高中常見數(shù)學(xué)模型案例

1、高中常見數(shù)學(xué)模型案例中華人民共和國教育部2003年4月制定的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：“數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容”，“數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決問題中的價值和作用，體驗數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強(qiáng)應(yīng)用意識；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力?！苯滩闹谐Ｒ娔Ｐ陀腥缦聨追N:一、函數(shù)模型用函數(shù)的觀點解決實際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的、最常用的方法。函數(shù)模型與方法在處理實際問題中的廣泛運用，兩個變量或幾個變量，凡能找到它們之間

2、的聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)形式表示出來，建立起一個函數(shù)關(guān)系（數(shù)學(xué)模型），然后運用函數(shù)的有關(guān)知識去解決實際問題，這些都屬于函數(shù)模型的范疇。1、正比例、反比例函數(shù)問題例1：某商人購貨，進(jìn)價已按原價a扣去25%，他希望對貨物訂一新價，以便按新價讓利銷售后仍可獲得售價25%的純利，則此商人經(jīng)營者中貨物的件數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系是_。分析：欲求貨物數(shù)x與按新價讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是要弄清原價、進(jìn)價、新價之間的關(guān)系。若設(shè)新價為b，則售價為b（120%），因為原價為a，所以進(jìn)價為a（125）解：依題意，有化簡得，所以，即2、一次函數(shù)問題 例2：某人開汽車以60km/h的速度從A地到150km

3、遠(yuǎn)處的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽車離開A地的路x（km）表示為時間t（h）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖像。分析：根據(jù)路程速度×時間，可得出路程x和時間t得函數(shù)關(guān)系式x（t）；同樣，可列出v(t)的關(guān)系式。要注意v(t)是一個矢量，從B地返回時速度為負(fù)值，重點應(yīng)注意如何畫這兩個函數(shù)的圖像，要知道這兩個函數(shù)所反映的變化關(guān)系是不一樣的。解：汽車離開A地的距離x km與時間t h之間的關(guān)系式是：，圖略。速度vkm/h與時間t h的函數(shù)關(guān)系式是：，圖略。3、二次函數(shù)問題 例3：有L米長的鋼材，要做成如圖所示的窗架，上半部分為半圓，下半部分為六個全等小矩形組成的矩形，

4、試問小矩形的長、寬比為多少時，窗所通過的光線最多，并具體標(biāo)出窗框面積的最大值。解：設(shè)小矩形長為x，寬為y，則由圖形條件可得：要使窗所通過的光線最多，即要窗框面積最大，則： 當(dāng)時，即： 此時窗框面積S有最大值?？梢?，一般的設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題已知條件，運用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其它相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù)學(xué)模型。二、數(shù)列模型數(shù)列模型有增長率問題和銀行中的儲蓄與貸款問題。在高一年級教材中就有這類數(shù)學(xué)問題，下面以一個例題來分析銀行中的數(shù)學(xué)建模問題。例4：某銀行設(shè)立了教育助學(xué)貸款，其中規(guī)定一年期以上貸款月

5、均等額還本付息，如果貸款10000元，兩年還清，月利率為0.4575，那么每月應(yīng)還多少錢呢？分析與假設(shè)：按照規(guī)定，償還貸款既要償還本金，還要支付利息。在上述問題中，到貸款兩年（即24個月）付清時，10000元貸款的本金與它的利息之和是多少呢？引導(dǎo)學(xué)生通過填表來回答： 10000元貸款的本金（元）與它的利息之和1個月后 2個月后 3個月后 23個月后 24個月后 通過對例子的分析，與學(xué)生交流使學(xué)生認(rèn)識到：到期償還貸款的含義即各月所付款連同到貸款付清時所生利息之和，等于貸款本金及到貸款付清時的利息之和，計算每月應(yīng)付款額?？梢园l(fā)現(xiàn)，上述等式是一個關(guān)于

6、x的一次方程，且等號左邊括號內(nèi)是一個首項為1，公比為1.004575的等比數(shù)列的前24項的和，于是：即解之得提出問題：如果采用上述分期付款方式貸款a元，m個月將款全部付清，月利率為r，那么每月付款款額的計算公式是什么？ 顯然問題轉(zhuǎn)化為建立關(guān)于x的方程。設(shè)采用分期付款方式貸a元，m個月將款全部付清，月利率為r，每月付款x元，那么：把右邊求和，得，所以：萬元。 三、初等概率模型古典概率不僅要求基本實踐的出現(xiàn)具有等可能性，而且要求樣本空間為有限集，但實際問題中卻經(jīng)常會碰到無限樣本空間的情形，對于無限樣本空間的情形，?？赊D(zhuǎn)化為幾何概率來解決。例5：將n個球隨機(jī)地放入n個盒子中去，求每個盒子恰有一個球的

7、概率。分析與求解：因為每一個球都可以放進(jìn)n個盒子中的任一個盒子，共有n種不同的放法，n個球放進(jìn)n個盒子就有n×n××n=種不同的放法，而每種放法就是樣本空間中的一個元素，所以樣本空間中元素的總數(shù)為個?，F(xiàn)在來求每個盒子恰有一個球時，球的不同放法的種數(shù)。 第一個球可以放進(jìn)n個盒子之一，有n種放法；第二個球只能放進(jìn)余下的（n-1）個盒子之一，有（n-1）種放法，最后一個球只可以放進(jìn)唯一余下的盒子，所以n個球放進(jìn)n個盒子中要使每個盒子中都恰有一個球，共有種不同的放法，因而所求得概率為：。幾何概率所描述的隨機(jī)試驗滿足：試驗的樣本空間是一個可度量的幾何區(qū)域（這個區(qū)域可以是一維

8、、二維甚至n維）；試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點落入某一個可度量的子集A的可能性與A的幾何測度成正比，而與A的形狀及位置無關(guān)。如下面的例子“會面問題”是幾何概率的典型例子。例7：兩位網(wǎng)友相約見面，約定在下午4:00到5:00之間在某一街角相會，他們約好當(dāng)其中一人先到后，一定要等另一人20分鐘，若另一人仍不到則離去，試問這兩位朋友能相遇的概率為多少？（假定他們到達(dá)約定地點的時間是隨機(jī)的，且都在約定的一小時內(nèi)）解：以x、y分別表示兩人到達(dá)的時刻，則兩人相遇必須滿足下列條件：xy20，兩人到達(dá)時刻的所有可能結(jié)果可用邊長為60的正方形區(qū)域上的任意點（x，y）表示，該正方形上的所有點的集合構(gòu)成了樣本空間。如下圖的陰影部分（滿足不等式xy20的點的集合）表示“兩人能相遇”這一事件的概率應(yīng)等于圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比。通過這一段的研究，筆