六年級奧數(shù)-第三講_方程綜合運(yùn)用[1]._教師版 2

1、小學(xué)六年級奧數(shù)第三講 方程綜合運(yùn)用例題精講【例 1】 用邊長相同的正六邊形白色皮塊、正五邊形黑色皮塊總計(jì)32塊，縫制成一個(gè)足球，如圖所示，每個(gè)黑色皮塊鄰接的都是白色皮塊；每個(gè)白色皮塊相間地與3個(gè)黑色皮塊及3個(gè)白色皮塊相鄰接問：這個(gè)足球上共有多少塊白色皮塊？ 【解析】 設(shè)這個(gè)足球上共有x塊白色皮塊，則共有3x條邊是黑白皮塊共有的另一方面，黑色皮塊有塊，共有條邊是黑白皮塊共有的（如圖）由于在這個(gè)足球上黑白皮塊共有的邊是個(gè)定值，列得方程：，解得即這個(gè)足球上共有20塊白色皮塊【例 2】 某八位數(shù)形如，它與3的乘積形如，則七位數(shù)應(yīng)是 【解析】 設(shè)，則，即七位數(shù)應(yīng)是8571428【鞏固】 有一個(gè)六位數(shù)乘以

2、3后變成，求這個(gè)六位數(shù) 【解析】 設(shè)，則有六位數(shù)和，有，解得，所以原六位數(shù)是142857【例 3】 有三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，已知最小的數(shù)加上中間的數(shù)的兩倍再加上最大的數(shù)的三倍的和是68，求這三個(gè)連續(xù)整數(shù).【解析】 設(shè)最小的那個(gè)數(shù)為，那么中間的數(shù)和最大的數(shù)分別為和則，所以這三個(gè)連續(xù)整數(shù)依次為10、11、12【例 4】 小軍原有故事書的本數(shù)是小力的3倍，小軍又買來7本書，小力買來6本書后，小軍所有的書是小力的2倍，兩人原來各有多少本書？【解析】 設(shè)小力原有故事書x本，則小軍原有故事書3x本。小力原有故事書5本，小軍原有故事書15本【鞏固】 水果店運(yùn)來的西瓜的個(gè)數(shù)是白蘭瓜的個(gè)數(shù)的2倍如果每天賣白蘭瓜40個(gè)

3、，西瓜50個(gè)，若干天后賣完白蘭瓜時(shí)，西瓜還剩360個(gè)水果店運(yùn)來的西瓜和白蘭瓜共多少個(gè)？【解析】 設(shè)白蘭瓜進(jìn)了x個(gè)，則西瓜進(jìn)了2x個(gè)，有，得，所以西瓜和白蘭瓜共（個(gè)）法一：(涉及到分?jǐn)?shù)，慎重選講)注意到兩種瓜賣的天數(shù)相等這一等量關(guān)系，設(shè)白蘭瓜進(jìn)了個(gè)，則西瓜進(jìn)了個(gè)，列方程得：，解得，所以西瓜和白蘭瓜共個(gè)法二：設(shè)賣了天，根據(jù)題意列方程得，解得，所以西瓜和白蘭瓜共有【例 5】 一群學(xué)生進(jìn)行籃球投籃測驗(yàn)，每人投10次，按每人進(jìn)球數(shù)統(tǒng)計(jì)的部分情況如下表：進(jìn)球數(shù)0128910人數(shù)754341還知道至少投進(jìn)3個(gè)球的人平均投進(jìn)6個(gè)球，投進(jìn)不到8個(gè)球的人平均投進(jìn)3個(gè)球問：共有多少人參加測驗(yàn)？【解析】 設(shè)有人參加測

4、驗(yàn)由上表看出，至少投進(jìn)個(gè)球的有人，投進(jìn)不到個(gè)球的有人投中的總球數(shù)，既等于進(jìn)球數(shù)不到3個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)3個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)，為；也等于進(jìn)球數(shù)不到8個(gè)的人的進(jìn)球數(shù)加上至少投進(jìn)8個(gè)球的人的進(jìn)球數(shù)，為；由此可得方程：，解得故共有人參加測驗(yàn)【例 6】 甲、乙、丙三人同乘汽車到外地旅行，三人所帶行李的重量都超過了可免費(fèi)攜帶行李的重量，需另付行李費(fèi)，三人共付4元，而三人行李共重150千克如果一個(gè)人帶150千克的行李，除免費(fèi)部分外，應(yīng)另付行李費(fèi)8元求每人可免費(fèi)攜帶的行李重量【解析】 設(shè)每人可免費(fèi)攜帶千克行李一方面，三人可免費(fèi)攜帶千克行李，三人攜帶150千克行李超重千克，超重行李共付4元行李費(fèi)；另一方面

5、，一人攜帶150千克行李超重千克，超重行李需付行李費(fèi)8元根據(jù)超重行李每千克應(yīng)付的錢數(shù)相同，可列方程：，所以每人可免費(fèi)攜帶的行李重量為30千克【例 7】 某旅游點(diǎn)有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣， 兒童票的價(jià)格為30元，成人票的價(jià)格為40元，如果是團(tuán)體還可以買平均32元一位的團(tuán)體票，一個(gè)由8個(gè)家庭組成的旅游團(tuán)(每個(gè)家庭由兩位大人，或兩個(gè)大人、一個(gè)小孩組成)來景點(diǎn)旅游，如果他們買團(tuán)體票那么可以比他們各自買票少花120元，問這個(gè)旅游團(tuán)一共有多少人？【解析】 設(shè)八個(gè)家庭中有個(gè)是三口之家，是個(gè)兩口之家，則，所以旅游團(tuán)一共有人?！纠?8】 有一隊(duì)伍以1.4米/秒的速度行軍，末尾有一通訊員因事要通知排頭，于

6、是以2.6米/秒的速度從末尾趕到排頭并立即返回排尾，共用了10分50秒。問：隊(duì)伍有多長？【解析】 這是一道“追及又相遇”的問題，通訊員從末尾到排頭是追及問題，他與排頭所行路程差為隊(duì)伍長；通訊員從排頭返回排尾是相遇問題，他與排尾所行路程和為隊(duì)伍長。如果設(shè)通訊員從末尾到排頭用了秒，那么通訊員從排頭返回排尾用了秒，于是不難列方程。設(shè)通訊員從末尾趕到排頭用了秒，依題意得，解得推知隊(duì)伍長為（米）。【鞏固】 解放軍某部快艇追及敵艦，追到島時(shí)敵艦已逃離該島分鐘，敵艦每分鐘行米，我軍快艇每分鐘行米。如果距敵艦米處可以開炮射擊，解放軍快艇從島出發(fā)經(jīng)過多少分鐘可以開炮射擊敵艦？【解析】 根據(jù)題意可以知道題中的等量

7、關(guān)系是：解放軍所行路程-敵艦所行路程=米設(shè)解放軍快艇從島出發(fā)經(jīng)過分鐘可以開炮射擊敵艦，由題意得：所以，解放軍快艇從島出發(fā)經(jīng)過分鐘可以開炮射擊敵艦。【鞏固】 鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時(shí)向南行進(jìn)，行人速度為3.6千米/時(shí)，騎車人速度為10.8千米/時(shí)，這時(shí)有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒，這列火車的車身總長是多少？【解析】 本題屬于追及問題，行人的速度為千米/時(shí)=米/秒，騎車人的速度為千米/時(shí)=米/秒?；疖嚨能嚿黹L度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差。如果設(shè)火車的速度為米/秒，那么火車的車身長度可表示為或，由此

8、不難列出方程。設(shè)這列火車的速度是米/秒，依題意列方程，得，解得。所以火車的車身長為（米）。【例 9】 有甲、乙、丙三個(gè)人，當(dāng)甲的年齡是乙的2倍時(shí)；丙是22歲，當(dāng)乙的年齡是丙的2倍，甲是31歲；當(dāng)甲60歲時(shí)，丙是多少歲?【解析】 設(shè)丙歲時(shí)，乙的年齡是歲，當(dāng)時(shí)甲的年齡就是歲，甲乙的年齡差為歲那么甲是3l歲時(shí)，乙是歲，丙是歲，列方程得，解得，所以乙25歲時(shí)，甲50歲，丙22歲那么甲60歲時(shí)，丙32歲【鞏固】 甲、乙兩人在10年前的年齡比為2：3，現(xiàn)在他倆的年齡比為3：4，那么10年后他倆的年齡比為多少？【解析】 設(shè)10年前甲的年齡為歲，則當(dāng)時(shí)乙的年齡為歲，那根據(jù)現(xiàn)在兩人的年齡比可得方程：，等式兩邊前

9、后項(xiàng)交叉相乘可得，解得，所以10年前甲的年齡為20歲，乙的年齡為30歲，10年后兩人分別是40歲、50歲，10年后兩人的年齡比為4：5【鞏固】 已知哥哥年后的年齡與弟弟年前的年齡和恰好是歲，而弟弟現(xiàn)在的年齡是兩人年齡差的倍，那么試問哥哥今年多少歲？【解析】 在這道題中，哥哥和弟弟的年齡是多少都不知道，未知的量不止一個(gè)，那么如何設(shè)未知數(shù)成了問題的關(guān)鍵按理說弟弟的年齡小，如果設(shè)弟弟的年齡未知數(shù)，那哥哥的年齡如何表示，這就要涉及到題目中的一個(gè)條件弟弟現(xiàn)在的年齡是兩人年齡差的倍通過這個(gè)條件可以發(fā)現(xiàn)，原來年齡差是他們兩人年齡的最基本的組成元素設(shè)他們兩人的年齡差是歲，那么弟弟現(xiàn)在的年齡是歲，而哥哥現(xiàn)在的年

10、齡是歲根據(jù)“哥哥年后的年齡與弟弟年前的年齡和恰好是歲”這個(gè)條件可以得出方程，兩個(gè)人的年齡差是歲，于是弟弟的年齡是歲，哥哥的年齡是歲【例 10】 金銀合金的重量是克，放在水中稱重時(shí)，重量減輕了克，已知金在水中稱重量減輕，銀在水中稱重量減輕，求這塊合金中金、銀各含多少克？【解析】 設(shè)克合金中，金有克，則銀有克；依題意：，解得，所以這塊合金中金有克，銀有克【鞏固】 有甲、乙兩塊含銅率不同的合金，甲塊重千克，乙塊重千克，現(xiàn)在從甲、乙兩塊合金上各切下重量相等的一部分，將甲塊上切下的部分與乙塊剩余的部分一起熔煉，再將乙塊上切下的部分與甲塊剩余的部分一起熔煉，得到的兩塊新合金的含銅率相同，則切下的重量為_千

11、克【解析】 設(shè)切下的部分重量為千克，則甲切下的千克與乙剩下的千克混合由于得到的兩塊新合金的含銅率相同，所以若將這兩塊新合金混合，得到的大塊合金的含銅率應(yīng)與原來的兩塊新合金的含銅率相同，而這一大塊合金是由千克甲塊合金與千克乙塊合金混合而成的，所以千克甲塊合金與千克乙塊合金混合后的含銅率與千克甲塊合金與千克乙塊合金混合后的含銅率相同，而甲、乙兩塊合金含銅率不同，所以這兩種混合中甲、乙兩種合金的重量比相同，即，所以：，解得即切下的重量為千克【例 11】 從前有一位王子，有一天，他把幾位妹妹召集起來，出了一道數(shù)學(xué)題考她們題目是：我有金、銀兩個(gè)首飾箱，箱內(nèi)分別裝有若干件首飾，如果把金箱中的首飾送給第一個(gè)

12、算對這個(gè)題目的人，把銀箱中的首飾送給第二個(gè)算對這個(gè)題目的人，然后我再從金箱中拿出件送給第三個(gè)算對這個(gè)題目的，再從銀箱中拿出件送給第四個(gè)算對這個(gè)題目的人最后我的金箱中剩下的首飾比分掉的多件，銀箱中剩下的首飾與分掉的比是王子的金箱中原來有首飾_件，銀箱中原來有首飾_件【解析】 設(shè)原來金箱中有首飾件，銀箱中有首飾件，則：，解得，故金箱中原來有首飾件，銀箱中原來有首飾件【例 12】 運(yùn)來三車蘋果，甲車比乙車多4箱，乙車比丙車多4箱，甲車比乙車每箱少3個(gè)蘋果，乙車比丙車每箱少5個(gè)蘋果，甲車比乙車總共多3個(gè)蘋果，乙車比丙車總共多5個(gè)蘋果，這三車蘋果共有多少個(gè)？【解析】 設(shè)乙車運(yùn)來箱，每箱裝個(gè)蘋果，根據(jù)題意

13、列表如下：車別甲乙丙箱數(shù)每箱蘋果數(shù)根據(jù)上表可列出如下方程：，化簡為，得：，于是將代入或，可得：所以甲車運(yùn)19箱，每箱12個(gè)；乙車運(yùn)15箱，每箱15個(gè)；丙車運(yùn)11箱，每箱20個(gè)三車蘋果的總數(shù)是：(個(gè))【例 13】 有大、中、小三種包裝的筷子盒，它們分別裝有雙、雙、雙筷子，一共裝有雙筷子，其中小盒數(shù)是中盒數(shù)的倍問：三種盒各有多少盒？【解析】 設(shè)中盒數(shù)為，大盒數(shù)為，那么小盒數(shù)為，根據(jù)題目條件有兩個(gè)等量關(guān)系：該方程組解得，所以大盒有9個(gè)，中盒有6個(gè)，小盒有12個(gè).【鞏固】 用根同樣長的木條釘制出正三角形、正方形和正五邊形總共有個(gè).其中正方形的個(gè)數(shù)是三角形與五邊形個(gè)數(shù)和的一半，三角形、正方形和五邊形各有

14、多少個(gè)？【解析】 設(shè)三角形的個(gè)數(shù)為，五邊形的個(gè)數(shù)為，那么正方形的個(gè)數(shù)為，由此可列得方程組：該方程組解得：，所以，因此三角形、正方形、五邊形分別有、個(gè).【例 14】 甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一個(gè)配件與一個(gè)配件組成甲每天生產(chǎn)300個(gè)配件，或生產(chǎn)150個(gè)配件；乙每天生產(chǎn)120個(gè)配件，或生產(chǎn)48個(gè)配件為了在10天內(nèi)生產(chǎn)出更多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？【解析】 假設(shè)甲、乙分別有天和天在生產(chǎn)配件，則他們生產(chǎn)配件所用的時(shí)間分別為天和天，那么10天內(nèi)共生產(chǎn)了配件個(gè)，共生產(chǎn)了配件個(gè)要將它們配成套，配件與配件的數(shù)量應(yīng)相等，即，得到，則此時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品的套數(shù)為，要使生產(chǎn)的產(chǎn)品

15、最多，就要使得最大，而最大為10，所以最多能生產(chǎn)出套產(chǎn)品【鞏固】 某服裝廠有甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)車間，甲車間每天能生產(chǎn)上衣16件或褲子20件；乙車間每天能生產(chǎn)上衣18件或褲子24件現(xiàn)在要上衣和褲子配套，兩車間合作21天，最多能生產(chǎn)多少套衣服？【解析】 假設(shè)甲、乙兩個(gè)車間用于生產(chǎn)上衣的時(shí)間分別為天和天，則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為天和天，那么總共生產(chǎn)了上衣件，生產(chǎn)了褲子件根據(jù)題意，褲子和上衣的件數(shù)相等，所以，即，即那么共生產(chǎn)了套衣服要使生產(chǎn)的衣服最多，就要使得最小，則應(yīng)最大，而最大為21，此時(shí)故最多可以生產(chǎn)出套衣服【例 15】 米老鼠從到，唐老鴨從到，米老鼠與唐老鴨行走速度之比是，如下圖所示是、的中

16、點(diǎn)，離點(diǎn)26千米的點(diǎn)有一個(gè)魔鬼，誰從它處經(jīng)過就要減速25%，離點(diǎn)4千米的點(diǎn)有一個(gè)仙人，誰從它處經(jīng)過就能加速25%現(xiàn)在米老鼠與唐老鴨同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)，那么與之間的距離是 千米【解析】 設(shè)，米老鼠的行走速度為，則唐老鴨的行走速度為()，如下圖，則有米老鼠從到需要時(shí)間，唐老鴨從到需要時(shí)間因?yàn)槊桌鲜笈c唐老鴨用的時(shí)間相同，所以列方程，解得所以，、兩地相距92千米【鞏固】 甲、乙兩個(gè)容器共有溶液克,從甲容器取出的溶液，從乙容器取出的溶液，結(jié)果兩個(gè)容器共剩下克.問：兩個(gè)容器原來各有多少溶液？【解析】 設(shè)甲容器有溶液克，乙容器有溶液克，根據(jù)題目條件有兩條等量關(guān)系,一是兩容器溶液加起來等于2600克，二是取溶

17、液后兩容器加起來有2000克.由此可列得方程組:方程組最終解得，所以甲容器中有溶液1600克，乙容器中有溶液1000克【例 16】 甲、乙兩種商品的原來價(jià)格比是如果它們的價(jià)格各自上漲元，它們的價(jià)格比變?yōu)榍蠹滓覂煞N商品的原價(jià)各是多少元？【解析】 方法：設(shè)甲乙兩種商品原來價(jià)格分別為元，元，根據(jù)漲價(jià)后價(jià)格比為，列方程得，解得，所以原來兩種商品的原價(jià)各是元，元方法：設(shè)甲乙兩種商品原價(jià)各是元,元，依題意列方程組得解得甲乙兩種商品原價(jià)各是元,元方法：由于原來兩種商品相差份，漲價(jià)后相差份，由于漲價(jià)錢數(shù)相同，所以應(yīng)漲份，所以原來兩種商品的價(jià)格比，漲價(jià)后價(jià)格比，所以價(jià)格漲了份，恰是元，所以份是元，所以原來兩種商

18、品的價(jià)格各是為元，元【鞏固】 兄弟兩人每月收入比，支出錢數(shù)比，他們每月都節(jié)余元，求兄弟兩人月收入各多少？【解析】 方法:設(shè)兄弟兩人每月收入分別為元，元，根據(jù)支出錢數(shù)比列方程得，解得，所以兄弟兩人收入各是元，元方法A：設(shè)兄弟兩人月收入各是元，元根據(jù)兩個(gè)比例列方程得解得所以兄弟兩人收入各是元，元方法：由于兄弟結(jié)余相同，所以兄弟收入差和支出差相同，而收入差為份，支出差為份，所以收入差應(yīng)為和支出差應(yīng)為份，所以兄弟收入比為，所以結(jié)余應(yīng)為份對應(yīng)元，所以份就是元，所以兄弟兩人月收入各是元，元【例 17】 求方程3x5y31的整數(shù)解【解析】 方法一：利用歐拉分離法，由原方程，得 x，即 x102y，要使方程有

19、整數(shù)解必須為整數(shù)取y2，得x102y10417，故x7，y2當(dāng)y5，得x102y101022，故x2，y5當(dāng)y8，得x102y10163無解 所以方程的解為：方法二：利用余數(shù)的性質(zhì)3x是3的倍數(shù)，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根據(jù)這個(gè)情況用余數(shù)的和與乘積性質(zhì)進(jìn)行判定為：取y1，2y2，2÷302（舍） y2，2y4，4÷311（符合題意） y3，2y6，6÷32（舍）y4，2y8，8÷322（舍）y5，2y10，10÷331（符合題意）y6，2y12，12÷34（舍）當(dāng)y6時(shí)，結(jié)果超過31，不符合題意。所以方

20、程的解為：【例 18】 解方程 （ 其中a、b、c均為正整數(shù) ）【解析】 根據(jù)等式的性質(zhì)將第一個(gè)方程整理得，根據(jù)消元的思想將第二個(gè)式子擴(kuò)大4倍相減后為：，整理后得，根據(jù)等式性質(zhì)，為偶數(shù)，20為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，所以為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以無解。所以方程解為【例 19】 解不定方程 (其中x、y、z均為正整數(shù))【解析】 根據(jù)等式的性質(zhì)將第一個(gè)方程整理得，根據(jù)消元思想與第二個(gè)式子相減得，根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)除以2得：，根據(jù)等式性質(zhì)為4的倍數(shù)，100為4的倍數(shù)，所以為4的倍數(shù)，所以為4的倍數(shù)試值如下【例 20】 某公交車起點(diǎn)站已停放10輛公交車，第一輛公交車開出后，每隔8分鐘就有一輛公交車開

21、出，在第一輛公交車開出4分鐘后，有一輛公交車進(jìn)站，以后每隔12分鐘就有一輛公交車進(jìn)站，回站的公交車在原有的公交車依次開出之后又依次每隔8分鐘開出一輛，問：第一輛公交車開出后，經(jīng)過多少時(shí)間，車站第一次不能正點(diǎn)發(fā)車？【解析】 假設(shè)第一輛公交車開出分鐘后車站無車可發(fā)，可列方程：，解得第一輛公交車開出后第232分鐘可以發(fā)一趟車，到第240分鐘時(shí)就無車可發(fā)了，所以答案是經(jīng)過240分鐘后車站第一次不能正點(diǎn)發(fā)車【鞏固】 某工廠接到任務(wù)要用甲、乙兩種原料生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品共件，已知每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需甲原料千克和乙原料千克；每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需甲原料千克和乙原料千克現(xiàn)在工廠里只有甲原料千克和乙原料千克，那么該工廠利用這些

22、原料，應(yīng)該生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品各多少件，才能完成任務(wù)？請求出所有的生產(chǎn)方案【解析】 設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品件，則生產(chǎn)產(chǎn)品件共需要甲原料千克，需要乙原料千克為避免原料不夠用，則，解得由于是整數(shù)，所以共有3種方案：生產(chǎn)產(chǎn)品30件，產(chǎn)品20件；生產(chǎn)產(chǎn)品31件，產(chǎn)品19件；生產(chǎn)產(chǎn)品32件，產(chǎn)品18件【例 21】 如圖，圖中、和分別代表包含該數(shù)字的三個(gè)三角形的面積試問：包含這個(gè)字母的四邊形面積是多少？ 【解析】 如圖，設(shè)虛線把四邊形分成面積為、的兩個(gè)三角形.利用同高的兩個(gè)三角形面積之比等于相應(yīng)底邊之比，可得：（可化簡為）和（可化簡為），由這兩條方程構(gòu)成方程組：，方程組可解得：，所以四邊形的面積為.【鞏固】 三角形中，問：

23、 【解析】 根據(jù)題意，直接建立與的聯(lián)系是解答本題的關(guān)鍵，因?yàn)?，所以連接后，既可以使與建立聯(lián)系，又可使四邊形與也建立聯(lián)系.設(shè)，則：，.根據(jù)題意，可列方程：，方程解得，所以四邊形的面積等于，同理四邊形的面積和四邊形的面積都是，所以剩下的三角形的面積為.【例 22】 甲、乙、丙三個(gè)人玩三張牌，這三張牌分別寫著不同的自然數(shù)，洗牌后發(fā)給每人一張，按每人所拿的自然數(shù)得分，重復(fù)玩了次后，甲共得分，乙和丙各得分，那么這三張牌上寫的數(shù)是哪三個(gè)數(shù)？【解析】 三張牌上的三個(gè)數(shù)之和是 因?yàn)椴荒苷?，所以甲、乙、丙誰也不可能三次拿到同一張牌，又因?yàn)檎l也沒有拿到三張牌各次，所以三人都是拿了某張牌兩次、另一張牌一次設(shè)三張

24、牌從大到小寫的數(shù)依次為、.由乙、丙各得分，推知乙、丙的三張牌是、和、.則甲的三張牌是、.由得.由得，從而. 將代入、得，. 所以，三張牌從大到小寫的數(shù)依次是，.【例 23】 三張卡片上分另標(biāo)有、數(shù)碼(整數(shù))且，游戲時(shí)將三張卡片隨意分發(fā)給、三個(gè)人，每人各一張，根據(jù)每個(gè)人得到卡片上的數(shù)碼數(shù)分別給他們記分，如此重復(fù)游戲若干輪，結(jié)果、三人得分總數(shù)分別為20、10、9已知在最后一輪的得分是，那么 在第一輪得分是；（2）、分別是 、 、 【解析】 三人總分為如果游戲進(jìn)行了39或13輪，則或3，與矛盾；如果游戲只進(jìn)行了1輪，則，被得到，與“在最后一輪的得分是”矛盾所以游戲進(jìn)行了3輪，且因?yàn)楣驳?0分，且最后

25、一次得分，所以前兩次都得分，否則三次至少得13分因?yàn)槿慰偡直壬?，所以沒得過分，前兩次都得分，即第一輪得分的是假設(shè)三次都得，由得和得，解得，與矛盾，所以前兩次得，最后一次得由解得，【例 24】 購買3斤蘋果，2斤桔子需要元；購買8斤蘋果，9斤桔子需要元，那么蘋果、桔子各買1斤需要 元.【解析】 假設(shè)購買1斤蘋果、桔子分別需要元、元，則：，兩式相加得，即。所以各買1斤需要元。點(diǎn)評：從上面的過程可以看出，本題可以直接采用算術(shù)解法：買斤蘋果和斤蘋果，須元，所以各買1斤需要元.【例 25】 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲件、乙件、丙件，共需元；若購甲件、乙件、丙件，共需元；則購買甲、乙、丙各件，共需要

26、元?！窘馕觥?設(shè)甲、乙、丙的單價(jià)分別為，則，由得，即各買一件需要元。點(diǎn)評：本題實(shí)際上是三元一次方程，但整體代入消元的思想與二元一次方程是相同的。【例 26】 假設(shè)五家共用一井取水，甲用繩根不夠，差乙家繩子根；乙用繩根不夠，差丙家繩子根；丙用繩子根不夠。差丁家繩子根；丁用繩子根不夠，差戊家繩子根；戊用繩根不夠，差甲家繩子根如果各得所差的繩子根，都能到達(dá)井深問井深，繩長各是多少？（井深為小于的整數(shù)）【解析】 依次設(shè)甲、乙、丙、丁、戊家繩長為、，井深，則可列出方程組如下：這個(gè)方程組不是二元一次方程組，但是解方程組的思想方法與二元一次方程組相同，依次迭代，代入最后一個(gè)式子，即，所以，于是，【例 27】

27、 在同一路線上有個(gè)人:第一個(gè)人坐汽車，第二個(gè)人開摩托車，第三個(gè)人乘助力車，第四個(gè)人騎自行車，各種車的速度是固定的，坐汽車的時(shí)追上乘助力車的，時(shí)遇到騎自行車的，而與開摩托車的相遇是時(shí)開摩托車的遇到乘助力車的是時(shí)，并在時(shí)追上騎自行車的，問騎自行車的幾時(shí)遇見乘助力車的？【解析】 時(shí)以前的位置關(guān)系對于這個(gè)問題的解決不起任何作用，所以我們從時(shí)開始考慮設(shè)汽車、摩托車、助力車、自行車的速度分別為、，設(shè)在時(shí)騎自行車的與坐汽車的距離為，騎自行車的與開摩托車的之間的距離為有得到，即設(shè)騎自行車的在時(shí)遇見騎助力車的，則，即，所以所以騎自行車的在時(shí)分遇見騎助力車的【例 28】 河水是流動的，在點(diǎn)處流入靜止的湖中，一游泳

28、者在河中順流從到，然后穿過湖到，共用小時(shí)若他由到再到，共需小時(shí)如果湖水也是流動的，速度等于河水的速度，那么從到再到需小時(shí)問在這樣的條件下，從到再到需幾小時(shí)？【解析】 設(shè)游泳者的速度為，水速為，則有：且有、均不為得，即得，即由、得：，即于是，由得： 小時(shí)即題中所述情況下從到再到需小時(shí)課后練習(xí)：練習(xí)1. 丁丁和玲玲兩人摘蘋果，丁丁說：“把我摘的蘋果給玲玲7個(gè)，玲玲摘的蘋果的個(gè)數(shù)就是我的2倍”玲玲說：“把我摘的蘋果給丁丁7個(gè)，他的蘋果個(gè)數(shù)就和我的一樣多了”問丁丁和玲玲各摘了多少個(gè)蘋果？【鞏固】 設(shè)丁丁摘了個(gè)蘋果，由題意得：即丁丁摘了個(gè)蘋果，而玲玲的蘋果個(gè)數(shù)為(個(gè))練習(xí)2. 大強(qiáng)參加6次測驗(yàn)，第三、四

29、次的平均分比前兩次的平均分多2分，比后兩次的平均分少2分如果后三次的平均分比前三次的平均分多3分，那么第四次比第三次多得多少分？【解析】 設(shè)第三次分?jǐn)?shù)是a分，第四次的分?jǐn)?shù)為分，則前兩次的分?jǐn)?shù)之和分，最后兩次的分?jǐn)?shù)之和分，有，解得，即第四次比第三次多得1分練習(xí)3. 兒子與父親下圍棋，雙方約定父親勝一局就得2分，兒子勝一局得8分，負(fù)的一方不管是誰都要扣1分，比賽24局以后，父子得分相同，問他們各勝幾局？【解析】 法一：設(shè)兒子勝了局，輸了局，父親勝了局，輸了局，則由得分關(guān)系得，解得，所以兒子贏了6局，父親贏了18局法二：本題中要求兒子和父親各勝多少局，可分別設(shè)兩個(gè)未知數(shù)為和，要求兩個(gè)未知數(shù)的值，一般

30、要根據(jù)不同的等量關(guān)系列出兩個(gè)方程題中兒子、父親比賽的總局?jǐn)?shù)是24局，可列出一個(gè)方程：另外，兩人的得分相同，兒子勝的局?jǐn)?shù)正好是父親負(fù)的局?jǐn)?shù)，由此列出另一個(gè)方程：所以可列出方程組：將變形為，代入，得，解得，所以所以兒子勝了6局，父親勝了18局練習(xí)4. 一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)剩下的羊中，公羊與母羊的只數(shù)比是；過了一會兒跑走的公羊又回到羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又?jǐn)?shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)公羊與母羊的只數(shù)比是這群羊原來有多少只？【解析】 設(shè)原來公羊有只，母羊有只，那么根據(jù)題目條件有以下數(shù)量關(guān)系：根據(jù)有關(guān)比例性質(zhì)，方程組可化簡為：，所以這群羊原來有只.練習(xí)5. 有甲、乙、丙三堆石子，從甲堆中取出8個(gè)給乙堆后，甲、乙兩堆的石子數(shù)就相等了；再從乙堆中取出6個(gè)給丙堆，乙、丙兩堆的石子數(shù)也相等；此時(shí)又從丙堆中取2個(gè)給甲堆，使甲堆石子數(shù)是丙堆石子數(shù)的2倍，問：原來甲堆有多少個(gè)石子？【解析】 解：設(shè)