，作圓周運動的質點的角動量LmrV ，其方向垂，其方向垂直于軌道平面直于軌道平面;要標明要標明對哪個點（軸）的角動量對哪個點（軸）的角動量。4 Lo rP LrPrmv質點的角動量質點的角動量5在直角坐標系中， 質點對原點O

3、的角動量為 )()(kpjpipkzj yixprLzyx )()()(xyzxyzypxpkxpzpjzpypiLzyxpppzyxkjiL 質點的角動量質點的角動量6在直角坐標系中， 質點對原點O 的角動量為 )()()(xyzxyzypxpkxpzpjzpypiL 若質點的運動平面為OXY面，則z=0,pz=0， kypxpLxy)( 質點的角動量質點的角動量7000()drLrprrmrrdt角動量的極坐標表示(轉軸參照系)。對極點的角動量為 000 rr20000 Lm rrrmrr（）這說明質點角動量大小為mr2,方向垂直于質點的運動平面。 Lo0 r0 質點的角動量質點的角動量例

4、1 一質量為m的質點沿著一條空間曲線運動，該曲線在直角坐標下的矢徑為：求：該質點對原點的角動量。a、b、為常數(shù)解：已知解：已知則，則，8j tbi tarsincos vsincosa at ti ib bt tj j vmrL 22 cossinm ma ab bt tk km ma ab bt tk k kmabL co ssinr ra at ti ib bt tj j 質點的角動量質點的角動量例題例題例2 地球繞太陽的運動可以近似地看作勻速圓周運動，求地球對太陽中心的角動量解：已知太陽中心到地球的距離為解：已知太陽中心到地球的距離為 r r =1.5=1.5 10101111m m地球

5、的公轉速率地球的公轉速率v=3.0 v=3.0 10 104 4m/sm/s，而地球的質量為，而地球的質量為m m=6.0 =6.0 10 102424千克。千克。9質點的角動量質點的角動量例題例題所以，地球對太陽中心的角動量為：41124100 . 3105 . 1100 . 6v mrLsmkgL/107 . 2240 該角動量的方向垂直于軌道平面10解：由于是最小半徑，所以有 2vhmrL mrh 2v sm/102 . 210529. 0101 . 921063. 66103134 例3 根據(jù)玻爾假設，氫原子內(nèi)電子繞核運動的角動量只可能是h/（2）的整數(shù)倍，其中h是普朗克常數(shù)，大小為6

6、.631034 kgm2/s，已知基態(tài)電子圓形軌道的半徑（最小半徑）為 r =0.52910-10m，求：在此軌道上運動電子的速率？質點的角動量質點的角動量例題例題3.4.1 3.4.1 質點的角動量和角動量定理質點的角動量和角動量定理二、二、 質點的角動量定理質點的角動量定理 力矩：力矩：定義：定義：即為力對參考點的即為力對參考點的力矩力矩單位：牛米單位：牛米, , 量綱：量綱：MLML2 2T T-2-2大?。捍笮。篗 Mr F r F sinsin ( ( 為矢徑與力之間的夾角為矢徑與力之間的夾角) )方向：方向：右手螺旋定則右手螺旋定則質點的角動量定理質點的角動量定理 11Fo rMM

7、MrF3.4.1 3.4.1 質點的角動量和角動量定理質點的角動量和角動量定理二、二、 質點的角動量定理質點的角動量定理 力矩：力矩：質點的角動量定理質點的角動量定理 12Fo rMMMrF力矩的作用效果是使物體相對某點（軸）的轉動的速度的發(fā)生變化。思考：什么情況下M0？二、二、 質點的角動量定理質點的角動量定理 角動量定理：角動量定理：質點所受的合外力矩等于它的角動量隨時間的變化率。質點所受的合外力矩等于它的角動量隨時間的變化率。質點的角動量定理質點的角動量定理 13Fo rMMdLMrFdt二、二、 質點的角動量定理質點的角動量定理 質點的角動量定理質點的角動量定理 14Fo rMM dL

8、rFdt PrL dtPdrPdtrdPrdtddtLd )( v vFrmdtLd 0 v vm d LMrFd t證明：15例3.17如圖所示，一半徑為R的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)。有一質量為m的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動。小球開始時靜止于圓環(huán)上的點A（該點在通過環(huán)心O的水平面上），然后從點A開始下滑。求小球滑到點B時對環(huán)心O的角動量和角速度。p74 解小球受支持力和重力的作用。其中支持力指向環(huán)心O，對于O的力矩為零，故小球所受的力矩僅為重力矩。cosdLMmgRdt角動量定理MRBAOgmN要消去t,轉為與關系cosdLmgRdt質點的角動量定理質點的角動量定理例題例題 16例3.1

9、7圓環(huán)問題。 22LLmRmR dLmRdt 2 2cosmRdLmgRdLMRBAOgmN ddtddt要消去tcosdLmgRdt質點的角動量定理質點的角動量定理例題例題 223coscosL Ld dL Lm mg gR Rm mR R d dm m g gR Rd d 也不知道17由題設條件，t =0時，0 =0，L0=0.故上式的積分為 0320cosdgRmLdLL223sin2Lm R g3 / 22sinLmRg由題B點， =900例3.17圓環(huán)問題。 23cosL Ld dL Lm m g gR Rd d 3 / 22LmRg質點的角動量定理質點的角動量定理例題例題 181/

10、 22()g gR R 例3.17圓環(huán)問題。 3/222LmRgmRMRBAOgmN質點的角動量定理質點的角動量定理例題例題 3.4.2 3.4.2 質點系的角動量定理質點系的角動量定理由質點的角動量定理由質點的角動量定理對所有質點求和：對所有質點求和：質點系的角動量定理質點系的角動量定理 19dtLdFrMiiii i ii ii ii ii ii ii id dL Ld dr rF FL Ld dt td dt td dL LMMd dt t由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，大小相等方向相反由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，大小相等方向相反所以，內(nèi)力矩之和為零。所以，內(nèi)力矩之和為零。3.4.2 3.4.2 質點系的角動量

11、定理質點系的角動量定理20由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，大小相等方向相反由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，大小相等方向相反所以，內(nèi)力矩之和為零。所以，內(nèi)力矩之和為零。1rO m1m212F21F2r212121FrFr 01221 Frr)(內(nèi)力既不改變系統(tǒng)的總內(nèi)力既不改變系統(tǒng)的總動量動量，也不改變系統(tǒng)的總，也不改變系統(tǒng)的總角動量角動量。質點系的角動量定理質點系的角動量定理 質點系的角動量定理質點系的角動量定理21一質點系相對于慣性系中任意定點的角動量時間變化率等一質點系相對于慣性系中任意定點的角動量時間變化率等于作用在這系統(tǒng)上的外力相對于該點的總轉矩，它是矢量于作用在這系統(tǒng)上的外力相對于該點的總轉矩，它是矢量方程。方程

12、。dtLdM合合合合外外 需要注意的是，由于每個質點的位矢 各不相同，系統(tǒng)受到的總力矩并不等于系統(tǒng)所受合外力 的力矩。ir外外F合合合合外外LdtM dtdLMzz合合合合外外 質點系的角動量定理質點系的角動量定理 質點系的角動量定理質點系的角動量定理22若質點系所受的外力是重力，按質心的定義，若質點系所受的外力是重力，按質心的定義，合外力矩為合外力矩為上式表明，重力的合力矩與系統(tǒng)的全部質量集中在質心上所受到的力矩等價。或者說質點系的角動量定理質點系的角動量定理 i ii ii ii iC Ci ii ir rm m g gm m r rr rm mg gMMg g外i ii ii ii ii

13、 ii iC Ci ii im m r rm m r rr rm mm m23例3.19 有兩個質量分別為m1 、m2 (m1m2) 的物體，通過一條不計質量的繩跨在一個質量忽略不計的、軸處摩擦力也不計的定滑輪上。p76求： m1 的加速度；若t = 0時 m1的速度為零，m1下降過程中的速度。解：以軸心為原點，以m1 、m2 、繩和滑輪為研究體系，外力有重力和滑輪軸上的支撐力F?；喓屠K的質量忽略不計?？偭兀篻mrgmrM2211gmmRM)(21 力矩方向垂直紙面向外：總角動量方向也垂直于紙面向外：x2mR1r1m2rvvv)(21mmRL 質點系的角動量定理質點系的角動量定理 例題例題

14、24121212v()()()dR mmdR mmR mmtgadtLdM 這也可以從牛頓動力學方程中得到。gmmmmdtda2121v gtmmmmgdtmmmmtt2121021210 )(v)(v兩物體速度，加速度均相同例3.19 滑輪問題gmmRM)(21 v)(21mmRL 質點系的角動量定理質點系的角動量定理 例題例題3.4.33.4.3 角動量守恒定律角動量守恒定律根據(jù)質點系的角動量定理根據(jù)質點系的角動量定理角動量守恒定律角動量守恒定律25如果對于某一固定點，質點所受的合外力矩為零，則如果對于某一固定點，質點所受的合外力矩為零，則此點對該固定點的角動量矢量保持不變。此點對該固定點

15、的角動量矢量保持不變。這是自然界普遍適用的又一條基本規(guī)律這是自然界普遍適用的又一條基本規(guī)律力矩為零可能是位矢，也可以是力為零；還可能是位力矩為零可能是位矢，也可以是力為零；還可能是位矢與力同方向或反向，例如有心力情況。矢與力同方向或反向，例如有心力情況。dtLdM合合外外 0 MM外時常常矢矢量量合合 L角動量守恒定律角動量守恒定律一個孤立系統(tǒng)，或者一個具有零外力矩的系統(tǒng)，其總角動一個孤立系統(tǒng)，或者一個具有零外力矩的系統(tǒng)，其總角動量的大小、方向都是恒定不變的。量的大小、方向都是恒定不變的。若質點系所受的外力都是有心力，合外力矩為零，角動量若質點系所受的外力都是有心力，合外力矩為零，角動量守恒。

16、守恒。如太陽系內(nèi)各行星的角動量守恒。它表示一個孤立系統(tǒng)的某一部分的角動量由于內(nèi)部相互作它表示一個孤立系統(tǒng)的某一部分的角動量由于內(nèi)部相互作用而變化時，則這一系統(tǒng)的其余部分必然會發(fā)生一相等，用而變化時，則這一系統(tǒng)的其余部分必然會發(fā)生一相等，而且相反的角動量的變化，使得總角動量守恒。而且相反的角動量的變化，使得總角動量守恒。角動量守恒定律角動量守恒定律26角動量守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律的基礎是空間各向同性（空間轉動對稱性角動量守恒定律的基礎是空間各向同性（空間轉動對稱性），是物理學中最基本、最普遍的定律之一。），是物理學中最基本、最普遍的定律之一。角動量守恒定律角動量守恒定律270 zL* *角動量守恒是矢量角動量守恒是矢量式式 ，而，而 和和 可隨時間變化?？呻S時間變化。xLyL28例4 證明一個質點運動時，如果不受外力的作用，則它對于任意固定點的角動量矢量保持不變Lvmro o如圖所示，其角動量為：解：根據(jù)牛頓第一定律該質點做勻速直線運動vmrL 垂直于紙面向外。大小為 sinv|rmL v|oomL 所以，角動量的大小、方向不變。角動量守恒定律角動量守恒定律例題例題29例3.20 證明關于行星運動的開普勒第二定律：行星對太陽的矢徑