初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題歸類復(fù)習(xí)(含例題、練習(xí)及答案)

1、初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題歸類復(fù)習(xí)（含例題、練習(xí)及答案）所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想本文將初一至二學(xué)習(xí)過的有關(guān)知識(shí)，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行歸類復(fù)習(xí)，希望對(duì)同學(xué)們能有所幫助。一、等腰三角形類：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例1：（2013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題）如圖1，在RtABC中，A90°，AB6，AC8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DEBC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且PDQ9

2、0°（1）求ED、EC的長(zhǎng)；（2）若BP2，求CQ的長(zhǎng)；（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)圖1 備用圖思路點(diǎn)撥1第（2）題BP2分兩種情況2解第（2）題時(shí)，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系3第（3）題探求等腰三角形PDF時(shí)，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ解答：（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如圖2，過點(diǎn)D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90°，MDN90°，可得PDMQ

3、DN因此PDMQDN所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當(dāng)BP2，P在BM上時(shí)，PM1此時(shí)所以如圖4，當(dāng)BP2，P在MB的延長(zhǎng)線上時(shí)，PM5此時(shí)所以（3）如圖5，如圖2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90°，CDE90°，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當(dāng)PDF是等腰三角形時(shí)，CDQ也是等腰三角形如圖5，當(dāng)CQCD5時(shí)，QNCQCN541（如圖3所示）此時(shí)所以如圖6，當(dāng)QCQD時(shí)，由，可得所以QNCNCQ（如圖2所示）此時(shí)所以不存在DPDF的情況這是因?yàn)镈FPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點(diǎn)伸展：如圖6，當(dāng)CDQ是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的余

4、角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解二、直角三角形：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直角三角形問題例2：（2008年河南省中考第23題）如圖1，直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S4的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說明理由；在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)MON為直角三角形時(shí)，求t的值圖1思路

5、點(diǎn)撥：1第（1）題說明ABC是等腰三角形，暗示了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)2不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論3將S4代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，解關(guān)于t的方程4分類討論MON為直角三角形，不存在ONM90°的可能解答：（1）直線與x軸的交點(diǎn)為B（3，0）、與y軸的交點(diǎn)C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過點(diǎn)N作NHAB，垂足為H在RtBNH中，BNt，所以如圖2，當(dāng)M在AO上時(shí)，OM2t，此時(shí)定義域?yàn)?t

6、2如圖3，當(dāng)M在OB上時(shí)，OMt2，此時(shí)定義域?yàn)?t5 圖2 圖3把S4代入，得解得，（舍去負(fù)值）因此，當(dāng)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在S4的情形，此時(shí)如圖4，當(dāng)OMN90°時(shí)，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如圖5，當(dāng)OMN90°時(shí)，N與C重合，不存在ONM90°的可能所以，當(dāng)或者時(shí)，MON為直角三角形 圖4 圖5考點(diǎn)伸展：在本題情景下，如果MON的邊與AC平行，求t的值如圖6，當(dāng)ON/AC時(shí)，t3；如圖7，當(dāng)MN/AC時(shí)，t2.5 圖6 圖7三、平行四邊形問題：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題例3：（2010年山西省中考第26題）在直角梯形OABC中，CB/O

7、A，COA90°，CB3，OA6，BA分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD5，OE2EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F求直線DE的解析式；（3）點(diǎn)M是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點(diǎn)N，使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 圖2思路點(diǎn)撥：1第（1）題和第（2）題蘊(yùn)含了OB與DF垂直的結(jié)論，為第（3）題討論菱形提供了計(jì)算基礎(chǔ)2討論菱形要進(jìn)行兩次（兩級(jí)）分類，先按照DO為邊和對(duì)角線分類，再進(jìn)行二級(jí)分類，DO與DM

8、、DO與DN為鄰邊解答：(1)如圖2，作BHx軸，垂足為H，那么四邊形BCOH為矩形，OHCB3在RtABH中，AH3，BA，所以BH6因此點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,6)(2) 因?yàn)镺E2EB，所以，E(2,4)設(shè)直線DE的解析式為ykxb，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，所以直線DE的解析式為(3) 由，知直線DE與x軸交于點(diǎn)F(10,0)，OF10，DF如圖3，當(dāng)DO為菱形的對(duì)角線時(shí)，MN與DO互相垂直平分，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,)如圖4，當(dāng)DO、DN為菱形的鄰邊時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,8)如圖5，當(dāng)DO、DM為菱形的鄰邊時(shí)

9、，NO5，延長(zhǎng)MN交x軸于P由NPODOF，得，即解得，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為 圖3 圖4 考點(diǎn)伸展如果第（3）題沒有限定點(diǎn)N在x軸上方的平面內(nèi)，那么菱形還有如圖6的情形 圖5 圖6四、相似三角形：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例4：（2013年蘇州中考28題）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點(diǎn)E、F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中，EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是EBF設(shè)點(diǎn)E、F、

10、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（1）當(dāng)t= s時(shí)，四邊形EBFB為正方形；（2）若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 思路點(diǎn)撥：（1）利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）EBF與FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計(jì)算；（3）本問為存在型問題假設(shè)存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在解答：（1）若四邊形EBFB為正方形，則BE=BF，即：10t=3t，解得t=2.5；（2）分兩種情況，討論如下：若EBFFCG，則

11、有，即，解得：t=2.8；若EBFGCF，則有，即，解得：t=142（不合題意，舍去）或t=14+2當(dāng)t=2.8s或t=（14+2）s時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合如圖，過點(diǎn)O作OMBC于點(diǎn)M，則在RtOFM中，OF=BF=3t，F(xiàn)M=BCBF=63t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（63t）2=（3t）2解得：t=；過點(diǎn)O作ONAB于點(diǎn)N，則在RtOEN中，OE=BE=10t，EN=BEBN=10t5=5t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5t）2=（10t）2

12、解得：t=3.93.9，不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合考點(diǎn)伸展：本題為運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了矩形性質(zhì)、軸對(duì)稱、相似三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn)題目并不復(fù)雜，但需要仔細(xì)分析題意，認(rèn)真作答第（2）問中，需要分類討論，避免漏解；第（3）問是存在型問題，可以先假設(shè)存在，然后通過推導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論，從而判定不存在拓展練習(xí)：1、如圖1，梯形ABCD中，AD BC，B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,點(diǎn)P從A開始沿AD邊以1cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開始沿CB向點(diǎn)B以2 cm/秒的速度移動(dòng)，如果P，Q分別從A，C同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒。當(dāng)t= 時(shí)，四邊

13、形是平行四邊形； 當(dāng)t= 時(shí)，四邊形是等腰梯形. （1題圖） 備用圖2、如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在邊DC上，且DM=1，N為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，則DN+MN的最小值為 。 （2題圖） （3題圖）3、如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線從與重合的位置開始，繞點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交邊于點(diǎn)過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，設(shè)直線的旋轉(zhuǎn)角為（1）當(dāng) 度時(shí)，四邊形是等腰梯形，此時(shí)的長(zhǎng)為 ；當(dāng) 度時(shí)，四邊形是直角梯形，此時(shí)的長(zhǎng)為 ；（2）當(dāng)時(shí)，判斷四邊形是否為菱形，并說明理由ACBEDNM圖3ABCDEMN圖24、在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E.

14、CBAED圖1NM(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：ADCCEB；DE=ADBE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.5、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，且EF交正方形外角的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)

15、E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由； （2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由 6、如圖, 射線MB上,MB=9,A是射線MB外一點(diǎn),AB=5且A到射線MB的距離為3,動(dòng)點(diǎn)P從M沿射線MB方向以1個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t. 求（1） PAB為等腰三角形的t值；（2） PAB為直角三角形的t值；（3） 若AB=5且ABM=4

16、5 °，其他條件不變，直接寫出 PAB為直角三角形的t值。7、如圖1，在等腰梯形中，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，.求：（1）求點(diǎn)到的距離；（2）點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，過作交折線于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè).當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖2），的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說明理由；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由ADEBFC圖4（備用）ADEBFC圖5（備用）ADEBFC圖1圖2ADEBFCPNM圖3ADEBFCPNM（第25題）8、如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)(1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/

17、s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請(qǐng)說明理由；若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？（2）若點(diǎn)Q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？ （8題圖） （9題圖）9、如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動(dòng)，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)

18、E、F在BCCD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最小）值10、如圖，在AOB中，AOB=90°，OA=OB=6，C為OB上一點(diǎn)，射線CDOB交AB于點(diǎn)D，OC=2點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止過點(diǎn)P作PEOA于點(diǎn)E，PFOB于點(diǎn)F，得到矩形PEOF以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形QMN，斜邊MNOB，且MN=QC設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）（1）求t=1時(shí)FC的長(zhǎng)度（2）求

19、MN=PF時(shí)t的值（3）當(dāng)QMN和矩形PEOF有重疊部分時(shí)，求重疊（陰影）部分圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式（4）直接寫出QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值參考答案：1、解：（1）要使四邊形PQCD為平行四邊形，則PD=CQ，AD=18cm，即18-t=2t，解得：t=6；（2）設(shè)經(jīng)過ts，四邊形PQCD是等腰梯形過Q點(diǎn)作QEAD，過D點(diǎn)作DFBC，四邊形PQCD是等腰梯形，PQ=DC又ADBC，B=90°，AB=EQ=DFEQPFDCFC=EP=BC-AD=21-18=3又AE=BQ=21-2t，EP=t-AE，EP=AP-AE=t-（21-2t）=3得：t=8經(jīng)過8s，

20、四邊形PQCD是等腰梯形2、5；3、解：（1）30，1；60，1.5；（2）當(dāng)=900時(shí)，四邊形EDBC是菱形.=ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四邊形EDBC是平行四邊形在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2, A=300.AB=4,AC=2. AO= .在RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2. BD=BC. 又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形 4、解：（1） ACD=ACB=90° CAD+ACD=90° BCE+ACD=90° CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD，CD=BE D

21、E=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB=ACB=90° ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ADC=CEB=ACB=90° ACD=CBE， 又AC=BC， ACDCBE， AD=CE，CD=BE， DE=CD-CE=BE-AD. 5、解：（1）正確證明：在上取一點(diǎn)，使，連接，是外角平分線， ， （ASA） （2）正確 證明：在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)使，連接 四邊形是正方形， （ASA） 6、解：解：（1）作AEBM

22、于E。則AE=3，AB=5，BE=（AB²-AE²）=4 MP=t, BP=9-t若AP=AB,9-t=2×4t=1若PA=PB，BP/(1/2AB)=AB/BP（9-t)²=1/2*5*5t=9-5/2(9+5/2舍去）若BA=BP，|9-t|=5t=4 、14綜上，t=1、4、9-5/2、14（2）若APB=90°9-t=4t=5若PAB=90°BP/BA=BA/BE(9-t)/5=5/4t=11/4綜上，t=5、11/4。7、解：（1）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn) 為的中點(diǎn)， 在中， 即點(diǎn)到的距離為 圖1ADEBFCG（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)

23、動(dòng)時(shí)，的形狀不發(fā)生改變 ， 同理 如圖2，過點(diǎn)作于，圖2ADEBFCPNMGH 則在中，的周長(zhǎng)= 當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀發(fā)生改變，但恒為等邊三角形當(dāng)時(shí)，如圖3，作于，則類似， 是等邊三角形，此時(shí)， 當(dāng)時(shí)，如圖4，這時(shí) 此時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖5， 則又 因此點(diǎn)與重合，為直角三角形 此時(shí)，綜上所述，當(dāng)或4或時(shí)，為等腰三角形 8、解：AQCDBP解：（1）秒， 厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)， 厘米又厘米， 厘米， 又， ， ， ， 又，則，點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒， 厘米/秒。（2）設(shè)經(jīng)過秒后點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇， 由題意，得，解得秒點(diǎn)共運(yùn)動(dòng)了厘米 ，點(diǎn)、點(diǎn)在邊上相遇，經(jīng)過秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇9、解：（1）證明：

24、如圖，連接AC，四邊形ABCD為菱形，BAD=120°，BAE+EAC=60°，F(xiàn)AC+EAC=60°，BAE=FAC。BAD=120°，ABF=60°。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60°，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。 （2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H點(diǎn)，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短故AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短