從高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸題看數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

1、從高考從高考“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸題看數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)壓軸題看數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng) 邱婉珠 【摘要】核心素養(yǎng)下的高考對學(xué)生的綜合素養(yǎng)提出了新的要求，“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸題是高中數(shù)學(xué)考查學(xué)生綜合素養(yǎng)的很好途徑.本文將以 20162019 四年高考理科全國卷為例來看高考中“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸題對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查情況.得出如下結(jié)論：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題主要考查學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”和“邏輯推理”核心素養(yǎng);高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“邏輯推理”核心素養(yǎng)的考查要求有下降的趨勢. 【關(guān)鍵詞】高考;函數(shù)與導(dǎo)數(shù);數(shù)學(xué)運(yùn)算;邏輯推理 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）（以下簡稱“新課標(biāo)”）以六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心

2、素養(yǎng)為主題，分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，并且新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.那么在高考全國卷中對學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是如何考查的呢？由于全國除了海南采取半自主命題，浙江、上海、江蘇、北京、天津采取自主命題外，其余省份陸續(xù)于 2016 年采取全國卷，其中河北、安徽、湖北、福建、湖南、山西、江西、廣東、河南、山東從 2016 年開始采取了全國卷對當(dāng)?shù)乜忌M(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測.故本文將從 20162019 近四年高考理科全國卷的“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸題這一處于高考的重點(diǎn)熱點(diǎn)考點(diǎn)為例來

3、看高考對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，并給出積極教學(xué)、提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的幾點(diǎn)總結(jié). 一、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng) 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立又相互交融，是一個有機(jī)的整體.在高考中“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸題主要考查學(xué)生的“邏輯推理”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)，接下來將對這兩個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行簡單的介紹. （一）“邏輯推理”核心素養(yǎng)的內(nèi)涵 “邏輯推理”是指從一些事實(shí)和命題

4、出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類，分別是從特殊到一般的推理，推理形式主要是歸納和類比以及從一般到特殊的推理，推理形式主要是演繹.“邏輯推理”是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證，是人們在數(shù)學(xué)活動中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì). 學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會有邏輯地思考問題;能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò);形成重論jp3據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強(qiáng)交流能力. （二）“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的內(nèi)涵 “數(shù)學(xué)運(yùn)算”是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要是對運(yùn)算對象的理解

5、，對運(yùn)算法則的掌握，對運(yùn)算思路的探究，對運(yùn)算方法的選擇，對運(yùn)算程序的設(shè)計以及得出運(yùn)算結(jié)果等.“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，是演繹推理，用計算機(jī)解決問題的基礎(chǔ). 學(xué)生通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力;有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題;通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神. 二、試題呈現(xiàn)與分析 （一）試題呈現(xiàn) 例 1 （2016 年高考數(shù)學(xué)全國卷理科第 21 題）已知函數(shù) f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2 有兩個零點(diǎn). （1）求 a的取值范圍; （2）設(shè) x1，x2 是 f（x）的兩個零點(diǎn)，證明：x1+x22. 本題主要通

6、過分類討論思想考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的不等式等基礎(chǔ)知識.第一問主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和分類討論思想，第二問是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識證明不等式. 例 2 （2017 年高考數(shù)學(xué)全國卷理科第 21 題）已知函數(shù) f（x）=ae2x+（a-2）ex-x. （1）討論 f（x）的單調(diào)性; （2）若 f（x）有兩個零點(diǎn)，求 a的取值范圍. 解法 （1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論，即可求得 f（x）的單調(diào)性; 本題是對導(dǎo)數(shù)的綜合考查，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性及最值考查學(xué)生的分類討論思想，通過零點(diǎn)的判斷考查學(xué)生的計算能力. 例 3 （2018 年高考數(shù)學(xué)全國卷理科第 21 題）已知函數(shù) f（x）=1 x

7、-x+alnx. （1）討論 f（x）的單調(diào)性; （2）若 f（x）存在兩個極值點(diǎn) x1，x2，證明：f（x1）-f（x2） x1-x2 a-2. 解法 （1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系對參數(shù) a進(jìn)行分類討論. （2）將不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值得以證明. 本題主要考查對函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)與不等式的綜合，通過分類討論的思想判斷函數(shù)的單調(diào)性;通過極值點(diǎn)的判斷結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力. 例 4 （2019 年高考數(shù)學(xué)全國卷理科第 20 題）已知函數(shù) f（x）=sinx-ln（1+x），f（x）為 f（x）的導(dǎo)數(shù).證明：

8、（1）f（x）在區(qū)間-1，2 存在唯一極大值點(diǎn); （2）f（x）有且僅有 2 個零點(diǎn). 本題通過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想，通過求導(dǎo)解決函數(shù)的極值與零點(diǎn)的相關(guān)問題，來考查學(xué)生的邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力. （二）試題分析 近幾年，以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)命制的壓軸題占據(jù)著高考數(shù)學(xué)的制高點(diǎn)，這些試題是命題專家將高中知識與大學(xué)知識進(jìn)行巧妙結(jié)合，常常以高等數(shù)學(xué)知識為背景精心設(shè)計的問題，注重考查學(xué)生的“四能”以及學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和探究、創(chuàng)新意識.本文主要研究高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一壓軸題是如何對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行考查. 由試題呈現(xiàn)我們可以知道，近四年高考數(shù)學(xué)全國卷理科卷對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查均是兩個問題組成，其

9、中第二個問題均需要在解決第一個問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行解答.通過分析我們發(fā)現(xiàn)，前三年關(guān)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)均作為必答題的最后一道壓軸題，并且第一個問題均是要經(jīng)過對參數(shù)的分類討論從而對問題進(jìn)行解答，主要運(yùn)用分類討論思想，學(xué)生通過掌握基本形式和規(guī)則，探索和表述解題過程，理解命題體系，有邏輯地解答，主要是對學(xué)生的“邏輯推理”核心素養(yǎng)的考查.第二個問題在第一個問題的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)等知識，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，考查學(xué)生推理論證以及運(yùn)算能力，學(xué)生通過理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路最終求得運(yùn)算結(jié)果，主要是對學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)的考查.對 2019 年高考數(shù)學(xué)全國卷理

10、科卷，相對前三年有些許變化.在試題分布方面，2019 年全國理科卷分布在必答題的導(dǎo)數(shù)第二題，即 20 題;在試題的題干中，函數(shù)并不存在參數(shù)，而是一個具體的函數(shù)表達(dá)式;在試題的問題設(shè)置上并不存在明顯的討論題目. 雖然 2019 年全國卷理科卷關(guān)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查相比于前三年的試題發(fā)生了些許變化，但是所謂萬變不離其宗，對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查仍位于高考壓軸題的地位，對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)極值、最值、零點(diǎn)、單調(diào)性等知識的考查，具有較強(qiáng)的綜合性，難度較大，通過對函數(shù)求導(dǎo)再求導(dǎo)，結(jié)合單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理，證明 f（x）在區(qū)間jb（-1， 2 存在唯一極大值點(diǎn)，要求學(xué)生通過對運(yùn)算對象的理解、運(yùn)算法則的掌握、運(yùn)算思

11、路的探究、運(yùn)算方法的選擇，設(shè)計運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果，得以證明結(jié)論，主要對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的考查.通過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，推斷出 x，f（x）和 f（x）的變化情況表，從而證明 f（x）在定義域內(nèi)有且僅有 2 個零點(diǎn)，要求學(xué)生掌握基本形式和規(guī)則，學(xué)會對論證過程的表述和探索，對命題體系的理解，能夠有邏輯地表達(dá)證明過程并得出證明. 三、總結(jié)提升 筆者將結(jié)合前面的試題分析做出如下的總結(jié)： （1）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題主要考查學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”與“邏輯推理”核心素養(yǎng)，對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識的考查相對比較綜合，難度較大.學(xué)生在平時做此類型的題時，要注重對“數(shù)學(xué)運(yùn)算”與“邏輯推理”核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

12、筆者通過對學(xué)生答題卡進(jìn)行分析以及對部分學(xué)生的訪談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解決此類題型時，理解了解題思路就認(rèn)為完成了任務(wù)，懶于下筆、懶于反思，這將不利于學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”與“邏輯推理”的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不利于學(xué)生對此類題的思考，在今后仍然對此類題無從下手.所以筆者建議學(xué)生應(yīng)該勤下筆、勤反思，多計算、多思考，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)、“邏輯推理”核心素養(yǎng)，爭取學(xué)會舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神，靈活解決問題. （2）高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“邏輯推理”核心素養(yǎng)的考查要求有下降的趨勢.20162018 年關(guān)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查試題均分布在必答題的最后一道題，即 21題，難度較大;2019 年關(guān)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查試題分布在必答題的倒數(shù)第二道題，即 20題，難度相比前三年有所降低.前三年所給出的函數(shù)含有參數(shù)，需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，解決問