圓錐曲線03圓錐曲線綜合1(B級)理科學(xué)生版

1、圓錐曲線綜合1高考要求內(nèi)容要求層次重難點圓錐曲線與方程曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系B軌跡方程；圓錐曲線與向量綜合；數(shù)學(xué)思想、方法直線與圓錐曲線的位置關(guān)系C知識內(nèi)容中點弦問題11 點差法對于橢圓，設(shè)弦的兩端點以及中點的坐標(biāo)分別為、，那么兩式相減，得（注意，這里連結(jié)與是減號）當(dāng)時，兩邊同除，得于是我們得到弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系式：特別的，當(dāng)時，我們經(jīng)常使用以下結(jié)論：在這里，于是上式也即需要注意的是：當(dāng)與軸平行（沒有斜率）時，此時，；當(dāng)與軸平行（斜率為0）時，此時，類似的，對于雙曲線，有；對于拋物線，有；對于拋物線，有12 中點弦問題中的直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在實際應(yīng)用中，由于關(guān)系式不依賴于

2、弦端點的具體坐標(biāo)，所以需要事先確定直線與圓錐曲線有兩個不同的交點（這與利用弦心距和半徑求圓的弦長時，需要首先保證弦的存在性類似）下面我們來研究如何利用中點弦問題得到直線與圓錐曲線有兩個不同交點的充要條件設(shè)直線，將其與橢圓方程聯(lián)立得，其判別式于是直線與圓錐曲線有兩個不同交點等價于另一方面，若此時我們將與橢圓聯(lián)立，可以得到“中點”滿足的式子：解得，于是因此利用中點弦問題的解法求出的點在橢圓內(nèi)部是該直線與與圓錐曲線有兩個不同交點的充要條件類似的，我們可以得到，在橢圓上與直線與圓錐曲線相切等價；在橢圓外與直線與圓錐曲線相離等價定點弦問題21 直線參數(shù)方程的引入與推廣211 直線參數(shù)方程的引入在這一小節(jié)

3、，我們將暫時拋棄斜率、傾斜角、截距等概念，利用純粹的向量引入平面直角坐標(biāo)系下的直線，并將這一做法推廣至空間平面上的直線可以由直線上的一點與表征該直線方向的方向向量（其中）確定容易知道，平面上一點在直線上的充分必要條件就是向量與平行（共線），也即（其中為實數(shù)）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算法則，我們有整理有這就是平面上直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)為了方便應(yīng)用，我們經(jīng)常取單位方向向量，其中為直線的傾斜角這樣做的好處在于此時，也就是說參數(shù)有鮮明的幾何意義（參數(shù)所對應(yīng)的點到定點的距離為），缺點在于不方便使用和運算在實際解題中，我們對直線方向的信息往往來自于直線的斜率，于是我們也經(jīng)常取直線的方向向量為，此時參數(shù)所對

4、應(yīng)的點到定點的距離為，并且可以很方便的進行與圓錐曲線的聯(lián)立212 直線參數(shù)方程的推廣平面上的直線方程還可以通過直線上的一點和直線的法向量引入容易知道，平面上一點在直線上的充分必要條件就是向量與垂直，也即根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算法則，我們有整理有 記，那么就得到直線的一般形式利用這一引入過程，我們可以很方便的推導(dǎo)出平面上點到直線的距離公式事實上，（向量在向量方向上的投影長度）而，代入得與利用方向向量推導(dǎo)平面上的直線方程類似，我們可以方便的推出空間直線的方程其中為空間直線的方向向量，為該直線上的一點與利用法向量推導(dǎo)平面上的直線方程類似，我們可以方便的推出空間平面的方程其中為空間平面的法向量，為該空間

5、平面上的一點而平面上點到直線的距離公式也可以類似的推廣到空間上點到平面的距離公式其中點坐標(biāo)為，平面方程為22 利用直線參數(shù)方程解定點弦問題直線的參數(shù)方程為我們解決通過某定點的直線與圓錐曲線相交時出現(xiàn)的弦長或定比問題提供了解題途徑尤其是當(dāng)這類問題不方便轉(zhuǎn)化為、中的任何一個方向上研究時（當(dāng)定點的橫縱坐標(biāo)均不為時），利用直線的參數(shù)方程與圓錐曲線方程聯(lián)立往往可以起到大大簡化運算的效果下面我們通過對第二節(jié)中的焦點弦長公式的推導(dǎo)展示這種聯(lián)立過程對于通過定點（橢圓的左焦點）、傾斜角為的直線，我們寫出直線的參數(shù)方程將該方程代入橢圓方程可得整理得于是焦點弦長在實際應(yīng)用中，一定要特別注意參數(shù)的正負(fù)（這取決于參數(shù)對

6、應(yīng)的點與定點的位置關(guān)系）另外，應(yīng)該在重視熟練應(yīng)用韋達(dá)定理化簡問題的同時，掌握應(yīng)用求根公式對問題進行化簡的方法頂點弦問題頂點弦問題的提出來源于圓錐曲線（除拋物線外）的一個重要性質(zhì)：圓錐曲線上的點與圓錐曲線的一對頂點、（對于圓，取直徑的兩端點）的連線斜率的乘積為定值對于橢圓，取其左右頂點，那么對于將橢圓方程變形，有代入上式，有類似的，我們可以得到對于雙曲線，有；對于圓，有例題精講題型一：中點弦問題【例1】 （2010課標(biāo)全國卷高考）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于，兩點，且的中點為，則的方程為（ ）A B C D【例2】 （2010全國卷高考）已知斜率為1的直線與雙曲線相交于、兩

7、點，且的中點為求的離心率；設(shè)的右頂點為，右焦點為，證明：過、三點的圓與軸相切【例3】 （2010天津高考）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4 求橢圓的方程； 設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標(biāo)為，點在線段的垂直平分線上，且，求的值【例4】 （2010安徽）已知橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點，在軸上，離心率求橢圓的方程；求的角平分線所在直線的方程；在橢圓上是否存在關(guān)于直線對稱的相異兩點？若存在請找出；若不存在，說明理由題型二：定點弦問題【例5】 （2010天津高考）已知圓的圓心是直線（為參數(shù)）與軸的交點，且圓與直線相切，則圓的方程為 【例6】 （海淀·理

8、·題19）已知橢圓和拋物線有公共焦點，的中心和的頂點都在坐標(biāo)原點，過點的直線與拋物線分別相交于A，B兩點寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；若，求直線的方程；若坐標(biāo)原點關(guān)于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值【例7】 （2004年福建高考）如圖，是拋物線：上一點，直線過點且與拋物線交于另一點若直線與過點的切線垂直，求線段中點的軌跡方程；若直線不過原點且與軸交于點，與軸交于點，試求的取值范圍題型三：頂點弦問題【例8】 已知點在雙曲線（）的右支上（與不重合），分別為雙曲線的左、右頂點，且，則（ ）A B C D【例9】 （2010廣東）已知雙曲線的左、右頂點分別為，點，是

9、雙曲線上不同的兩個動點 求直線與交點的軌跡的方程 若過點，的兩條直線和與軌跡都只有一個交點，且，求的值【例10】 （西城·理·題19）如圖，橢圓短軸的左右兩個端點分別為，直線與軸、軸分別交于兩點，與橢圓交于兩點 若，求直線的方程； 設(shè)直線的斜率分別為，若，求的值【例11】 （2010年江蘇理科18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點為、，右焦點為設(shè)過點的直線與此橢圓分別交于點、，其中， 設(shè)動點滿足，求點的軌跡； 設(shè)，求點的坐標(biāo)； 設(shè)，求證：直線必過軸的一定點（其坐標(biāo)與無關(guān)）【例12】 （2010北京）在平面直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于原點對稱，是動點，且直線與的斜率

10、之積等于（）求動點的軌跡方程；（）設(shè)直線和分別與直線交于點，問：是否存在點使得與的面積相等？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【例13】 （2010全國卷高考）已知拋物線的焦點為，過點的直線與相交于、兩點，點關(guān)于軸的對稱點為證明：點在直線上；設(shè)，求的內(nèi)切圓的方程 課堂總結(jié)高考數(shù)學(xué)的圓錐曲線題型變化多端，主要有幾類題型，我們本講主要說：（1）中點弦問題在韋達(dá)定理橫行于圓錐曲線的解答題中，我們其實還有一種非常優(yōu)秀的方法-點差法。對于什么樣的中點弦，我們會使用點差法，而點差法中我們需要注意的問題，比如斜率本身的限制等，我們需要特殊關(guān)注（2）定點弦問題弦上定比分點，或者定點分比問題，是我們常見的

11、問題。我們的目標(biāo)就是避過復(fù)雜的運算方法，轉(zhuǎn)化成橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)之間的比例，利用韋達(dá)定理處理的更加輕松。（3）頂點弦問題頂點似乎在圓錐曲線并不是那么實際的幾何意義，其實并非如此，關(guān)于頂點很多問題都是在解析幾何中需要討論出來的，讓我更加清晰的認(rèn)識到頂點的重要課后檢測【習(xí)題1】 已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點、，則等于（）A B C D【習(xí)題2】 （2009年海南寧夏高考）設(shè)已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為，直線與拋物線相交于，兩點若的中點為，則直線的方程為_【習(xí)題3】 設(shè)，兩點在拋物線上，是的垂直平分線當(dāng)直線的斜率為時，在軸上截距的取值范圍為_【習(xí)題4】 已知橢圓：，試確定的取值范圍，使

12、得對于直線：，橢圓上有不同的兩點關(guān)于這條直線對稱【習(xí)題5】 橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為，直線與軸交于點，與橢圓交于相異兩點、，且 求橢圓方程；若的取值范圍【習(xí)題6】 設(shè)分別是直線和上的兩個動點，并且，動點滿足記動點的軌跡為，求軌跡的方程；若點的坐標(biāo)為，、是曲線上的兩個動點，且，求實數(shù)的取值范圍【習(xí)題7】 給定拋物線：，是的焦點，過點的直線與相交于兩點 設(shè)的斜率為，求與夾角的余弦值； 設(shè)，若，求在軸上截距的變化范圍【習(xí)題8】 （2010年朝陽二模）已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點過點的直線與橢圓相交于不同的兩點 求橢圓的方程； 是否

13、存在直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由【習(xí)題9】 （2009年崇文一模）已知動圓過點并且與圓相外切，動圓圓心的軌跡為，軌跡與軸的交點為 求軌跡的方程； 設(shè)直線過點且與軌跡有兩個不同的交點，求直線的斜率的取值范圍；在的條件下，若，證明直線過定點，并求出這個定點的坐標(biāo)【習(xí)題10】 （2010年崇文二模）已知橢圓短軸的一個端點，離心率過作直線與橢圓交于另一點，與軸交于點（不同于原點），點關(guān)于軸的對稱點為，直線交軸于點求橢圓的方程；求的值【習(xí)題11】 （2009年福建高考）已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點和上頂點橢圓的右頂點為點是橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點求橢圓的方程；求線段的長度的最小值當(dāng)線段的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的