第九章二次曲線

1、 在這一章里，我們將討論在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中常遇見(jiàn)的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，主要是學(xué)習(xí)掌握它們的定義、方程、性質(zhì)、圖形及一些應(yīng)用.第一節(jié) 圓第二節(jié) 橢圓第三節(jié) 雙曲線第四節(jié) 拋物線第五節(jié) 曲線與方程第一節(jié) 圓一、圓的方程 平面內(nèi)與定點(diǎn) 的距離等于定長(zhǎng) 的點(diǎn)的軌跡稱為圓.定點(diǎn)稱為圓心,定長(zhǎng) 稱為圓的半徑.圓心確定圓的位置,而半徑確定圓的大小.有了圓心和半徑,這個(gè)圓就可以確定了.現(xiàn)在我們研究怎樣用方程來(lái)表示圓的問(wèn)題.CrCr,.,Ca,brP x y 如圖9-1所示,設(shè)圓心 的坐標(biāo)為 圓的半徑為 為圓上任意一點(diǎn)則由圓的定義 有CPr 圖9-1 圓的形式示意Oxyr,Ca b,Px y,:由兩點(diǎn)

2、間距離公式 得22xaybr,兩邊平方 得22291 xaybr,這就是圓心為半徑為 的圓的標(biāo)C a br準(zhǔn)方程0,當(dāng)時(shí) 可得圓心在原點(diǎn) 半徑為 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為abr22292 xyr9 1,把式展開(kāi) 得22222220 xyaxbyabr2222 ,2 ,.,設(shè)代入上式 得Da Eb Fabr 22093 xyDxEyF93式稱為圓的一般方程22,.;(2).從式 9-3 可知 圓的方程是一個(gè)關(guān)于 和 的二次方程且(1)x 與項(xiàng)的系數(shù)相等不含項(xiàng)xyyxy,可以通過(guò)配方 把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.(1),5;(2),3.CrCr依照下面所給的圓心和半徑,寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 圓心-2,3 圓

3、心0,-1例1 解 22(1),2,3,5,325;abrx+y 圓心 -2,3 就是又所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是222(2),313. 圓心 0,-1的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是rxy2224830.求圓2的圓心和半徑xyxy例2 通過(guò)配方,圓的方程可化為:222124432802 xxyy2222213212213,12.2所以所以xyxy139 1,.2與式比較,得:所求圓心為 1,2 半徑r22222,9 1,35,13. 注意 方程的右邊是即半徑為平方.不能把例1中的方程寫成+2或也不能說(shuō)例2中13的半徑 =2rxyxyr解,6,4 ,. 已知兩點(diǎn)2,-2求以為直徑的圓的方程ABAB例3解 由中點(diǎn)坐標(biāo)公

4、式,得2,122+ -6-2+4 2a=b= ,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式 可得圓的半徑2226245.12r= 22,:2125.由式 9-1 所求圓的方程為xyAB, a,b .所求圓的圓心在直徑的中點(diǎn)222,.,xybr 現(xiàn)在 我們已經(jīng)掌握了圓的方程的兩種表達(dá)形式就是說(shuō)任何一個(gè)圓,都可以寫成標(biāo)準(zhǔn)式-a或一般式220 xyDxEyF22,.,a brxyxy 標(biāo)準(zhǔn)式的特點(diǎn) 就在于它具有鮮明的幾何意義 從形式上可以看出圓心和半徑 一般式的特點(diǎn) 就在于它的 與 項(xiàng)的系數(shù)相同,且不含 項(xiàng),掌握它,我們可以很容易地在一般的二元二次方程中分辨出哪些是圓的方程.哪些不是圓的方程.在解決圓的問(wèn)題時(shí),有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)式

5、方便,有時(shí)用一般式方便,要根據(jù)具體問(wèn)題妥善選擇.93 ,a,b,rD,E,F 在上一章里,我們知道決定一條直線需要兩個(gè)條件.那么,決定一個(gè)圓,需要幾個(gè)條件?觀察圓的方程 9-1 和方程它們分別含有三個(gè)待定常數(shù)或.示圓的方程,就是要確定這三個(gè)待定常數(shù),而求一個(gè)常數(shù)需要一個(gè)條件,因此決定一個(gè)圓,需要三個(gè)獨(dú)立的條件.1232,2 ,5,3 ,3, 1.(!) 求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程并指出它的圓心和半徑不知道圓心和半徑故利用圓的一般式方程.MMM例4 解220 xyDxEyF 因?yàn)槿c(diǎn)都在這個(gè)圓上,它們的坐標(biāo)都適合這個(gè)方程,把三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入方程,得222222222053530,31302DEFDEF

6、DEF 2285334.310即DEFDEFDEF 123,MMM 設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為解這個(gè)方程組得:-8,-2,12.D=E=F =2282120.所求圓的方程為:xyxy222,:415.配方后 得xy,5.可知圓心為 4,1 半徑為 知道了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還可以根據(jù)一點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系來(lái)判斷該點(diǎn)在圓上、圓內(nèi)，還是圓外.二、平移變換9 192 ,92.,9 1 .92.ra bC 對(duì)比一下式和式這兩個(gè)方程表示的圓,它們的半徑都是 ,是兩個(gè)等圓,在同一坐標(biāo)系中,由于圓心的位置不同,它們的方程就不同,而且一簡(jiǎn)一繁,對(duì)于式 9-1 來(lái)說(shuō) 如果把坐標(biāo)原點(diǎn)選在點(diǎn) 那么這個(gè)圓的方程也會(huì)具有式的

7、形式這就是說(shuō),我們把原來(lái)的坐標(biāo)系平移到以 a,b 為原點(diǎn)的新坐標(biāo)系 就可以化簡(jiǎn)式同時(shí)也找到了式 9-1 和式的內(nèi)在聯(lián)系 下面我們就來(lái)研究改變坐標(biāo)系位置的一種方法.這種方法不改變坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位，把坐標(biāo)系的原點(diǎn)移到某一個(gè)定點(diǎn)，而得到一個(gè)新坐標(biāo)系.稱這種方法為坐標(biāo)系的平移變換.簡(jiǎn)稱移軸.（！圖形不變，坐標(biāo)變.）.,POOxyx,yOO x yx yOOPP 如圖9-2所示, 是平面上任意一點(diǎn),在以 為原點(diǎn)的坐標(biāo)系 中,它的坐標(biāo)是在以 為原點(diǎn)的坐標(biāo)系 中 它的坐標(biāo)是很明顯,如果 與 不重合 點(diǎn)的舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)也不一樣.那么在兩個(gè)不同的坐標(biāo)系中, 點(diǎn)的新,舊坐標(biāo)之間有什么關(guān)系呢?這個(gè)問(wèn)題解決了,

8、方程之間的聯(lián)系也就清楚了.圖9-2 坐標(biāo)系的平移變換Oxyxy00,Ox yP00, 設(shè)點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為這時(shí) 同一點(diǎn) 在兩個(gè)不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)之間的關(guān)系是:OOxyxyP000940或 x = x- xx= xxyyyy = y- y這就是坐標(biāo)平移變換的公式，簡(jiǎn)稱移軸公式.4,5 .3, 293 . 平移坐標(biāo)軸,把原點(diǎn)移到求點(diǎn)的新坐標(biāo)OA 例504,5.x=y=xy 0 這里3,-2,94 ,:根據(jù)移軸公式得00347,257xxxyyy 3, 27, 7 .所以點(diǎn)的新坐標(biāo)為A圖9-3 例5題圖形OxyyOx5-4解2,0 .Oxy 平移坐標(biāo)軸,把原點(diǎn)移到求直線3 -4 -6=0關(guān)于新坐標(biāo)

9、系的方程.例6 ,:xyx,yx,yx y 如圖9-4所示,方程3 -4 -6=0是直線上一切點(diǎn)的舊坐標(biāo)所具有關(guān)系.而舊坐標(biāo)與新坐標(biāo)之間有下列關(guān)系 2,xxyy,把上式代入原直線方程 就可得到直線上所有點(diǎn)的新坐標(biāo)所具有的關(guān)系,即x ,y4603+2xy:340.xy 整理得這就是所給直線關(guān)于新坐標(biāo)系的方程圖9-4 例6題圖形OxyyO3 -4 =6xy解22,4240,. 平移坐標(biāo)軸,把原點(diǎn)移到2,1 設(shè)一圓在舊坐標(biāo)系中的方程是求該圓在新坐標(biāo)系中的方程并作出新舊坐標(biāo)軸和圓的圖形.Oxyxy 例7x= x+y= y-把2,1代入圓的方程得: 2214221402x +yxy22:9,.(!,)化

10、簡(jiǎn)后得這就是圓在新坐標(biāo)系中的方程把新原點(diǎn)放在圓心 方程簡(jiǎn)單xy95. 新舊坐標(biāo)軸和圓的圖形如圖所示圖9-5 例7題圖形OxyyOx解習(xí) 題思考題：課堂練習(xí)題：1.,.寫出圓的三種形式方程 并指出圓心 半徑2.寫出新坐標(biāo)表示原坐標(biāo)的移軸公式.1.3,-5 ,4.求圓心在點(diǎn)半徑等于 的圓的方程222320. 2 2的圓心 半徑求,.圓yyx 3.3, 4 ,:平移坐標(biāo)軸,把原點(diǎn)移到求下列各點(diǎn)新坐標(biāo)O(1);(2) 3, 4 ;(3) 5,2 ;(4) 3, 2 . OABC0,0 答 案答 案答 案答 案答 案第二節(jié) 橢 圓橢圓形是一種常見(jiàn)的幾何圖形,在許多實(shí)際問(wèn)題中都會(huì)遇到它.例如圓形的物體在陽(yáng)

11、光下的影子一般地說(shuō)都是橢圓形.又如發(fā)射人造地球衛(wèi)星時(shí),只要衛(wèi)星脫離運(yùn)載火箭時(shí)的速度大于7.9km/s,小于11.19km/s ,那么衛(wèi)星就會(huì)沿著橢圓軌道繞地球運(yùn)行.下面就來(lái)研究橢圓的方程和它的性質(zhì)等問(wèn)題.一、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的定義12,F ,F 如圖9-6所示,取一條沒(méi)有伸縮性的繩子,將它們的兩端分別固定在平板上的 兩點(diǎn) 用鉛筆尖把繩子拉緊,移動(dòng)一周則筆尖畫出的曲線就是橢圓.12 在上面橢圓的畫法中,我們可以看到,曲線上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和都等于一個(gè)常數(shù),即繩子的長(zhǎng)度.根據(jù)橢圓的這一幾何特征,可以得到橢圓的定義.F ,F 定義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為橢

12、圓.兩個(gè)定點(diǎn)，稱為橢圓的焦點(diǎn).2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1212,97FFxFFy 以過(guò)兩焦點(diǎn) 和 的直線為 軸 線段 的垂直平分線為 軸 建立直角坐標(biāo)系 如圖所示.圖9-6 橢圓的形成示意M1F2F121220 ,0,0 .FFc cF Fcc 設(shè)則的坐標(biāo)分別為和12,2 ,M x ya acMFMFa 設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)它到兩焦點(diǎn)的距離之和為2那么根據(jù)橢圓的定義 有22222即 x-cyxcya:化簡(jiǎn)得22222222.acxa yaac22220,0.因?yàn)樗约碼cacac97x圖 焦點(diǎn)在 軸上的橢圓Oxy1F2F,Mx y222220,:令代入上式 兩邊同除以得acbba b22221095

13、xyabab95方程稱為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.20,0,981 如果橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在y軸上,且焦點(diǎn)為F如圖所示.完全類似地,可得:cFc22221096xyabba 96.y 方程稱為焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程98y圖 焦點(diǎn)在 軸上的橢圓同Oxy1F2F22295, , ,:在式和式 9-6 中均滿足a b cabc(!) 可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小判定橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上.23,0 ,3,0 ,10FFM1 已知橢圓的焦點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn) 到兩焦點(diǎn)的距離之和是,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例1x這是焦點(diǎn)在 軸上的橢圓.因此設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22221xyab22225916, 由已知條件:3;

14、210,從而得 5.c=a=a=bac,:因此 所求的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是2212516xy解二、橢圓的幾何性質(zhì)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程222210 xyabab來(lái)研究橢圓的性質(zhì). 1.范圍 由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（9-5）得22221,1 xyab即 , - -axabyb,99因此橢圓應(yīng)在四條直線所圍成的矩形內(nèi) 圖xa yb 圖9-9 橢圓性質(zhì)的圖形示意Oxy,Mx y1,Mx y1A2A1B2B1F2F2.對(duì)稱性95,xx,M x,yyMx,yyyyxxyx,y1 在方程中以- 代替 方程不變,它說(shuō)明,當(dāng)在橢圓上時(shí) 它的關(guān)于 軸的對(duì)稱為-也在橢圓上.因而橢圓是關(guān)于 軸對(duì)稱的.同理,以 - 代替 ,方程也不

15、變,說(shuō)明橢圓也是關(guān)于 軸對(duì)稱的.同時(shí)以 - ,- 分別代替 , 方程也不變,說(shuō)明橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.xy 因此,橢圓有兩條對(duì)稱軸,即 軸, 軸.兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為橢圓的中心.式 9-5 的橢圓中心在原點(diǎn)3.頂點(diǎn) 橢圓和它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)，稱為橢圓的頂點(diǎn).2121212,0,0,0 ,0 ,0,0,.,.1 在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 9-5 中 分別令可以得到橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn),所以是橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)xyAaA aBbBbA A B B1212121212,2 ,2 .2 ,線段分別叫做橢圓長(zhǎng)軸軸有時(shí)也把 叫做橢圓的長(zhǎng)半軸, 叫做橢圓的短半軸.稱為橢圓, 也叫做橢圓A A B BA AaB Bbab

16、FFcc的和短.,的焦距的半焦距.橢圓的焦點(diǎn)一定在長(zhǎng)軸上.如圖9-9所示.4.離心率222.,ab.bbaacbcbacaaae 橢圓形狀的扁平程度與它的長(zhǎng)半軸 和短半軸 有關(guān)系橢圓的短半軸 與長(zhǎng)半軸 的比值 越小,橢圓就越扁平.由于 也可以由 決定 的大小一般地 把 叫做橢圓的離心率 記作 .ce=a0,01,因?yàn)樗杂蒫ae2211bceaa,0,.,.可知 當(dāng) 的值越接近于1, 就越接近0,橢圓越扁平 當(dāng) 接近于 時(shí)接近于1,這時(shí)差不多大小,橢圓就越接近圓.當(dāng)時(shí),c=0,=0因此 圓也可以看作是離心率0的橢圓beeaba,ba=baceea244 求橢圓的長(zhǎng)半軸 ,短半軸 ,半焦距 ,頂

17、點(diǎn),焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率xyabce. 例2 把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式22141xy3,2,1,4 13,.2這里cabcea ,3,0 ,3,0 ,2,0 , 0,1 , 0, 1 . 橢圓的長(zhǎng)軸在 軸上 所以 焦點(diǎn)的坐標(biāo)為四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 2,0 x解 1, 3,0 ,3求焦點(diǎn)為 -3,0離心率為 的橢圓方程.例3 222,9,72.cc=e=abace1由已知3,所以3 因?yàn)榻裹c(diǎn)在 軸上,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2218172xy解 地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓.太陽(yáng)在它的一個(gè)焦點(diǎn)上,軌道的近日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離是144百萬(wàn)公里,軌道的遠(yuǎn)日點(diǎn)到太陽(yáng)的距離是149百萬(wàn)公里.求這條軌道的離心率和

18、軌道的方程. 例412,.FAA1 如圖9-10所示,設(shè) 是太陽(yáng)的位置 是近日點(diǎn) 是遠(yuǎn)日點(diǎn) 就是橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn) 112,.OFc OAaF AF A111 因?yàn)榍?144=149,=149所示 解之得 =146.5, =2.5,- =144a+caca c圖9-10 例4的解題圖形O1A2A1F解22146.4.所以b=ac,:所以 軌道的離心率2.55146.5293cea軌道的方程是:22221146.5146.4xy 描繪橢圓，可以根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程用描點(diǎn)法畫出，但這樣做比較復(fù)雜，通常是結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，作出其略圖.步驟如下.(1) 將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2) 作出橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)

19、； (3) 適當(dāng)描出橢圓在第一象限的一些點(diǎn)，再利用對(duì)稱性描出其他象限的點(diǎn)；(4) 用光滑的曲線順勢(shì)連接這些點(diǎn).習(xí) 題思考題：課堂練習(xí)題：1.橢圓的定義?有幾個(gè)頂點(diǎn)?2.直立式,臥式標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?并指出焦點(diǎn)位置?寫出適合下列條件的隨圓方程.1. 4,1,2. 4,15,3. 2, 3,0 ,.焦點(diǎn)在 軸上;焦點(diǎn)在 軸上;經(jīng)過(guò)點(diǎn)焦點(diǎn)在 軸上abxabybAx答 案答 案答 案第三節(jié) 雙 曲 線 雙曲線也是一種常見(jiàn)的曲線.當(dāng)宇宙火箭燃料用完時(shí),如果速度超過(guò)11.19km/s,它就會(huì)沿著一條雙曲線軌道飛出地球的引力范圍.一、雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.雙曲線的定義112,.,FFMFF2取一條拉鏈 先

20、拉開(kāi)一部分 分成兩支,將一支剪短,然后如圖9-11所示,把長(zhǎng)短兩支端點(diǎn)分別固定在平板上的 和 兩點(diǎn) 把筆尖放在 處 筆尖隨著拉鏈的拉開(kāi)和合上 就畫出一條曲線再交換位置 使長(zhǎng)短兩支端點(diǎn)分別固定于 和 兩點(diǎn)同樣畫出另一條曲線.這兩條曲線,就是常見(jiàn)的 雙曲線.2().FF1 從以上作圖可以看出,筆尖移動(dòng)時(shí),它到兩個(gè)定點(diǎn) 和 的距離之差的絕對(duì)值都等于定長(zhǎng) 剪掉的部分 根據(jù)雙曲線的這一幾何特征,我們給出雙曲線的定義.定義121212,()FFFFFF在平面內(nèi),到兩定點(diǎn) 的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng) 小于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙線.兩定點(diǎn) 和 稱為雙曲線 點(diǎn) 的.曲焦圖9-11 雙曲線的形成示意OxyM1F2F2

21、.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1212, 以過(guò)兩焦點(diǎn) 和 的直線為 軸,線段的中點(diǎn)為原點(diǎn) 建立直角坐標(biāo)系.如圖9-12所示.FFxFF 12122 ,0 ,0 . 設(shè)則焦點(diǎn) 和的坐標(biāo)分別為FFcFFcc12,. 設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn) 它到兩焦點(diǎn) 及 的距離之差的絕對(duì)值為定長(zhǎng)20M x yFFa ca,那么 根據(jù)雙曲線的定義 有212MFMFa 即 2222+ -c =2x cyxya912x圖 焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線OxyM1F2F22222222.化簡(jiǎn),得 caxa yaca0,因?yàn)閏a220.所以ca2220 ,令代入上式得cabb2222197 xyab稱式（9-7）為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22、20,0,913.1如果兩焦點(diǎn)在y軸上,且焦點(diǎn)為與如圖所示完全類似地有FcFc2222198 yxab 稱式（9-8）為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (!可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程中平方項(xiàng)的符號(hào)判定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上.)222979 8, , ,:.在式和式中都滿足關(guān)系a b ccab913y圖 焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線OxyM1F2F24,04,0 ,6.1 已知雙曲線的焦點(diǎn)是F和曲線上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差是 求這個(gè)雙曲線的方程F 例1,因此 所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是22197xy2221697.ca 由焦點(diǎn)坐標(biāo)知c=4,又2a=6,a=3.所以b 解二、雙曲線的幾何性質(zhì)根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（9-

23、7）22221xyab來(lái)研究雙曲線的性質(zhì).1.范圍2297:1,:.由式得即或xxaxaa 97.這說(shuō)明雙曲線式在與之間沒(méi)有圖像xaxa 2.對(duì)稱性,.,.,.xyO 與橢圓相同 雙曲線也是關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱的因此 雙曲線有兩條對(duì)稱軸 即 軸 軸 其交點(diǎn)即原點(diǎn) 稱為雙曲線的中心基于對(duì)稱性 我們要討論曲線的變化趨勢(shì)只要在第一象限內(nèi)進(jìn)行就可以了從關(guān)系式22byxaa,xayxy中可以看出當(dāng) 從 開(kāi)始逐漸增大時(shí), 則從0開(kāi)始也隨之逐漸增大.當(dāng) 趨向無(wú)窮時(shí), 也趨向無(wú)窮.可見(jiàn)雙曲線在第一象限內(nèi)是無(wú)限延伸的.或者說(shuō)是無(wú)界的.由對(duì)稱性可知雙曲線在其他象限也是無(wú)界的.3.頂點(diǎn)1212221197,0,0

24、,.0,.0,0,.yxaxAaA aAAxybyyBbBb 在式中 令 得 所以雙曲線與 軸的交點(diǎn)為 0 和 和 兩點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)令 得 方程無(wú)實(shí)根,說(shuō)明方程 9-7 表示的雙曲線與 軸無(wú)交點(diǎn)為研究問(wèn)題方便,在 軸上也取和兩點(diǎn)12,2 .線段稱為雙曲線的實(shí)軸 實(shí)軸長(zhǎng)為AAa12, 線段稱為雙曲線的虛軸 虛軸長(zhǎng)為2 .也稱 為雙曲線的實(shí)軸. 為雙曲線的虛軸.B Bbab半半122 線段長(zhǎng)稱為雙線,c稱為雙線.FFc曲的焦距曲的半焦距雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)都在它的實(shí)對(duì)稱軸上.224100 xy 求雙曲線25的實(shí)軸長(zhǎng),虛軸長(zhǎng),焦距,頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo).例2 將雙曲線方程化為221425xyxa=b=這

25、是焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線方程,2,5.于是22242529,29.cabc ,2,0 ,2,0 ,29,0 ,29,0 .因此 實(shí)軸長(zhǎng)2a=4,虛軸長(zhǎng)2b=10,焦距2c=2 29 頂點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為解4.漸近線 因?yàn)殡p曲線是無(wú)界的,要畫出綜的整個(gè)圖形是不可能的.因此我們只能畫出它的一部分.但對(duì)它的無(wú)限伸延的趨勢(shì)要有一個(gè)了解.我們把式 9-7 化為221bayax 2222,1.aaxxxbyxa當(dāng) 無(wú)限增大時(shí),無(wú)限接近零 因此就無(wú)限接近1.雙曲線就無(wú)限接近于直線: =我們?cè)诘谝幌笙迊?lái)作確切的說(shuō)明.如圖9-14所示.考慮雙曲線22和直線bbyxayxaa,點(diǎn)在雙曲線上在直線上 如果它們的橫坐標(biāo)

26、相等那么M x yL X YxX22bbbYXxxayaaa所以在 下方.且ML22abMLYyxxa圖9-14 第一象限內(nèi)雙曲線的漸近線OxyMFL.因此可見(jiàn)當(dāng)點(diǎn)沿雙曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),它從下方無(wú)限接近直線,但又永遠(yuǎn)不會(huì)跑到直線 =上Mbyxa 所以，我們把這條直線稱為雙曲線的漸近線.根據(jù)對(duì)稱性知道，雙曲線有兩條漸近線：= 和 bbyxyxaa 有時(shí)也寫為2222099 xyab9 9 ,由式我們可以根據(jù)雙曲線方程直接寫出它的漸近線方程.5.離心率. 雙曲線的形狀有的很扁,張的口小;有的很陡,張的口大,張口的大小與漸近線的斜率有關(guān).與橢圓的情形一樣,我們不用而用表示雙曲線的扁平程度bcaa

27、 雙曲線的半焦距與實(shí)半軸這比，稱為雙曲線的離心率，.記作e,即e=ca2,1.1., 因?yàn)樗噪p曲線的離心率且所以 越大就越大,這時(shí)雙曲線的開(kāi)口就越大.bcaeeeaba2216144 求雙曲線9的離心率,漸近線方程.xy例3將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程221169xy222:4,3,25,5.,5:.4abcabccea 由此可知于是因此 雙曲線的離心率223:0.1694雙曲線的漸近方程為或?qū)懗蓌yyx 解10,6,.(!?)exy1 已知雙曲線的離心率 =虛軸長(zhǎng)等于求雙曲3線的標(biāo)準(zhǔn)方程考慮實(shí)軸在 軸還是 軸上 例42222222211.xyxyyxabab 由題意可知,雙曲線的焦點(diǎn)可能在 軸上

28、,也可能在 軸上,所以應(yīng)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或 由已知條件 得:110,3.3cba, ,:由關(guān)系 得a b c22111.,9.93所以bcbaaaa ,:因此 所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為222211.819819或xyyx解三、等軸雙曲線、雙曲線的畫法1.等軸雙曲線,:ab 在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 9-7 中 如果 那么方程變?yōu)?2222221或?qū)懗蓌yxyaaa它的實(shí)軸與虛軸相等，這樣的雙曲線稱為等軸雙曲線.222,:,yxayxe 類似地也是等軸雙曲線.只是它的焦點(diǎn),實(shí)軸在軸上 虛軸在 軸上 可以證明 等軸雙曲線的離心率 = 2 它的兩條漸近線相互垂直.2.雙曲線的畫法 描繪雙曲線,可以根據(jù)雙

29、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,用描點(diǎn)法畫出.通常是利用它的幾何性質(zhì),作出略圖,一般步驟如下.(1) 將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)x=a xa y b yb 作出由直線, =- , = , =- 所圍成的矩形.畫出它的對(duì)角線,兩端延長(zhǎng)即得漸近線; (3)利用雙曲線的范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性和漸近線，畫出雙曲線的略圖., 已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)在 -6,0求它的方程和漸近線方程. 例5x由已知,雙曲線的焦點(diǎn)在 軸上.222226,236,18.xyaccaa 所以所求方程由于所以2218,所以方程為漸近線方程為xy220.或xyyx 解習(xí) 題思考題：課堂練習(xí)題：1.?雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是什么 如何判斷焦點(diǎn)位

30、置2. 雙曲線的半焦距與實(shí)半軸之比是什么意義?它與開(kāi)口有關(guān)嗎?什么叫等軸雙曲線,離心率為多少?求適合下列條件的雙曲線方程:1. 4,3,;焦點(diǎn)在 軸上abx答 案答 案答 案答 案答 案2. 14, 6, ;焦距等于焦點(diǎn)在軸上ax3. 2 5, 2, 5 , .過(guò)點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上aAy第四節(jié) 拋 物 線20 ,.拋物線是我們很熟悉的一種圖形.在代數(shù)里學(xué)習(xí)過(guò)的二次函數(shù)它的圖像就是一條拋物線人造行星在脫離運(yùn)載火箭時(shí),速度大于11.19km/s,它就沿著一條拋物線軌道飛出地球,成為太陽(yáng)系中的一顆人造行星.飛機(jī)空投炸彈,如果不計(jì)空氣阻力,炸彈就沿一條拋物線軌道落到地面.這一節(jié),將研究拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的

31、幾何性質(zhì).y= axbxc a1.拋物線的定義 我們先來(lái)看一種畫拋物線的方法.如圖9-15所示,把一根直尺固定在平板上,用三角尺的一條直角邊緊貼著直尺的邊緣線 .再取一條無(wú)伸縮性且與三角尺另一直角邊等長(zhǎng)的線.將其一端固定在三角尺的頂點(diǎn) ,另一端固定在平面上一點(diǎn) 上,用筆尖沿著邊把線拉緊,同時(shí)將三角尺沿直尺邊 上下滑動(dòng),就畫出一條拋物線.BClACAFACl 從這個(gè)作圖的過(guò)程中可以看出:筆尖移動(dòng)時(shí),曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn) 的距離,始終等于到定直線 的距離.Fl圖9-15 拋物線的形成示意BCAF拋物線的這個(gè)幾何特征可以用來(lái)作為拋物線的定義.定義 如果平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等,那

32、么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做拋線.定點(diǎn) 稱為拋物線的點(diǎn),定直線 稱為拋物線的線Fl物焦準(zhǔn).2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程0 ,0 ,2.FlxxlHHFpHFp pFlpx= 如圖9-16所示,以經(jīng)過(guò)焦點(diǎn) 且垂直于準(zhǔn)線 的直線作為 軸. 軸與 交于 , 取線段 的中點(diǎn)為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系.設(shè)則焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為準(zhǔn)線 的方程為-2,M x ypMld = x 設(shè) 為拋物線上任意一點(diǎn) 到 的距離+根據(jù)拋2物線的定義,有:,= +2pMFx即 ,:化簡(jiǎn) 得229 10 ypx22.22ppxyx -9 10,0 ,.xppxp 式稱為點(diǎn)軸拋線標(biāo),其焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為其中 稱為拋線參數(shù)22焦在正向的物的準(zhǔn)方程物的焦圖9

33、-16 開(kāi)口向右的拋物線OxyFHMl240 求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.yx例1將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式:24 .yx,24,1.因此焦參數(shù)2,焦點(diǎn)坐標(biāo) 1,0準(zhǔn)線方程為pp=x ,.,:一條拋物線由于焦點(diǎn)在平面內(nèi)的位置不同 標(biāo)準(zhǔn)方程也不同當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在 軸負(fù)向時(shí) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2209 11 ypx p ,0 ,2,9 17;2 焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程如圖所示ppx=a圖9-17 幾種開(kāi)口方向不同的拋物線（a）OxyFHMN解當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在 軸正向時(shí),拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2209 12 xpy p 0,9 17;22焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程如圖所示ppyb 圖9-17 （b）OxyFHMN,:當(dāng)拋

34、物線的焦點(diǎn)在 軸負(fù)向時(shí) 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y229 13 xpy 0,9 17.22焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程 =如圖所示ppyc圖9-17 （c）OxyFHMN二、拋物線的幾何性質(zhì)1.范圍29 10:0,00.ypxyxy 由式知由得所以這條拋物線在 軸右側(cè).當(dāng) 增大時(shí), 也增大,因經(jīng)拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸.通常說(shuō)拋物線開(kāi)口向右.2.對(duì)稱性,.yyxx 在式 9-10 中 用 代替 方程不變 這說(shuō)明拋物線關(guān)于 軸對(duì)稱,所以 軸是拋物線 9-10 的對(duì)稱軸3.頂點(diǎn)9 10,00,.,.xy 在式中 令 得 所以拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)原點(diǎn)是拋物線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn) 因此稱原點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)220, 根據(jù)以

35、上討論可知,拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱軸是 軸,開(kāi)口向右.ypx px22,. 類似地,拋物線y的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱軸是 軸 開(kāi)口向左pxx 22拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是 軸,開(kāi)口向上.xpyy22,.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 對(duì)稱軸是 軸 開(kāi)口向下xpyy 求頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸重合于坐標(biāo)軸,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)-2,4 的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2,. 因?yàn)?-2,4 在第二象限 所以拋物線可能開(kāi)口向左 也可能開(kāi)口向上22(1)2.4,8 ;ypxpyx 當(dāng)拋物線開(kāi)口向左時(shí),應(yīng)設(shè)它的方程為 將-2,4 代入得 因此 所求方程為 22(2)2.1,.2xpypxy 當(dāng)拋物線開(kāi)口向上時(shí),應(yīng)設(shè)它的方程為 將-2,4

36、代入得 因此 所求方程為 解三、拋物線的畫法拋物線的畫法步驟如下 .(1) 將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 判定拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸; (3) 描出拋物線上五點(diǎn)：頂點(diǎn)和兩組對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，用光滑的曲線將這些點(diǎn)順勢(shì)連接.240,yx 畫出拋物線 的圖像 并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. 例324 .,yxxpx 將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程: 這是頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為 軸,開(kāi)口向左的拋物線,焦參數(shù) =2.焦點(diǎn)坐標(biāo) -1,0準(zhǔn)線方程 =1. ,991,2 ,1, 2 ,3 , 3 ,44,9 18 確定拋物線上五點(diǎn), 0,0描點(diǎn)作圖 如圖所示. 240yx圖9-18 拋物線的圖像Oxy22194解習(xí) 題

37、思考題：課堂練習(xí)題：1.?拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式 常用哪種形式22212.250;20.2yxxyyx寫出 的焦點(diǎn)坐標(biāo)1.根據(jù)條件寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程(1)3,0 ;(2) F 焦點(diǎn)是 焦點(diǎn)在準(zhǔn)線距離為2.2 , 01,; 1 ; 1,; 12 9 . 2.填空:設(shè)為離心率 則動(dòng)點(diǎn)軌跡是 時(shí),動(dòng)點(diǎn)軌跡是 時(shí)動(dòng)點(diǎn)軌跡是 拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是 eeeeyx橢圓拋物線雙曲線 6,62, 6, 62答 案答 案答 案分 析（單擊左鍵顯示答案）第五節(jié) 曲線與方程一、曲線與方程 在第八章我們學(xué)習(xí)了平面上直線與二元一次方程的關(guān)系，下面研究平面上一般曲線與方程的關(guān)系. 在研究曲線與方程的關(guān)系

38、時(shí)，可以把一條曲線看作是滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡.即:(1) 曲線上的點(diǎn)都滿足某種條件;(2) 滿足某種條件的點(diǎn)都在曲線上.,.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)由于點(diǎn)可以用它的坐標(biāo)來(lái)表示 所以曲線上的點(diǎn)所滿足的條件可以用含 和 的一個(gè)方程所表示xy 前面學(xué)習(xí)過(guò)的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，它們的點(diǎn)所滿足的條件都是用一個(gè)二元二次方程表示的.,0 一般地 如果一條曲線與一個(gè)含 和 的方程 之間具有如下關(guān)系.xyF x,y 曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)方程；(2) 坐標(biāo)滿足這個(gè)方程的所有點(diǎn)都在這條曲線上.0那么,這個(gè)方程稱為這條F x,y 曲線的方程.而這條曲線稱為這個(gè)方程 的曲線.F x,y = 0從前面的學(xué)習(xí)可知

39、，求曲線方程的一般步驟如下.;(1) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)M x,y,(2) 根據(jù)曲線上任意一點(diǎn)M滿足的條件寫出等式;,(3) 用動(dòng)點(diǎn)的流動(dòng)坐標(biāo) x,y 之間的關(guān)系式表示這個(gè)等式即得方程;(4) 化簡(jiǎn)方程. 求曲線方程時(shí)，一定要注意適當(dāng)選取坐標(biāo)系.這樣能使得到的方程比較簡(jiǎn)單.二、圓錐曲線 圓錐曲線主要是指圓、橢圓、雙曲線和拋物線，這些名稱的由來(lái)是因?yàn)檫@些曲線都是由一個(gè)平面與正圓錐面相截得出的.如圖9-19所示. 我們也可以統(tǒng)一定義圓錐曲線. 定義 到一定點(diǎn)（焦點(diǎn)）與到一定直線（準(zhǔn)線）的距離之比為常數(shù)e（離心率）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線.圖9-19 圓錐曲線的形成示意01 ,;當(dāng)時(shí)

40、曲線是橢圓e1,;當(dāng)時(shí)曲線是拋物線e 1 ,.當(dāng)時(shí)曲線是雙曲線e 橢圓、雙曲線都具有對(duì)稱中心，因此橢圓、雙曲線又稱為有心圓錐曲線（或稱有心二次曲線）；拋物線不具有對(duì)稱中心，因此拋物線稱為無(wú)心圓錐曲線.橢圓（包括圓）、雙曲線、拋物線還有一個(gè)共同的特征：它們的方程都是二元二次方程，所以它們常被稱為二次曲線.三、二次曲線的光學(xué)性質(zhì) 橢圓有這樣一個(gè)聚光特征：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線或聲波，經(jīng)過(guò)橢圓的反射后，集中到另一個(gè)焦點(diǎn)上.如圖9-20所示. 有一種叫做“耳語(yǔ)廓”的建筑物，它的頂?shù)目v斷面是一個(gè)橢圓的半弧，在一個(gè)焦點(diǎn)處低聲說(shuō)話，本來(lái)不可能在另一焦點(diǎn)處聽(tīng)到的聲音，經(jīng)過(guò)反射后，卻能清晰地聽(tīng)到.圖9-20

41、 橢圓的聚光特征示意Oxy1F2F雙曲線也有如下光學(xué)特性.2,.FFFF2 11 如果光線從一個(gè)焦點(diǎn) 發(fā)出 經(jīng)過(guò)靠近 的雙曲線的一次反射后,光線好像從另一個(gè)焦點(diǎn) 發(fā)出的一樣.光學(xué)上稱 為虛焦點(diǎn)如圖9-21所示. 與橢圓、雙曲線類似，拋物線也有獨(dú)特的光學(xué)性質(zhì).圖9-21 雙曲線的光學(xué)特征示意Oxy1F2F 一束平行光線射到拋物線上,經(jīng)過(guò)反射后集中到焦點(diǎn)上,如圖9-22(a)所示.太陽(yáng)灶就是根據(jù)這一特性設(shè)計(jì)的. 反過(guò)來(lái)，一個(gè)光源放在焦點(diǎn)上，經(jīng)過(guò)拋物線反射后成為一束平行光線，探照燈、汽車前燈就是這一特征的實(shí)際應(yīng)用.如圖9-22（b）所示.圖9-22 太陽(yáng)灶、探照燈的原理示意OxyF(b)OxyF(a)習(xí) 題思考題：課堂練習(xí)題：1.什么是二次曲線？2.橢圓、雙曲線、拋物線的統(tǒng)一性是什么？3.學(xué)習(xí)本章后重點(diǎn)掌握哪三種方程.221.1?94(1)4;(2)xykkkk 根據(jù)下列條件判斷方程表示什么曲線 49.222. 0 180, cos1?當(dāng)從到變化時(shí) 曲線怎樣變化xy答 案答 案答 案答 案答 案答 案 部 分思考題解答：2222222222,1,.0,221