Matlab教程Ch4(高等數(shù)學(xué))

1、12l數(shù)值運算在運算前必須先對變量賦值，再參加數(shù)值運算在運算前必須先對變量賦值，再參加運算。運算。l符號運算不需要對變量賦值就可運算，運算結(jié)符號運算不需要對變量賦值就可運算，運算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號形式表達(dá)。果以標(biāo)準(zhǔn)的符號形式表達(dá)。MATLAB符號運算符號運算322.:( )f xaxbxc定定義義函函數(shù)數(shù)1.:定定義義符符號號變變量量 x=sym(x);y=sym(y); z=sym(z);%or syms x y z f1=sym(a x2+b x+c) 或者或者 clear syms a b c x f2= a*x2 + b*x + c44.變變量量替替換換：3.:求求函函數(shù)數(shù)值值 f xf

2、 3vpa f3將將換換為為用用可可轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為值值 f=sym(x2+2*x+y); x=2*pi; y=1; f1= eval(f)%或或 f2=subs(f)%或或 subs(f,x,y,2*pi,1) subs(f,x,s)f3= subs(f,x,3),vpa(f3)f4= subs(f,x,3) f xf s將將換換為為5collect函數(shù)函數(shù)合并同類項 clear syms x y f=(x-y)3; collect(f,y)fcollect(f)(x-1)*(x-2)*(x-3)x3-6*x2+11*x-6x*(x*(x-6)+11)-6x3-6*x2+11*x-6(1+x)*

3、t + x*t2*x*t+t(x-y)3x3-3*x2*y+3*y2*x-y36expand函數(shù)函數(shù)將乘積展開為和式 f=sym(cos(x+y); expand(f)fexpand(f)a*(x + y)a*x + a*y(x-1)*(x-2)*(x-3)x3-6*x2+11*x-6x*(x*(x-6)+11)-6x3-6*x2+11*x-6exp(a+b)exp(a)*exp(b)cos(x+y)cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)cos(3*acos(x)4*x3-3*x7horner函數(shù)函數(shù)把多項式轉(zhuǎn)換為嵌套表示形式 fhorner(f)x3-6*x2+11*x-6-

4、6+(11+(-6+x)*x)*x1.1+2.2*x+3.3*x211/10+(11/5+33/10*x)*x8factor函數(shù)函數(shù)把多項式轉(zhuǎn)換為乘積形式 syms x; n = (1:9); p = x.n + 1; f = factor(p); p, fffactor(f)x3-6*x2+11*x-6(x-1)*(x-2)*(x-3)x3-6*x2+11*x-5x3-6*x2+11*x-5x6+1(x2+1)*(x4-x2+1)9Pretty函數(shù)函數(shù) 手寫手寫 clear syms x f = x3-6*x2+11*x-6; g = (x-1)*(x-2)*(x-3); h = -6+(1

5、1+(-6+x)*x)*x; pretty(f), pretty(g), pretty(h) 3 2 x - 6 x + 11 x - 6 (x - 1) (x - 2) (x - 3) -6 + (11 + (-6 + x) x) x10simplify函數(shù)函數(shù)化簡化簡fsimplify(f)x*(x*(x-6)+11)-6x3-6*x2+11*x-6(1-x2)/(1-x)x+1(1/a3+6/a2+12/a+8)(1/3) (2*a+1)3/a3)(1/3)syms x y positive; log(x*y)log(x)+log(y)exp(x) * exp(y)exp(x+y)cos

6、(x)2 + sin(x)2111simple函數(shù)函數(shù)列出化簡步驟列出化簡步驟 f=sym(cos(x)2 + sin(x)2) simplify(f) simple(f) f1 = simple(f)fsimplify(f)simple(f)(1/a3+6/a2+12/a+8)(1/3)(2*a+1)3/a3)(1/3) (2*a+1)/asyms x y positive; log(x*y)log(x)+log(y)log(x*y)有時有時simple 函數(shù)比函數(shù)比simplify的結(jié)果更簡化！的結(jié)果更簡化！ f = (1/a3+6/a2+12/a+8)(1/3); Simple_f=si

7、mple(f) Simple_Simple_f=simple(Simple_f)Simple_Simple_f =2+1/a%或或 Simple_Simple_f =simple(simple(f)Simple_Simple_f =2+1/a有時運用有時運用2次次simple 函數(shù)得到的結(jié)果更好！函數(shù)得到的結(jié)果更好！12 syms x y f=1/(1+x); g=cos(y); compose(f,g)1,cos( ( ).1 已已知知函函數(shù)數(shù)，例例求求fgyf g yx運行結(jié)果：運行結(jié)果：ans =1/(cos(y)+1)compose函數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)13syms xy=1/cos

8、(x);g=finverse(y)1.cosyx 求求函函數(shù)數(shù)的的例例反反函函數(shù)數(shù)運行結(jié)果：運行結(jié)果：g =acos(1/x)finverse函數(shù)函數(shù)反函數(shù)反函數(shù)14第第4章章 高等數(shù)學(xué)中的高等數(shù)學(xué)中的Matlab命令命令l格式五種格式五種:l符號變量說明符號變量說明: syms x y t h allimit (f,x,a) llimit (f,a) 默認(rèn)變量默認(rèn)變量x或唯一符號變量或唯一符號變量llimit (f) 默認(rèn)變量默認(rèn)變量x, 且且a=0llimit (f,x,a,right) 右極限右極限llimit (f,x,a,left) 左極限左極限lim( )xaf x4.1 求極限求

9、極限00lim( , )xxyyf x y求求limit(limit(f,x,x0),y,y0)limit(limit(f,y,y0),x,x0)1520sinlimsinxmxInx 求求例例21222lim32 例例求求xxIxx2322lim32 求求例例xxIxx syms x m n I2=limit(sin(m*x)/(n*x) syms x I1=limit(2*x2/(3*x2-2*x),x,2) syms x l3=limit(2*x2/(3*x2-2*x),x,inf)運行結(jié)果：運行結(jié)果： I1=1 運行結(jié)果：運行結(jié)果： I3=2/3 運行結(jié)果：運行結(jié)果： I2=m/n4.

10、1 求極限求極限16求導(dǎo)數(shù)命令是求導(dǎo)數(shù)命令是diff, 格式如下格式如下:ldiff (f(x) ldiff (f(x),n)ldiff (f(x,y),x) ldiff(f(x,y),x,n)ljacobian (f(x,y,z) ,g(x,y,z), h(x,y,z),x,y,z)( ) fx( )( )nfx( , ) f x yx nnfx fffxyzgggxyzhhhxyz4.2 (偏偏)導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分172(1)ln(2)yxyx求求下下面面問問題題的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) 例例 syms x f=log(x); diff(f) syms x y=x2; diff(y) (1)(2)運

11、行結(jié)果：運行結(jié)果： ans= 1/x運行結(jié)果：運行結(jié)果：ans= 2*x4.2 (偏偏)導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分18 syms x y=2*x3+3*x2; y1=diff(y); y2=diff(y,2); disp(一階導(dǎo)數(shù)為：一階導(dǎo)數(shù)為：),y1 disp(二階導(dǎo)數(shù)為：二階導(dǎo)數(shù)為：),y232( )23f xxx求求的的一一階階例例、二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為：一階導(dǎo)數(shù)為：y1=6*x2+6*x二階導(dǎo)數(shù)為：二階導(dǎo)數(shù)為：y2=12*x+64.2 (偏偏)導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分19cos( )sin( )1sin( )cos( )tttttt參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)( )( )( )xx tyf

12、xyy t 參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)，(1sin )cosxttytt 求求參參數(shù)數(shù)方方程程的的例例一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). . syms t x=t*(1-sin(t); y=t*cos(t); dx=diff(x,t) dy=diff(y,t) pretty(dy/dx) /./dydy dtdxdx dt 運行結(jié)果運行結(jié)果：dx=cos(t)-t*sin(t)dy=1-sin(t) -t*cos(t)20多元函數(shù)求導(dǎo)多元函數(shù)求導(dǎo) syms a b x y z u=a*exp(b*x+y+z2); diff(u,z)2 求求對對 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)例例bxy zuaez運行結(jié)果：運

13、行結(jié)果：ans =2*a*z*exp(b*x+y+z2)diff(f(x,y),x,n)21syms x y z=x2*y3+sin(x*y);zx=diff(z,x) zy=diff(z,y) zx2=diff(z,x,2) zy2=diff(z,y,2) zxy=diff(diff(z,x),y) %x=1;y=pi; f=eval(zx) F= subs(zx,x,y,1,pi)22223221 sin(),:,xyzzzzzzzx yxyxyxyx yx 例例：求求多元函數(shù)求導(dǎo)多元函數(shù)求導(dǎo)22 梯梯 度度 syms x y zf=x2+y2+z2;s=jacobian(f)a= sub

14、s(s,x,y,z,1,-1,2)%orsx=subs(s,x,1);sy=subs(sx,y,-1);sz=subs(sy,z,2)g=vpa(sz)運行結(jié)果：運行結(jié)果：s = 2*x, 2*y, 2*za = 2, -2, 4222( , , )(1, 1,2)f x y zxyz 求求例例函函數(shù)數(shù)在在點點的的梯梯度度jacobian (f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z),x,y,z)fffxyzgggxyzhhhxyz23 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) coscoscos( , , ) (cos( ),cos(),cos( ) ()*(cos( ),cos(),cos()fff

15、flxyzfgradf x y zljacobian ff 方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)定定義義為為 所所以以 則則是是求求多多元元函函數(shù)數(shù) 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)2423( , , )1 1 2/ 3,/ 4,/ 3f x y zxyzxyz求求函函數(shù)數(shù)在在點點（ ，）處處沿沿方方向向角角為為方方向向例例的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù) syms x y z f=x*y2+z3-x*y*z; s=jacobian(f); g= subs(s,x,y,z,1,1,2) a=pi/3;b=pi/4;c=pi/3; l=g*cos(a),cos(b),cos(c) 運行結(jié)果：運行結(jié)果： g= -1 0 11 l = 5.0

16、000 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 25隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)( , )0( ),( , , )0( , ),xyyxzzFdyF x yyy xdxFFFzzF x y zzz x yxFdyF 方方程程確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)則則方方程程確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)則則， syms x y f=exp(y)+x*y-exp(x); dfx=diff(f,x); dfy=diff(f,y); dyx=-dfx/dfy; pretty(dyx) 0( )/yxexyeyy xdy dx求求所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)例例exp( )exp( )yxxy 運行結(jié)果：運行結(jié)果：26求積分命令是求積分命

17、令是int, 格式如下格式如下:lint (f) lint (f,v)lint(f,a,b) lint(f,v,a,b)4.3 積分積分求函數(shù)求函數(shù)f關(guān)于關(guān)于syms定義的符號變量的不定積分定義的符號變量的不定積分求函數(shù)求函數(shù)f關(guān)于變量關(guān)于變量v的不定積分的不定積分求函數(shù)求函數(shù)f關(guān)于關(guān)于syms定義的符號變量從定義的符號變量從a到到b的定積分的定積分求函數(shù)求函數(shù)f關(guān)于變量關(guān)于變量v從從a到到b的定積分的定積分27注意：注意：用用Matlab求不定積求不定積分，解出的結(jié)果是沒有常分，解出的結(jié)果是沒有常數(shù)項的。數(shù)項的。即結(jié)果為：即結(jié)果為： (C為任意實數(shù)為任意實數(shù))4.3.1 求不定積分求不定積分

18、221.sincosdxxx 例例計計算算 syms x y=1/(sin(x)2*cos(x)2); int(y); pretty(int(y) 1cos( )2sin( )cos( )sin( )xxxx 2211cos2sincossincossinxdxCxxxxx 運行結(jié)果：運行結(jié)果：int(f)284.3.2 求定積分求定積分2223x dx 計計例例算算運行結(jié)果：運行結(jié)果： ans=16syms x f=3*x2;int(f,x,-2,2)int(f,v,a,b)29 用定積分的符號解法求定積分有時會失效，用定積分的符號解法求定積分有時會失效，此時，可以用數(shù)值方法來計算定積分的值

19、。此時，可以用數(shù)值方法來計算定積分的值。 Matlab提供了一些計算定積分的數(shù)值方法。提供了一些計算定積分的數(shù)值方法。 A矩形法求定積分矩形法求定積分 B梯形公式梯形公式 C辛普森公式辛普森公式4.3.3 用數(shù)值方法計算定積分用數(shù)值方法計算定積分304.3.4 廣義積分廣義積分411dxx 計計算算例例廣廣義義積積分分int(, , , ),inf,inf.f v a bfvba 廣廣義義積積分分的的指指令令是是表表示示被被積積函函數(shù)數(shù)， 表表示示積積分分變變量量，其其中中若若記記為為若若記記為為說說明明：運行結(jié)果：運行結(jié)果：ans=1/3syms xf=1/(x4);Int(f,x,1,in

20、f)314.3.5 計算二重積分計算二重積分 int int f,y,y1 x ,y2 x,x,a,bint int int f,z,z1,z2 ,y,y1,y2 ,x,a,b二二重重積積分分三三重重積積分分1000 xyxdx dyxyzdz例例 運行結(jié)果為：運行結(jié)果為：ans=1/64syms x y z ; f=x*y*z;int(int(int(f,z,0,x*y),y,0,x),x,0,1)324.4 級數(shù)級數(shù)4.4.1函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)求求冪冪級級數(shù)數(shù)收收斂斂半半徑徑用用到到的的語語句句為為 limit(f,n,inf) limit(f,n,inf)(, , , )T

21、aylor( )1,1, ,5f vvanv ataylorfnvf n va naf 展展開開的的指指令令：將將函函數(shù)數(shù)在在處處展展開開階階泰泰勒勒公公式式. .如如果果缺缺省省，將將函函數(shù)數(shù) 展展開開成成默默認(rèn)認(rèn)變變量量的的階階麥麥克克勞勞林林公公式式. .如如果果缺缺省省，將將函函數(shù)數(shù) 展展開開成成默默認(rèn)認(rèn)變變量量的的 階階麥麥克克說說明明：勞勞林林公公式式。 syms n f=(1/n2) /(1/(n+1)2); r=limit(f,n,inf)運行結(jié)果：運行結(jié)果：r=120( 1)nnnxn 求求的的例例：收收斂斂半半徑徑. .1limnnnara 332( )arctan16f

22、xxxInxx將將函函數(shù)數(shù)展展開開成成 的的 階階麥麥克克例例勞勞林林公公式式. . syms x f=x*atan(x)-log(sqrt(1+x2); taylor(f,7,x)運行結(jié)果：運行結(jié)果：ans=1/2*x2-1/12*x4+1/30*x6Taylor(, , , )taylor f n v a展展開開的的指指令令：ln3.求求例例的的近近似似值值 syms x y=taylor(log(x+3); x=0; y0=eval(y)y0 = 1.0986344.4.2求和、求積、級數(shù)求和求和、求積、級數(shù)求和( )( )xsum xcumsum xxx求求向向量量 的的和和或或者者是

23、是矩矩陣陣每每一一列列向向量量的的和和。如如果果是是 向向量量，并并用用行行向向量量顯顯示示出出來來；如如果果 是是矩矩陣陣，則則對對列列向向量量：逐逐項項求求和和進(jìn)進(jìn)行行操操作作。sum(a) cumsum(a)sum(A)cumsum(A) 例例: a=1:5；A=1 2 3 ;2 3 4 ;7 8 9 ;ans = 15ans = 1 3 6 10 15運行結(jié)果：運行結(jié)果： ans=10 13 16 ans=1 2 33 5 710 13 16354.4.2求和、求積、級數(shù)求和求和、求積、級數(shù)求和( )( )prod xcumprod xxx求求向向量量 的的各各元元素素的的積積或或者者

24、矩矩陣陣的的每每一一列列向向量量的的積積。如如果果 是是向向量量，并并用用行行向向量量顯顯示示出出來來；如如果果是是矩矩陣陣，則則對對列列向向量量：逐逐項項求求積積進(jìn)進(jìn)行行操操作作. .例例a=1:5; A=1 2 3 ;2 3 4 ;7 8 9 ; prod(A) cumprod(A) prod(a) cumprod(a)運行結(jié)果：運行結(jié)果：ans= 120ans = 1 2 6 24 120運行結(jié)果：運行結(jié)果：ans = 14 48 108ans = 1 2 3 2 6 12 14 48 10836( , , , )symsum s v a bvabs級級數(shù)數(shù)求求和和的的指指令令對對變變量量 求求 由由到到 的的有有限限項項的的和和，其其中中 為為求求和和級級數(shù)數(shù)的的通通：項項表表達(dá)達(dá)式式。130nkk 例例求求 syms k n f=k3; symsum(f,k,0,n-1) 運行結(jié)果：運行結(jié)果： ans=1/4*n4-1/2*n3+1/4*n221kk 1 1求求例例 syms k f=1/k2; symsum(f,k,1,inf) 運行結(jié)果：運行結(jié)果： ans =1/6*pi24.4.2求和、求積、級數(shù)求和求和、求積、級數(shù)求和37(1,2,1,2