一階動態(tài)電路分析

1、第 3 章電路的暫態(tài)分析【教學提示 】暫態(tài)過程是電路的一種特殊過程，持續(xù)時間一般極為短暫，但在實際工作中卻極為重要。本章介紹了電路暫態(tài)過程分析的有關概念和定律，重點分析了RC和RL一階線性電路的暫態(tài)過程，由RC電路的暫態(tài)過程歸納出了一階電路暫態(tài)分析的三要素法。最后討論了RC的實際應用電路積分和微分電路?！窘虒W要求 】了解一階電路的暫態(tài)、穩(wěn)態(tài)、激勵、響應等的基本概念理解電路的換路定律和時間常數(shù)的物理意義了解用經典法分析RC 電路、 RL 電路的方法掌握一階電路暫態(tài)分析的三要素法了解微分電路和積分電路的構成及其必須具備的條件3.1暫態(tài)分析的基本概念暫態(tài)分析的有關概念是分析暫態(tài)過程的基礎，理解這些概

2、念能更好地理解電路的暫態(tài)過程。1.穩(wěn)態(tài)在前面幾章的討論中，電路中的電壓或電流，都是某一穩(wěn)定值或某一穩(wěn)定的時間函數(shù)，態(tài)稱為電路的穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)（steady state）。這種狀2.換路當電路中的工作條件發(fā)生變化時，如電路在接通、斷開、改接、元件參數(shù)等發(fā)生突變時，都會引起電路工作狀態(tài)的改變，就有可能過渡到另一種穩(wěn)定狀態(tài)。把上述引起電路工作狀態(tài)發(fā)生變化的情況稱為電路的換路（switching circuit ）。3.暫態(tài)換路后，電路由原來的穩(wěn)定狀態(tài)轉變到另一個穩(wěn)定狀態(tài)。這種轉換不是瞬間完成的，而是有一個過渡過程，電路在過渡過程中所處的狀態(tài)稱為暫態(tài)（transient state）。4.激勵激勵

3、（ excitation ）又稱輸入，是指從電源輸入的信號。激勵按類型不同可以分為直流激勵、階躍信號激勵、沖擊信號激勵以及正弦激勵。5.響應電路在在內部儲能或者外部激勵的作用下， 產生的電壓和電流統(tǒng)稱為響應。 按照產生響應原因的不同，響應又可以分為：（ 1）零輸入響應（ zero input response）：零輸入響應就是電路在無外部激勵時，只是由內部儲能元件中初始儲能而引起的響應。（ 2）零狀態(tài)響應（ zero state response）：零狀態(tài)響應就是電路換路時儲能元件在初始儲能為零的情況下，由外部激勵所引起的響應。（ 3）全響應（ complete response）：在換路時儲

4、能元件初始儲能不為零的情況下，再加上外部激勵所引起的響應。3.一階電路電路中只含有一個儲能元件或等效為一個儲能元件的線性電路，其 KVL 方程為一階微分方程，這類電路稱為一階電路，它包括RC 電路和 RL 電路。盡管暫態(tài)過程時間短暫，但它是客觀存在的物理現(xiàn)象，在實際應用中極為重要。一方面可以利用暫態(tài)過程有利的一面，如在電子技術中利用它來產生波形（鋸齒波、三角波等）。另一方面，也要避免它有害的一面，如在暫態(tài)過程中可能會出現(xiàn)過電壓或過電流，會損壞元器件和電氣設備。因此研究暫態(tài)過程可以掌握它的規(guī)律，以便利用它有利的一面，避免不利的一面，意義重大。3.2換路定律換路定律是電路暫態(tài)分析中的主要定律，它是

5、求解電容的電壓和電感的電流初始值的主要依據。換路定律電路的換路是產生暫態(tài)過程的外因， 而要產生暫態(tài)過程， 必須有儲能元件電感或電容。 當換路時，含有儲能元件的電路的穩(wěn)定狀態(tài)發(fā)生了變化，電感和電容中的儲能也要發(fā)生變化，但能量不dw能突變。因為若能量突變，由p可得功率為無窮大，而功率是有限的。因此，能量不能突1dt1變。而電感的磁場能為 WLLi L2，電容中的電場能WCCu C2 ，能量不能突變，這就意味著電22感中的電流和電容上的電壓不能突變。所以換路前的終了值應等于換路后的初始值，這一規(guī)律稱為電路的換路定律（ switching law ）。若 t=0_ 表示換路前終了瞬間，t=0+表示換路

6、后初始瞬間，則換路定律可以用公式表示為：（）（0）uC 0uC（0）（）i Li L 0初始值的確定1.初始值的求解步驟換路定律適用于換路瞬間，由它可以確定換路后uC 或 iL 的初始值，再由這兩個初始值來確定換路后電路的其他電壓或電流的初始值。以下為求初始值的求解步驟：（ 1）由 t0的等效電路求出 u（0 ）或 i （0 ）。CL（ 2）由換路定律確定u（0）i （0 ）。C或L（ 3）由t0的等效電路，利用u（0）i（0）C或L求出換路瞬間電路中的其他電量的初始值。2.等效電路的畫法在 t0和 t0 時，等效電路的畫法應根據以下幾點：（ 1）換路前電容或電感上沒有儲能：t0的等效電路中，

7、所有電量的值為0， f (0)0 。t0的等效電路中，電容視為短路，電感視為開路。這是因為t0時，由換路定律知u （0） u（0），而此時電容中有電流，所以電容視為短CC=0路； （） （）i L0i L 0=0，而此時電感兩端有電壓，所以電感視為開路。（ 2）換路前電容或電感上有儲能且已達穩(wěn)態(tài)， t0的等效電路中，電容視為開路，其電壓為u C（0 ）；電感視為短路，其電流為i（L0）；這是因為電容與電感的伏安關系分別為ducdi L（）i CC，uL L00 ，換路前達穩(wěn)態(tài)時， iCdtdt（0）0 。所以電容視為開路，其電壓為uC（0 ）；電感視為短路，其電流為i（L0 ）。u Lt0的等

8、效電路中，電容視為一個恒壓源，電壓為u（0 ）；電感視為一個恒流源，電流為C（）i L0。這是因為換路時電容的電壓和電感的電流不能突變，所以電容視為一個恒壓源，電壓為u（0）i（0 ）。C；電感視為一個恒流源，電流為L穩(wěn)態(tài)值的確定換路后的電路達到新的穩(wěn)態(tài)后，電壓和電流的數(shù)值稱為穩(wěn)態(tài)值，當t時，電路又達新的穩(wěn)態(tài)。若 t若 t所以在 t時電感或電容無儲能，則（） 0， i （L） 0 ，其它電量的穩(wěn)態(tài)值也為零。uC時電感或電容有儲能， 因已達穩(wěn)態(tài)， 則 i （）0 ，u（ ） 0 而 u（ ） 0 ，i（ ） 0 。CLCL的等效電路中，電容視為開路，其電壓為u（）i （ ）。C；電感視為短路，其

9、電流為L再利用電容開路和電感短路求其它電量的穩(wěn)態(tài)值?！纠?3.1】電路如圖所示，已知 E=12V ， R1=4， R2=2，開關 S 斷開前電路已達穩(wěn)態(tài)。求 S 斷開后，（ 1）u（0）C、 i（0 ）、 u （0 ）。CR1（ 2）（）u C、 i C（ ）、 uR1（ ）。S+i CE+-R2CU2R1-圖解： （ 1）求初始值畫出 t 0 時的等效電路如圖3.2.2 （a）所示。+iC(0+ )12V+-2uC(0-)4V2 uR2 (0+)4-（a）（b）圖由題意知：換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容C 視為開路，由等效電路得：uC（0 ）212 4V42由換路定律得：（）（）uC 0uC0

10、=4V畫出 t 0 時的等效電路如圖3.2.2 （ b）所示，此時電容視為一個電壓為4V 的恒壓源，則i C (0 )42 A2（0）4 Vu R2（ 2）求穩(wěn)態(tài)值由題意知：達穩(wěn)態(tài)時，電容沒有儲能，則u（） 0 VCi（ ） 0 ACu （） 0 VR23.3RC 電路的暫態(tài)分析本節(jié)將通過最簡單的RC 電路來分析其響應，也就是研究RC 電路的充放電規(guī)律。電路的零輸入響應1 S+ uR-+ uR -2RiCRiC+C+C+EuCuC-（ a）（b）圖電路的零輸入響應在圖所示（ a） RC 一階電路中，換路前開關S 合在“ 1”處，電源通過電阻R 對電容器充電至U0，t=0 時換路，即將開關S 轉

11、換到“RC 電路與直流電源連接，2”處，試分析換路后uC 、i C 的變化規(guī)律。因為換路后的電路外部激勵為零，內部儲能元件電容換路前有初始儲能，所以該電路的響應為零輸入響應。分析RC 電路的零輸入響應也就是分析其放電規(guī)律。換路后等效電路如圖（ b），由 KVL 可得：uCu R0由于 uR = R i ，將 iC duc 代入上式得微分方程：dtRC duCuC 0或duCuC0dtdtRC這是一個一階常系數(shù)線性齊次微分方程，它的通解為：u CAe pt式中 A 和 p 是待定系數(shù)， A 為常數(shù)， p 為該微分方程特征方程的根。將通解代入微分方程式得：RCpAe ptAe pt0整理后得到如下

12、的特征方程：RCp10特征根為：p1RC再來求常數(shù) A，可由初始條件確定，由題意知換路前電容電壓（）U 0uC 0根據換路定律得：（）（0）U 0u C 0u C令 t=0 將其代入微分方程的通解得：A（0）U 0uC將 p 和 A 的結果代入方程的通解得：ttu C U 0e RC或 u CuC（0 ） e RC其隨時間變化的曲線如圖3.3.2（ a）所示。 由圖可見，它的初始值為U，按指數(shù)規(guī)律衰減至零。uCiCU00tU 00tR（ a）（ b）圖電路的響應曲線由 i CC duc 可求出 i C 的變化規(guī)律：dtducU 0te RCi C CRdt其隨時間變化的曲線如圖3.3.2 (b

13、) 所示。由圖可見，它的初始值為U0，按指數(shù)規(guī)律衰減至零。通過分析 u C 、 i C 的變化規(guī)律可見，電路中各處的電壓和電流均按指數(shù)規(guī)律變化。當上面的暫態(tài)過程結束時，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，這時電容端電壓uC 和電流 i C 的穩(wěn)態(tài)值均為零。暫態(tài)過程進行的快慢，取決于電路參數(shù)R和C 的乘積。令RC ，其中 R 的單位是歐姆（ ）， C 的單位是法拉（ F）， 的單位為秒（ s）。因為它具有時間的量綱，所以稱為電路的時間常數(shù)，它僅僅是由電路的結構和元件參數(shù)的大小決定，而與換路情況和外加電壓無關。當 t0 時， uCU 0當時，1t = uCU 0e0.368U 0可見時間常數(shù)等于電壓 uC衰減到初始

14、值的 33.8%所需要的時間，如圖 3.3.3 所示。uCU 00.368U 00t圖 3.3.3同樣也可列出其它時刻uC 的數(shù)值，見表 3.3.1。表 3.3.1與 uC 的關系t02 345uCU00.360.130.050.010.005U0U 08U 067U 08U0從理論上講，電容電壓從u CU 0 過渡到新的穩(wěn)態(tài)（uC 0 ）需要的時間為無窮大，但由上表可以看出，一般經過3 5的時間就可以認為零輸入響應衰減到零，暫態(tài)過程結束?！纠?3.2】電路如圖3.3.4 所示，已知 R1=6， R2=3， C=0.01F，I S=3A ， S 閉合前電路處于直流穩(wěn)態(tài)，在 t=0 時 S 閉合

15、，求 t 0 時 iC 、 i1 、 i 2 。i 1R1i Ci 2I SS+CR2uC-圖（ a）解：（ 1）在 t0 時的等效電路中，電容視為開路，如圖（b）所示。R1+I Su（0 ） R2C-（ b）由圖可得：（0）I SR233 9（V）uC由換路定律得：（0）（0） 9（V ）uCuC（ 2）換路后的電路如圖（c）所示。i1R1iCi2+CuCR2-（ c）電路的時間常數(shù)為R1R2C2 0.01 0.02 sRCR2R1則由 RC 電路的零輸入響應的通解得：50tuC9eV則：i C C duc4.5e 50t Adti 1u C1.5e 50t AR1i 2uC3e 50t A

16、R2電路的零狀態(tài)響應S+ uR -t=0RiC+C+EuC-圖在圖所示 RC 一階電路中， 換路前開關S 斷開，電容無儲能。 t=0 時換路， 換路后 S 閉合，RC 電路與直流電源連接，試分析換路后uC 、 iC 的變化規(guī)律。因為換路前電容無初始儲能，即電路中儲能元件的初始值為零，電路的響應是由電源激勵所產生的，所以該電路的響應為零狀態(tài)響應。分析RC 電路的零狀態(tài)響應也就是分析其充電規(guī)律。換路后，電壓源通過電阻R 向電容 C 充電，電容上的電壓 uC 將從初始值逐漸過渡到某一個穩(wěn)態(tài)值。由圖中所示參考方向，根據KVL 得：uCu R E由于 u R R i C ，將 iCC duc 代入上式得

17、微分方程：dtRCduCuC EduCuCEdt或RCRCdt這是一個一階常系數(shù)線性非齊次微分方程，它通解得一般形式為：通解 =齊次微分方程通解+特解其中齊次微分方程通解即為上面所討論的Aept ，特解是非齊次微分方程的一個特殊解，可以取換路后的穩(wěn)態(tài)值。由題意可以得出，換路后的穩(wěn)態(tài)值為E，故非齊次微分方程的通解為：u CAe ptE其中 p 為該齊次微分方程的特征根。1pRC積分常數(shù)A 仍由初始值確定，將初始條件t0 時， u C 0 代入非齊次微分方程的通解，得：AE于是求得零狀態(tài)響應為：ttuCEeRCE（eRC）E 1其中， E 為 t時電容兩端電壓u C ( ) ，零狀態(tài)響應又可寫為t

18、tu CE (1 e RC ) uC ()( 1 e RC )則ducEtiCCRCdteR它們的變化曲線如圖3.3.6（ a）、（ b）所示。uCiCEERtt00（a）（b）圖電路的零狀態(tài)響應曲線【例 3.3】在圖中，已知R=2， C=4 F， E=10V ，當 t=0 時，開關S 閉合，換路前電容初始儲能為零，試求開關閉合后uC 、 i C 的變化規(guī)律。解：換路前 C 無初始儲能，故（0）（0）0uCu C換路后根據 KVL 得：uCu RE即RCduCuCEdt求得：t125 103 t）（eRC）（eu C E110 1ti CE e RC5e 125 103 tR電路的全響應在圖所

19、示 RC 一階電路中，換路前開關S 合在“ 1”處， RC 電路與直流電源E1 連接，而且電路已穩(wěn)定， t=0 時換路，即將開關S 轉換到“ 2”處， RC 電路與直流電源E2 連接，設電容的電壓和電流方向為關聯(lián)參考方向，試分析換路后uC 、 i C 的變化規(guī)律。1S+ uR -+2+Ri CC+E1E2uC-圖由于換路前電路已穩(wěn)定，電容已有儲能。換路后電路由電壓源全響應。在 t 0 時，由 KVL 得：E2 激勵，所以該電路的響應為uC+ u R = E2由于 u RR i C ，將 iCC duc 代入上式得微分方程：dtRC duCuC E2或duCuCE2dtdtRCRC求解的步驟和零

20、狀態(tài)響應是一樣的，但電路的初始條件不同，會影響常數(shù) A 的數(shù)值。 該微分方程的通解為：tuCAe RCE 2將初始條件 t = 0 + 時， uC (0+ ) = E1 代入微分方程的通解，得：AE1E 2于是求得全響應為：tu( EE) eRCE2C12整理得：ttuCE eRCE2(1 e RC )1tt分析 uC式可知， 式中第一項 E eRC是電路的零輸入響應， 第二項 E(1e RC ) 是零狀態(tài)響應。12因此，電路的全狀態(tài)響應可分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應兩部分之和。全響應 =零輸入響應 +零狀態(tài)響應由 uC 可以求出 iC 的響應。C duCti C(E1E2 ) e RCdtR

21、R它們的變化曲線如圖3.3.8 所示。uCuCE21EE1E2tt00（ a） EE（ b） E1E212圖 3.3.8RC 電路的全響應3.4RL 電路的暫態(tài)分析本節(jié)將通過最簡單的RL 電路來分析其響應，也就是研究RL 電路的充放電規(guī)律。3.4.1RL 電路的零輸入響應在圖 3.4.1所示（ a） RL 一階電路中， t=0 時換路，將開關S 閉合，試分析換路后 i L 、 uL 的變化規(guī)律。+ uR -RiL+S+Et= 0uL-圖 3.4.1 RL 電路的零輸入響應因為換路后的電路外部激勵為零，內部儲能元件電感換路前有初始儲能，所以該電路的響應為零輸入響應。分析 RL 電路的零輸入響應也

22、就是分析其放電規(guī)律。設電感的電壓和電流關聯(lián)參考，換路后，由KVL可得：u Lu R0由于 u RR i L ，將 uL LdiL代入上式得微分方程：dtL diLiL0或di LR0R dtdti LLi L ，進而求得 uL 。此方程與電容放電的微分方程形式相同，參照其解法可求得結果ti LE eR其中， E為 t時通過電感的電流i L () ，零狀態(tài)響應又可寫為RttEii（）eLeRL則diLtu LLEe dt式中LR它也具有時間的量綱，是RL 電路的時間常數(shù)。越大， iL 和 uL 衰減的越慢。它們隨時間變化的曲線如圖3.4.2 所示。E i LuLR0t- Et0(a)(b)圖電路

23、的響應曲線可見，電感電流與電容電壓的衰減規(guī)律是一樣的，都是按指數(shù)規(guī)律由初始值逐漸衰減而趨于零。而電感電壓在換路瞬間會發(fā)生突變，由零突變到RI S ，然后再按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減到零。過渡過程的快慢，取決于電路的時間常數(shù)L 。RRL 串聯(lián)電路實際上是線圈的電路模型，如電動機的繞組、儀表的線圈等。在使用的時候常會遇到線圈從電源斷開的問題，如圖所示電路， S 斷開前電路已處于穩(wěn)態(tài)。如果突然斷開開關S，這時電感中電流的變化率diL很大，將使線圈兩端產生很大的自感電動勢eLdiL。由于開關dtLdt兩觸頭間的間隙很小，高電動勢能使開關觸點被擊穿而產生電弧或火花，觸頭被燒壞。為防止開斷線圈電路時所產生的高壓，

24、常在電感線圈兩端并聯(lián)一個二極管。 開關 S 斷開前， 二極管反向截止；開關 S 斷開時，二極管導通，電感線圈中的電流通過二極管按指數(shù)規(guī)律放電，這樣就避免了產生高壓。St=0R+LE-圖電路的零狀態(tài)響應在圖 3.4.4 所示 RL 一階電路中，換路前電感無儲能。t=0 時換路， S 閉合， RL 電路與直流電源連接，試分析換路后i L 、 uL 的變化規(guī)律。S+ uR -t=0RiL+ELLu-圖電路的零狀態(tài)響應因為換路前電感無初始儲能，即電路中儲能元件的初始值為零，電路的響應是由電源激勵所產生的，所以該電路的響應為零狀態(tài)響應。分析RL 電路的零狀態(tài)響應也就是分析其充電規(guī)律。設電感的電壓和電流方

25、向關聯(lián)參考，換路后，由KVL 可得：uLu REIS2 激勵，所以該電路的響應為由于 u RRi L ，將 uL LdiL代入上式得微分方程：dtL di Li LE或di LRRR dtdtiLELLi L ，進而求得 uL 。此方程與電容充電的微分方程形式相同，參照電容充電的解法可求得結果ti LEE eRR其中， E為 t時通過電感的電流i L () ，因此零狀態(tài)響應又可寫為RE (1tti Le)i L ( )(1e)R則di Ltu LEeLdt它們隨時間變化的曲線如圖3.4.5 所示。iLu LERE0tt0（ a）（ b）圖 3.4.5 RL 電路的零狀態(tài)響應曲線可見，電感電流與

26、電容電壓的增長規(guī)律是一樣的，都是按指數(shù)規(guī)律由初始值增加到穩(wěn)定值的。電感電壓在換路瞬間會發(fā)生突變，由零突變到E，然后再按指數(shù)規(guī)律逐漸衰減到零。過渡過程的快慢，也取決于電路的時間常數(shù)L 。R電路的全響應在圖 3.4.6 所示 RL 一階電路中，換路前開關S合在 a 處， RL 電路與直流電壓源 E1 連接，而且電路已穩(wěn)定， t=0 時換路，即將開關S 轉換到“ b”處， RL 電路與直流電壓源E2 連接，試分析換路后 u L 、 i L 的變化規(guī)律。1S + uR -2RiL+L+E1E2uL-圖電路的全響應由于換路前電路已穩(wěn)定，電感已有儲能。換路后電路由電流源全響應。與求RC 電路的全響應類似，

27、RL 電路的全響應也等于零輸入響應于零狀態(tài)響應的疊加。由 RL 電路的零輸入響應和零狀態(tài)響應求得全響應為：ttti LE1 e E2 ( 1 e )E2( E1E2 )e RRRRRL di LttuLE e Ee dt12它們的變化曲線如圖圖3.4.7 所示。u LE1iLE2RE2E1R0t0t（a）（b）圖 3.4.73.5一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法上述 RC 和 RL 電路中， 應用 KVL 列寫待求量的微分方程式進行求解的方法，稱為經典法。對于一個簡單的一階電路， 可以應用經典的方法來求解， 但對于結構復雜的一階電路如果用經典法則顯得比較麻煩，下面我們介紹一階線性電路暫態(tài)分析常用

28、的方法三要素法?？偨Y RC、RL 電路微分方程的求解過程， 可以得出一階電路暫態(tài)過程電壓和電流解的形式是相同的，它們都由兩部分組成。u u' u' ' i i ' i ''其中， u' 和 i ' 為非齊次微分方程的特解，它可以在電路處于穩(wěn)定狀態(tài)時求出，稱為穩(wěn)態(tài)分量。tu'' 和 i ' ' 是對應齊次微分方程的通解， 它具有確定的函數(shù)形式稱為 Ae，隨著暫態(tài)過程的結束它將趨于零，稱為暫態(tài)分量。如果將待求的電壓或電流用f (t) 表示，其初始值和穩(wěn)態(tài)值分別為f (0 ) 和 f ( ) ，則其響應表示為：tf (t )f ()Ae在 t 0時有f ( 0)f ()A得：Af (0)f ()因此tf (t ) f ( ) f (0 )f ( ) e式中 f () 、 f (0 ) 和稱為一階電路的三要素，求解時只要求出三個要素，就能直接求出電路的響應?！纠?3.5.1】在圖 3.5.1所示電路中，已知E=10V ，R1=R2=5k，C=1nF，開關 S 閉合前電容無儲能。求開關S 閉合后的電容電壓u C 和電流i C 。S+ uR1-t=0R1iC+C+ER2 uR2uC-圖解： 本題是求零狀態(tài)響應，用三要素法求電容電壓uC 和電流 iC