高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)回歸總復(fù)習(xí)《第四十四講空間幾何體的表面積與體積》ppt課件

1、第四十四講第四十四講 空間幾何體的外表積與體積空間幾何體的外表積與體積回歸課本1.柱體、錐體、臺體的側(cè)面積柱體、錐體、臺體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和就是各側(cè)面面積之和,外表積是外表積是各個面的面積之和各個面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和即側(cè)面積與底面積之和.2.把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展稱為它的展開圖開圖,它的外表積就是展開圖的面積它的外表積就是展開圖的面積.3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及外表積圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及外表積S圓柱側(cè)圓柱側(cè)=2rl,S柱柱=2r(r+l);S圓錐側(cè)圓錐側(cè)=rl,S錐錐=r(r+l);S圓臺側(cè)

2、圓臺側(cè)=(r+r)l,S臺臺=(r2+r2+rl+rl).4.柱、錐、臺體的體積柱、錐、臺體的體積V長方體長方體=abc,V正方體正方體=a3,V柱柱=Sh,V錐錐= ,V臺臺= (S+S+ )h.這是柱體這是柱體 錐體錐體 臺體一致計算公式臺體一致計算公式,特別的圓柱特別的圓柱 圓錐圓錐 圓圓臺還可以分別寫成臺還可以分別寫成:V圓柱圓柱=r2h,V圓錐圓錐= r2h,V圓臺圓臺= h(r2+rr+r2).13Sh13SS13135.球的體積及球的外表積球的體積及球的外表積設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R,V球球= R3,S球球=4R2.43考點(diǎn)陪練 2, 3,6,.2.3 2.6. 61.ABCD

3、一個長方體有公共頂點(diǎn)的三個面的面積分別是則這個長方體對角線的長是2222,2,3,1:ab,6,3c,2 1 36.ababcbaccabc 解析 設(shè)長方體的長寬高分別為 、 、 由題意不妨設(shè)解得所以長方體的對角線長為答案答案:D2.圓臺上、下底面面積分別是圓臺上、下底面面積分別是、4,側(cè)面積是側(cè)面積是6,這個圓臺的這個圓臺的體積是體積是( )2 3.2 337 37 3.63ABCD211222122211 21222222221222,1,4 ,2,()6 ,:r ,r ,l,h.lhrr,h213,hV(11 22.3,117 3()33332 ).rrrrrr llh rrrr 圓臺解

4、析 設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為母線長為 高為則解得由得即故答案答案:D3.用與球心間隔為用與球心間隔為1的平面去截球的平面去截球,所得的截面面積為所得的截面面積為,那么那么球的體積為球的體積為( )88 2.3332.8 2.3ABCD3:1,1,RV482,23R3.解析 截面圓的半徑為 又球心到截面距離等于 所以球的半徑故球的體積答案答案:B4.(2021廣州一模廣州一模)假設(shè)一個幾何體的三視圖如以下圖所示假設(shè)一個幾何體的三視圖如以下圖所示(單單位長度位長度: cm),那么此幾何體的外表積是那么此幾何體的外表積是( )A.(80+16 ) cm2 B.96 cm2C.(96+16 ) cm

5、2 D.112 cm222解析:將幾何體復(fù)原,如圖:該幾何體是由邊長為4的正方體和一個底面邊長為4高為2的正四棱錐構(gòu)成的,在正四棱錐中,可得2 2,EG 四棱錐的外表積為四棱錐的外表積為S1=4 4 正方體除去一個正方體除去一個面的外表積為面的外表積為S2=542=80,所以此幾何體的外表積所以此幾何體的外表積答案答案:A122 216 2,80 16 2.S 5.(2021山東臨沂二模山東臨沂二模)有一個正三棱柱有一個正三棱柱,其三視圖如圖其三視圖如圖,那么其那么其體積等于體積等于( )3 3.3.1.42ABCD解析解析:由圖知該幾何體為底面為正三角形的三棱柱由圖知該幾何體為底面為正三角形

6、的三棱柱,底面三角底面三角形高為形高為2,三棱柱的高為三棱柱的高為 故體積為故體積為答案答案:D3,14 3324.23V類型一類型一棱柱棱柱 棱錐棱錐 棱臺的外表積棱臺的外表積 體積體積解題預(yù)備解題預(yù)備:求解有關(guān)多面體外表積問題的關(guān)鍵是利用幾何圖形求解有關(guān)多面體外表積問題的關(guān)鍵是利用幾何圖形的性質(zhì)找到其特征幾何圖形的性質(zhì)找到其特征幾何圖形,從而表達(dá)出高、斜高、邊長從而表達(dá)出高、斜高、邊長等幾何元素間的關(guān)系等幾何元素間的關(guān)系,如棱柱的矩形、棱錐中的直角三角如棱柱的矩形、棱錐中的直角三角形、棱臺中的直角梯形等形、棱臺中的直角梯形等.1.柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系,可表示為2.處理不規(guī)那

7、么幾何體的問題應(yīng)留意運(yùn)用以下方法處理不規(guī)那么幾何體的問題應(yīng)留意運(yùn)用以下方法:(1)幾何體的幾何體的“分割分割根據(jù)知幾何體的特征根據(jù)知幾何體的特征,將其分割成假設(shè)干個易于求體積的幾何將其分割成假設(shè)干個易于求體積的幾何體體,進(jìn)而求解進(jìn)而求解.(2)幾何體的幾何體的“補(bǔ)形補(bǔ)形有時為了計算方便有時為了計算方便,可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體,如長如長方體、正方體等方體、正方體等.【典例【典例1】 如圖如圖,三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中中,假設(shè)假設(shè)E F分別為分別為AB AC的中點(diǎn)的中點(diǎn),平面平面EB1C1將三棱柱分成體積為將三棱柱分成體積為V1 V2的兩部的兩部分分,

8、那么那么V1：V2=_.解析解析 設(shè)三棱柱的高為設(shè)三棱柱的高為h,上下底的面積為上下底的面積為S,體積為體積為V,那么那么V=V1+V2=Sh.E F分別為分別為AB AC的中點(diǎn)的中點(diǎn), AEF121121.41117SVVShVV :V7(),344125,12:5.Sh SSSSShSh答案答案 7：5.類型二類型二圓柱、圓錐、圓臺的外表積、體積圓柱、圓錐、圓臺的外表積、體積解題預(yù)備解題預(yù)備:1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積圖的面積,因此弄清側(cè)面展開圖的外形及側(cè)面展開圖中各因此弄清側(cè)面展開圖的外形及側(cè)面展開圖中各線段與原幾何體

9、的關(guān)系是掌握它們的面積公式及處理相關(guān)線段與原幾何體的關(guān)系是掌握它們的面積公式及處理相關(guān)問題的關(guān)鍵問題的關(guān)鍵.2.計算柱體、錐體、臺體的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,要充分利用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.【典例2】 知底面半徑為 ,母線長為 的圓柱,挖去一個以圓柱上底面圓心為頂點(diǎn),下底面為底面的圓錐,求所得幾何體的外表積和體積.3cm6cm 解解 如圖如圖,圓柱一個底面的面積為圓柱一個底面的面積為S底底=r2=( )2=3(cm3).圓柱側(cè)面面積為圓柱側(cè)面面積為:S柱側(cè)柱側(cè)=2 (cm2).所挖圓錐的母線長為所挖圓錐的母線長為 =3(cm).3366 23

10、622:S233cm.:SSSS363cm133223(3.6 23 3) 錐側(cè)底柱側(cè)錐側(cè)所挖圓錐的側(cè)面面積為則所得幾何體的表面積為3:VVVS1266633SS3cm.262 63柱錐底底底所得幾何體的體積類型三類型三球的外表積、體積球的外表積、體積解題預(yù)備解題預(yù)備:球的外表積與體積都只與半徑球的外表積與體積都只與半徑R有關(guān)有關(guān),是以是以R為自變?yōu)樽宰兞康暮瘮?shù)量的函數(shù),一個球的半徑給定一個球的半徑給定,它的外表積、體積隨之確定它的外表積、體積隨之確定,反過來反過來,給定一個球的外表積或體積給定一個球的外表積或體積,這個球的半徑也就確這個球的半徑也就確定了定了.【典例3】 如圖,正三棱錐的高為

11、1,底面邊長為 內(nèi)有一個球與它的四個面都相切.求:(1)棱錐的全面積;(2)內(nèi)切球的外表積與體積.2 6, 222132 62,321( 2)3.12 639 2.2132(2 6)9 26 3.2 1S3SSS92FDPD 側(cè)側(cè)全底解底面正三角形的中心到一邊的距離為則正三棱錐側(cè)面的斜高為 (2)設(shè)正三棱錐設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球球心為的內(nèi)切球球心為O,銜接銜接OP OA OB OC,而而O點(diǎn)到三棱錐的四個面的間隔都為球的半徑點(diǎn)到三棱錐的四個面的間隔都為球的半徑r.VPABC=VOPAB+VOPBC+VOPAC+VOABC2ABCP2-ABC111(3 22 3) .333113(2 6)1

12、2 3,32222 3)2 3,2 32 3(3 22 3)62,18 123 22 3SSrSr( 62)(40 16 6)472 6176( 62V(3S433.V).3rrrr側(cè)全內(nèi)切球內(nèi)切球又得類型四類型四 由幾何體的三視圖求幾何體的外表積與體積由幾何體的三視圖求幾何體的外表積與體積解題預(yù)備解題預(yù)備:知空間幾何體的三視圖求外表積知空間幾何體的三視圖求外表積 體積是高考調(diào)查體積是高考調(diào)查的熱點(diǎn)的熱點(diǎn),對三視圖的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵對三視圖的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.主要表達(dá)在以下兩主要表達(dá)在以下兩個方面的運(yùn)用個方面的運(yùn)用:一是數(shù)據(jù)的給出一是數(shù)據(jù)的給出,經(jīng)過三視圖的長經(jīng)過三視圖的長 寬寬 高高對應(yīng)出空

13、間幾何體的相關(guān)長對應(yīng)出空間幾何體的相關(guān)長 寬寬 高高,從而求外表積和體從而求外表積和體積積,但是要留意三視圖中的數(shù)據(jù)與原幾何體中的數(shù)據(jù)不一但是要留意三視圖中的數(shù)據(jù)與原幾何體中的數(shù)據(jù)不一定一一對應(yīng)定一一對應(yīng),識圖時留意甄別識圖時留意甄別.二是提示空間幾何體的構(gòu)造二是提示空間幾何體的構(gòu)造特征特征.包括幾何體的外形包括幾何體的外形,平行垂直等構(gòu)造特征平行垂直等構(gòu)造特征,這些正是數(shù)這些正是數(shù)據(jù)運(yùn)算的根據(jù)據(jù)運(yùn)算的根據(jù).【典例4】 一幾何體按比例繪制的三視圖如下圖(單位:m):(1)試畫出它的直觀圖;(2)求它的外表積和體積. 分析 由三視圖,正確的畫出幾何體的直觀圖,確定幾何體中線段的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系

14、. 解 (1)直觀圖如下圖. (2)解法一解法一:由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個角由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個角,且且該幾何體的體積是以該幾何體的體積是以A1A,A1D1,A1B1為棱的長方體的體積為棱的長方體的體積的的在直角梯形在直角梯形AA1B1B中中,作作BEA1B1,那么那么AA1EB是正方形是正方形,AA1=BE=1 在在RtBEB1中中,BE=1,EB1=1BB1=3,42幾何體的外表積幾何體的外表積S=S正方形正方形AA1D1D+2S梯形梯形AA1B1B+S矩形矩形BB1C1C+S正方形正方形ABCD+S矩形矩形A1B1C1D1=1+2 (1+2)1+1 +1+

15、12=7+ (m2).幾何體的體積幾何體的體積V= 121= (m3),該幾何體的外表積為該幾何體的外表積為(7+ )m2,體積為體積為 m3.12223432232解法二解法二:幾何體也可以看作是以幾何體也可以看作是以AA1B1B為底面的直四棱柱為底面的直四棱柱,其其外表積求法同解法一外表積求法同解法一,V直四棱柱直四棱柱D1C1CDA1B1BA=Sh= (1+2)11= (m2).幾何體的外表積為幾何體的外表積為(7+ )m2,體積為體積為 m3.1232232 反思感悟反思感悟 (1)由三視圖畫幾何體的直觀圖由三視圖畫幾何體的直觀圖,掌握掌握“長對正、寬長對正、寬相等相等,高平齊的規(guī)那么

16、高平齊的規(guī)那么,是確定幾何體特征的關(guān)鍵是確定幾何體特征的關(guān)鍵.(2)把不規(guī)那么幾何體分割成幾個規(guī)那么幾何體或者是補(bǔ)上一把不規(guī)那么幾何體分割成幾個規(guī)那么幾何體或者是補(bǔ)上一部分使之成為規(guī)那么幾何體部分使之成為規(guī)那么幾何體,是求不規(guī)那么幾何體常用方是求不規(guī)那么幾何體常用方法法.錯源一錯源一問題思索不全問題思索不全【典例【典例1】 能否存在這樣的球能否存在這樣的球,在該球內(nèi)有間隔為在該球內(nèi)有間隔為3的兩個平的兩個平行截面且截面的面積分別為行截面且截面的面積分別為5和和8?假設(shè)存在假設(shè)存在,求出球面的求出球面的外表積外表積;假設(shè)不存在假設(shè)不存在,請闡明理由請闡明理由. 錯解 假設(shè)存在滿足題意的球,過圓心

17、與截面的圓心作球的軸截面,如圖.圓O是球的大圓,A1B1,A2B2分別是兩個平行截面圓的直徑,C1,C2分別是兩個截面圓的圓心,設(shè)兩截面圓的半徑分別為r1,r2,(r1r2),由題意可得 又 此方程無解,所以滿足題意的球不存在.,2212r8 r52222213,RrRr 分析分析 錯解只思索了兩個平行截面都在球心同一側(cè)的情形錯解只思索了兩個平行截面都在球心同一側(cè)的情形,現(xiàn)實(shí)上兩個平行截面不一定都在球心的同一側(cè)現(xiàn)實(shí)上兩個平行截面不一定都在球心的同一側(cè). 正解 假設(shè)存在滿足題意的球.(1)假設(shè)兩個平行截面都在球心的同一側(cè)假設(shè)兩個平行截面都在球心的同一側(cè),那么解法同錯解那么解法同錯解.(2)假設(shè)兩

18、個平行截面在球心兩側(cè)假設(shè)兩個平行截面在球心兩側(cè),過圓心與截面的圓心作球過圓心與截面的圓心作球的軸截面的軸截面,如圖如圖.圓圓O是球的大圓是球的大圓,A1B1,A2B2分別是兩個平行分別是兩個平行截面圓的直徑截面圓的直徑,C1,C2分別是兩個截面圓的圓心分別是兩個截面圓的圓心,設(shè)兩截面圓設(shè)兩截面圓的半徑分別為的半徑分別為r1,r2(r1r2).由題意可得由題意可得 又又 解得解得R2=9,所以球的外表積所以球的外表積S=4R2=36.綜上可得綜上可得,存在滿足題意的球存在滿足題意的球,該球的外表積為該球的外表積為36.,2212r8 r52222213,RrRr錯源二錯源二對三視圖的構(gòu)成認(rèn)識不清

19、對三視圖的構(gòu)成認(rèn)識不清【典例【典例2】 設(shè)某幾何體的三視圖如圖設(shè)某幾何體的三視圖如圖(尺寸的長度單位為尺寸的長度單位為m).那么該幾何體的體積為那么該幾何體的體積為_m3. 錯解錯解 該幾何體為三棱錐該幾何體為三棱錐,底面為腰為底面為腰為4,底為底為3的等腰三角形的等腰三角形,高為高為2. 分析分析 把正視圖看成三棱錐的一個面呵斥誤解把正視圖看成三棱錐的一個面呵斥誤解.三視圖中的三視圖中的每一個視圖都是整個幾何體在某一屏幕上的投影每一個視圖都是整個幾何體在某一屏幕上的投影,不一定不一定是某個面留下的投影是某個面留下的投影.這類問題不能孤立的分析某一視圖這類問題不能孤立的分析某一視圖.31155

20、5523().3222Vm 正解正解 由三視圖可知原幾何體是一個三棱錐由三視圖可知原幾何體是一個三棱錐,由由“長對正長對正,寬相寬相等等,高平齊的原那么可知三棱錐的高為高平齊的原那么可知三棱錐的高為2,底面三角形的底底面三角形的底邊長為邊長為4,高為高為3,那么所求棱錐的體積為那么所求棱錐的體積為V= 342=4.答案答案 41132技法一技法一等積轉(zhuǎn)化思想方法等積轉(zhuǎn)化思想方法【典例【典例1】 如圖如圖,一個三棱柱容器中盛有水一個三棱柱容器中盛有水,且側(cè)棱且側(cè)棱AA1=8,假假設(shè)設(shè)AA1B1B程度放置時程度放置時,液面恰好過液面恰好過AC,BC,A1C1,B1C1的中點(diǎn)的中點(diǎn),那么當(dāng)?shù)酌婺敲串?dāng)?shù)酌鍭BC程度放置時程度放置時,液面的高為多少液面的高為多少? 解解 當(dāng)當(dāng)AA1B1B程度放置時程度放置時,縱截面中水的面積占縱截面中水的面積占1- 所以水的體積與三棱柱體積比為所以水的體積與三棱柱體積比為 當(dāng)?shù)酌娈?dāng)?shù)酌鍭BC程度放程度放置時置時,液面高度為液面高度為8 =6.方法與技巧方法與技巧 容器中水的體積不會減少容器中水的體積不會減少,運(yùn)用等積思想可不運(yùn)用等積思想可不用計算體積用計算體積,而經(jīng)過體積比進(jìn)而化為高度比而經(jīng)過體積比進(jìn)而化為高度比.13,443.434技法二技法二巧解三棱錐的體積巧解三棱錐的體積【典例【典例2】 知正三棱錐知正三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩