專升本輔導(dǎo)-第2講極限與連續(xù)

1、臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室一、復(fù)習(xí)要求一、復(fù)習(xí)要求（1）理解極限的概念（只要求極限的描述性定義），能根據(jù)極限概念描述函數(shù)的變化趨勢(shì)理解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件，會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限（2）理解極限的唯一性、有界性、和保號(hào)性，掌握極限的四則運(yùn)算法則（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限（4）理解極限存在的兩個(gè)收斂準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則）.掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法第第2講講 極限與連續(xù)極限與連續(xù)臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室（5）理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念

2、，函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與函數(shù)在該處極限存在的關(guān)系，會(huì)判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性（6）理解函數(shù)在一點(diǎn)處間斷的概念，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型（7）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最值定理（有界性定理），介值定理（零點(diǎn)存在定理），會(huì)運(yùn)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題一、復(fù)習(xí)要求一、復(fù)習(xí)要求臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室lim( )xf xA000lim( )lim( )lim( )xxxxxxf xAf xf xA( )f xx 函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，是指自變量x無限接近于時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)( )f x（1）描述性語言：若x無限接近于時(shí)，的值與某一常數(shù)A無限接近，（2）極限存在的充分必要條件：利用它可以判

3、斷分段函數(shù)有分段點(diǎn)的極限是否存在二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要1.極限概念極限概念時(shí) 的極限是A，記作x ( )f x則稱當(dāng)臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室lim( )xf xA（1）定義：以零為極限的變量稱為無窮小要注意，無窮小是變量，任何絕對(duì)值很小的數(shù)都不是無窮小量（0可以看作無窮小量）（3）運(yùn)算性質(zhì) a有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量； b有限個(gè)無窮小量的乘積仍為無窮小量； c有界量與無窮小量的乘積是無窮小量2.無窮小量無窮小量（2）無窮小與極限的關(guān)系:x ( )( )xf xA當(dāng)時(shí)，是一個(gè)無窮小量00型不定式 注意：兩個(gè)無窮小量之商是臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室lim0較高階的無窮小量，記作是，則

4、稱( )o, （4）無窮小的比較設(shè)是同一過程中的無窮小量，如果較低階的無窮小量；是或稱是等價(jià)無窮小量，記作與特別當(dāng)C1時(shí)，稱與是同階無窮小量，lim0C（C為常數(shù)），則稱如果( )O記作臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室x ( )f x（1）定義：若時(shí)，的絕對(duì)值變得任意大，則稱在該過程中，( )f x為無窮大，記為記號(hào)，不是數(shù)注意：是 （2）無窮大量與無窮小量一樣都是變量，與自變量變化有關(guān)無窮小量（不零值的無窮小量）與無窮大恰好是互為“倒數(shù)”關(guān)系的兩個(gè)量 3.無窮大量無窮大量lim( )xf x 臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室lim()limlimuvuvlim()limlimuvuvlimlim (li

5、m0)limuuvvvlim ,limuv極限的四則運(yùn)算對(duì)于同一極限過程，若存在，則有l(wèi)imulimv注意：這些法則只有在和存在時(shí)方可使用 4.極限的運(yùn)算極限的運(yùn)算臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室其特點(diǎn)是型未定式，類似的有001lim sin1xxx其特點(diǎn)是型未定式，類似的有10lim ( )0 xxv x0sin ( )lim1( )xxv xv x一般地可有，若，則1lim(1)nnen10lim(1)xxxe（n為正整數(shù)）5.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限0sinlim1xxx（1）sinlim1xxx01lim sin1xxx注意：1lim(1)xxex（2）0lim( )xxg x0( )1li

6、m1( )g xxxeg x，則一般地可有，若臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室0 x0 xxx （1）改變量當(dāng)自變量從變到x時(shí)，稱 為自變量的改變量，相應(yīng)函數(shù)值從0()f x0()f xx變到，稱00()()yf xxf x 為函數(shù)改變量可以是0 xyy均可正可負(fù)，（2）函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義：即當(dāng)自變量改變量趨向于0時(shí)，函數(shù)的改變量也趨向于0( )f x0 x即函數(shù)在處的極限值等于函數(shù)在該點(diǎn)的值 6.函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性0lim0 xy a00lim( )()xxf xf xb臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室上的連續(xù)函數(shù)是上連續(xù)，或在( )f x , a b( )f x , a b00lim ( )l

7、im ( )xxxxfxfx內(nèi)連續(xù)，或在( , )a b( )f x( , )a b若函數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱連續(xù)函數(shù)求極限時(shí)，極限的符號(hào)可與函數(shù)符號(hào)交換，即若0lim( )xxx( )f x存在，且其值屬于的連續(xù)區(qū)間內(nèi)，則（3）連續(xù)函數(shù)定義點(diǎn)右連續(xù)（ ），在內(nèi)連續(xù)且在如果在( )f x( , )a bablim( )( )xaf xf a點(diǎn)左連續(xù)（ ），則稱函數(shù)lim( )( )xbf xf b內(nèi)的連續(xù)函數(shù)是( )f x( , )a b初等函數(shù)的連續(xù)性：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，使內(nèi)至少存在一點(diǎn)異號(hào)，則在開區(qū)間與上連續(xù)的函數(shù)，是推論：若 , a b( )f a

8、( )f b( )f x( , )a b00()0fa最大值最小值定理：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上能取到最大值和最小值注意：（1）若函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，定理的結(jié)論就不成立；（2）定理及推論中的條件是充分條件、而不是必要條件 （4）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)使b介值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，M和m分別為 , a b , a b( )fc即mcM）至少存在一點(diǎn)上的最大值和最小值， , a b則對(duì)介于M和m之間的任一實(shí)數(shù)c，（臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室111lim( )lim1xxf xx11lim( )lim( )xxf xf x1.極限概念、無窮小量和無窮大量極限概念、

9、無窮小量和無窮大量1 1( )2 11 1xxf xxxx1lim( )xf x（2）設(shè)，則 ，1lim( )xf x所以不存在 四、練習(xí)及說明四、練習(xí)及說明0lim( )xxf xA例例1 （1）成立的充分必要條件是 解解 （1）充分必要條件是：函數(shù)的左、右極限存在且相等11lim( )lim(1)0 xxf xx（2）因?yàn)榕_(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室的極限0 x 1xe例例2 試分析當(dāng)時(shí)，來考慮和來說，負(fù)指數(shù)與正指數(shù)意義不一樣，所以要分別從1xye0 x0 x解解 對(duì)于指數(shù)函數(shù)時(shí)，1x 1lim(1)0 xx解解 從10出發(fā)來考慮當(dāng)是無窮大0 x1xe時(shí)，是無窮小，這時(shí)函數(shù)分子的極限是常數(shù)2

10、，因此函數(shù)為無窮大1x，即表明分母，分子1x 1lim(1)0 xx1x時(shí)，為無窮小，分母的極限是2，1( )1xf xx在什么時(shí)候是無窮大量？什么時(shí)候是無窮小量?例例3 問函數(shù)為無窮小，當(dāng)1xe0 x時(shí)，當(dāng)這時(shí)函數(shù)是無窮小 臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室首先，必須熟悉基本函數(shù)的極限（如練習(xí)題2），對(duì)一個(gè)具體極限才能正確判斷0001 000未定型對(duì)未定型則選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄞD(zhuǎn)化成可定型，方法（4）、（5）、（6）、（7）是解決未定型的常用方法求極限的一般方法有：（1）極限運(yùn)算法則；（2）利用無窮小無窮大性質(zhì)；（3）利用函數(shù)的連續(xù)性；（4）適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危唬?）利用二個(gè)重要極限；（6）洛必達(dá)法則；（7）

11、無窮小替換 2.求極限方法求極限方法A BAA可定型 A+B、臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室0lim(arctan2cos )xxexx例例1 求極限解解 由極限運(yùn)算法則，21ln(1)lim1xxx1limlnxxex20limcosxxx例例2 求（1）； （2）； （3） 1x210,ln(1)xx 解解 （1）當(dāng)，故原式時(shí)，（3）根據(jù)定理，無窮小量與有界變量的乘積仍然是無窮小量，當(dāng)0 x 20 x 時(shí)|cos| 1x ，而有界，故原式0 000limlimarctan2limcos1 02 12xxxxexx 原式x ln,11xxe 時(shí)，（2）當(dāng)故原式0臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室1( )

12、1xxef xe0lim( )xf x2ln(2)( )4arcsinxxg xx1lim ( )xg x例例3 （1），求，求在0 x ( )f x( )f x解解 （1）的定義域內(nèi)，是的連續(xù)點(diǎn)，故（2）1x ( )g x( )g x（2）在的定義域內(nèi)，是的連續(xù)點(diǎn)，故1 1(0)01 1f原式1ln(2 1)1(1)4arcsin12g原式臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2232lim1xxxx22132lim1xxxxlim(11)xxx 3113lim()11xxx22212lim()nnnnn例例4 求（1）（2）（3）（4）（5） 解解 常用的恒等變形有：分子分母同除以自變量的最高次冪；因

13、式分解約分；有理化方法；分式通分相加等臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，原式22123lim311xxxx型，因式分解后約分，原式（2）本題為001(32)(1)5lim(1)(1)2xxxxx11xx 22212lim()nnnnn212limnnn21(1)12lim2nn nn型，分子分母同除2x（1）本題為 （3）本題為型，分子分母同乘2lim011xxx ，原式 （4）本題為型，通分再約分后，函數(shù)式是無限個(gè)無窮小的和，不能運(yùn)用極限去年法則和無窮小性質(zhì)，將原函數(shù)相加、求和、再求出極限n （5）當(dāng)22211(1)3(1)(2)limlim1(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxxxxx 原式

14、臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室0sin3limsin2xxx0arctanlimxxx1lim sinxxx例例5 求（1）（2）（3）0sinlim1xxx解解 作適當(dāng)?shù)淖冃魏?，利用重要極限00sin3sin3233limlimsin23sin222xxxxxxxxxx（1）arctan xttanxt（2）設(shè)，則0 x 0t ，當(dāng)時(shí)00limlimcos1tansinttttttt原式1sin1lim sinlim11xxxxxx（3）臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室10lim(12 )xxx1lim()1xxxxcot0lim(1 3tan )xxx例例6 求（1）（2）（3）10lim(1)xx

15、xe1lim(1)xxex解解 利用重要極限或12220lim(1( 2 )xxxe （1）原式1222222lim(1)lim(1)/(1)111xxxxexxx（2）原式1333tan0lim(1 3tan )xxxe（3）原式0lim(1),lim(1)bcabbx dabxxxaaxeexc, , ,a b c d一般有，其中為常數(shù) 臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室20012limlim2ln(1)xxxetxt兩個(gè)無窮小的階的比較問題是由二個(gè)無窮小量之比的極限來判斷的ln(1)x是x的等價(jià)無窮小100ln(1)limlnlim(1) 1xxxxxx解解 （1），則是x的同階無窮小21xe則

16、xx，則是x的低階無窮小1ln(1)2xt，則1 cos2x，則是x的高階無窮小 3.無窮小的比較無窮小的比較的高階無窮小量？0 x 時(shí)下列無窮小量中哪個(gè)是x例例1 當(dāng)ln(1)x21xexx1 cos2x（2）（3）（4）（1）時(shí)，當(dāng)21xet 0 x 0t （2）令2001 cos22sinlimlim0 xxxxxx（4）30011limlimxxxxxxx （3）臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室例例2 當(dāng)時(shí)，求下列無窮小量關(guān)于基本無窮小x的階（1）（2）（3）0 x arcsin x1 cosxxx是無窮小量，確定a的值， 使( )f x解解 當(dāng)時(shí)，0 x 非零常數(shù)，則a 就是( )f x0

17、( )limaxf xx的階（1）令，則arcsin xtsinxt時(shí)，且當(dāng)0 x 0t 00arcsinlimlimsinaaxtxtxt時(shí)，上式1，則當(dāng)1a 是x的1階無窮小arcsin x臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室2400limlimaaaxxxxxxxxx（3）xx是 x 的階無窮小 1414a 當(dāng)時(shí)上式1，則（2）2002sin1 cos2limlimaaxxxxxx，則時(shí)，上式當(dāng)2a 121 cosx是x的2階無窮小臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室sin ,tan ,arcsin ,arctan ,xxxxxxxxln(1) xx4.利用等價(jià)無窮小量替換求極限利用等價(jià)無窮小量替換求極限2

18、111 ,1 cos, 112xnexxxxxn等0 x 時(shí)，（1）常用的等價(jià)無窮小有：當(dāng)（2）當(dāng)兩個(gè)函數(shù)相乘（除）時(shí)可直接替換，當(dāng)相（減）時(shí)不一定能使用 臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室0ln(1)limsin2xxx20(cos1)sinlimarctanxxxxx2(1)11lim1xxex例例1 求下列極限（2）（3）12(1)lim41(1)2xxx故原式時(shí)0 x 211 cos2xx22sin ,arctanxxxx（2）當(dāng)01lim22xxx故原式時(shí)1x 2(1)1 2(1)xex111 (1)1(1)2xxx （3）當(dāng)ln(1) xxsin2 2xx0 x 解解 （1）當(dāng)時(shí)220112lim2xxxx x 故原式（1）臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室30tansinlimxxxx例例2 求極限0 x sin ,tanxxxx解解 若直接用替換，當(dāng)時(shí)，則，這是錯(cuò)誤的結(jié)果23001112limlimcos2cos2xxxxxxx再用等價(jià)無窮小替換，上式2021sin2sin1112lim1cos424xxxxxx或用三角公式及重要極限，上式或可用洛必達(dá)法則 300limlim00 xxxxx原式33001sin (1)sin (1 cos )coslimlimcosxxxxxxxxx事實(shí)上，原式臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室初等函數(shù)在