機(jī)器負(fù)荷分配問題概要

1、案例4機(jī)器負(fù)荷分配問題某機(jī)器可以在高、低兩種不同的負(fù)荷下進(jìn)行生產(chǎn)。高負(fù)荷下生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品年產(chǎn)量s =8u1,式中u1為投入生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量，機(jī)器的年折損率為a = 07 ,即年初完好的機(jī)器數(shù)量為u1,年終就只剩下0.7U1臺是完好的，其余均需維修或報(bào)廢。在低負(fù)荷下生產(chǎn)，產(chǎn)品 年產(chǎn)量s =5u2 ,式中u2為投入生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量，機(jī)器的年折損率為x1 = 1000臺，要求制定一個五年計(jì)劃，在每年開始時(shí)決定如何重新分配好機(jī)器在兩種不同負(fù)荷下工作的數(shù)量， 使產(chǎn)品五年的總產(chǎn)量最高。模型分析設(shè)階段變量k表示年度，狀態(tài)變量xk是第k年初擁有的完好機(jī)器數(shù)量。k > 0時(shí)它也是k -1年度末的完好機(jī)器數(shù)量，決

2、策變量Xk規(guī)定為第k年度中分配在高負(fù)荷下生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量。于是 Xk -Uk是該年度分配在低負(fù)荷下生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)量。這里與前面幾 個例子不同的是 xk, uk的非整數(shù)值可以這樣來理解：例如xk =0.6表示一臺機(jī)器在該年度正常工作時(shí)間只占60%; uk=0.3表示一臺機(jī)器在該年度的3/10時(shí)間里在高負(fù)荷下工作。此時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為xk.1 =0.7Uk 0.9(xk - Uk), k =1,2,5k階段的允許決策集合是Dk (xk ) = Uk |0 M Uk M xk第k年度產(chǎn)品產(chǎn)量是Vk (xk , u k ) = 8Uk 5(x k - U k)指數(shù)函數(shù)是5V8Uj 5(xj -Uj)j 七最

3、優(yōu)值函數(shù)為九(*(<)=第卜年初從xk出發(fā)到第5年度結(jié)束產(chǎn)品產(chǎn)量的最大值由最優(yōu)化原理得遞推關(guān)系為 fk(xk) 熱 8uk 5(xk - uk) fk 10.7uk . 0.9(xk -5)邊界條件是f6(x6) =0，計(jì)算過程如下：k =5 時(shí)，£5(x5)=忠08匕 +5(x5 /)+ f60.7u5 +0.9(x5 U5)二0/歿網(wǎng)55(x5 -u5 )=0空號3化5x5因?yàn)閒5的表示式是u5的單調(diào)函數(shù)，所以最優(yōu)決策u5 = x5, f5 (x5)=8 x5;k = 4 時(shí)，f4(x4) = ma*8u4 5(x4 -u4)f50,7u4 0.9(x4 -u4)0 ,iU

4、4 .4=max 8u4 5(x4 -u4) 80.7u40.9(x4 - u4)0 _u4 _x4=max 1.4u4 12.2x40 /44同理，最優(yōu)決策*U4*f4(x4)=13.6x4 ,依次可以U3*U2*Ui因?yàn)閤1 =1000,所以=x3,=0,(3(X3)= 17.6x f2(x2) = 20.8x f1(x1) = 23.7x1f1(x1 )=23700 (臺)。后3年將全部從上面的計(jì)算可知，最優(yōu)策略是前兩年將全部完好機(jī)器投入低負(fù)荷生產(chǎn),機(jī)器投入高負(fù)荷生產(chǎn)，最高產(chǎn)量是23700臺。在一般情況下，如果計(jì)劃是 n年度，在高、低負(fù)荷下生產(chǎn)的產(chǎn)量函數(shù)分別是S, =CU1,S2=du2

5、, c>0,d >0, cd ,年折損率分別為 a和b, 0 <a < b < 1 ,則應(yīng)用上例相似 的辦法可以求出最優(yōu)策略是，前若干年全部投入低負(fù)荷下生產(chǎn)。由此還可看出，應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃可以在不求出數(shù)量值解的情況下確定最優(yōu)策略的結(jié)構(gòu)。終端狀態(tài)固定的情形。如果要求在第5年末完好的機(jī)器數(shù)量是 500臺，即x6 =500,于是由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程得X6 =0.7U6 09x5 -U5)=500 u5 =4.5x5 -2500這時(shí)允許決策集合D5(X5)退化為一個點(diǎn)，第 5年度投入高負(fù)荷生產(chǎn)的機(jī)器數(shù)只能由式(3-29)作出一種決策，所以f5(X5)= max8u5 5(X5 -

6、U5)二 max35 5x50 涉學(xué)0<U5 <X5=3 (4.5 x5-2500) +5 x5=18.5 x5-7500利用遞推關(guān)系，k=4時(shí)，f4 (x4 )= max 8山 5(x4-U4) f5(x5)0四4 汐=maxf8u4 5(x4 -u4) 18.50.7u4 0.9(x4 -u4) -7500-max 21654x4 一。.7山-7500顯然有最優(yōu)策略：u4* =0, f4 (x4)=21.65 x4- 7500 劃 21.7 x4 - 7500依次相似可得*u3 = 0,f3 (x3) = 24.5x3 - 7500*u2 =0, f2(x2) = 27.1x2 -7500 *_Ui =0,3(x1)=29.4x1-7500由此可見為滿足第 5年度末完好機(jī)器為 500臺的要求，而又要使產(chǎn)品產(chǎn)量最高，則前4年均應(yīng)全部在低負(fù)荷下生產(chǎn)，而在第5年又將部分機(jī)器投入高負(fù)荷生產(chǎn)。經(jīng)過計(jì)算x5 =656 , U5* =