圓錐曲線03圓錐曲線綜合1(B級)理科學(xué)生版

1、圓錐曲線綜合1高考要求內(nèi)容要求層次重難點(diǎn)圓錐曲線與方程曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系B軌跡方程；圓錐曲線與向量綜合；數(shù)學(xué)思想、方法直線與圓錐曲線的位置關(guān)系C知識內(nèi)容中點(diǎn)弦問題11 點(diǎn)差法對于橢圓，設(shè)弦的兩端點(diǎn)以及中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么兩式相減，得（注意，這里連結(jié)與是減號）當(dāng)時(shí)，兩邊同除，得于是我們得到弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系式：特別的，當(dāng)時(shí)，我們經(jīng)常使用以下結(jié)論：在這里，于是上式也即需要注意的是：當(dāng)與軸平行（沒有斜率）時(shí)，此時(shí)，；當(dāng)與軸平行（斜率為0）時(shí)，此時(shí)，類似的，對于雙曲線，有；對于拋物線，有；對于拋物線，有12 中點(diǎn)弦問題中的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在實(shí)際應(yīng)用中，由于關(guān)系式不依賴于

2、弦端點(diǎn)的具體坐標(biāo)，所以需要事先確定直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)（這與利用弦心距和半徑求圓的弦長時(shí)，需要首先保證弦的存在性類似）下面我們來研究如何利用中點(diǎn)弦問題得到直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件設(shè)直線，將其與橢圓方程聯(lián)立得，其判別式于是直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)等價(jià)于另一方面，若此時(shí)我們將與橢圓聯(lián)立，可以得到“中點(diǎn)”滿足的式子：解得，于是因此利用中點(diǎn)弦問題的解法求出的點(diǎn)在橢圓內(nèi)部是該直線與與圓錐曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件類似的，我們可以得到，在橢圓上與直線與圓錐曲線相切等價(jià)；在橢圓外與直線與圓錐曲線相離等價(jià)定點(diǎn)弦問題21 直線參數(shù)方程的引入與推廣211 直線參數(shù)方程的引入在這一小節(jié)

3、，我們將暫時(shí)拋棄斜率、傾斜角、截距等概念，利用純粹的向量引入平面直角坐標(biāo)系下的直線，并將這一做法推廣至空間平面上的直線可以由直線上的一點(diǎn)與表征該直線方向的方向向量（其中）確定容易知道，平面上一點(diǎn)在直線上的充分必要條件就是向量與平行（共線），也即（其中為實(shí)數(shù)）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，我們有整理有這就是平面上直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)為了方便應(yīng)用，我們經(jīng)常取單位方向向量，其中為直線的傾斜角這樣做的好處在于此時(shí)，也就是說參數(shù)有鮮明的幾何意義（參數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為），缺點(diǎn)在于不方便使用和運(yùn)算在實(shí)際解題中，我們對直線方向的信息往往來自于直線的斜率，于是我們也經(jīng)常取直線的方向向量為，此時(shí)參數(shù)所對

4、應(yīng)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為，并且可以很方便的進(jìn)行與圓錐曲線的聯(lián)立212 直線參數(shù)方程的推廣平面上的直線方程還可以通過直線上的一點(diǎn)和直線的法向量引入容易知道，平面上一點(diǎn)在直線上的充分必要條件就是向量與垂直，也即根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，我們有整理有 記，那么就得到直線的一般形式利用這一引入過程，我們可以很方便的推導(dǎo)出平面上點(diǎn)到直線的距離公式事實(shí)上，（向量在向量方向上的投影長度）而，代入得與利用方向向量推導(dǎo)平面上的直線方程類似，我們可以方便的推出空間直線的方程其中為空間直線的方向向量，為該直線上的一點(diǎn)與利用法向量推導(dǎo)平面上的直線方程類似，我們可以方便的推出空間平面的方程其中為空間平面的法向量，為該空間

5、平面上的一點(diǎn)而平面上點(diǎn)到直線的距離公式也可以類似的推廣到空間上點(diǎn)到平面的距離公式其中點(diǎn)坐標(biāo)為，平面方程為22 利用直線參數(shù)方程解定點(diǎn)弦問題直線的參數(shù)方程為我們解決通過某定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交時(shí)出現(xiàn)的弦長或定比問題提供了解題途徑尤其是當(dāng)這類問題不方便轉(zhuǎn)化為、中的任何一個(gè)方向上研究時(shí)（當(dāng)定點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均不為時(shí)），利用直線的參數(shù)方程與圓錐曲線方程聯(lián)立往往可以起到大大簡化運(yùn)算的效果下面我們通過對第二節(jié)中的焦點(diǎn)弦長公式的推導(dǎo)展示這種聯(lián)立過程對于通過定點(diǎn)（橢圓的左焦點(diǎn)）、傾斜角為的直線，我們寫出直線的參數(shù)方程將該方程代入橢圓方程可得整理得于是焦點(diǎn)弦長在實(shí)際應(yīng)用中，一定要特別注意參數(shù)的正負(fù)（這取決于參數(shù)對

6、應(yīng)的點(diǎn)與定點(diǎn)的位置關(guān)系）另外，應(yīng)該在重視熟練應(yīng)用韋達(dá)定理化簡問題的同時(shí)，掌握應(yīng)用求根公式對問題進(jìn)行化簡的方法頂點(diǎn)弦問題頂點(diǎn)弦問題的提出來源于圓錐曲線（除拋物線外）的一個(gè)重要性質(zhì)：圓錐曲線上的點(diǎn)與圓錐曲線的一對頂點(diǎn)、（對于圓，取直徑的兩端點(diǎn)）的連線斜率的乘積為定值對于橢圓，取其左右頂點(diǎn)，那么對于將橢圓方程變形，有代入上式，有類似的，我們可以得到對于雙曲線，有；對于圓，有例題精講題型一：中點(diǎn)弦問題【例1】 （2010課標(biāo)全國卷高考）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過的直線與相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程為（ ）A B C D【例2】 （2010全國卷高考）已知斜率為1的直線與雙曲線相交于、兩

7、點(diǎn)，且的中點(diǎn)為求的離心率；設(shè)的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，證明：過、三點(diǎn)的圓與軸相切【例3】 （2010天津高考）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4 求橢圓的方程； 設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值【例4】 （2010安徽）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)，在軸上，離心率求橢圓的方程；求的角平分線所在直線的方程；在橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)？若存在請找出；若不存在，說明理由題型二：定點(diǎn)弦問題【例5】 （2010天津高考）已知圓的圓心是直線（為參數(shù)）與軸的交點(diǎn)，且圓與直線相切，則圓的方程為 【例6】 （海淀·理

8、·題19）已知橢圓和拋物線有公共焦點(diǎn)，的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線分別相交于A，B兩點(diǎn)寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；若，求直線的方程；若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在拋物線上，直線與橢圓有公共點(diǎn)，求橢圓的長軸長的最小值【例7】 （2004年福建高考）如圖，是拋物線：上一點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與拋物線交于另一點(diǎn)若直線與過點(diǎn)的切線垂直，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；若直線不過原點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，試求的取值范圍題型三：頂點(diǎn)弦問題【例8】 已知點(diǎn)在雙曲線（）的右支上（與不重合），分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，且，則（ ）A B C D【例9】 （2010廣東）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)，是

9、雙曲線上不同的兩個(gè)動點(diǎn) 求直線與交點(diǎn)的軌跡的方程 若過點(diǎn)，的兩條直線和與軌跡都只有一個(gè)交點(diǎn)，且，求的值【例10】 （西城·理·題19）如圖，橢圓短軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)分別為，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn) 若，求直線的方程； 設(shè)直線的斜率分別為，若，求的值【例11】 （2010年江蘇理科18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為、，右焦點(diǎn)為設(shè)過點(diǎn)的直線與此橢圓分別交于點(diǎn)、，其中， 設(shè)動點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡； 設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； 設(shè)，求證：直線必過軸的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）【例12】 （2010北京）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，是動點(diǎn)，且直線與的斜率

10、之積等于（）求動點(diǎn)的軌跡方程；（）設(shè)直線和分別與直線交于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【例13】 （2010全國卷高考）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為證明：點(diǎn)在直線上；設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程 課堂總結(jié)高考數(shù)學(xué)的圓錐曲線題型變化多端，主要有幾類題型，我們本講主要說：（1）中點(diǎn)弦問題在韋達(dá)定理橫行于圓錐曲線的解答題中，我們其實(shí)還有一種非常優(yōu)秀的方法-點(diǎn)差法。對于什么樣的中點(diǎn)弦，我們會使用點(diǎn)差法，而點(diǎn)差法中我們需要注意的問題，比如斜率本身的限制等，我們需要特殊關(guān)注（2）定點(diǎn)弦問題弦上定比分點(diǎn)，或者定點(diǎn)分比問題，是我們常見的

11、問題。我們的目標(biāo)就是避過復(fù)雜的運(yùn)算方法，轉(zhuǎn)化成橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)之間的比例，利用韋達(dá)定理處理的更加輕松。（3）頂點(diǎn)弦問題頂點(diǎn)似乎在圓錐曲線并不是那么實(shí)際的幾何意義，其實(shí)并非如此，關(guān)于頂點(diǎn)很多問題都是在解析幾何中需要討論出來的，讓我更加清晰的認(rèn)識到頂點(diǎn)的重要課后檢測【習(xí)題1】 已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點(diǎn)、，則等于（）A B C D【習(xí)題2】 （2009年海南寧夏高考）設(shè)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)若的中點(diǎn)為，則直線的方程為_【習(xí)題3】 設(shè)，兩點(diǎn)在拋物線上，是的垂直平分線當(dāng)直線的斜率為時(shí)，在軸上截距的取值范圍為_【習(xí)題4】 已知橢圓：，試確定的取值范圍，使

12、得對于直線：，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于這條直線對稱【習(xí)題5】 橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于相異兩點(diǎn)、，且 求橢圓方程；若的取值范圍【習(xí)題6】 設(shè)分別是直線和上的兩個(gè)動點(diǎn)，并且，動點(diǎn)滿足記動點(diǎn)的軌跡為，求軌跡的方程；若點(diǎn)的坐標(biāo)為，、是曲線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍【習(xí)題7】 給定拋物線：，是的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn) 設(shè)的斜率為，求與夾角的余弦值； 設(shè)，若，求在軸上截距的變化范圍【習(xí)題8】 （2010年朝陽二模）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) 求橢圓的方程； 是否

13、存在直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由【習(xí)題9】 （2009年崇文一模）已知動圓過點(diǎn)并且與圓相外切，動圓圓心的軌跡為，軌跡與軸的交點(diǎn)為 求軌跡的方程； 設(shè)直線過點(diǎn)且與軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；在的條件下，若，證明直線過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)【習(xí)題10】 （2010年崇文二模）已知橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，離心率過作直線與橢圓交于另一點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)（不同于原點(diǎn)），點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)求橢圓的方程；求的值【習(xí)題11】 （2009年福建高考）已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)橢圓的右頂點(diǎn)為點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)求橢圓的方程；求線段的長度的最小值當(dāng)線段的長度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的