概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題8詳細(xì)解答

1、習(xí)題八8.1某油品公司的桶裝潤(rùn)滑油標(biāo)定重量為10千克。商品檢驗(yàn)部門(mén)從市場(chǎng)上隨機(jī)抽取10桶，稱(chēng)得它們 的重量(單位：千克)分另1J 是 1029.7,10.1,10.3,10.1,9.8,9.9,10.4,10.3,9.8. 假設(shè)每桶油實(shí)際重量服從正態(tài)分布.試在顯著性水平0.01下，檢驗(yàn)該公司的桶裝潤(rùn)滑油重量是否確為10千克，試給出檢驗(yàn)的p值的計(jì)算公式.解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè)H0:10 H1:10此處 n=10,0.01, S=0.246.tn 1 3.25,于是拒絕域?yàn)?一S0.246X 03.25 - 3.25 =0.253<n<10而X 010.06 100.06 0.25

2、3,所以我們接受原假設(shè)，即桶裝潤(rùn)滑油重量確為10千克?？梢运愕?，該檢驗(yàn)的 P值為P S/.n10.06 100.246/ . 10P Tn 10.7710.58.2假設(shè)香煙中尼古丁含量服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某牌香煙中隨機(jī)抽取20支，其尼古丁含量的平均值X 18.6毫克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=2.4毫克，取顯著性水平0.01,我們能否接受“該種香煙的尼古丁含量的均值18毫克”的斷言？解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè)H0：18 H1：18此處n=20,0.01, S=2.4. tn 122.86 ,于是拒絕域?yàn)閨XS01 2.9 n2.862.4.201.53而|X 0 | 18.6 18 0.6 1.53,所以我

3、們接受原假設(shè)，即我們接受“該種香煙的尼古 丁含量的均值 18毫克”的斷言28.3(1)考慮正態(tài)總體N(,)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題Ho :證明：當(dāng)已知時(shí)，則拒絕域?yàn)閄 0 Z, n的檢驗(yàn)的顯著性水平為 。若2未知?jiǎng)t拒絕域?yàn)閄 0tn 1 ( ), n的檢驗(yàn)的顯著性水平為(2)在習(xí)題8.2中，對(duì) 2.4毫克和S=2.4毫克兩種情況，我們能否接受“該牌的香 煙尼古丁含量不超過(guò) 17.5毫克”的斷言？2、因H0中的均值者B比H1中的值X與0的差過(guò)分大，即X證明：(1)取顯著水平>0,對(duì)于正態(tài)總體 N(,)和假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題小，所以從直觀上看，較合理的檢驗(yàn)法則應(yīng)當(dāng)是：若觀察0 >c時(shí)，我們拒絕接受 H

4、0 .采用與書(shū)中類(lèi)似的討論，可以 推出c nZ于是拒絕域?yàn)閄 0.nZ類(lèi)似地，當(dāng) 2未知?jiǎng)t拒絕域?yàn)閄 0tn 1( ) .n(2)第1種情況， 2.4 ,問(wèn)題歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè)H0 :18 H1 :17.5此處n=20,0.01,2.4.Z 2.33,于是拒絕域?yàn)?Z 八 2.33 / 八X 02.4 1.25. n. 2018.6 17.5 1.1 1.25,所以我們接受原假設(shè)，即我們接受“該種香煙的尼古丁含量的均值17.5毫克”的斷言.第2種情況，S=2.4,問(wèn)題歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè)H0:18 H1:17.5此處n=20,0.01, S=2.4.tn 12.33,于是拒絕域?yàn)橐?S2.4X

5、0U )2.53 1.36,n. 20而X 0 18.6 1.75 1.1 1.36,所以我們接受原假設(shè)，即我們接受“該種香煙的尼古丁含量的均值17.5毫克”的斷言.28.4 設(shè)某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布N(,)，規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)尺寸為120毫米，現(xiàn)從該廠抽得5件產(chǎn)品測(cè)量其尺寸分別為119,120,119.2,119.7,119.6試判斷產(chǎn)品是否符合規(guī)定要求，即檢驗(yàn)假設(shè) H0：120 H1：120(顯著性水平=0.05). 解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè)H0:120此處 n=5,0.05,|X 0I而樣本觀察值 X 119.5, IX 0|119.5 120| 0.5 0.497,所以我們不接受原假

6、設(shè)，即可判斷產(chǎn)品不符合規(guī)定要求.8.5 設(shè)甲、乙兩煤礦所產(chǎn)的煤中含煤粉率分別為N( 1,7.5)和N( 2,2.6) 為檢驗(yàn)這兩個(gè)煤礦的煤含煤粉率有無(wú)明顯差異，從兩礦中取樣若干份，測(cè)試結(jié)果如下： 甲礦：24.3,20.8,23.7,21.3,17.4, 乙礦：18.2,16.9,20.2,16.7 試在顯著性水平=0.05下，檢驗(yàn)“含煤粉率無(wú)差異”這個(gè)假設(shè)。解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè)H 0 : 12 H 1 :12此處 127.5, m 5；; 2.6, m 4,查表得Z /2 1.96,在顯著性水平 =0.05H1 :120下的拒絕域?yàn)榻?jīng)計(jì)S0.4 .查表 tn 1(0.025)2.78 ,

7、于是拒絕域?yàn)?.42.78 0.497.5X Y z /2/-1.96 咚 262.87V m n1 54經(jīng)計(jì)算樣本觀察值 X21.5,Y 18, X Y 21.5 18 3.5 2.87 ,因此我們不接受原假設(shè)，即可判斷這兩個(gè)煤礦的煤含煤粉率有明顯差異，甲礦的煤含煤粉率高于乙礦的煤含煤粉率。8.6 比較A、B兩種小麥品種蛋白質(zhì)含量，隨機(jī)抽取A種小麥10個(gè)樣品，測(cè)得X 14.3,_22 .一 .一6=1.62.隨機(jī)抽取B種小麥5個(gè)樣品，測(cè)得Y 11.7§ =0.14，假定這兩種小麥蛋白質(zhì)含量都服從正態(tài)分布，且具有相同方差，試在0.01水平下，檢驗(yàn)兩種小麥的蛋白質(zhì)含量有無(wú)差異。解：?jiǎn)栴}

8、歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè)H 0 : 12 H 1 :1222 . ._ 2_ 2此處已知12 未知；S1 =1.62, S2 =0.14,S2查表得 tm n 2(0.005)(m 1)S12 (n 1)S；m n 23.01 ,在顯著性水平9 1.62 4 0.14 ( “1.1610 5 2=0.01下的拒絕域?yàn)?222H0:0.005 H1 :0.005X Y：mStmn2() J10v1?16 3.01 1.78m mn 2 2 V10 5樣本觀察值 X Y 4.3 11.72.6 1.78 ,因此我們不接受原假設(shè)，即可判斷A種小麥的蛋白質(zhì)含量高于 B種小麥的蛋白質(zhì)含量。8.7 由于存在聲音

9、反射的原因，人們?cè)谥v英語(yǔ)時(shí)在輔音識(shí)別上會(huì)遇到麻煩。有人隨機(jī)選 取了 10個(gè)以英語(yǔ)為母語(yǔ)的人（記為A組）和10個(gè)以英語(yǔ)為外國(guó)語(yǔ)的人（記為B組），進(jìn)行了試 驗(yàn)，下面記錄了他們正確反應(yīng)的比例（）.A 組：93,85,89,81,88,88,89,85,85,87,B 組：76,84,78,73,78,76,70,82,79,77.假定這些數(shù)據(jù)都來(lái)自正態(tài)總體，且具有公共方差，試在=0.05下，檢驗(yàn)這兩組的反應(yīng)是否有顯著差異？解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè)此處已知 2；未知；經(jīng)計(jì)算S123.232, S2 4.032,_2_ 22 (m 1)& (n gS_2_ 29 3.239 4.03_ o13

10、.310 10 2查表得tm n 2（0口25） 2.1 ,在顯著性水平=0.05下的拒絕域?yàn)? m n110 10:X Y ；Stm n 2 (-) J 寸 13.3 2.1 3.42V mn 2110 10經(jīng)計(jì)算樣本觀察值，X 87,Y 77.3 X Y 87 77.3 9.7 3.42 ,因此我們不接受原假設(shè)，即可判斷 A組的反應(yīng)高于B的反應(yīng)。8.8 某廠生產(chǎn)的瓶裝純凈水要求標(biāo)準(zhǔn)差0.02升，現(xiàn)在從超級(jí)市場(chǎng)上隨機(jī)抽取20瓶這樣的純凈水，發(fā)現(xiàn)它們所裝水量的樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=0.03升.假定瓶裝純凈水裝水量服從正態(tài)分布，試問(wèn)在顯著性水平=0.05下，我們能否認(rèn)為它們達(dá)到了標(biāo)準(zhǔn)差0.02升的要求？

11、解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè)H。： 20.02 2 H1： 20.022這里 n=20,21129 0.02532.85,129 0.9758.90 。又已知S=0.03,因?yàn)?19 0.03220.02242.75 32.852(n 1)S220所以我們不接受原假設(shè)，即可判斷該廠生產(chǎn)的瓶裝純凈水不符合標(biāo)準(zhǔn)差0.02升的要求。8.9 試寫(xiě)出檢驗(yàn)（8.36）的推導(dǎo)過(guò)程.見(jiàn)教材P.183。略8.10 試對(duì)習(xí)題8.7的數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)假設(shè)H°:12;乩：1解：因?yàn)?m=n=10,在顯著性水平=0.05下的拒絕域?yàn)镾2S2Fm 1,n 1F9 9 0.0254.035F1 -S21 m 1,n 1

12、12 八八1F99 0.975F9,9(0.025)14.030.248S123.232S24.0320.642, 0.642 (0.248,4.03)所以兩組的方差無(wú)差異。8.11 某種導(dǎo)線要求電阻標(biāo)準(zhǔn)差不超過(guò)0.005歐姆，今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中隨機(jī)抽取 9根測(cè)量后算得S=0.07歐姆.設(shè)電阻測(cè)量值服從正態(tài)分布，問(wèn)在 =0.05下，能否認(rèn)為這批導(dǎo)線 的電阻值滿足原來(lái)的要求？解：?jiǎn)栴}歸結(jié)為檢驗(yàn)如下假設(shè)這里n=9, 2 12 0.0515.51。又已知S=0.07,因?yàn)?n 1)S22 08 0.072 -15.68 15.510.052所以我們不接受原假設(shè)，即認(rèn)為這批導(dǎo)線的電阻值不滿足原來(lái)的要

13、求。8.12 孟德?tīng)柾愣乖囼?yàn)中 有一次觀測(cè)到黃色和綠色豆子的數(shù)目分別為70和27,試在顯著性水平=0.05下， 檢驗(yàn)“黃色和綠色豆子的數(shù)目為3: 1”的理論。解：定義隨機(jī)變量1,若豆是黃色記 pi P(X1), P2 P(X0）,我們要檢驗(yàn)假設(shè)Ho : P1314,p24將（）分成兩個(gè)區(qū)間（2）計(jì)算每個(gè)區(qū)間上的理論頻數(shù),npi97 3 72.75,411I1(2，), I2 (,2)這里 n=70+27=97c 1 C Cnp2 9724.254f1 90 ,272(70(4)72.75)272.75(27 24.25)20.41624.250,若豆是綠色查表得 3（0.05）12（0.05）

14、3.84 0.416 ,所以我們接受原假設(shè)，即認(rèn)為黃色和綠色豆子的數(shù)目為3: 1。(黃,8.13 在一個(gè)復(fù)雜試驗(yàn)中，孟德?tīng)柾瑫r(shí)考慮豌豆的顏色和形狀，一共有四種組合:圓），（黃，非圓），（綠,圓），（綠，非圓），按孟德?tīng)柪碚撨@四類(lèi)應(yīng)有 9:3:3:1的比例 在一次觀察 中，他發(fā)現(xiàn)這四類(lèi)觀測(cè)到的數(shù)目分別為315,101,108和32,試在 =0.05下，檢驗(yàn)“ 9:3:3:1”這個(gè)理論。隨機(jī)事件（黃，圓）（黃，非圓）（氣大圓）（綠，非圓）隨機(jī)變量X12343）, P4 P（X 4）,我們要檢驗(yàn)假設(shè)解：定義隨機(jī)變量記 p1 P(X1), P2 P(X 2), P3P(XHo：Pi116將（）分成四個(gè)

15、區(qū)間1，1.5，I2（人5,3.5，1，（35），I2（，-）記 pi P(XIi),i0,1,2, ,10,我們要檢驗(yàn)假設(shè)(2)計(jì)算每個(gè)區(qū)間上的理論頻數(shù)，這里 n=315+101 + 108+32=556931np1 556 312.75,np2 np3 556 104.25,np4 556 34.75實(shí)際頻數(shù)，fi 315, f2 101, f3 108, f4 32_2_2_2 _22(315 312.75)(101 104.25)(108 104.25)(32 34.75)(4) 312.75104.25104.2534.750.01619 0.10132 0.13489 0.2176

16、3 0.470查表得 2 1(0.05)2(0.05) 9.348 0.470 ,所以我們接受原假設(shè)，即接受“9:3:3:1這個(gè)理論。8.14某汽車(chē)修理公司想知道每天送來(lái)修理的車(chē)數(shù)是否服從泊松分布下表給出了該公司250天的送修車(chē)數(shù)：送修車(chē)數(shù)012345678910送這么多車(chē)的天數(shù)2821314448392217135試在 =0.05下，檢驗(yàn)原假設(shè)：一天內(nèi)送修車(chē)數(shù)服從泊松分布 P()。解：定義隨機(jī)變量 X為一天送修車(chē)數(shù)，X的取值有：0,1,2,10.(1)將(,)分成十一個(gè)區(qū)間Io (,0.5, I1(0.5,1.5, Ii (i 0.5, i 0.5, i 1,2, ,911。(9.5,)H

17、o :總體X服從泊松分布e iP X i ,i 0,1,2,i!由于在Ho中參數(shù)未具體給出，故先估計(jì).由最大似然估計(jì)法得X 5。(2)查泊松分布得隨機(jī)變量X理論取得的概率送修車(chē)數(shù)XPoP1P2P3P4P5P6P7P8P9P10理論概率0.00670.03370.08420.14040.17550.17550.14620.10440.06530.03630.0318從而得到在每一個(gè)區(qū)間上的理論頻數(shù)送修車(chē)數(shù)X012345678910送這么多車(chē)的理論天數(shù)1.6758.42521.0535.143.87543.87536.5526.116.3259.0757.95X012345678910f理i1.6

18、758.42521.0535.143.87543.87536.5526.116.3259.0757.95fi2821314448392217135ff 理)21理0.06300.02140.00010.4790.00040.38780.16420.6440.02791.6981.095210 (f實(shí) if 理 i)2(3)列表計(jì)算統(tǒng)計(jì)量i 0 f 理 i由表得10 (f實(shí)i f理i)2i 0 f 理 i=0.9+1.6+0.4+1.6+2.5+3.6=10.6查表得21(0.05)2(0.05) 11.07 10.06 ,所以我們接受原假設(shè)：每個(gè)點(diǎn)出現(xiàn)，1、e 一，的概率均為1,即這顆骰子是均勻的。4.496查分位表得w(0.05) 18.31,因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量24.496<18.31 ,所以我們接受原假設(shè)，可以認(rèn)為一天內(nèi)送修車(chē)數(shù)服從泊松分布P()。8.15為檢驗(yàn)一顆骰子的均勻性，對(duì)這顆骰子