的抽樣分布定理證明

1、.的抽樣分布定理證明作者:日期:幾種統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布(1)樣本平均數(shù)x的抽樣分布(P.116)1 設(shè)(Xi, X2,Xn)是總體X N(,)的隨機(jī)樣本，X = Xi ,則 n i 1_1 n1n1nE(X) = E( N(,)， U =nn 8, X ,樣本容量越大，X離 當(dāng)x不服從正態(tài)分布時(shí)，在 n2從正態(tài)分布N(,)。ni) = E(Xi)=n i 1n i 1n i 14 n1、1Var( x ) = Var( -Xi )=)1Var(Xi)=nn i 1 n因Xi N( , 2 ), i = 1,2, n； , X = 1x1+1 x2+1xn ,根據(jù)正態(tài)分布的線性性質(zhì)，得n nn15

2、X近似服-N(0, 1)/ .n越近。30條件下，依據(jù)中心極限定理可認(rèn)為,(1)當(dāng)X為有限總Z = xL-F= N(0, 1) / . n上面給出的E(X) = , Var (X)= 是以x為無限總體為條件的。 n體，但 0.05時(shí)，仍把X當(dāng)作無限總體看待。(2)當(dāng) 0.05時(shí)，NNE(x)=N n 2Var(X) =N 1 n其中鬲稱作有限總體修正因子圖1發(fā)票面額的分組頻數(shù)表(=20,= 30)(文件名：stat06)圖 2 n=3, n=10, n=100 的抽樣分布(X =30.3)例1: 8042張發(fā)票面額的分組頻數(shù)表顯示該總體是非正態(tài)、右偏倚的，如圖1,= 20,=30。以樣本容量為

3、 n =3, n = 10, n = 100各抽取600次，得到關(guān)于X的三個(gè)頻數(shù)分布圖如2(2)統(tǒng)計(jì)量 W = (n ?S的抽樣分布 若U1, U2,Un是相互獨(dú)立且同服從N(0, 1)分布隨機(jī)變量，則nU 12 + U 22 + + Un2 = U i 22(n)i 1當(dāng)n = 1時(shí)，U12服從1個(gè)臼由度的2分布。2分布統(tǒng)計(jì)量具有可加性。設(shè)(X1)X2)Xn)是取臼正態(tài)總體X (2 )的樣本。則n(Xi)2i 12(n)證：因Xi N ( , 2),所以色N(0, 1),則n(Xi)2i 12(主)2 設(shè)(X1, X2,Xn)是取自正態(tài)總體 X ( , 2 )的樣本。則 n(Xi X)22a

4、, i 1(n 1)S22W = 2 = 2 (n-1)證：因?yàn)?Xi)2 =(Xi X) + (X2一 -2)=(Xi X) 2+(X ) +2 (X )(Xi X)所以(Xi x)2 * * + n (X )2)2n2(Xi X) _LJ+ ( X )22( /.n)nn22(Xi)(Xi X)2i 1i 1n(xT=T+移項(xiàng)整理(Xi i 12X)n(Xi i 1)2,X 、2-(/.n)n（Xi 因?yàn)椋?)22(n)(X)2211)，且/. n(Xi）2與x相互獨(dú)立，所以由2分布的可加性,n(Xi i 122X) .(n賓 2（n- 1）統(tǒng)計(jì)量t =二尸的抽樣分布S/ , nx N(0

5、, 1), y2(n)且相互獨(dú)立,則稱X t (n)（x1, X2, Xn）是取自正態(tài)總體 X2 ）的樣本。試證2(n),所以2(Xi)2一2一；nX(Xi)2/nt (n)2）的樣本。則 設(shè)(X1, X2, - Xn)是取自正態(tài)總體 Xt =尸t (n-1)S/、n證：因X ( , 2),所以X N (2-), n2一尸N(0, 1)。又因(n ?S/ . n2X，/、一 n(n 1)S2 (n1)XS/x nt (n-1)設(shè)(Xi, X2,Xn) 的樣本且相互獨(dú)立，則(yi, y2,yn)是分別取自總體 x N( i , ), y N( 2, 2 )(X y)(ni 1)Si2nit (n

6、l+ n 2 -2)(i(n2 1)S n2 2其中S 1,S2分別是這兩個(gè)樣本的樣本方差。把(x-y)看作一個(gè)隨機(jī)變量，則E(X-y) = E(X) - E(y) = 1 - 2n2Var (X- y) = Var ( X) + Var( y )=+ ni所以X- y N(1-2, -+-),nin2(X y) ( 12)N(0, 1)n1n2由給定條件知(ni 1)Si222 (ni-1),(n2 i)S2 22，(n2-1)且相互獨(dú)立，由2分布的可加性,， ,一 2(ni 1)Si2， ,一 2(n2 1)S22 (ni+ n2 -2)按t分布定義,(X y)12)1.V/(n1n22)

7、一 2一 21 (ni i)Si(n2 i)S2n1 n2 2，、一 2(ni 1)Sinin2 22)1)S2211 nin2t(n1+ n2 - 2)(4)統(tǒng)計(jì)量F的抽樣分布若 X 2 (n1) , y 2 (n2),且x與y相互獨(dú)立，則F =此 y/n2F(n1 叫) 設(shè)(X1, X2,Xn), (y 1, y2,yn)分別是取自N(1,12), N( 2, 22)總體的獨(dú)立樣本。證：由上知2 , (Xi 1) /、(yi2 ) /n2222F(n1, n2)1(Xi1)2212.2 ( n1),(yi 2)2222(n2),所以(Xi1)21(yi2)222一/n12一 /n22 /

8、一(為 1) /n12(yi2) /n22 2 2 1F(n1.,n2)Xn)(y1， y2, .yn)分別取自兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體N( 1, 12), N( 2,S12/ F = T-S2 /2 2)的樣本，則2 1 2 2F(n1 1,n2 1)其中S21,S22分別是兩個(gè)樣本的樣本方差。,、- 2(n1 1)S1證明：(nl-1),、- 2(n2 g222 ,、(n2-1)1)(n2 1)S22一/(n21)S12 /s22 /2=F2F(n1 1,n21)F1/2(f1, f2)=F /2(f2，f1)P F1/2(f1, f2)S 2251 _2 FC 2 .2 廠52 1/2 (

9、f1, f2) = 1-o 22m S12P tt.fS21F1/2(f1, f2) 二PIS22 .S1F1=F1/2(f1,f2)222S212 .2 F(f2, f1),S121F1/2(f1,f2)/2 (f2, f1)所以F 1- /2 (f1, f2)=F /2(f2,f1)(5)樣本比率p的抽樣分布設(shè)容量為N的總體中，具有某種性質(zhì)的元素?cái)?shù)為X個(gè)，則關(guān)于具有這種性質(zhì)的元素?cái)?shù)的總體比率是若從該總體中抽取容量為 n的樣本，具有該種性質(zhì)的元素?cái)?shù)為x,則關(guān)于該種元素的樣本比率是若米用重復(fù)抽樣方式，設(shè)x = xi + x 2+ + xn為n個(gè)Bernouli變量之和，則x B(n, p), x = 0,i, 2, - n，(服從二項(xiàng)分布)。x的概率分布是P(x) = CnxP x (1- P) n xx = 0, 1,2, - rn因?yàn)閜和x只差一個(gè)常數(shù)，所以P也服從二項(xiàng)分布。p = B(n, p), (一 = 0, , , , , 1)nn n n/_、npripn np12.p( p ) = Cn p (1 p) , p = 0, , , ，1n n已知： E(x) = n pVar(x) = n p (1- p)所以， E( p ) = E(x) = 1 E(x) = n p = pn n n n_11p(1 p)Var( p ) = Var (x)