2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提能拔高限時訓(xùn)練：單元檢測(十三) 極限 大綱人教版

1、單元檢測(十三) 極限(滿分：150分 時間：120分鐘)一、選擇題 (本大題共12小題，每小題5分，共60分)1.等于( )A. B.1 C. D.解析：.答案：A2.極限存在是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)的( )A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：f(x)在x=x0處連續(xù)存在,存在f(x)在x=x0處連續(xù).存在為f(x)在x=x0處連續(xù)的必要不充分條件.答案：B3.在數(shù)列an中,a1=1,當(dāng)n2時,且已知此數(shù)列有極限,則an等于( )A.-2 B.-1 C.0 D.1解析：由存在,知,令,.,b=0.an=0.答案：C4.,則a的值為(

2、)A.1 B.-1 C.±1 D.2解析：采取“上下同除以一個數(shù)”的方法.由題意,知1+a=2,因此a=1.選A.答案：A5.函數(shù)極限的值為( )A. B. C. D.解析：,令y=lnx,則,.答案：C6.x=1是函數(shù)的( )A.連續(xù)點(diǎn) B.無定義點(diǎn)C.不連續(xù)點(diǎn) D.極限不存在的點(diǎn)解析：,.但f(1)=0,.答案：C7.等于( )A.3 B. C. D.6解析：,.答案：B8.若數(shù)列an滿足,且對任意正整數(shù)m,n都有am+n=am·an,則等于( )A. B. C. D.2解析：由am+n=am·an,得,an是以為首項(xiàng),公比的等比數(shù)列.答案：A9.在等比數(shù)列a

3、n中,a11,且前n項(xiàng)和Sn滿足,那么a1的取值范圍是( )A.(1,+) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,)解析：由題意,知,.答案：D10.設(shè)正數(shù)a,b滿足,則等于( )A.0 B. C. D.1解析：,.,選B.答案：B11.若,則a等于( )A.4 B.3 C.2 D.1解析：,a=2.答案：C12.函數(shù)y=f(x)在x=x0處連續(xù),且,其中a0,則f(x0)等于( )A.-1 B.7 C.-1或7 D.3解析：函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù),即a2-2=2a+1.a0,a=3.f(x0)=7.答案：B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.在數(shù)列an中，a1=

4、9,且對任意大于1的正整數(shù)n,點(diǎn)在直線x-y-3=0上，則_.解析：由題意,得,是等差數(shù)列.an=9n2.答案：914._.解析：.答案：-215.如圖，連結(jié)ABC的各邊中點(diǎn)得到一個新的A1B1C1,又連結(jié)A1B1C1的各邊中點(diǎn)得到A2B2C2,如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：ABC、A1B1C1、A2B2C2、,這一系列三角形趨向于一個點(diǎn)M，已知A(0,0),B(3,0),C(2,2),則點(diǎn)M的坐標(biāo)是_.解析：由條件結(jié)合圖象可知，三角形的頂點(diǎn)都在ABC的三條中線上，由極限知識知M點(diǎn)的坐標(biāo)是ABC的重心，即為所求.答案：16.將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分?jǐn)?shù),就得到一個如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形

5、,稱為萊布尼茨三角形.從萊布尼茨三角形可看出,其中x=_.令,則_. 解析：令n=3,.當(dāng)r=1時,.x=1,2.當(dāng)r=2時,.x=3.歸納x=r+1.利用裂項(xiàng)求和求極限求出的值.答案：r+1 三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知f(x)=a·bx(a,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)和Q(4,8).(1)求f(x)的解析式;(2)記an=log2f(n),nN*,Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,求.解：(1)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和Q(4,8),解得.(2)an=log2f(n)=log222n-5=2n-5.an+1-an=2(n+1)-5-(2n-5)=2,an是

6、以-3為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列.18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,其中且.(1)求a2、a3;(2)猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明;(3)求.解：(1)由,得,由,得,得.(2)猜想.證明：當(dāng)n=1時,顯然成立.假設(shè)n=k時,猜想成立,即,則n=k+1時,得Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,同時.兩式相減,得,即.,即n=k+1時,猜想成立.(3).19.(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,且有,求首項(xiàng)a1的取值范圍.解：,0|q|1或q=1.當(dāng)0|q|1時,即有0|4a1-2|1.解之,得,；當(dāng)q=1時,即,得.故a1的

7、取值范圍為且或.20.(本小題滿分12分)在邊長為l的等邊ABC中,O1為ABC的內(nèi)切圓,O2與O1外切,且與AB、BC相切,On+1與On外切,且與AB,BC相切,如此無限繼續(xù)下去,記On的面積為an(nN*).(1)證明an是等比數(shù)列;(2)求的值.(1)證明：記rn為On的半徑,則, (n2).于是,故an成等比數(shù)列.(2)解：,.21.(本小題滿分12分)已知公比為q(0q1)的無窮等比數(shù)列an各項(xiàng)的和為9,無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為.(1)求數(shù)列an的首項(xiàng)a1和公比q;(2)對給定的k(k=1,2,n),設(shè)T(k)是首項(xiàng)為ak,公差為2ak-1的等差數(shù)列,求數(shù)列T(2)的前10項(xiàng)之和;(

8、3)設(shè)bi為數(shù)列T(i)的第i項(xiàng),Sn=b1+b2+bn,求Sn,并求正整數(shù)m(m1),使得存在且不等于零.(注：無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)n時該無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和的極限)解：(1)依題意,可知(2)由(1),知,所以數(shù)列T(2)的首項(xiàng)為t1=a2=2,公差d=2a2-1=3,即數(shù)列T(2)的前10項(xiàng)之和為155.(3),.當(dāng)m=2時,當(dāng)m2時,所以m=2.22.(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=5,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(nN*).(1)證明數(shù)列an+1是等比數(shù)列;(2)令f(x)=a1x+a2x2+anxn,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)f(1),并比較2f

9、(1)與23n2-13n的大小.(1)證明：由已知Sn+1=2Sn+n+5,n2時,Sn=2Sn-1+n+4.兩式相減,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1.從而an+1+1=2(an+1).當(dāng)n=1時,S2=2S1+1+5,a1+a2=2a1+6.又a1=5,a2=11.從而a2+1=2(a1+1).故總有an+1+1=2(an+1),nN*.又a1=5,an+10.從而,即an+1是以a1+1=6為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(2)解：由(1)知an=3×2n-1.f(x)=a1x+a2x2+anxn,f(x)=a1+2a2x+nanxn-1,從而f(

10、1)=a1+2a2+nan=(3×2-1)+2(3×22-1)+n(3×2n-1)=3(2+2×22+n×2n)-(1+2+n)=3n×2n+1-(2+2n)=3(n×2n+1-2n+1+2) .由上,知2f(1)-(23n2-13n)=12(n-1)·2n-12(2n2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)2n-(2n+1).(*)當(dāng)n=1時,(*)式=0,2f(1)=23n2-13n;當(dāng)n=2時,(*)式=-120,2f(1)23n2-13n;當(dāng)n3時,n-10,又,(n-1)2n-(2n+1)0,即(*)0,從而2f(1)23n2-13n.或用數(shù)學(xué)歸納法：n3時,猜想2f(1)23n2-13n.由于n-10,只要證明2n2n+1.事實(shí)上,當(dāng)n=3時,232×3+1.不等式成立.設(shè)n=k時(k3),有2k2k+1,則2k+12(2k+1)=4k+2=2(k+1)+